Ladungsverteilung von Kern und Nukleon

Ladungsverteilung von Kern und Nukleon - Formfaktoren
Handout zum Vortrag von Daniel Götz am 26.01.2009
im Rahmen des Fortgeschrittenen-Praktikums
1
Einführung
Dieser hat die Einheit einer (effektiven) Fläche und
ist ein Maß für die Wahrscheinlichkeit, dass ein Projektil in das Raumwinkelelement dΩ um das Target
gestreut wird (siehe Abbildung 2).
Der Rutherfordsche WQ lässt sich sowohl klassisch als auch quantenmechanisch herleiten, wobei
beide Herleitungen zum gleichen Ergebnis führen:
1
4Z 2 e4 E 02 1
Z 2 e4
dσ
.
=
=
4
2
2
2
dΩ Ruth
(4π0 ) |qc|
(4π0 ) 4E sin4 θ2
Den Grundbaustein zur Analyse der Ladungsverteilungen von Kern und Nukleon lieferte E. Rutherford
im Jahre 1910. Indem er α-Teilchen an Goldatomen
streute fand er heraus, dass die Masse des Atoms
in einem positiv geladenen, winzigen Kern konzentriert ist. Sein Versuch birgt jedoch zwei wesentliche
Probleme:
• Target und Projektil sind ausgedehnt und
Dabei wurde der Rückstoß auf das Target, sowie die
Ausdehnung des Targets vernachlässigt. Für große
q 2 , bzw. Streuwinkel θ und Projektilenergien E wird
der WQ sehr klein, was große Präzision bei der Vermessung dieses Bereichs erfordert.
Um Spineffekte des Elektrons bei relativistischen Geschwindigkeiten zu berücksichtigen, wird
der Rutherford-WQ noch um einen Faktor zum
Mott-WQ ergänzt:
dσ
dσ
2
2 θ
=
1 − β tan
,
dΩ Mott
dΩ Ruth
2
• zwischen beiden wirken (nur unzureichend bekannte) Kernkräfte.
Die Lösung dieser Probleme ist es, Elektronen als
Projektile zu verwenden. Diese sind punktförmig
und nehmen nicht an der starken Wechselwirkung
teil. Die Wechselwirkung wird (bis auf einen vernachlässigbaren Anteil durch die schwache WW)
durch die Quantenelektrodynamik sehr präzise beschrieben.
Im mikroskopischen Bereich muss die Betrachtung des Problems quantentheoretisch erfolgen. Wie
im Feynman-Diagramm (Abbildung 1) dargestellt,
erfolgt die Streuung durch den Austausch eines virtuellen Photons mit Impuls
wobei β = vc .
3
q = p − p0 ,
q nennt man Impulsübertrag. Im Folgenden werden
nur elastische Streuungen betrachtet, d.h. Teilchenanregungen und -zerfälle werden ignoriert.
2
3.1
Formfaktoren
Kerne
Der gemessene WQ ist gegeben durch
2 dσ
dσ
= F (q 2 )
,
dΩ exp
dΩ Mott
Wirkungsquerschnitte
(1)
Um Streuprozesse zu analysieren bedient man sich
dσ
.
des differentiellen Wirkungsquerschnitts (WQ) dΩ
wobei der Formfaktor (FF) F (q 2 ) mit der auf 1 normierten Ladungsverteilung Zef (x) = ρ(x) über die
Abbildung 1: Feynman-Diagramm zur Streuung eines Elektrons an einem Kern in niedrigster Ordnung
Störungstheorie; Quelle: Povh, Rith, Scholz, Zetsche:
Abbildung 2: Zum differentiellen Wirkungsquerschnitt; Quelle: http://wiki.physik.uni-frankfurt.
Teilchen und Kerne, Springer-Verlag, 7. Auflage
de/index.php/Wirkungsquerschnitt
1
Fouriertransformation in Beziehung steht:
Z
i
F (q 2 ) = d3x exp
q · x f (x).
