SS08 Mikroökonomie 1

SS08 Mikroökonomie 1
9. November 2008
Inhaltsverzeichnis
1 Gegenstand und Methodik der Mikroökonomie
3
2 Mikroökonomie der Haushalte
4
2.1
2.2
2.3
2.4
Präferenzen und Nutzenfunktion . . .
Das Haushaltsoptimum . . . . . . . .
Güternachfragefunktion . . . . . . . .
Faktorangebotsfunktion (Arbeitskraft)
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3 Produktionstechnologien und Unternehmensentscheidungen
3.1
3.2
3.3
3.4
Produktionstechnologie und Produktionsfunktionen
Die Minimalkostenkombination . . . . . . . . . . .
Kosten- und bedingte Faktornachfragefunktionen . .
Güterangebots- und Faktornachfragefunktionen . .
4.4
5.2
5.3
5.4
5.5
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Marktangebot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Marktnachfrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Marktgleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Arbeits- und Kapitalmärkte . . . . . . . . . .
Produzentenrente, Konsumentenrente und Wohlfahrt
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5 5: Unvollkommene Konkurrenz
5.1
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4 4: Vollkommene Konkurrenz
4.1
4.2
4.3
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Monpolistisches Marktverhalten . . . . . . .
5.1.1 Ausblick: Mikroökonomie II . . . . .
Oligopolistischer Wettbewerb . . . . . . . .
Oligopoltheorie und Spieltheorie . . . . . . .
Mengenwettbewerb: Cournot-Modell . . . .
5.4.1 Das verallgemeinerte Cournot-Modell
Mengenwettbewerb: Das Stackelberg-Modell
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39
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43
45
46
Titel Inhaltsverzeichnis
5.6
5.7
5.8
5.9
Mengenwettbewerb: Asymmetrie . . . . . . . . .
Preiswettbewerb: Bertrand-Modell . . . . . . . .
Standardmodell des Preiswettbewerbs . . . . . . .
Monopolistische Konkurrenz: Dixit/Stiglitz-Modell
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2
Titel 1 Gegenstand und Methodik der Mikroökonomie
1 Gegenstand und Methodik der Mikroökonomie
Aufgaben der Wirtschaftstheorie:
• Erklärung ökonomischer Zusammenhänge und Abläufe (positive Analyse = IST-Analyse)
• Ableitung einer ezienten Unternehmens- und Wirtschaftspolitik (normative Analyse = SOLLAnalyse)
• Grundlage für die empirische Wirtschaftsforschung
Didaktische Einteilung der Wirtschaftstheorie:
• Mikroökonomik
• Makroökonomik
Gliederung der Wirtschaftstheorie nach betrachtetem Markt:
• Theorie der Gütermärkte
• Theorie der Arbeitsmärkte
• Theorie der Finanzmärkte
Einteilung der Wirtschaftstheorie
nach Aggregationsebenen
• Einzelwirtschaftliche Ebene (Mikroökonomik + BWL): Haushalte, Produktionsprozesse
• Markt- und Branchenebene (Mikro- und Industrieökonomik): Zusammenführung der Haushalte,
Unternehmen,...
