Smullyan

Einführung in die Aussagenlogik
Christa Polaczek
Fachbereich Luft- und Raumfahrttechnik, FH Aachen
August 2009
MathePlusAaChen
Inhalt
1. Einführung
3
2. Aussagen und Operationen mit Aussagen
5
2.1 Der mathematische Begriff der Aussage
5
2.2 Wahrheitswerttafel
7
2.3 Die Negation
7
2.4 Verknüpfung zweier Aussagen
9
2.5 Zusammenfassung der aussagenlogischen Verknüpfungen
12
2.6 Zusammengesetzte Aussagen
13
3. Regeln und Normalform
14
3.1 Rechenregeln
14
3.2 Regeln für aussagenlogische Verknüpfungen
15
3.3 Die konjunktive und die disjunktive Normalform
16
4. Quantoren
20
4.1 Der Allquantor
20
4.2 Der Existenzquantor
21
5. Boolesche Algebra
23
6. Das Dualsystem
24
6.1 Zahldarstellung
24
6.2 Rechnen im Dualsystem
26
7. Aufgaben
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28
2
1. Einführung
Wir schauen uns zwei Aufgaben an und vergleichen die Lösungswege.
Aufgabe 1:
Eine Anzahl Leute kaufte gemeinsam eine Menge Waren. Hätte jeder von Ihnen 8€ bezahlt,
so wären es 3€ zuviel gewesen, hätte dagegen jeder 7€ entrichtet, so wären es 4€ zu wenig
gewesen. Wie viele Personen waren es und was kostet die gekaufte Warenmenge?
Aufgabe 2: (Smullyan, Raymond: Wie heißt dieses Buch?, Friedr. Vieweg&Sohn, 1981)
In welchem der drei unten markierten Kästchen liegt das erwähnte Bild, wenn höchstens eine
der drei aufgedruckten Aussagen wahr ist?
Gold
Silber
Das Bild ist in
diesem Kästchen
Das Bild ist nicht
in diesem
Kästchen
Blei
Das Bild ist
nicht in dem
goldenen
Kästchen
Bei der ersten Aufgabe sind die gesuchten Lösungen Zahlen und die Vorgaben werden
ebenfalls über Zahlen beschrieben. Natürlich könnten wir für kleine Zahlen zunächst einmal
eine Tabelle erstellen:
Anzahl der
Personen
1
2
3
Summe1, wenn
jeder 8€ bezahlt
8€
16€
24€
Summe1-3€
5€
13€
21€
Summe2, wenn
jeder 7€ bezahlt
7€
14€
21€
Summe2+4€
11€
18€
25€
Diese Tabelle können wir so lange fortsetzen, bis die Beträge in der 3. und 5. Spalte
übereinstimmen und den Preis der gekauften Ware liefert. Die gefragte Anzahl der Personen
lesen wir ab.
Für Zahlen kennen wir aber auch Rechenoperationen. Dadurch wird es möglich, die
gesuchten Zahlen als unbekannte Größen, zum Beispiel x und y, anzusetzen.
x: Anzahl der Leute
y: Preis der Ware in €
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3
Bekannte Rechenoperationen liefern aus den vorgegebenen Bedingungen Gleichungen für die
gesuchten Zahlen.
Hätte jeder von Ihnen 8€ bezahlt, so wären es 3€ zuviel gewesen
(1) 8 ⋅ x = y + 3
hätte dagegen jeder 7€ entrichtet, so wären es 4€ zu wenig gewesen:
(2) 7 ⋅ x = y − 4
Nun kennen wir zusätzlich noch Rechenregeln und können damit schließlich die gesuchten
Zahlen ohne Ausprobieren ermitteln.
Wir ziehen die Gleichung (2) von der Gleichung (1) ab und erhalten:
(3) = (1) – (2) x = 7
Wir setzen x = 7 in die Gleichung (1) ein und erhalten:
(4) 56 = y + 3
Wir subtrahieren 3 auf beiden Seiten der Gleichung (4). Dies liefert:
(5) y = 53
Die Lösung der Aufgabe lautet also:
Es waren 7 Leute und die gekaufte Ware kostete 53€.
Auf dem rechnerischen Wege erhalten wir zusätzlich die Information, dass es keine weiteren
Lösungen gibt. Die Eindeutigkeit der Lösung konnte über das Probieren ohne weitere
Rechnung nicht begründet werden.
Bei der zweiten Aufgabe lässt sich die gesuchte Lösung zunächst nicht durch eine Zahl
angeben. Die gesuchte Lösung ist eine Aussage. Eine Lösung der Aufgabe durch Probieren ist
wie bei der ersten Aufgabe möglich. Wir könnten für jedes der drei Kästchen überprüfen, wie
viele der aufgedruckten Aussagen wahr sind, wenn das Bild in diesem Kästchen liegt. In
diesem Fall ist auch die Eindeutigkeit der Lösung klar, da es nur endlich viele Fälle für die
Wahrheitswerte der Aussagen gibt.
Das Bild liegt im
Kästchen
Gold
Silber
Blei
Wahrheitswert der
Aussage
Wahrheitswert der
Aussage
Wahrheitswert der
Aussage
Das Bild ist im
goldenen Kästchen
Das Bild ist nicht im
silbernen Kästchen
wahr
falsch
falsch
wahr
falsch
wahr
Das Bild ist nicht in
dem goldenen
Kästchen
falsch
wahr
wahr
Werden unsere Probleme umfangreicher, so kann das Ausprobieren aber ein hoffnungsloses
Unterfangen werden. Um ein ähnlich schlankes Lösungsverfahren wie bei der ersten Aufgabe
zu erhalten, müssten wir den Rechenoperationen und Rechenregeln Vergleichbares für
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Aussagen zur Verfügung haben. Bevor wir mit Aussagen ähnlich wie mit Zahlen „rechnen“
können, müssen wir auch noch klären, was denn eine Aussage überhaupt ist.
2. Aussagen und Operationen mit Aussagen
2.1. Der mathematische Begriff der Aussage
Eine Aussage A ist eine Zeichenfolge, der eindeutig ein Wahrheitswert w (wahr) oder
f (falsch) zugeordnet werden kann.
Wir können eine Aussage mit einem Schalter vergleichen, der entweder eingeschaltet ist (w)
oder ausgeschaltet ist (f). Ebenso können wir uns ein Bauteil vorstellen, das funktionstüchtig
(w) oder defekt (f) sein kann.
Beispiele für Aussagen:
A : Das Innere des Planeten Uranus besteht aus Vanillepudding.
B : 3 ⋅ 4 = 17
C: Der Schalter S1 ist ausgeschaltet.
S1
S2
Gegenbeispiele für Aussagen:
D : 25 2
E : Der Barbier von Sevilla rasiert genau diejenigen Leute, die sich nicht selber rasieren.
F : Welcher Schalter ist ausgeschaltet?
Die Aussagenlogik beschäftigt sich mit Aussagen. Damit liegen wir zunächst viel näher an
unserer Alltagserfahrung als mit den Zahlen. Jeden Satz, den wir sprechen oder hören,
empfinden wir intuitiv als Aussage. Wir betrachten eine Aussage überhaupt nur dann als
sinnvoll, wenn sie eine Bedeutung besitzt. „Knusi buselt.“ ist zunächst schwerlich als Aussage
zu verstehen. Dieser sprachlichen Bedeutungsebene wollen wir im Folgenden eine
untergeordnete Rolle zuweisen. Als Beispiele werden vorwiegend mathematische Aussagen
betrachtet. Denn die Aussagenlogik beschäftigt sich nicht mit der Entscheidung ob eine
elementare Aussage wahr oder falsch ist. Die Sinnhaftigkeit einer Aussage wird nicht weiter
diskutiert. Es wird vielmehr darum gehen, welchen Wahrheitswert Aussagen besitzen, die aus
anderen Aussagen, deren Wahrheitswert wir kennen, zusammengesetzt sind. Auch bei den
Zahlen beschäftigen wir uns weniger damit, was eine Zahl ist, als vielmehr damit, wie man
mit ihr rechnen kann. Das Abstraktionsniveau, auf dem wir arbeiten werden, soll durch den
Vergleich mit den Zahlen in der folgenden Übersicht klargestellt werden.
