Mathematik
Trigonometrie
Einführung
Was bedeutet das Wort Trigonometrie und mit was beschäftigt sich die Trigonometrie?
Eine kleine
• tri
• gon
• metrie
Wortkunde:
bedeutet 'drei'
bedeutet 'Winkel'/'Eck'
bedeutet 'Messung'
Beispiel: Triathlon, . . .
Beispiel: Pentagon – das Fünfeck mit 5 Winkeln
Beispiel: Geometrie – die Erdvermessung
Das Wort impliziert also die 'Dreiwinkelmessung' oder allgemein die
'Dreiecksberechnung'.
Während die Planimetrie die Konstruktion eines Dreieckes aus gegebenen Stücken lehrt,
bei der die Genauigkeit der Resultate verhältnismässig gering ist, liefert die
Trigonometrie auf rechnerischem Weg exaktere Ergebnisse.
Erklärung der trigonometrischen Funktionen:
In einem rechtwinkligen Dreieck ABC seien a und b die Katheten, c die Hypothenuse, die
spitzen Winkel entsprechend α und β , wobei gilt: α + β = 90o.
Man nennt a die Gegenkathete und b die Ankathete des Winkels α .
(Analog nennt man a die _____________ und b die _____________ des Winkels β .)
Zieht man in einem rechtwinkligen Dreieck ABC zur Kathete a Parallelen wie B1C1, B2C2
usw., so entstehen rechtwinklige Dreiecke AB1C1, AB2C2 usw., die einander ähnlich sind.
a
a a
Daraus folgt (Strahlensätze!): = 1 = 2 = ...
c c1 c 2
Da durch das Verhältnis zweier Seiten das
rechtwinklige Dreieck in seiner Gestalt
festgelegt ist, ist auch die Grösse des
Winkels α (und damit natürlich auch β )
eindeutig bestimmt. Umgekehrt ist das
Seitenverhältnis im rechtwinkligen Dreieck
durch den Winkel α bestimmt.
Man bezeichnet ein solches
Streckenverhältnis als eine Funktion des
Winkels α und zwar als
trigonometrische Funktion von α . Dadurch
ist die Möglichkeit gegeben, gesuchte Winkel durch Streckenverhältnisse auszudrücken.
Auf diese Weise kommt man über die metrische Geometrie der Ebene, die hauptsächlich
nur Beziehungen zwischen Strecken kennt, hinaus – man denke an die Satzgruppe des Pythagoras, die nur
Aussagen über Beziehungen zwischen Strecken macht – zur Trigonometrie als neuen Wissenzweig.
A5100-Trigonometrie
Einführung
B. Willimann
24.09.2006
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Mathematik
Trigonometrie
Definition der trigonometrischen Funktionen
Definition der trigonometrischen Funktionen
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Das Seitenverhältnis Gegenkathete zu Hypothenuse wird als der
a
Sinus des Winkels α bezeichnet: sin α =
c
Das Seitenverhältnis Ankathete zu Hypothenuse wird als der
b
Cosinus des Winkels α bezeichnet: cos α =
c
Das Seitenverhältnis Gegenkathete zu Ankathete wird als der
a
Tangens des Winkels α bezeichnet: tan α =
b
Das Seitenverhältnis Ankathete zu Gegenkathete wird als der
b
Cotangens des Winkels α bezeichnet: cot α =
a
Das Seitenverhältnis Hypothenuse zu Ankathete wird als der
c
Secans des Winkels α bezeichnet: sec α =
b
Das Seitenverhältnis Hypothenuse zu Kathete wird als der
c
Cosecans des Winkels α bezeichnet: co sec α =
a
(Steigung)
Anmerkungen:
1. Die letzten beiden trigonometrischen Funktionen sind seit längerem nicht mehr gebräuchlich.
2. In früheren Lehrmitteln waren auch noch die Abkürzungen
a
a
für tan α =
und
b
b
b
b
ctgα = für cot α = zu finden – heute üblich sind durchgehend dreistellige Bezeichnungen
a
a
t gα =
für die Winkelfunktionen: sin, cos, tan, und cot.
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Definition der trigonometrischen Funktionen
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Trigonometrie
Konstruktive Ermittlung der Werte trigonometrischer
Funktionen spitzer Winkel - Übung
Zeichnen Sie mit Hilfe des Transporteurs Winkel der Grösse α = 10o, 20o, . . ., 80o,
fällen Sie von einem beliebigen Punkt auf dem einen Schenkel das Lot auf den
anderen, messen Sie in dem entstandenen rechtwinkligen Dreieck die Katheten a und
b und die Hypothenuse c und bestimmen Sie dann rechnerisch in der folgenden
Tabelle für diese Winkel die Seitenverhältnisse des Sinus, Kosinus, Tangens und
Kotangens - auf 2 Stellen nach dem Komma:
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Konstruktive Ermittlung der Werte
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trigonometrischer Funktionen spitzer Winkel - Übung
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Trigonometrie
Konstruktive Ermittlung der Werte trigonometrischer
Funktionen spitzer Winkel - Übung
Messen Sie für jeden Winkel die angegebenen Strecken in mm und bilden Sie die
Verhältnisse für die Winkelfunktionen: (Tabelle 1)
a
b
a
b
aα
bα
cα
sin α =
cos α =
tan α =
cot α =
c
c
b
a
0o
10o
20o
30o
40o
50o
60o
70o
80o
90o
Übertragen Sie nun die Verhältnisse in diese Tabelle und rechnen Sie rückwärts den
Winkel aus: (Tabelle 2)
sin α =
a
c
α
cos α =
b
c
α
tan α =
a
b
α
0o
10o
20o
30o
40o
50o
60o
70o
80o
90o
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Konstruktive Ermittlung der Werte
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trigonometrischer Funktionen spitzer Winkel - Übung
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Trigonometrie
Die Grafen der trigonometrischen Funktionen
spitzer Winkel - Übung
Zeichnen Sie nun mit den Daten aus Tabelle 1 die Graphen der Winkelfunktionen von
0o bis 90o:
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Die Grafen der trigonometrischen Funktionen
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Trigonometrie
Die Grafen der trigonometrischen Funktionen
spitzer Winkel - Lösung
Lösung:
Der Verlauf der trigonometrischen Funktionen sin, cos, tan und cot von 0o bis 90o:
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Die Grafen der trigonometrischen Funktionen
spitzer Winkel - Lösung
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