~
2
Q
wobei τ = 4M
c2 , GE der elektrische und GM der
magnetische FF ist. Beide bestimmt man mit der
sogenannten Rosenbluth-Separation, indem man den
experimentellen WQ bei festem Q2 (aber veschiedenen θ und E) misst, durch den Mott-WQ dividiert,
gegenüber tan2 θ2 aufträgt und anschließend einen linearen Fit hindurch legt. Anhand der Steigung und
des Achsenabschnitts lassen sich mit Gleichung (4)
die beiden FF ermitteln. Führt man dies für viele
Werte von Q2 durch, so ergibt sich für beide FF des
Protons und für den magnetischen FF des Neutrons
ein Verlauf, den man nach Normierung auf die Werte bei Q2 = 0 näherungsweise durch einen Dipol
beschreiben kann,
(2)
Der FF lässt sich nach Gleichung (1) bestimmen,
indem man den experimentell gemessenen WQ durch
den Mott-WQ dividiert.
Aus dem FF lässt sich der mittlere quadratische
Ladungsradius hr2 i gewinnen, indem man die Exponentialfunktion in Gleichung (2) um q 2 = 0 entwickelt. Man erhält
2 2
2 dF (q ) ,
(3)
hr i = −6~
dq 2 q2 =0
der Radius ist also durch die Steigung des FF bei
verschwindendem Impulsübertrag gegeben.
Um die Ladungsverteilung zu bestimmen, modelliert man sich (bspw. aufgrund theoretischer oder
phänomenologischer Überlegungen) eine Ladungsverteilung und transformiert diese in den Impulsraum um einen FF zu erhalten, welcher dann direkt
an den WQ gefittet wird.
Ein einfaches Modell, welches Kerne mit Massenzahl A & 40 grob beschreibt, ist die Fermi-Verteilung
GD (Q2 ) =
1+
Q2
0.71 (GeV/c)2
−2
,
welcher einer exponentiell abfallenden Ladungsverteilung entspricht. Mit Gleichung (3) ermittelt man
daraus einen Ladungsradius von
q
2 i = 0.81 fm.
hrE
(5)
4
ρ(0)
ρ(r) =
1 + exp r−c
a
Experiment am MAMI
Neuere Messungen zeigen starke Abweichungen vom
Dipolverlauf bei Q > 1 GeV/c. Diese lassen sich gut
durch einen Doppel-Dipol beschreiben. Man findet
allerdings bei allen vier FF von Proton und Neutron
auch eine hügelförmige Abweichung vom DoppelDipol bei Q ≈ 0.2 (GeV/c)2 (siehe Abbildung 4).
Dieser Bereich wurde am MAMI präzise neu vermessen und wird momentan anhand verschiedener
Modelle untersucht. Vorläufige Fits zeigen einen höheren Ladungsradius von
q
2 i ≈ 0.89 fm
hrEp
(siehe Abbildung 3). Sie entspricht der Form einer
homogenen Kugel mit diffusem Rand.
3.2
Nukleonen
Zur Untersuchung von Nukleonen verwendet man
die Rosenbluth-Formel:
dσ
dσ
E 0 G2E (Q2 ) + τ G2M (Q2 )
=
+
dΩ
dΩ Mott E
1+τ
θ
+ 2τ G2M (Q2 ) tan2
,
(4)
2
gegenüber des Dipol-Fits aus Gleichung (5).
Abbildung 3: Fermi-Verteilung als Modell der Ladungsverteilung schwerer Kerne; Die Breite a hängt
mit der Hautdicke t zusammen: t = 2a ln 9; Quel-
Abbildung 4: Unterschied zwischen gemessenem
Formfaktor und Doppel-Dipol: Hügelförmige Abweichung bei Q2 ≈ 0.2 (GeV/c)2 , hier am Beispiel von
GE des Protons; Quelle: Friedrich, Walcher: http:
le: Povh, Rith, Scholz, Zetsche: Teilchen und Kerne,
Springer-Verlag, 7. Auflage
//www.arxiv.org/abs/hep-ph/0303054
2