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5
Ebene
Bedeutung
(Semantik):
Aussagen
Bei einer Aussage „Ein Klavier ist ein
Musikinstrument“ werden die Worte
„Klavier“ und „Musikinstrument“ mit
zahlreichen Erfahrungen verbunden.
Diese Erfahrungen geben der Aussage
eine „Bedeutung.“ Der Wahrheitswert
einer Aussage ist für uns zunächst
untrennbar von dieser Erfahrungswelt.
Aussagen können einen Namen
Bezeichnung Zahlen können einen Namen wie
x, y oder a erhalten. Dabei sagt der erhalten: A, B, C. Dabei können auch
hier Aussagen mit verschiedenen
Name zunächst nichts über den
Namen gleiche Wahrheitswerte
Wert der Zahl aus. Verschiedene
besitzen. Diese Namensgebung wird
Namen implizieren nicht, dass
ebenfalls die Möglichkeit eröffnen,
auch die Werte der bezeichneten
allgemeine Gesetze für Aussagen zu
Zahlen verschieden sind. Die
formulieren.
Namensgebung ermöglicht es,
über die Lösung konkreter
Aufgabenstellungen hinaus
allgemeine Gesetze wie
a + b = b + a aufzustellen.
Wert
Zahlen
Die Zahlen, mit denen gerechnet
wird, stellen im Rahmen der
Aufgabe eine Menge von
Menschen oder einen Geldbetrag
dar. Weder die Menge von
Menschen noch der Geldbetrag
sind die Zahlen.
Grundsätzlich stehen für Zahlen
unendlich viele Werte zur
Verfügung. Wir können eine Zahl
konkret durch ihren Wert wie zum
Beispiel 3 oder 4 angeben. Eine
Zahl kann aber auch, ohne sich auf
ihren Wert festzulegen, durch
einen Namen wie x oder y
angegeben werden. Eine Aufgabe
kann darin bestehen, dass wir dann
den konkreten Wert dieser Zahl
suchen.
Eine Aussage kann lediglich zwei
Werte annehmen: wahr (w) oder falsch
(f).
Hier besteht ein wesentlicher
Unterschied zu den Zahlen, bei denen
unendlich viele Werte zur Verfügung
stehen. Insbesondere lassen sich in
einem viel größeren Umfang Aufgaben
durch das Testen aller Möglichkeiten
lösen.
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2.2. Wahrheitswerttafel
Bei der Lösung der beiden Aufgaben in der Einführung haben wir bereits gesehen, dass eine
tabellarische Auflistung für Aussagen endlich sein kann. Es ist möglich – im Gegensatz zu
den Zahlen – alle Kombinationsmöglichkeiten der Wahrheitswerte für eine endliche Anzahl
von Aussagen anzugeben.
Eine Tabelle, in der für eine endliche Anzahl von Aussagen die Kombinationsmöglichkeiten
der Wahrheitswerte angegeben werden, heißt Wahrheitswerttafel.
Beispiele: Die Wahrheitswerttafeln für eine oder zwei Aussagen sehen wie folgt aus:
A
w
f
A
w
w
f
f
B
w
f
w
f
Bei einer elektrischen Schaltung würden wir die Wahrheitswerttafel als Auflistung der
Kombinationsmöglichkeiten für die Stellungen der vorhandenen Schalter ansehen.
2.3. Die Negation
Mathematische Betrachtungen sind immer wie folgt aufgebaut:
•
Wir betrachten bestimmte Objekte wie Zahlen oder Aussagen.
•
Wir sagen, welche Verknüpfungen dieser Objekte möglich sind. In der Mathematik
nennen wir das auch Operationen. Bei den Zahlen sind das im Wesentlichen die
Grundrechenarten +, -, *. : . Die Operationen für Aussagen können über
Wahrheitswerttafeln angegeben werden.
•
Wir geben Regeln an, die für diese Operationen gelten.
Dies soll exemplarisch am Beispiel der Zahlen erläutert werden:
Objekte:
Zahlen
Operation:
als Beispiel sei die Addition angeführt.
Das Ergebnis der Addition zweier Zahlen ist wieder eine Zahl. Sind a und b
Zahlen, so schreiben wir für das Ergebnis der Addition dieser Zahlen: a+b
Rechenregel: als Beispiel sei das Kommutativgesetz angeführt.
Für alle Zahlen a, b gilt: a+b = b+a
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Die erste Operation für Aussagen ist die Negation (Verneinung) einer Aussage.
Durch die Negation wird eine Aussage A in eine Aussage ¬A überführt, die genau den
umgekehrten Wahrheitswert wie A besitzt.
Wahrheitswerttafel für die Negation:
A
w
f
¬A
f
w
Solange keine weiteren Verknüpfungen für Aussagen vorliegen ist das einzig Bedenkenswerte
zur Negation, dass ¬(¬A) wieder denselben Wahrheitswert wie die ursprüngliche Aussage A
besitzt.
Beispiel:
Auf Seite 2 wurde eine Tabelle aufgestellt, um Aufgabe 2 aus der Einführung zu lösen. Nun
sind wir in der Lage, diese Lösung mit den Begriffen der Aussagen und ihren Negationen in
einer Wahrheitswerttafel darzustellen. Wir hatten es mit folgenden Aussagen zu tun:
A: Das Bild ist im goldenen Kästchen
B: Das Bild ist im silbernen Kästchen
C: Das Bild ist im bleiernen Kästchen
Wir wissen zusätzlich, dass genau eine der Aussagen A, B oder C wahr ist. Dies geht aus der
Aufgabenstellung hervor. Des weiteren sind auf den Kästchen drei Aussagen aufgedruckt,
von denen höchstens eine wahr sein darf:
Goldenes Kästchen: A
Silbernes Kästchen: ¬ B
Bleiernes Kästchen: ¬ A
Die Wahrheitswerttafel löst die Aufgabe:
A
w
f
f
B
f
w
f
C
f
f
w
A
w
f
f
¬B
w
f
w
¬A
f
w
w
Nur in der zweiten Zeile wird die geforderte Bedingung erfüllt. Die Aussage B ist wahr.
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2.4. Verknüpfungen zweier Aussagen
Alle Dinge im Leben werden erst dann interessant, wenn sie in Beziehung zueinander treten.
Zahlen treten in Beziehung zueinander, wenn wir mit ihnen rechnen. Dabei gibt es
Grundrechenarten, die jeweils zwei Zahlen miteinander verbinden: Die Addition und die
Multiplikation. Wenn x und y Zahlen sind, so ist x + y wieder eine Zahl. Ebenso liefert x ⋅ y
eine neue Zahl. Für Zahlen liefern die 1 + 1 -Tafeln und die 1× 1 - Tafeln die Werte dieser
neuen Zahlen. Da die möglichen Werte für Zahlen aus einer unendlichen Menge stammen,
wird als Beispiel nur ein kleiner Ausschnitt der 1× 1 - Tafel angegeben:
x
2
2
2
2
x ⋅ y
2
6
8
12
y
1
3
4
6
Abgesehen von ihren Ausmaßen entsprechen die Rechentafeln ansonsten den
Wahrheitswerttafeln. Bei Verknüpfungen von Aussagen können wir den Wahrheitswert für
das „Ergebnis der Rechnung“ vermöge Wahrheitswerttafeln angeben. Wir geben vorne die
Werte der Ausgangsgrößen an und lesen hinten die Werte der zusammengesetzten Größen ab.
Disjunktion
A
w
w
f
f
Konjunktion
B
w
f
w
f
A∨ B
w
w
w
f
Wir sagen: A oder B
A
w
w
f
f
B
w
f
w
f
A∧ B
w
f
f
f
Wir sagen: A und B
Bemerkungen zur Konjunktion:
Diese Bezeichnung ist der lateinischen Sprache entlehen:
coniungere „zusammenspannen“. Die Konjunktion kennen wir bereits aus der Grammatik der
Deutschen Sprache. Das Wort und ist eine Konjunktion. Interessanterweise ist in der
Grammatik das Wort oder eine disjunktive Konjunktion. Wir wollen uns dadurch nicht
verwirren lassen.