• Gesamtwirtschaftliche Ebene (Makroökonomik): Aggregation aller Branchen
• Weltwirtschaftliche Ebene (Auÿenwirtschaftstheorie): Ausweitung der Makroökonomie auf die
Weltwirtschaft
Zentrale Aufgaben der mikroökonomischen Analyse:
• Erklärung des Marktverhaltens von Haushalten (Konsumenten)
• Erklärung des Marktverhaltens von Unternehmen (Produzenten)
• Erklärung der Preisbildung auf einzelnen Märkten
• Erklärung der Marktstrukturen
• Erklärung der Marktergebnisse
3
Titel 2 Mikroökonomie der Haushalte
Wissenschaftliche Vorgehensweise der Mikroökonomik:
• Modelle las stilisierte theoretische Konstrukte zur Analyse spezischer Zusammenhänge und
Eekte
• Mathematik als Sprache der Mikroökonomik
• Rationalität und optimierungskalkül der Entscheidungsträger (Nutzen und Gewinnmaximierung)
• Gültigkeit des Gleichgewichtsprinzips (Spieltheorie) als analytische Grundannahme
• Abstraktionsgrad und Realitätsnähe von theoretischen Modellen
• Primäres Ausbildungsziel: Methodenkompetenz und analytisches Denkvermögen
2 Mikroökonomie der Haushalte
2.1 Präferenzen und Nutzenfunktion
Topics:
• Präferenzen und Präferenzordnung
• Nutzen und Nutzenfunktion
• Eigenschaften von Nutzenfunktionen
Sättigungsgrenzen
Grenzrate der Substitution
Substitutionselastizität
• Spezikationen wichtiger Nutzenfunktionen
CES-Nutzenfunktion
Quadratische Nutzenfunktion
Zentrale Annahmen:
Haushalte besitzen Präferenzen für den Konsum unterschiedlicher Güterbündel q 1 = (q1 ...qn )1 ; q 2 =
(q1 ...qn )2 ; ...
Von zwei Güterbündeln präferieren die Haushalte entweder das Bündel 1 (q 1 q 2 ) oder das Bündel
2 (q 1 ≺ q 2 ) oder sie isnd indierent zwischen den beiden Bündeln (q 1 ∼
= q 2 ).
Mögliche Gründe für eine Präferenz sind:
• Wie wertvoll ist ein Bündel?
4
Titel 2 Mikroökonomie der Haushalte
• Welcher Inhalt ist mir lieber?
• Bevorzuge ich Vielfalt (häug!)?
Daraufhin wird eine Entscheidung getroen, diese darf jedoch nicht bereut werden.
Die
formaltheoretischen Grundannahmen sind:
• Vollständigkeit der Präferenzen (keine Überraschungen erwünscht)
• Transitivität der Präferenzen (wenn 1 ≥ 2 und 2 ≥ 3, dann 1 ≥ 3)
• Stabilität der Präferenzen (keine Änderungen)
Sie gewährleisten eine konsistente Analyse der Präferenzordnungen der Haushalte.
Die Präferenzstruktur der Haushalte lässt sich durch einen Vergleich des Nutzens U aus dem Konsum alternativer Güterbündel ausdrücken:
U (q 1 ) ≥ U (q 2 ) ⇔ q 1 ≥ q 2
Die Nutzenfukntion U = U (q1 ...qn ) (wobei q hier die Menge der einzelnen Güter aus q 1 ist)
ordnet jeder Kombination von konsumierten Gütermengen (q1 ...qn ) einen Nutzen U zu.
Grundlegende Annahmen für gebräuchliche Nutzenfunktionen:
• Kardinale (Zahlenangaben) oder ordinale (nur Vergleich nötig, Transformationen erlaubt) Messbarkeit des Nutzens
• Stetigkeit der Nutzenfunktion
• Dierenzierbarkeit der Nutzenfunktion
In unseren Nutzenfunktionen geht es nicht nach Bedürfnissen von Maslow, sondern um Güter mit
Marktpreis für die wir Wertschätzung empnden.
Sättigungsgrenzen
Diese ist erreicht wenn man selbst kostenlos ein Gut nicht mehr konsumieren möchte (z.B. Essen)
Güter ohne Sättigungsgrenze sind nahezu unmöglich, höchstens über die Qualität machbar.
qi ist die konsumierte Menge
∂U
Uqi =Grenznutzen der Menge qi = ∂q
> 0 → Der Grenznutzen wächst positiv bis zur Sättigungsi
grenze
2
Uqiqi =Grenzzuwachs der Menge qi = (∂∂qiU)2 < 0 → Der Nutzen eines Hauahalts wächst unterproportional
Gilt diese Eigenschaft nur für die Mengen qi ≤ qi , so bildet qi eine Sättigungsgrenze für den Konsum
5
Titel 2 Mikroökonomie der Haushalte
des Gutes i. Es wird jedoch generell davon ausgegangen, dass die Sättigungsgrenze bei positiven Güterpreisen nicht erreicht wird.
