Deskriptive Statistik
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Modul G.1 WS 07/08: Statistik 8.11.2006 1 Deskriptive Statistik Definition Unter deskriptiver Statistik versteht man eine Gruppe statistischer Methoden zur Beschreibung von Daten anhand statistischer Kennwerte, Graphiken, Diagramme und/oder Tabellen. Ziel Die deskriptive Statistik beschreibt und analysiert Merkmalseigenschaften in einer bestimmten Stichprobe zum Erhebungszeitpunkt der Daten, so dass Aussagen über genau jene Objekte gemacht werden, welche tatsächlich untersucht wurden. Beispiel Wenn an einem Tag das Alter aller Patienten in einem Krankenhaus erhoben wurde, können mit Hilfe einer deskriptiven Statistik Aussagen über das Alter der Patienten an genau diesem Tag in genau diesem Krankenhaus gemacht werden. Klingt trivial – wir alle haben uns an diese Art der Beschreibung der messbaren Wirklichkeit gewöhnt. (Arbeitslosenzahlen, Verkehrstote etc.) Schließende Statistik (Inferenzstatistik) schließt aus den Daten einer Stichprobe auf Werte in der Population. Z.B. Einschätzung der Altersstruktur in anderen Krankenhäusern. So eine Schätzung ist immer nur mit einer gewissen Fehlerwahrscheinlichkeit möglich. Wie kommen wir zu unseren Daten? Wir messen. Danach können wir analysieren und interpretieren, d.h. Schlüsse über die reale Welt ziehen. Um mit Hilfe von statistischen Methoden analysieren und interpretieren zu können müssen wir unsere Messungen in Merkmalsausprägungen und Variablen umwandeln. z.B. männlich = 1 und weiblich =0. Was sind Merkmale und Variablen? Definition Ein Merkmal ist eine Eigenschaft, die zu einem Objekt oder einer Person gehört und eine bestimmte Anzahl von Merkmalsausprägungen hat. Es wird versucht diese Merkmale durch Messungen in Zahlen zu überführen. Merkmale, die in Zahlen überführt wurden, werden als Variablen bezeichnet. Es wird zwischen qualitativen und quantitativen Merkmalen unterschieden: Qualitative Merkmale Mit qualitativen Merkmalen wird die Zugehörigkeit zu einer Kategorie beschrieben. z.B. Geschlecht – entweder/oder Quantitative Merkmale: Quantitative Merkmale beschreiben die Ausprägung eines Objekts oder einer Person in diesem Merkmal. Dies geschieht auf einem Kontinuum von Werten. Z.B. Körpergröße. Jede Person hat zum Messzeitpunkt einen bestimmten Wert. Hinweis: Skalen. Qualitative Merkmale > Nominalskala. Quantitative Merkmale: höhere Skalen. (Ordinal, Intervall und Verhältnis) Definition Eine Variable ist ein in Zahlen überführtes Merkmal. Diese Überführung wird auch Operationalisierung genannt. Modul G.1 WS 07/08: Statistik 8.11.2006 2 Es gibt zwei Arten von Variablen, die sich parallel zu qualitativen und quantitativen Merkmalen verhalten: Diskrete Variablen Merkmale bei denen nur endlich viele, bzw. abzählbar unendlich viele Ausprägungen möglich sind werden in diskrete Variablen überführt. Es gibt keine Zwischenstufen zwischen zwei Kategorien. Beispiele: Parteizugehörigkeit, Berufe, Pflanzenarten Kontinuierliche Variablen Kontinuierliche Variablen können (zumindest) theoretisch auf einem beliebig genauen Kontinuum beschrieben werden. Beispiel: Körpergröße, Reaktionszeiten, Lautdauern Wie kommen wir zu unseren Variablen? Durch Messen. Messen ist also eine Zuordnung von Objekten zu Zahlen. Die Relationen zwischen den gemessenen Zahlen reflektieren dann die analogen Relationen zwischen den Objekten. Maße der zentralen Tendenz und der Dispersion