In der Aussagenlogik erhalten wir vermöge der Konjunktion aus zwei alten Aussagen A, B
eine neue Aussage C: A ∧ B. Diese neue Aussage ist genau dann wahr, wenn sowohl A als
auch B wahr sind. Dies entspricht völlig unserem natürlichen Sprachempfinden.
Durch die Konjunktion können wir auch die Funktionsweise einer elektrischen
Reihenschaltung darstellen. Sind zwei Schalter in Reihe geschaltet, so fließt genau dann
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Strom, wenn beide Schalter eingeschaltet sind. Wir kennen dies von der Lichterkette: Wenn
ein Lämpchen ausgedreht wird, gehen alle Lampen aus.
Bemerkungen zur Disjunktion:
Wer Latein gelernt hat, assoziiert gleich disiungere „trennen, unterscheiden“. Die Vorsilbe
„Dis“ schlägt sich in unserer deutschen Sprache noch in Worten nieder, die etwas bezeichnen,
das Unterschiede hervorhebt. Zum Beispiel die „Diskussion“.
(Zur Notation als Eselsbrücke: vel ist das lateinische Wort für „oder“)
Durch die Disjunktion erhalten wir aus zwei alten Aussagen A, B eine neue Aussage
C: A ∨ B. Diese neue Aussage ist genau dann wahr, wenn wenigstens eine der alten Aussagen
wahr ist. Die Aussage „A oder B“ ist dann und nur dann falsch, wenn sowohl A als auch B
falsch sind. Dies stimmt nicht ganz mit unserem Sprachempfinden überein. Im Alltag
benutzen wir das einfache „oder“ oft im Sinne der Wendung „entweder….oder…“. Wenn
jemand sagt: „Ich habe Kartoffeln oder Schnitzel gegessen“, dann ist unsere gewöhnliche
Vorstellung, dass er eines von Beidem aber nicht Beides gegessen hat. In der Mathematik
haben wir es jedoch häufig damit zu tun, dass von zwei Möglichkeiten eine oder beide
zutreffend sind. Wollen wir zum Beispiel die Punkte ( x , y ) auszeichnen, die auf den
Koordinatenachsen liegen, so sind dies genau die Punkte, für die gilt: x = 0 ∨ y = 0 . Hier
gehört dann auch der Punkt ( x , y ) = ( 0 , 0 ) dazu, für den Beides gilt.
Auch in der Elektrotechnik ist die Disjunktion zu bevorzugen, denn hierdurch wird die
Funktionsweise einer elektrischen Parallelschaltung dargestellt. Sind zwei Schalter parallel
geschaltet, so fließt genau dann Strom, wenn einer der Schalter eingeschaltet ist. Nur wenn
beide Schalter ausgeschaltet sind, fließt kein Strom. Im Haushalt sind dementsprechend die
verschiedenen elektrischen Geräte parallel geschaltet.
Der Sachverhalt, dass genau eine von zwei Aussagen gilt, wird natürlich auch durch eine
Wahrheitswerttafel wiedergegeben:
A
w
w
f
f
B
w
f
w
f
A∨ B
f
w
w
f
Wir nennen diese Verknüpfung das exklusive Oder (XOR).
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Die Subjunktion (Implikation)
„Wenn Sie heute bei KPM einkaufen, so erhalten Sie alles zum halben Preis.“
Mit diesem Satz wird eine weitere wichtige Verknüpfung von Aussagen vorgestellt,
die auch im Alltag häufig auftritt. Ähnlich wie bereits beim „oder“ wird auch beim „wenn“
umgangssprachlich nicht sauber gegen eine andere Verknüpfung - dem „genau dann, wenn“ abgegrenzt. Schauen wir uns dafür zum Vergleich einen zweiten Satz an:
„Wenn Sie wenigstens 50% der Aufgaben richtig gelöst haben, gilt Ihre Klausur als bestanden.“
Der Satz: „Wenn Sie heute bei KPM einkaufen, so erhalten Sie alles zum halben Preis.“
schließt zunächst einmal nicht aus, dass man auch an einem anderen Tag alles im KPM zum
halben Preis erhält.
Demgegenüber schließt der Satz „Wenn Sie wenigstens 50% der Aufgaben richtig gelöst
haben, gilt Ihre Klausur als bestanden.“ im Allgemeinen aus, dass Ihre Klausur auch dann als
bestanden gilt, wenn Sie die Voraussetzung nicht erfüllen. Hier könnte man auch sagen: „Ihre
Klausur gilt genau dann als bestanden, wenn Sie wenigstens 50% der Aufgaben richtig
gelöst haben“
Die Verknüpfungen „wenn“ und „genau dann, wenn“ müssen in der Aussagenlogik sauber
auseinander gehalten werden. Sie werden durch zwei verschiedene Verknüpfungen
dargestellt.
Subjunktion
A
w
w
f
f
B
w
f
w
f
A→ B
w
f
w
w
Wir sagen: Wenn A so B, dabei heißt A die Prämisse und B die Konklusion.
Wir können feststellen, dass die Aussage A → B genau dann wahr ist, wenn A den
Wahrheitswert f besitzt - und damit ¬ A wahr ist - oder wenn B den Wahrheitswert w besitzt.
Dies bestätigt die folgende Wahrheitswerttafel:
A
w
w
f
f
B
w
f
w
f
¬A
f
f
w
w
B
w
f
w
f
A↔ B
w
f
f
w
( ¬ A) ∨ B
w
f
w
w
Bijunktion
A
w
w
f
f
Wir sagen: Genau dann A, wenn B.
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Umgangssprachlich unterscheiden wir oft die Bijunktion nicht von der Subjunktion. Im Alltag
ist aus dem Zusammenhang meistens klar, was gemeint ist. Ein Satz wie: „Wenn Du mir das
Geld dafür gibst, bringe ich Dir vom Bäcker ein Brötchen mit.“ meint: „Ich bringe Dir genau
dann vom Bäcker ein Brötchen mit, wenn Du mir das Geld dafür gibst.“ (sonst nicht)
Demgegenüber schließt der Satz: „Wenn ich den Ferienjob bekomme, kann ich mir ein neues
Handy kaufen.“ nicht aus, dass der Betroffenen sich das neue Handy auch dann kaufen wird,
wenn er den Ferienjob nicht bekommt.
In der Alltagssprache wird die Bedeutung der sprachlichen Wendung aus dem Kontext klar.
In der Mathematik wollen wir Zusammenhänge feststellen, die später auf verschiedene
Kontexte übertragbar sind. Von daher müssen wir präzise zwischen der Subjunktion und der
Bijunktion unterscheiden.
2.5. Zusammenfassung der aussagenlogischen Verknüpfungen
Bevor wir aussagenlogische Verknüpfungen weiter zusammensetzen, wollen wir nochmals
zusammenfassen, welche elementaren Verknüpfungen wir bereits kennen:
A
w
w
f
f
B
w
f
w
f
¬A
f
f
w
w
¬B
f
w
f
w
A∨ B
w
w
w
f
A∧ B
w
f
f
f
A→ B
w
f
w
w
A↔ B
w
f
f
w
Dabei kann auffallen, dass es nur endlich viele verschiedene Möglichkeiten gibt, die
Ergebnisspalte für die Verknüpfung zweier Aussagen zu belegen. Egal wie kompliziert zwei
Aussagen durch verschiedene Verknüpfungen zusammengesetzt werden, muss im
Endergebnis immer eine dieser Belegungen erscheinen. Sie sollten sich selber einmal eine
Tabelle aller möglichen Belegungen der Ergebnisspalte zusammenstellen und überlegen,
durch welche (zusammengesetzten) Aussagen diese Ergebnisse erreicht werden.
Berücksichtigen Sie dabei, dass bei der Zusammensetzung nicht unbedingt beide Aussagen
optisch erscheinen müssen.