Auf Gründen der Einfachheit konzentrieren sich die folgenden Analysen auf den Fall von nur zwei
betrachteten Gütern 1 und 2.
Nutzenindierenzkurven
Alle Kombinationen von Konsumgütermengen (q1 und q2 ) die jeweils zu einem gleich groÿen Nutzen
U führen. Diese Substitution wird vor allem durch den unterproportionalen Grenzzuwachs unterstützt.
Grenzrate der Substitution
Das totale Dierntial der Nutzenfunktion U=U (q1 , q2 ) lautet:
dU=Uq1 dq1 + Uq2 dq2
und gilt die Nutzenänderung bei einer Mengenänderung von q1 und/oder q2 an.
Auf einer Nutzenindierenzkurve gilt denitionsgemäÿ, dass sich der Gesamtnutzen nicht ändert:
dU=0
Uq1
2
Dadurch ergibt sich: −dq
dq1 = Uq2 → Steigung der Nutzenindierenzkurve=Verhältnis des Grenznutzen
der Güter →
Uq1
2
GRS Grenzrate der Substitution: dq
dq1 = Uq2
Sie gibt die Steigung einer Nutzenindierenzkurve in einem beliebigen Punkt an.
Substitutionselastizität
Die Substitutionsleastizität σ =
d(q2 /q1 )
q2 /q1
:
d(Uq1 /Uq2 )
Uq1 /Uq2
=
d(q2 /q1 )
d(Uq1 /Uq2 )
:
q2 /q1
Uq1 /Uq2
ist ein Maÿ für die Krümmung einer Nutzenindierenzkurve. Sie ist deniert als relative Ändeung des
Verhältnisses der Konsumgütermengen bezogen auf eine relative Änderung der Grenzrate der Substitution.
Berechnung:
Zur Berechnung verwendet man eine abgewandelte Formel.
Herleitung:
Die Elastizität von y im Bezug auf x ist deniert als:
dy
σ = dx
: yx.
dy
dlny
Erweiterung: dlny
∗ dlnx
∗ dlnx
dx
dlny
dlny
y
1
dy = y ergibt sich: dlnx ∗ x
dlny
Eingesetzt und um xy gekürzt ergibt sich: σ = dlnx
Uq1
Mit y = qq12 und x = Uq2
ergibt sich folgende äquivalente
Da
dlnx
dx
=
1
x
und
Formel zur Berechnung der Substitutions-
elastizität:
dln(U /U )
σ = [ dln(qq12 /q1q2) ]−1
Berechnungsbeispiele:
Beispiel 1: Cobb-Douglas-Nutzenfunktion
U (q1 , q2 ) = q1α ∗ q2β
6
Titel 2 Mikroökonomie der Haushalte
• Ableiten nach q1
Uq1 = α ∗ q1α−1 ∗ q2β = α ∗
U
q1
• Ableiten nach q2
Uq2 = β ∗ q1α ∗ q2β−1 = β ∗
U
q2
• Dividieren
Uq1
α
Uq2 = β ∗
q2
q1
• Logarithmieren
U
) = ln αβ + ln qq21
ln( Uq1
q2
• Dierenzieren nach ln qq12
[
dln(Uq1 /Uq2 )
dln(q2 /q1 ) ]
=1
• Kehrwert dieses Ausdrucks
1
Beispiel 2: CES-Nutzenfunktion
1
U (q1 , q2 ) = [q1γ + q2γ ] γ
• Ableiten nach q1
1
Uq1 = γ1 ∗ [q1γ + q2γ ] γ−1 ∗ γ ∗ q1γ−1
• Ableiten nach q2
1
Uq2 = γ1 ∗ [q1γ + q2γ ] γ−1 ∗ γ ∗ q2γ−1
• Dividieren
Uq1
q1 γ−1
= ( qq21 )1−γ
Uq2 = ( q2 )
• Logarithmieren
U
ln Uq1