Maße der zentralen Tendenz und der Dispersion stellen Beschreibungen der Verteilung der Messwerte einer Variablen dar. Z.B die Mitte einer Menge von Werten oder die Streuung von Werten. D.h. letzlich wird die Verteilungsform dargestellt. Maße der zentralen Tendenz Modalwert oder Modus (engl. mode) Definition Der Modalwert ist derjenige Wert einer Verteilung, welcher am häufigsten besetzt ist. Eigenschaften stabil gegenüber Extremwerten (erklären > Ausreißer) kann für alle Skalenniveaus verwendet werden Maximum einer Verteilung unimodale vs. bimodale vs. multimodale Verteilungen wird oft bei nominalskalierten Daten und bei Daten mit asymmetrischer Verteilung verwendet Bsp. gehörte Kategorie Modul G.1 WS 07/08: Statistik 8.11.2006 3 Median Definition Der Median ist derjenige Wert, der die geordnete Reihe der Messwerte in die oberen und unteren 50 Prozent aufteilt. Somit ist die Anzahl der Messwerte über und unter dem Median gleich. Beispiel Bei 17 Personen belegt die neunte (17+1/2) den Median. Bei 16 Personen wird der Median über den Mittelwert zwischen der achten und der neunten Person der Rangreihe berechnet. Eigenschaften Anzahl der Messwerte über und unter dem Median ist gleich (entspricht einem Prozentrang von 50) mindestens Ordinalskalenniveau stabil gegenüber Extremwerten Arithmetisches Mittel (mean, arithmetic average) Definition Das arithmetische Mittel ist die Summe aller Messwerte, geteilt durch deren Anzahl N. Beim artihmetischen Mittel handelt es sich um den Durchschnitt aller Messwerte. Modul G.1 WS 07/08: Statistik 8.11.2006 4 Das Rechnen mit dem Summenzeichen ∑ (Sigma). Das Summenzeichen ∑ ermöglicht eine kürzere Schreibweise für additive Verknüpfungen. Die sog. Zählervariable i gibt den „Startwert“ einer Addition an, er ist hier 1. N ist die obere Grenze der Summe, sozusagen der „Endwert“. Hinter dem Summenzeichen wird der zu addierende Term angegeben. D.h. obige Formel würde in Langschreibweise folgendermaßen aussehen: 𝑥= x1 + x2 + x3 + …..+ xn N Eigenschaften Summe der Zentralen Momente ergibt Null. Zentrales Moment= (xi – 𝑥) Formel: 𝑁 𝑖=1 𝑥i − 𝑥 = 0 Bei kleinen Stichproben sehr abhängig von Extremwerten Die Daten müssen mindestens intervallskaliert sein. Gewichtete arithmetische Mittel Gewichtete artihmetische Mittel werden sinnvoll, wenn ein Gesamtmittelwert aus verschiedenen Stichproben unterschiedlicher Größe gebildet werden soll. Definition: Beim Gewichteten arithmetischen Mittel (GAM) werden die einzelnen Gruppenmittelwerte an der jeweiligen Gruppengröße gewichtet. Vergleich Modus, Median und Mittelwert Modul G.1 WS 07/08: Statistik 8.11.2006 5 Maße der Dispersion Mittelwerte sind Maße der Mitte von Verteilungen. Nun soll die Variabilität oder auch Streuung von Verteilungen definiert werden. Variationsbreite (range) Definition Der Range, die Spannweite, beschreibt bei kontinuierlichen Daten Differenz zwischen Maximum und Minimum; bei nominalskalierten Daten die Anzahl der Kategorien Vorteile sehr einfach zu berechnen kann für alle Skalenniveaus verwendet werden Nachteile sehr abhängig von nur 2 Werten keine Aussage über die dazwischen liegenden Werte kann nicht für theoretische Verteilungen verwendet werden, da z.B. die Normalverteilung für einen Bereich von definiert ist. Quartile, Interquartilabstand (interquartile range) Definition Als Quartile werden jene Punkte Q1, Q2 und Q3 bezeichnet, welche eine Verteilung in vier gleich große Abschnitte aufteilen. Das mittlere Quartil Q2 entspricht dem Median, das untere Quartil Q1 einem Prozentrang von 25 und das obere Quartil Q3 von 75. Die Differenz von Q3 und Q1 wird als Interquartilabstand (IQA) bezeichnet. 