Die oben angeführten Verknüpfungen werden in mathematischen Zusammenhängen so oft
benötigt, dass sie einen eigenen Namen bekommen. Tatsächlich reichen die Negation und die
Konjunktion oder die Negation und die Disjunktion aus, um alle möglichen
aussagenlogischen Verknüpfungen durch zusammengesetzte Aussagen zu produzieren.
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2.6. Zusammengesetzte Aussagen
Genauso wie x + y und x ⋅ y neue Zahlen sind, mit denen wir weiterrechnen können, sind
A ∨ B und A ∧ B wieder selber Aussagen, die wir untereinander und mit anderen Aussagen
verknüpfen können. Zwischen Zahlen, die nach komplizierten Rechnungen entstanden sind,
können wir eine Identität mit dem Gleichheitszeichen formulieren. Es gilt zum Beispiel:
x ⋅ ( y + z ) = x ⋅ y + x ⋅ z . Auch für Aussagen sollten wir eine entsprechende Identität angeben
können.
Die Äquivalenz von Aussagen
Zwei zusammengesetzte Aussagen C und D sind genau dann äquivalent, wenn ihre
Wahrheitswerte bei jeder möglichen Belegung der elementaren Aussagen, aus denen sie
zusammengesetzt sind, übereinstimmen. Schreibweise: C ⇔ D
Hierfür soll als Beispiel die Negation der Disjunktion angegeben werden:
¬( A ∨ B ) ⇔ (¬A) ∧ (¬B )
A
w
w
f
f
B
w
f
w
f
¬A
f
f
w
w
¬B
f
w
f
w
A∨B
w
w
w
f
C
(¬A) ∧ (¬B )
f
f
f
w
D
¬( A ∨ B )
f
f
f
w
Die Tautologie und die Kontradiktion
„Kräht der Hahn auf dem Mist, ändert sich das Wetter oder es bleibt wie es ist.“ Mit dieser
Behauptung kann man nichts verkehrt machen, denn die Aussage „Das Wetter ändert sich
oder es bleibt wie es ist“ ist von der Form A ∨ ¬A und damit immer wahr.
Eine Aussage, die nur den Wahrheitswert w annehmen kann, nennen wir Tautologie.
Entsprechend zeichnen wir Aussagen aus, die einen Widerspruch in sich enthalten.
Eine Aussage, die nur den Wahrheitswert f annehmen kann, nennen wir Kontradiktion
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3. Regeln und Normalform
3.1. Rechenregeln
Wie bisher greifen wir auf den Vergleich mit den Zahlen zurück:
Wollen wir viele Zahlen verrechnen, so müssen wir eindeutig angeben, in welcher
Reihenfolge die Rechenoperationen stattzufinden haben. Schließlich ist das Ergebnis einer
Addition etwas anderes als das Ergebnis einer Multiplikation. Es gilt: 3 + 4 ⋅ 5 = 23 , aber
(3 + 4) ⋅ 5 = 35 . Nun schauen wir uns die folgende Rechenanweisung an:
(3 + (7 + ((6 + 5) + (4 + ((5 + 2))))))
Einerseits sagen uns die Klammern deutlich, in welcher Reihenfolge diese Rechnung
abzuarbeiten ist:
(3 + (7 + ((6 + 5) + (4 + (5 + 2 ))))) = (3 + (7 + ((6 + 5) + (4 + 7 )))) =
(3 + (7 + (11 + 11))) = (3 + (7 + 22 )) = (3 + 29 ) = 32
Andererseits ist der Ausdruck schier unleserlich und jeder weiß, dass die obige Rechnung auf
anderem Wege viel einfacher durchzuführen ist:
3 + 7 + 6 + 5 + 4 + 5 + 2 = 3 + 7 + 6 + 4 + 5 + 5 + 2 = (3 + 7 ) + (6 + 4) + (5 + 5) + 2 = 32
Statt streng nach den vorgegebenen Klammern zu addieren, erlauben wir uns im ersten
Schritt, Summanden zu vertauschen. Danach fassen wir erst einmal die Summanden, die volle
Zehner ergeben zusammen und addieren jeweils diese zwei Summanden. Dass dieser Trick
immer zum richtigen Ergebnis führt, liegt an folgenden Rechenregeln, die ebenfalls für die
Multiplikation gelten:
Das Assoziativgesetz:
(x + y ) + z = x + ( y + z )
sowie ( x ⋅ y ) ⋅ z = x ⋅ ( y ⋅ z )
Das Kommutativgesetz:
a + b = b + a sowie a ⋅ b = b ⋅ a
Bei den Zahlen steht uns zusätzlich noch eine Rechenregel zur Verfügung, die die
Multiplikation und die Addition miteinander verbindet:
Das Distibutivgesetz:
a ⋅ (b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c
Wenn wir vergleichbare Gesetze auch für die aussagenlogischen Funktionen erhalten, wird
nicht nur die Formulierung, sondern auch die Abarbeitung zusammengesetzter Ausdrücke
leichter.
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3.2. Regeln für aussagenlogische Verknüpfungen:
Assoziativgesetz
( A ∨ B ) ∨ C ⇔ A ∨ (B ∨ C )
( A ∧ B ) ∧ C ⇔ A ∧ (B ∧ C )
Kommutativgesetz
A∨ B ⇔ B ∨ A
A∧ B ⇔ B∧ A
Distributivgesetz
A ∧ (B ∨ C ) ⇔ ( A ∧ B ) ∨ ( A ∧ C )
A ∨ (B ∧ C ) ⇔ ( A ∨ B ) ∧ ( A ∨ C )
Regeln von de Morgan
¬( A ∧ B ) ⇔ (¬A) ∨ (¬B )
¬( A ∨ B ) ⇔ (¬A) ∧ (¬B )
Alle Regeln für aussagenlogische Verknüpfungen lassen sich über Wahrheitswerttafeln
beweisen. Als Beispiel sei das Assoziativgesetz für die Disjunktion angegeben:
A
w
w
w
w
f
f
f
f
B
w
w
f
f
w
w
f
f
C
w
f
w
f
w
f
w
f
A∨B
w
w
w
w
w
w
f
f
B∨C
w
w
w
f
w
w
w
f
(A ∨ B) ∨ C
w
w
w
w
w
w
w
f
A ∨ (B ∨ C)
w
w
w
w
w
w
w
f
Führen Sie den Beweis für die restlichen Regeln selber durch.
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3.3 Die konjunktive und die disjunktive Normalform
Mit den bisherigen Ergebnissen können wir für eine beliebig kompliziert zusammengesetzte
Aussage – sofern die Zeit ausreicht – alle möglichen Wahrheitswerte bei vorgegebenen
Belegungen ermitteln. Wir stellen uns nun die Frage, ob es auch andersherum möglich ist,
eine zusammengesetzte Aussage anzugeben, die eine vorgegebene Wahrheitswerttafel erfüllt.
Beispiel:
Gegeben sei die Wahrheitswerttafel:
A
w
w
w
w
f
f
f
f
B
w
w
f
f
w
w
f
f
C
w
f
w
f
w
f
w
f
D
w
w
f
f
f
w
f
w
Gesucht ist eine aus A, B sowie C zusammengesetzte Aussage D, die zur grauen Spalte passt.