= (1 − γ) ∗ ln qq21
q2
• Dierenzieren nach ln qq21
[
dln(Uq1 /Uq2 )
dln(q2 /q1 ) ]
= (1 − γ)
• Kehrwert dieses Ausdrucks
1
1−γ
CES-Nutzenfunktionen
Die allgemeine CES-Nutzenfunktion für mzwei Güter lautet:
1
U (q1 , q2 ) = A ∗ [α ∗ q1γ + (1 − α) ∗ q2γ ] γ mit 0 < α < 1 und γ ≤ 1 und σ = 1−γ
< 0 als konstante
Substitutionselastizität
Diese Funktion gehorscht der kardianlen Nutzentheorie (Nutzen messbar als genauer Wert)
7
Titel 2 Mikroökonomie der Haushalte
Im Rahmen der ordinalen Nutzentheorie gilt:
Eine Präferenzordnung kann alternativ durch alle diejenigen Nutzenfunktionen ausgedrückt werden,
die durch monotone Transformationen aus der ursprünglichen Nutzenfunktion generiert werden können z.B. Multiplizieren, Potenzieren oder Logarithmieren.
Als generische CES-Nutzenfunktion (ohne Sättigungsgrenze) dient daher:
1
U (q1 , q2 ) = [α ∗ q1γ + (1 − α) ∗ q2γ ] γ mit0 < α < 1undγ ≤ 1
Die beiden betrachteten Güter sind
• substitutiv (gegengerichteter Verbrauch) für 0<γ <1
• perfekt substitutiv für γ =1
• unabhängig (sie stehen in keinem Verhältnis) für γ =0
• komplementär (gleichgerichteter Verbrauch) für γ <0
• perfekt komplementär für ρ → −∞
Eine intuitiv einsichtige Erklärung für diese Begrie folgt bei der Analyse der Eekte von Preisänderungen auf die konsumierten Gütermengen
Spezialfälle von CES-Nutzenfunktionen
Für perfekt substituive Güter: γ = 1 ↔ σ → ∞
U (q1 , q2 ) = α ∗ q1 + (1 − α) ∗ q2
Steigen die Mengen, so steigt auch der Nutzen
Der Grenzzuwachs ist hier nicht mehr unterproportional
Für unabhängige Güter: γ = 0 ↔ σ = 1
1
U (q1 , q2 ) = [α ∗ q1γ + (1 − α) ∗ q2γ ] γ ist bei 0 nicht deniert
lnU (γ = 0) =
Abgeleitet:
ln(α∗q1γ +(1−α)∗q2γ )
γ
=
0
0
→ L'hopital
α∗q1γ lnq1 +(1−α)q2γ lnq2
α∗q1γ +(1−α)∗q2γ
Setze γ = 0 :
α∗lnq1 +(1−α)∗lnq2
1
Logarithmieren rückgängig:
U = q1α ∗ q21−α
Für perfekt komplementäre Güter: γ → −∞ ↔ σ = 0
U (q1 , q2 ) = min[q1 , q2 ]
Aus diesen Vorgaben kann man die Gestalt der verschiedenen CES-Nutzenfunktion ableiten; Vergleiche Grak S.13
perfekt subtitutiv: Gerade
8
Titel 2 Mikroökonomie der Haushalte
perfekt komplementär: rechter Winkel
unabhängig: Hyperbeln
substituiv: zwischen Gerade und Hyperbel
komplementär: zwischen Hyperbel und rechtem Winkel
Damit kann man festellen das die Krümmung der Nutzenidierenzkurven je nach Beziehung der
Güter anders ist. In der Grak wird ein Nutzenniveau dargestellt.
