Algebraische Topologie: ¨Ubungsblatt 8

Helge Glöckner
Sven-Ake Wegner
Uni Paderborn
SS 2010
Algebraische Topologie: Übungsblatt 8
Gruppenübung
Aufgabe G 1. Finden Sie ein Beispiel, welches die Aussage von Bemerkung 5.13
illustriert, d.h. geben Sie einen topologischen Raum X und drei Wege γ, η und φ
in X an, sodaß γ • (η • φ) 6= (γ • η) • φ gilt.
Aufgabe G 2. Sei X eine konvexe Teilmenge von Rn mit Basispunkt x0 . Zeigen Sie,
daß π1 (X, x0 ) = 0 gilt, da je zwei Schleifen γ0 und γ1 in x0 via der linearen Homotopie
γt (s) = (1 − t)γ0 (s) + tγ1 (s) homotop sind.
Aufgabe G 3. (Höhere Homotopiegruppen) Es sei X ein topologischer Raum, N ∈ N
and x0 ∈ X. Wir setzen
V := γ : [0, 1]N → X ; γ stetig und γ|∂([0,1]N ) = x0
und definieren eine Äquivalenzrelation auf V : γ0 ∼ γ1 gilt genau genau dann, wenn
eine stetige Abbildung Γ : [0, 1]N × [0, 1] → X mit Γ(x, 0) = γ0 (x), Γ(x, 1) = γ1 (x) und
Γ|∂([0,1]N ×[0,1]) ≡ x0 gilt. Nun setzen wir
πN (X, x0 ) := [γ] ; γ ∈ V
und definieren eine Multiplikation per [γ0 ] • [γ1 ] := [γ0 • γ1 ], wobei
(
γ0 (2x1 , x2 , . . . , xN )
γ0 • γ1 : [0, 1]N → X, (x1 , . . . , xN ) 7→
γ1 (2x1 − 1, x2 , . . . , xN )
falls x1 ∈ [0, 21 ],
falls x1 ∈ [ 21 , 1].
Zeigen Sie, daß πN (X, x0 ) ausgestattet mit dieser Multiplikation eine Gruppe ist.
Hausübung
Aufgabe H 1. Es sei K ein kompakter topologischer Raum und Q := {C(x) ; x ∈
K} die Menge der Zusammenhangskomponenten von X. Wir versehen Q mit der
Quotiententopologie bzgl. q : K → Q, q(x) := C(x).
(a) Es sei A ⊆ K eine offene und abgeschlossene Menge. Vergleichen Sie A und
q −1 (q(A)). Folgern Sie, dass q(A) in Q offen und abgeschlossen ist.
(b) Zeigen Sie, daß Q Hausdorffsch und 0-dimensional ist.
Aufgabe H 2. (a) Es sei X ein k-Raum, Y ein topologischer Raum und f : X → Y
eine Abbildung. Begründen Sie, daß f genau dann stetig ist, wenn f |K : K → Y
stetig ist für jede kompakte Teilmenge K ⊆ X.
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(b) Nun seien X, Y und Z topologische Räume. Zeigen Sie: Ist X × Y ein k-Raum
und f : X → C(Y, Z)c.o. stetig, so ist fb: X × Y → Z stetig. Weiter ist dann die
Einbettung Φ : C(X × Y, Z)c.o. → C(X, C(Y, Z)c.o. )c.o. , g 7→ ǧ surjektiv und somit
ein Homöomorphismus.
Wichtiger Spezialfall: Sind X und Y metrisierbar, so ist auch X × Y metrisierbar und
somit ein k-Raum.
(c) Sei Y ein metrischer Raum, der nicht lokal kompakt ist (z.B. ein unendlichdimensionaler normierter Raum) und X := C(Y, R)c.o. . Nehmen Sie zunächst
als eine nicht zu beweisende Tatsache hin, daß dann die Auswertungsabbildung
ε : X × Y → R, ε(γ, x) := γ(x) unstetig ist. Dann ist f := id : X → C(Y, R)c.o. ,
f (γ) := γ stetig, also f ∈ C(X, C(Y, R)c.o. )c.o. . Zeigen Sie, daß fb: X × Y → R
unstetig ist. Folgern Sie, dass Φ : C(X × Y, R)c.o. → C(X, C(Y, R)c.o. )c.o. , g 7→ ǧ
nicht surjektiv ist.
(d) Es sei y0 ∈ Y ein Punkt, der keine kompakte Umgebung besitzt. Beweisen Sie,
daß ε aus (c) in (0, y0 ) unstetig ist.
Hinweis: Andernfalls gäbe es offene Umgebungen P ⊆ C(Y, R)c.o. von 0 und Q ⊆ Y von
y0 mit ε(P ×Q) ⊆ [−1, 1]. Wir dürfen annehmen, dass P = {γ ∈ C(Y, R); γ(K) ⊆ ]−r, r[}
für eine kompakte Teilmenge K ⊆ E und ein r > 0. Da K keine Umgebung von y0 ist,
gibt es ein z0 ∈ Q \ K. Da Y als metrischer Raum normal ist, existiert eine stetige
Funktion η : Y → [0, 1] mit η(z0 ) = 1 und η|K = 0. Dann ist 2η(z0 ) = 2 und 2η|K = 0,
also 2η ∈ M (K, ]−r, r[). Und wie bekommen wir nun einen Widerspruch ?
Ausgabe dieses Aufgabenblattes am 07.06.2010.
Abgabe dieses Aufgabenblattes zu Beginn der Übung am 14.06.2010.
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