Für jede einzelne Zeile der Wahrheitswerttafel können wir mit ∧ - Verknüpfungen eine
Aussage angeben, die genau dann wahr wird, wenn die Belegung dieser Zeile zutrifft und
sonst falsch ist. Für das obige Beispiel sind diese ∧ - Verknüpfungen in der folgenden Tabelle
eingetragen:
A
B
C
w
w
w
A∧B∧C
w
w
f
A ∧ B ∧ ( ¬ C)
w
f
w
A ∧ ( ¬ B) ∧ C
w
f
f
A ∧ ( ¬ B) ∧ ( ¬ C)
f
w
w
( ¬ A) ∧ B ∧ C
f
w
f
( ¬ A) ∧ B ∧ ( ¬ C)
f
f
w
( ¬ A) ∧ ( ¬ B) ∧ C
f
f
f
( ¬ A) ∧ ( ¬ B) ∧ ( ¬ C)
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Nun wählen wir diejenigen Zeilen aus, für die unsere gesuchte zusammengesetzte Aussage
wahr sein soll, und verbinden die dort in der letzten Spalte eingetragenen Aussagen mit einem
Oder:
A
B
C
D
w
w
w
w
w
w
f
w
A ∧ B ∧ ( ¬ C)
w
f
w
f
A ∧ ( ¬ B) ∧ C
w
f
f
f
A ∧ ( ¬ B) ∧ ( ¬ C)
f
w
w
f
( ¬ A) ∧ B ∧ C
f
w
f
w
( ¬ A) ∧ B ∧ ( ¬ C)
f
f
w
f
( ¬ A) ∧ ( ¬ B) ∧ C
f
f
f
w
( ¬ A) ∧ ( ¬ B) ∧ ( ¬ C)
A∧B∧C
Wir erhalten:
[ A ∧ B ∧ C ] ∨ [ A ∧ B ∧ ( ¬ C) ] ∨ [ ( ¬ A) ∧ B ∧ ( ¬ C) ] ∨ [ ( ¬ A) ∧ ( ¬ B) ∧ ( ¬ C) ]
Diese zusammengesetzte Aussage ist genau in den ausgewählten Fällen wahr und sonst
falsch. Daher ist sie zur gesuchten Aussage D äquivalent.
Eine Oder-Verknüpfung von Aussagen, die nur durch Konjunktionen und Negationen
elementarer Aussagen zusammengesetzt wurden, nennt man disjunktive Normalform.
Völlig analog kann für jede einzelne Zeile einer Wahrheitswerttafel mit ∨ - Verknüpfungen
eine Aussage angeben werden, die genau dann falsch wird, wenn die Belegung dieser Zeile
zutrifft und sonst wahr ist. Für das obige Beispiel sind diese ∨ - Verknüpfungen in der
folgenden Tabelle eingetragen:
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17
A
B
C
w
w
w
( ¬ A) ∨ ( ¬ B) ∨ ( ¬ C)
w
w
f
( ¬ A) ∨ ( ¬ B) ∨ C
w
f
w
( ¬ A) ∨ B ∨ ( ¬ C)
w
f
f
( ¬ A) ∨ B ∨ C
f
w
w
A ∨ ( ¬ B) ∨ ( ¬ C)
f
w
f
A ∨ ( ¬ B) ∨ C
f
f
w
A ∨ B ∨ ( ¬ C)
f
f
f
A∨B∨C
Diesmal greifen wir uns diejenigen Aussagen heraus, für die die gesuchte zusammengesetzte
Aussage falsch werden soll und verbinden diese mit Disjunktionen:
A
B
C
D
w
w
w
w
( ¬ A) ∨ ( ¬ B) ∨ ( ¬ C)
w
w
f
w
( ¬ A) ∨ ( ¬ B) ∨ C
w
f
w
f
( ¬ A) ∨ B ∨ ( ¬ C)
w
f
f
f
( ¬ A) ∨ B ∨ C
f
w
w
f
A ∨ ( ¬ B) ∨ ( ¬ C)
f
w
f
w
A ∨ ( ¬ B) ∨ C
f
f
w
f
A ∨ B ∨ ( ¬ C)
f
f
f
w
A∨B∨C
Die gesuchte Aussage D lautet also:
[ ( ¬ A) ∨ B ∨ ( ¬ C) ] ∧ [ ( ¬ A) ∨ B ∨ C ] ∧ [ A ∨ ( ¬ B) ∨ ( ¬ C) ] ∧ [ A ∨ B ∨ ( ¬ C) ]
Eine Und-Verknüpfung von Aussagen, die nur durch Disjunktionen und Negationen
elementarer Aussagen zusammengesetzt wurden, nennt man konjunktive Normalform.
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18
Da eine Oder- Verbindung durch die Negation und die Konjunktion ausgedrückt werden
kann:
(A ∨ B) ⇔ ¬ (( ¬ A) ∧ ( ¬ B)),
ist nun auch klar, dass alle aussagenlogischen Verknüpfungen allein durch die Negation und
die Konjunktion produziert werden können. Entsprechend gilt, dass die Negation und die
Disjunktion ausreichend sind, um alle aussagenlogischen Funktionen darzustellen. Denn es
kann auch andersherum die Konjunktion durch die Negation und die Disjunktion dargestellt
werden.
(A ∧ B) ⇔ ¬ (( ¬ A) ∨ ( ¬ B))
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19
4. Quantoren
In der Mathematik haben Sie es bereits häufig mit Zeichenfolgen der Form
„ x 2 − 7 ⋅ x − 8 = 0 “ oder „ x 2 ≥ 0 “
zu tun gehabt. Hierbei handelt es sich zunächst nicht um Aussagen. Wir können der
Gleichung keinen Wahrheitswert zuweisen. Erst wenn wir für die Variable x Zahlen
einsetzen, entsteht eine Aussage. Die obige Gleichung wird zu einer wahren Aussage, wenn
wir für x die Zahl (− 1) einsetzen. Dieselbe Gleichung wird eine falsche Aussage, wenn wir
wir für x die Zahl (+ 1) einsetzen. Dementsprechend wird die obige Ungleichung bei jeder
beliebigen Wahl einer reellen Zahl für x in eine wahre Aussage überführt.
Eine Zeichenfolge, die variable Größen x1 , x 2 , L x n enthält und durch Belegung dieser
Variablen in eine Aussage überführt wird, nennen wir Aussageform.
Wir können die Zeichenfolgen „ x 2 − 7 ⋅ x − 8 = 0 “ oder „ x 2 ≥ 0 “ auch ohne Einsetzen
konkreter Variablen zu Aussagen ergänzen:
„Es gibt eine reelle Zahle x, für die gilt: x 2 − 7 ⋅ x − 8 = 0 .“
„Für alle reellen Zahlen x gilt: x 2 ≥ 0 .“
Aussagen dieser Form spielen in der Mathematik eine wichtige Rolle und werden oft auch in
verschachtelten Kombinationen benötigt. Hierfür ein Beispiel:
„Für jede reelle Zahl x gibt es eine reelle Zahl y, so dass: y = 3 ⋅ x + 2 .“
Bei komplexeren Zusammenhängen kann ein unleserlicher Bandwurmsatz entstehen. Um die
Beziehungen der beteiligten Variablen eindeutig darzustellen und leserlich zu halten, führen
wir die Quantoren ein.
4.1. Der Allquantor
Es sei A( x ) eine Aussageform.
∀ x ∈ M : A( x )
bedeutet: Für alle x ∈ M gilt A( x ) .
Diese Aussage ist genau dann wahr, wenn A( x ) für alle Belegungen der Variablen x mit
Elementen aus M wahr wird. Diese Aussage wird falsch, wenn es auch nur ein einziges
Element aus M gibt, für dass A( x ) falsch ist.
∀ heißt Allquantor.
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20
Bemerkung: Ist M eine Menge mit endlich vielen Elementen, so könnte der Allquantor auch
durch eine Kette von und-Verbindungen geschrieben werden. Hier ein einfaches Beispiel:
A( x ) : x 2 − 7 ⋅ x − 8 = 0
∀ x ∈ M : A( x ) ⇔
M = { − 1, 8
}
[ A(− 1) ∧ A(8) ]
Daher findet sich in der Literatur auch häufiger die Schreibweise
∧
für den Allquantor.
x∈M
Hier soll jedoch das umgedrehte A benutzt werden.
4.2. Der Existenzquantor
Es sei A( x ) eine Aussageform.
∃ x ∈ M : A( x )
bedeutet: Es gibt ein x ∈ M , für das A( x ) gilt.
Diese Aussage ist genau dann wahr, wenn es wenigstens ein Element aus M gibt, für das A( x )
wahr ist. Diese Aussage ist genau dann falsch, wenn A( x ) für alle Belegungen der Variablen
x mit Elementen aus M falsch wird.
∃ heißt Existenzquantor.