Vergleiche Anlage Nr.1
9
Titel 2 Mikroökonomie der Haushalte
Quadratische Nutzenfunktionen
Quadratische Nutzenfunktion für zwei betrachtete Güter:
U (q0 , q1 , q2 ) = q0 + α(q1 + q2 ) − (β ∗ q12 + 2γq1 q2 + β ∗ q22 )/2; α > 0, |γ| < β
q0 ist das Numéraire-Gut mit dem normierten Preis p0 = 1, das aus dem Bündel aller anderen nutzenstiftenden Güter besteht.
Die beiden betrachteten Güter 1 und 2 sind:
• substituiv für γ >0
• perfekt substituiv für γ → β
γ = β → U (q0 , q1 , q2 ) = q0 + α(q1 + q2 ) − β ∗ (q1 + q2 )2
Funktion siehe Anhang
aus der quadratischen Nutzenfunktion wird so lineare Nachfrage abgeleitet
• unabhängig für γ =0
• komplementär für γ <0
• perfekt komplementär für γ → −β
2.2 Das Haushaltsoptimum
Topics
• Die Budgetlinie (hier: Preise und budget immer vorgegeben ⇒ Einkauf nach Präferenzen (Nutzenfunktion), die jedoch manipuliert werden können)
• Nutzenmaximierngbei gegebenem Budget: Grasche und analytische Lösung
• Die Einkommens-Konsum-Kurve
• Die Preis-Konsum-Kurve
• Einkommens- und Substitutionseekte
Die Budgetlinie
Das Haushaltsoptimum gibt die Konsummengen qi ∗ der einzelnen Güteri an, die bei gegebenem
Budget E und gegebenen Preisen pi gekauft werden können und die den höchsren Nutzen stiften
(Nutzenmaximierung unter der Nebenbedingung der Budgetrestritkion). In der Budgetrestriktion geht
man davon aus, dass nicht gepart wird, keine Abgaben geleistet werden, kein Kredit aufgenommen
wird etc. Sie ist damit fest vorgegeben.
Die Budgetrestritkion
lautet:
Pn
E = i=1 pi ∗ qi
Beispiel: Budgetrestriktion bei zwei Gütern 1 und 2:
E = p1 ∗ q1 + p2 ∗ q2 ⇔ q2 = pE2 − pp21 ∗ q1
10
Titel 2 Mikroökonomie der Haushalte
Das Haushaltsoptimum
(q1 ∗, q2 ∗) ergibt sich grasch als Tangentialpunkt der Budgetlinie und der höchstmöglichen Nutzenindierenzkurve.
Im Schaubild ist A nicht möglich mit der gegebenen Budgetgerade und scheidet deshalb aus. B ist
zwar möglich, liegt aber auf einer niedrigeren Nutzenindierenzkurve. Deshalb liegt das Optimum im
Punkt C.
Vergleiche Anlage Nr.2
11
Titel 2 Mikroökonomie der Haushalte
Die analytische Lösung erfolgt durch Maximierung der Lagrange-Funktion:
L = U (q1 , q2 ) + λ[E − p1 ∗ q1 − p2 ∗ q2 ]
über die konsumierten Gütermengen. Λ ist dabei keine ökonomische Gröÿe und für die Zielfunktion
nicht interessant.
Daraus ergeben sich die Optimalitätsbedingungen:
∂L
∂q1 = Uq1 − λp1 = 0
∂L
∂q2 = Uq2 − λp2 = 0
Daraus folgt wiederum durch dividieren der Gleichnugen:
Uq1
p1
Uq2 = p2 also die Steigung/Krümmung der Nutzenfunktion ist gleich der Steigung der Budgetgerade
im Tangentialpunkt. Dies jedoch ist gleich
2
− dq
dq1 , so dass die GRS im Haushaltsoptimum gerade dem Güterpreisverhältnis entspricht
Die Einkommens-Konsum-Kurve
Man geht von einer Einkommenserhöhung in diesem Fall aus.
