STdKI2PL1

University of Bielefeld
Prädikatenlogik erster Stufe
• Grundbausteine von Sprachen erster
Stufe
– Konstanten, Variablen und
Funktionssymbole (um Objekte
anzusprechen)
– Buchstaben zur Darstellung von
Prädikaten
– Junktoren
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Einstufige Sprache L
• 3 Aspekte:
– Alphabet/Zeichenvorrat)
– Terme
– wohlgeformte Formeln
• Der Zeichenvorrat einer einstufigen Sprache L besteht aus:
c1 , c2 ,..., cn ,...,
– Konstanten
x1 , x2 ,..., xn ,...,
– Variablen
– Funktionszeichen
fi n
– Prädikatenzeichen
Pi n
– Logische Verknüpfungen ∧,∨, ¬, →, ↔
– Quantoren
∀, ∃
– Interpunktionszeichen
(,) ,
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Einstufige Sprache L
• Der Zeichenvorrat von L enthält nicht
notwendigerweise alle Zeichen.
• Notwendig sind Variablen, Verknüpfungen und
mindestens ein Quantor.
• Der hochgestellte Index ist die Stellenzahl, also die
Anzahl der Argumente
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Einstufige Sprache L
Terme
•
Terme stehen für Objekte
Definition
Term werden folgendermaßen rekursiv definiert:
a. Jede Konstante ist ein Term.
b. Jede Variable ist ein Term.
c. Wenn t1 , t2 ,..., tn ein Term ist, dann ist auch
f i n (t1 , t2 ,..., tn ) ein Term.
d. Andere Terme gibt es nicht.
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Einstufige Sprache L
Wohlgeformte Ausdrücke/Formeln
•
Nicht jede Zeichenkette aus dem Alphabet ist
geeignet im Sinne einer Logik.
Definition
Wohlgeformte Ausdrücke (wff) werden folgendermaßen
rekursiv definiert:
n
a. Pi (t1 , t2 ,..., tn ) ist ein wff.
b. Sind A und B wff, dann auch
(¬A), ( A ∧ B ), ( A ∨ B ), ( A → B )und ( A ↔ B ) .
c. Ist A ein wff, dann auch (∀xi )A.
d. Ist A ein wff, dann auch (∃xi )A.
e. Andere wff gibt es nicht.
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Einstufige Sprache L
Wohlgeformte Ausdrücke/Formeln
•
•
Wff vom Typ (i), also: Pi n (t1 , t2 ,..., tn )
heißen atomare Formeln. Sie stellen Beziehungen
zwischen Objekten dar.
Pi n (t1 , t2 , t3 ) könnte “inbetween” darstellen,
also dass die Beziehungen (t2 ≤ t1 ≤ t3 ) ∨ (t3 ≤ t1 ≤ t2 )
gelten sollen.
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Einstufige Sprache L
Quantorenwirkungsbereich
•
Wff vom Typ (∀xi )A und (∃xi )A haben den
Wirkungsbereich A.
(∀xi )(P12 (x1 , x2 ) → P11 (x1 ))
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1
Wirkungsbereich P1 ( x1 , x2 ) → P1 ( x1 )
(∀xi )P12 (x1 , x2 ) → P11 (x1 )
Wirkungsbereich P12 ( x1 , x2 )
Quantoren binden Variablen innerhalb ihres
Wirkungsbereichs.
Eine wff heißt abgeschlossen, wenn sie keine freien
Variablen mehr enthält.
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