Bemerkung: Ist M eine Menge mit endlich vielen Elementen, so könnte der Existenzquantor
auch durch eine Kette von oder-Verbindungen geschrieben werden. Hier ein einfaches
Beispiel:
A( x ) : x 2 − 7 ⋅ x − 8 = 0
∃ x ∈ M : A( x ) ⇔
M = { − 1, 5
}
[ A(− 1) ∨ A(5) ]
Daher findet sich in der Literatur auch häufiger die Schreibweise
∨
für den
x∈M
Existenzquantor. Hier soll jedoch das umgedrehte E benutzt werden.
Beispiel:
„Für jede reelle Zahl x gibt es eine reelle Zahl y, so dass: y = 3 ⋅ x + 2 .“
Lässt sich übersetzen als:
∀x ∈
: ∃ y∈
: y = 3⋅ x + 2
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21
Beachten Sie, dass die Reihenfolge der Quantoren eine wichtige Rolle spielt. Dreht man im
obigen Beispiel die Quantoren um, so erhält man eine völlig andere Aussage, die nunmehr
auch nicht mehr wahr ist:
∃x ∈
: ∀y ∈
: y = 3 ⋅ x + 2 bedeutet:
Es gibt eine reelle Zahl x, die für alle reelle Zahlen y erfüllt: y = 3 ⋅ x + 2 .
Dies ist nicht mehr wahr. Legen wir das x fest, so ist dadurch das y eindeutig bestimmt.
Demgegenüber ist die Aussage
∃x ∈
: ∃y∈
: y = 3 ⋅ x + 2 wahr.
Negation und Quantoren
Bei der Definition von Quantoren wurde die Negation von Quantoren bereits bemerkt. Hier
soll sie nochmals ausdrücklich angesprochen werden.
¬(∀ x ∈ M : A( x )) ⇔ ∃ x ∈ M : ¬A( x )
¬(∃ x ∈ M : A(x )) ⇔ ∀ x ∈ M : ¬A( x )
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5. Boolesche Algebra
George Boole (1815 – 1864) war ein englischer Mathematiken, der als Begründer der
formalen Logik gilt.
Wir haben bereits mit Aussagen „gerechnet“. Wenn wir den Wahrheitswert von Aussagen
statt mit w und f mit den Zahlen 1 (w) und 0 (f) belegen, kommen wir dem Rechnen mit
Zahlen noch näher. Wir schauen uns für diese Bezeichnung einmal die Wahrheitswertetafeln
an:
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
A∧ B
0
0
0
1
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
A∨ B
0
1
1
1
Mit Ausnahme des grau unterlegten Feldes, entsprechen diese Ergebnisse exakt den
Ergebnissen der Multiplikation und der Addition.
x
0
0
1
1
y
0
1
0
1
x
0
0
1
1
x· y
0
0
0
1
y
0
1
0
1
x+y
0
1
1
2
Boole behob diesen kleinen Unterschied, indem er statt der Rechenoperation x + y die
Rechnung ( x + y − x ⋅ y ) verwendet. Da alle aussagenlogischen Funktionen durch die
Grundoperationen Negation und Disjunktion (oder Negation und Konjunktion) dargestellt
werden können, benötigt man noch eine Rechnung für die Negation. Dies ist aber
offensichtlich 1-x. Wir stellen hierfür noch die Wahrheitswerttafel und die Rechentafel
gegenüber.
A
0
1
¬A
1
0
x
0
1
1-x
1
0
Wir hatten bereits gezeigt, dass für die logischen Verknüpfungen die gewöhnlichen
Rechenregeln Kommutativgesetz, Assoziativgesetz und Distributivgesetz gelten. Nun
können Probleme aus der Logik durch Rechnen gelöst werden und auch andersherum
Probleme des Rechnens durch Logik gelöst werden. Kenntnisse, die wir im Rahmen der einen
Theorie gewonnen haben, können wir dann in der anderen Theorie benutzen!
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23
6. Das Dualsystem (Binärsystem)
Bei der Booleschen Algebra haben wir gesehen, dass durch Rechnen mit Zahlen
aussagenlogische Verknüpfungen behandelt werden können. Wie aber sollen wir anders
herum aussagenlogische Verknüpfungen nutzen können, um mit Zahlen zu rechnen?
Schließlich können Zahlen unendlich viele Werte annehmen. Der Wertebereich unserer
Aussagen ist aber auch dann, wenn wir die Werte durch Zahlen darstellen, auf zwei Größen
beschränkt: Die Null und die Eins. Um zu verstehen, wie das funktionieren kann, wollen wir
uns zunächst auf natürliche Zahlen beschränken.
Seit jeher sind wir es gewöhnt, jede Zahl mit Hilfe einer endlichen Menge von Symbolen
darzustellen: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
6.1. Zahldarstellung
Das Grundprinzip unserer gewohnten Zahldarstellung beruht auf Päckchenpacken. Wir stellen
uns vor, wir hätten 324 Streichhölzer vor uns liegen. Wir bündeln so viele Pakete mit 10
Streichhölzern wie möglich und erhalten:
32 10-er Pakete und 4 einzelne Streichhölzer. Dahinter steckt die Rechnung:
324 : 10 = 34 Rest 4
oder andersherum:
324 = 32 ⋅ 10 + 4
Nun verfahren wir mit den Zehnerpaketen genauso, wie wir mit den einzelnen Streichhölzern
verfahren sind. Schauen wir uns nur noch die zugehörigen Rechnungen an:
32 : 10 = 3 Rest 2
oder:
32 = 3 ⋅ 10 + 2
Zusammengesetzt mit der ersten Rechnung macht das:
324 = 32 ⋅ 10 + 4 = (3 ⋅ 10 + 2 ) ⋅ 10 + 4
Dieses Verfahren wird dann mit den jeweils größten Paketen so lange fortgesetzt, bis wir
weniger als zehn größte Pakete erhalten und keine weiteren Zehnerpackungen mehr
vornehmen können. Bei der 324 waren wir im zweiten Schritt fertig. Wir konnten lediglich 3
Zehnerpackungen anfertigen, in denen sich jeweils 10 Streichhölzer befinden.
Im Verlauf der Verpackungsgeschichte kann es einmal passieren, dass alle Pakete der
kleineren Version voll in die größere Version verpackt werden. In der Zahldarstellung wird
das dann mit einer Null in entsprechender Position notiert.
304 = 30 ⋅ 10 + 4 = (3 ⋅ 10 + 0) ⋅ 10 + 4
MathePlusAaChen | Christa Polaczek: Einführung Logik | August 2009
24
Bemerkung: Jedem ist natürlich bekannt, dass die Zahldarstellung äquivalent zu einer Summe
von Zehnerpotenzen ist:
324 = 3 ⋅ 10 2 + 2 ⋅ 101 + 4 ⋅ 10 0
Doch um zu verstehen, dass dieses Verfahren auch mit anderen Zahlen als der 10
funktionieren muss, ist die Idee des Päckchenpackens besser. Außerdem verrät uns das
Päckchenpacken, wie wir verschiedene Zahldarstellungen ineinander überführen können. Im
Dualsystem werden Zweierpäckchen gepackt. Schauen wir uns für die Zahl 13 im Beispiel die
zugehörige Rechnung an:
13 = 6 ⋅ 2 + 1
= (3 ⋅ 2 + 0 ) ⋅ 2 + 1
= ((1 ⋅ 2 + 1) ⋅ 2 + 0 ) ⋅ 2 + 1
= 1 ⋅ 2 3 + 1 ⋅ 2 2 + 0 ⋅ 21 + 1 ⋅ 2 0
Wir schreiben dann im Dualsystem genauso wie im Zehnersystem die entstandenen Faktoren
(Koeffizienten) der Zweierpotenzen hintereinander:
13 =ˆ 1101
Wir halten als erstes fest: Die Ziffern in der Dualdarstellung sind Null oder Eins.
Wie eine Zahl, die im gewohnten Dezimalsystem dargestellt ist, ins Dualsystem übertragen
werden kann, sollte durch die oben angeführten Beispiele hinreichend erklärt worden sein.