15 Frequency 10 Modul G.1 WS 07/08: Statistik 8.11.2006 6 0 5 Vorteile Kann auch auf ordinalskalierte Daten angewendet werden. Der Interquartilabstand bezieht sich nur auf die mittleren 50 % der Daten, weshalb Ausreißer keine Rolle spielen. Q1 Median Q3 Nachteil 300 350 nicht berücksichtigt. 400 450 Die Werte außerhalb werden formants$f1 Varianz (variance) Quadrieren, da einfache Summe null ergeben würde unterschiedliche Stichproben können verglichen werden Mittelwert aller Abweichungsquadrate Unterschied Population (griechische Buchstaben) und Stichprobe (lateinische Buchstaben) (Wir können oft nicht die gesamte Population untersuchen (z.B. alle Sprecher des Deutschen), so müssen wir von einer Stichprobe ausgehen und übertragen die Ergebnisse auf die Gesamtpopulation. > Wir machen Vorhersagen. Definition Freiheitsgrade (degrees of freedom): beschreibt die Anzahl der frei wählbaren Werte. Durch die Berechnung eines Kennwerts aus N Messwerten wird ein Messwert „unfrei“. Beispiel Wenn vier Freunde um Geld gespielt haben: Der erste sagt er habe 20 Euro gewonnen, Der zweite sagt: 20 Euro verloren, der dritte: 10 Euro gewonnen, dann MUSS der vierte 10 Euro verloren haben. Der Messwert wird „unfrei“. Also: df=N-1 Im Prinzip führt das Rechnen mit N-1 zu einer größeren Varianz (vorsichtige oder auch konservative Schätzung). Die Varianz mit N-1 wird natürlich bei zunehmender Stichprobengröße N immer ähnlicher. Modul G.1 WS 07/08: Statistik 8.11.2006 7 Standardabweichung(standard deviation) Durch das Quadrieren der Werte bei der Berechnung der Varianz ensteht ein schwierig zu interpretierender Kennwert. Deshalb wird die Wurzel aus der Varianz gezogen und so die Standardabweichung (Streuung des Mittelwerts) berechnet. Die Standardabweichnung hat so auch wieder die gleiche physikalische Einheit wie das arithmetische Mittel. Da die Abweichungen für die Varianz quadriert wurden, muss die Wurzel gezogen werden, um wieder die gleiche physikalische Einheit der Messwerte zu erhalten. Variabilitätskoeffizient Die Standardabweichung hängt von der Größe des Mittelswert ab, d.h. je größer der Mittelwert umso größer auch die Standardabweichung. Um feststellen zu können, ob zwei Stichproben mit sehr unterschiedlichen Mittelwerten unterschiedlich stark streuen, wird der Variabilitätskoeffizient berechnet. Definition Der Variabilitätskoeffizient gibt an, wie viel Prozent des arithmetischen Mittels die Standardabweichung beträgt. 𝑠𝑥 ∗ 100 𝑥 Beispiel Zwei Psychologen testen soziale Kompetenz mit unterschiedlichen Fragebögen an der selben Gruppe. Beide Fragebögen ergeben einen verhältnisskalierten Messwert. Die Befragungen ergeben unterschiedliche Mittelwerte und Standardabweichungen. Der Variabilitätskoeffizient kann klären, welche Erhebung eine größere Streuung hat. Modul G.1 WS 07/08: Statistik 8.11.2006 8 Ein Überblick zu den Maßen Die folgende Tabelle gibt einen Überblick zu den vorausgesetzten Skalenniveaus bei den verschiedenen Lage- und Streuungsmaßen Maß Häufigkeit Modalwert Range Quartile Median Arithmetisches Mittel Varianz Standardabweichung Variabilitätskoeffizient Nominal + + + - Ordinal + + + + + - Intervall + + + + + + + + - Verhältnis + + + + + + + + +