Wie es andersherum einfach möglich ist, eine Zahl vom Dualsystem ins Zehnersystem zu
überführen, verrät uns oben benutzte Klammerdarstellung. Man startet als erstes
Zwischenergebnis mit der ersten Ziffer der Dualdarstellung. Die ist natürlich für gewöhnlich 1
Dann arbeitet man die zweite bis letzte Ziffer der Dualdarstellung mit den folgenden
Anweisungen ab:
Multipliziere das letzte Zwischenergebnis mit 2 und addiere die nächste Ziffer der
Dualdarstellung dazu.
Das kann auch im Schema wie folgt berechnet werden:
1
1
1
2
3
0
6
6
1
12
13
Ein Speicherplatz in einem heutigen Computer kann zwei Zustände annehmen, nennen wir
diese 0 oder 1. Die gesamte gespeicherte Information besteht damit aus einer Folge von
Nullen und Einsen. Mit dem Dualsystem haben wir die Möglichkeit geschaffen, jede
natürliche Zahl in eine Folge von Nullen und Einsen zu übersetzen und so können dann
Zahlen gespeichert werden.
MathePlusAaChen | Christa Polaczek: Einführung Logik | August 2009
25
6.2. Rechnen im Dualsystem
Es wäre nicht wirklich hilfreich, einen Computer mit Zahlen zu füttern, wenn er damit
anschließend nicht rechnen kann. Schauen wir uns also an, wie die Grundrechenarten im
Dualsystem funktionieren. Die Basis des Rechnens im Dezimalsystem ist das kleine 1+1 und
das kleine 1× 1 . Die jeweils 100 Möglichkeiten, die Ziffern der Dezimaldarstellung zu
verrechnen, werden darin dargestellt. Beim Dualsystem schrumpfet das kleine 1+1 und das
kleine 1× 1 auf:
x
0
0
1
1
y
0
1
0
1
x
0
0
1
1
x+y
0
1
1
10
y
0
1
0
1
x×y
0
0
0
1
Die schriftliche Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division erfolgt dann für
mehrstellige Zahlen wie wir es aus dem Dezimalsystem kennen. Die folgenden Beispiele
zeigen, dass alle Rechenoperationen sich in ihrer Durchführung im Dualsystem wesentlich
vereinfachen.
Beispiel zur Addition:
100111001 + 11100101
1
+
Übertrag
0
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
0
1
0
0
1
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
0
1
0
0
1
0
0
1
1
1
0
0
100111001 + 11100101=1000011110
Beispiel zur Subtraktion:
100111001 - 11100101
1
Übertrag
0
1
1
1
1
1
0
1
0
100111001 - 11100101=1010100
MathePlusAaChen | Christa Polaczek: Einführung Logik | August 2009
26
Beispiel zur Multiplikation:
1
1
1
1
1
0
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
·
0
1
1011 · 101 = 110111
Beispiel zur Division:
-
1
1
1
0
-
0
1
1
1
-
1
1
1
0
1
1
1
1
0
0
1
:
1
0
1
=
1
0
1
1
1
1
0
110111 : 101 = 1011
Bemerkung
Warum rechnen wir eigentlich immer noch im Dezimalsystem? Das Rechnen im Dualsystem
ist offensichtlich ein Kinderspiel.
Das Dezimalsystem ist historisch gewachsen. Eine weltweite Umstellung auf das Dualsystem
ließe sich kaum realisieren Tatsächlich besitzt das Dezimalsystem für den Menschen
gegenüber dem Dualsystem einen entscheidenden Vorteil: Im Dezimalsystem gibt es mehr
unterscheidbare Ziffern als im Dualsystem. Wir können die Zahlen dann besser lesen.
Vergleichen Sie selber einmal die Darstellungen der folgenden beiden Zahlen
Dualsystem:
Dezimalsystem:
1111011111
991
111011111
479
Im Alltag müssen wir zwar auch mit Zahlen rechnen, aber viel häufiger müssen wir Zahlen
erkennen und ihre Größenordnung einordnen. Oft geht es lediglich darum, Zahlen miteinander
zu vergleichen. Unter diesem Aspekt ist das Dezimalsystem dem Dualsystem eindeutig
überlegen.
MathePlusAaChen | Christa Polaczek: Einführung Logik | August 2009
27
7. Aufgaben
7. 1. Der Begriff der Aussage
Aufgabe 1:
Entscheiden Sie, ob im folgenden Aussagen vorliegen, und falls ja, ob diese Aussagen wahr
oder falsch sind.
b) (− 4) ≤ (− 4)
a) 3 > 7
c) a 2 + b 2 = c 2
d) (− 2 ) ≥ (− 3)
3
e) x 2 ≥ 0
2
7. 2. Wahrheitswerttafel
Aufgabe 2:
1. Erstellen Sie die Wahrheitswerttafel für drei Aussagen
2. Erstellen Sie die Wahrheitswerttafel für zwei Aussagen, wenn höchstens eine der
Aussagen wahr sein kann.
3. Erstellen Sie die Wahrheitswerttafel für drei Aussagen, wenn mindestens eine der
Aussagen falsch ist.
4. Erstellen Sie die Wahrheitswerttafel für mehrere Aussagen, die alle verschiedene
Wahrheitswerte haben.
5. Eine Wahrheitswerttafel besitze 20 Zeilen. Wie viele Zeilen besitzt die
Wahrheitswerttafel, wenn eine weitere Aussage ohne Zusatzbedingungen
hinzugenommen wird?
6. Wie viele Zeilen besitzt die Wahrheitswerttafel für n Aussagen?
7. Wenn Sie eine Sekunde benötigen, um einen Eintrag in eine Wahrheitswerttafel zu
schreiben, wie lange benötigen Sie dann, um eine Wahrheitswerttafel für 10 Aussagen
auszufüllen? Welche Zeit brauchen Sie bei 20 Aussagen?
7. 3. Verknüpfung zweier Aussagen
Aufgabe 3:
Welche der folgenden Wahrheitswerttafeln beschreibt eine Verknüpfung der Aussagen A und
B? Kennen Sie Bezeichnungen für diese Verknüpfungen?
a)
A
w
w
f
f
B
w
f
w
f
b)
w
w
w
f
A
w
w
f
f
B
w
f
w
f
MathePlusAaChen | Christa Polaczek: Einführung Logik | August 2009
f
w
w
f
28
c)
A
w
w
f
f
B
w
f
w
f
d)
w
w
f
w
A
w
w
f
f
B
w
f
w
f
f
f
w
w
7. 4. Zusammengesetzte Aussagen
Aufgabe 4:
Welche der folgenden Äquivalenzen ist richtig?
A: 2 ≤ 3 ⇔ [2 < 3 ∧ 2 = 3]
B: 2 ≤ 3 ⇔ [2 < 3 ∨ 2 = 3]
Aufgabe 5:
Ermitteln Sie eine äquivalente Aussage für die Negation der Konjunktion ¬( A ∧ B ) , indem
Sie die Negationen der Elementaraussagen (¬A) und (¬B ) verknüpfen.
Aufgabe 6:
Eine zusammengesetzte Aussage sei über die folgende Wahrheitswertetafel definiert:
A
w
w
f
f
B
w
f
w
f
f
w
w
w
Wie lässt sich diese Aussage durch das Oder und die Negation ausdrücken?
MathePlusAaChen | Christa Polaczek: Einführung Logik | August 2009
29
Aufgabe 7:
Stellen Sie die Wahrheitswerttafeln für folgende zusammengesetzte Aussagen auf. Welcher
dieser Aussagen sind Tautologien?
a) A ∨ (¬A)
b) A ∧ (¬A)
c) ¬((¬A) ∧ (¬B ))
d) ¬((¬A) ∨ (¬B ))
e) A ∧ B ∨ ( A ∨ B )
Aufgabe 8:
Zeigen Sie, dass es sich bei den folgenden Aussagen um Tautologien handelt:
a) [ A → B ] ↔ [(¬B ) → (¬A)]
b) [ A → (B → C )] ↔ [( A ∧ B ) → C ]
c) [ A ∧ ( A → B )] → B
d)
[( A → B ) ∧ (¬B )] → (¬A)
Aufgabe 9:
Elke hat heute drei Schmuckstücke zur Auswahl: Eine Kette einen Ring und ein Armband.
-
Wenn sie die Kette nicht wählt, so nimmt sie den Ring und das Armband.
Wählt sie den Ring, so trägt sie auch die Kette.
Sie trägt nie das Armband und die Kette gemeinsam.
Elke entscheidet sich für zwei Schmuckstücke. Welche hat sie gewählt?
MathePlusAaChen | Christa Polaczek: Einführung Logik | August 2009
30
7. 5. Rechenregeln für zusammengesetzte Aussagen
Aufgabe 10:
Beweisen Sie das Assoziativgesetz für das exklusive Oder (XOR).
Aufgabe 11:
Vereinfachen Sie folgende logische Ausdrücke:
a)
((¬A) ∧ C ) ∨ ((¬A) ∧ (¬C ))
b)
(B ∧ C ) ∨ (B ∧ (¬C )) ∨ ( A ∧ B )
c)
((¬A) ∨ C ) ∧ ((¬A) ∨ (¬C ))
d)
[C → ( A ∨ B )] ∧ [B → ( A ∨ (¬C ))]
e)
[A ↔ B] ∧ [(¬B ∨ A)]
f) ¬[(¬A) ∨ (¬B ) ∨ C ]
g)
(¬[( A ∧ (¬B )) ∨ C ]) ∨ [B ∧ (¬C )]
7. 6. Konjunktive und disjunktive Normalform
Aufgabe 12:
Ermitteln Sie eine konjunkive und eine disjunktive Normalform für die Aussage D:
A
w
w
w
w
f
f
f
f
B
w
w
f
f
w
w
f
f
C
w
f
w
f
w
f
w
f
D
f
w
w
f
w
w
f
f
MathePlusAaChen | Christa Polaczek: Einführung Logik | August 2009
31
Aufgabe 13:
Ermitteln Sie eine konjunktive und eine disjunktive Normalform für:
a)
[( A → B ) → C ]
b) ( A → (B → C ))
7. 7. Quantoren
Aufgabe 14:
Vorgegeben sind folgende Aussageformen:
A(n) : n ist Quadratzahl einer natürlichen Zahl.
B(n ) : n ist eine ohne Rest durch 4 teilbare natürliche Zahl.
Geben Sie die ersten drei natürlichen Zahlen an, für die folgende Aussagen wahr sind:
a) A(n)
b) B(n )
c) A(n ) ∧ B(n ) d) A(n ) ∨ B(n ) e) A(n ) ↔ B(n ) f) A(n ) ∨ B(n )
Aufgabe 15:
Welche der folgenden Aussagen sind wahr? Die angegebenen Variablen sind immer reelle
Zahlen.
A: ∀x : x 2 ≥ 0
B: ∃x : x 2 ≥ 0
C: ∀x : x > 0
D: ∃x : x = 0
E: ∀x ∃y : x 2 + y 2 = x + y
F: ∀x ∀y : ( x − y ) = ( y − x )
2
2
Aufgabe 16:
A(x) sei eine Aussageform. Ist eine der folgenden Aussagen wahr?
B:
[∀x : A( x)] → [∃x : A( x)]
C:
[∃x : A( x)] → [∀x : A( x)]
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32
Aufgabe 17:
Wer knackt den Code? Ist eine der folgenden Aussagen richtig, wenn x, y und z reelle Zahlen
sind?
a) ∀x ∀y ∃ z : x + y + z = 3
b) ∀x ∃ y ∀z : x + y + z = 3
c) ∃ x ∀y ∃ z : x + y + z = 3
Aufgabe 18:
In die Felder des folgenden Quadrates
sollen die Zahlen 1, 2 und 3 so eingetragen werden, dass in jeder Zeile und in jeder Spalte jede dieser
Zahlen genau einmal vorkommt.
Beispiel:
3
2
1
2
1
3
1
3
2
Entscheiden Sie, ob die folgende Aussage wahr ist:
Auf der grau markierten Diagonale steht entweder in allen Feldern dieselbe Zahl oder alle drei Zahlen
auf dieser Diagonale sind verschieden.
Aufgabe 19:
Bestimmen Sie die Negation der folgenden Aussagen. Sind die gegebenen Aussagen oder ihre
Negation wahr? Dabei seien x, y reelle Zahlen und n sei eine natürliche Zahl.
A: ∀x : [x > 1 ∨ x < 1]
[
B: ∃ x : x 2 = 2 ∧ x < 0
]
1

C: ∀x > 0 ∃ n :  < x 
n

Was ist hier schief gelaufen?
Nichts ist besser als ein komfortables Haus! Eine einfache Hütte ist besser als nichts! Also ist
eine einfache Hütte besser als ein komfortables Haus….
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7. 8. Boolesche Algebra
Aufgabe 20:
Durch welche Rechenoperationen für die Zahlen 0 und 1 werden die logischen
Verknüpfungen Subjunktion, Bijunktion und das exklusive Oder in der Booleschen
Algebra realisiert?
Aufgabe 21:
Weisen Sie die Regeln von de Morgan für aussagenlogische Verknüpfungen durch
Rechnungen in der Booleschen Algebra nach.
Aufgabe 22:
Vereinfachen Sie die folgenden logischen Ausdrücke durch Rechnungen in der Booleschen
Algebra:
a) ((¬A) ∧ B ) ∨ ((¬A) ∧ B )
b) ((¬A) ∧ B ∧ C ) ∨ ((¬A) ∧ B ∧ (¬C ))
7. 9. Dualsystem
Aufgabe 23:
Übertragen Sie die folgenden Dezimalzahlen in das Dualsystem:
x = 11
y = 127
z = 1024
Aufgabe 24:
Übertragen Sie die folgenden Dualdarstellungen in das Dezimalsystem:
a = 1010101
b = 10000000
c = 10010100111
d = 111111
Aufgabe 25:
Die folgenden Zahlen sind ausnahmslos im Dualsystem dargestellt. Ermitteln Sie das
Ergebnis der Rechnung:
a = 1100111 + 10101
b = 1100111 − 10101
c = 1100111⋅ 10101
d = 100010001:1101
e = 10111010 − 111
f = 10 5
g = 10110011 ⋅ 10 7
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Aufgabe 26:
Sie kennen die schriftliche Multiplikation aus der Schule. Ein älteres Verfahren soll zur
Berechnung von 11⋅ 26 vorgestellt werden:
11
26
22
13
44
6
88
3
176
1
286
Hier die Beschreibung der Vorgehensweise:
Das Rechenverfahren besteht aus zwei Spalten. In die erste Zeile werden die beiden Faktoren
geschrieben. Dann werden in der erste Spalte die Einträge von Zeile zu Zeile verdoppelt. In
der zweiten Spalte werden die Einträge von Zeile zu Zeile halbiert. Falls bei der Division
durch 2 ein Rest bleibt, wird dieser weggelassen. Dies wird so lange fortgesetzt bis in der
zweiten Spalte eine 1 steht. Nun werden alle Zeilen ausgestrichen, bei denen in der zweiten
Spalte eine gerade Zahl steht. Das Ergebnis der Multiplikation erhält man schließlich, indem
man alle Zahlen der ersten Spalte addiert, die nicht gestrichen wurden.
11 ⋅ 26 = 22 + 88 + 176 = 286
Warum funktioniert dieses Verfahren immer?
Aufgabe 27:
a) Schätzen Sie die Anzahl der Stellen in Dezimalschreibweise für die Dualzahl
x = 1000100001111000111
b) Gegeben sei die Dezimalzahl x = 34567812345 . Schätzen Sie die Anzahl der Stellen
in der Dualdarstellung von x.
c) Eine Zahl x besitze in Dezimaldarstellung k Stellen und in Dualdarstellung n Stellen.
Geben Sie eine einfache Schätzung für die Umrechnung von k in n und umgekehrt an.
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