Die Verbindungslinie der Haushaltsoptima bei variierendem Einkommen E ergibt die EinkommensKonsum-Kurve EKK. Aus ihr Folgen die Engelskurven qi = qi (E)
Diese sind nicht immer linear, besitzen jedoch bei einer Einkommenserhöhung eine positive Steigung.
Vergleiche Anlage Nr.3
12
Titel 2 Mikroökonomie der Haushalte
Die Preis-Konsum-Kurve
Die Verbindungslinie der Haushaltsoptima bei variirenden Güterpreisen pi ergibt die Preis-KonsumKurve PKK. Dabei beeinusst die Substitutionselastizität die Veränderung der Mengen nach der
Preisänderung.
Aus der PKK folgen die Nachfragekurven qi = qi (Pi ). Sie zeigen, dass je höher der Preis ist, umso
geringer ist die abgesetzte Menge.
Vergleiche Anlage Nr.4
13
Titel 2 Mikroökonomie der Haushalte
Einkommens- und Substitutionseekte
Die Eekte einer Preisänderung können nach Hicks zerlegt werden in einen:
• Substitutionseekt (Bewegung von A nach B auf der alten Nutzenindierenzkurve): die Güter
werden gegeneinander ausgetauscht
• Einkommenseekt (Bewegung von B nach C auf eine neue Nutzenindierenzkurve): man bekommt weniger für das gleiche Einkommen; der Eekt, der nach Abzug des Substituionseekt
übrig bleibt
Vergleiche Anlage Nr.5
14
Titel 2 Mikroökonomie der Haushalte
2.3 Güternachfragefunktion
Topics
• Eigenschaften von Güternachfragefunktionen
• Isoelastische Nachfragefunktionen (abgeleitet aus CES, für n-Güter-Fall)
Isoelastische Nachfragesysteme
Isoelastische Marktnachfragefunktion
• Lineare Nachfragefunktionen (abgeleitet aus quadratischer, für 2-Güter-Fall)
Lineare Nachfragefunktionen
Lineare Marktnachfrgaefunktionen
Güternachfragefunktionen
Die Marshallschen Nachfragefunktionen:
qi = qi (p1 , ..., pn , E), i=1...n
ordnen jeder Kombination von Güterpreisen pi mit i=1...n und disponierbarem Einkommen E die Güternachfragen qi mit i=1...n zu.
Anmerkungen:
• Alle in diesem Kurs abgeleitete Güternachfragefunktionen sind Marshallsche Nachfragefunktionen
• Sie folgen aus der Nutzenmaximierung unter der NB eines festen Einkommens in der Form
qi = qi (p1 , p2 , E)
• bisweilen nden auch Hickssche Nachfragefunktionen Verwendung
• Sie folgen aus der Ausgabenminimierung unter der NB eines gegebenen (kardinal messbaren!)
Nutzenniveaus mit der Form qi = qi (p1 , p2 , U )
• Vorteil der Marshallschen Nachfragefunktionen ist, dass der Nutzen nicht enthalten ist und
somit der ordinale Nutzenbegri ausreicht
Eigeschaften der Nachfragefunktionen
Je nach Eigenschaften der Marshallschen Nachfragefunktionen lassen sich Güter wie folgt klassizieren:
•
•
∂qi
∂pi
< 0, d.h. steigt der Preis eines Gutes sinkt die Nachfrage nach diesem Gut:
Güter
gewöhnliche
∂qi
∂pi
> 0, d.h. steigt der Preis eines Gutes, steigt die Nachfrage nach diesem Gut: Gien-Güter
(für uns uninteressant, sehr selten)
15
Titel 2 Mikroökonomie der Haushalte
∂qi
∂E
•
> 0, d.h. steigt das Einkommen eines Haushaltes so steigt die Nachfrage nach einem
bestimmten Gut; superiore oder normale Güter
•
∂qi
∂pi
< 0, d.h. steigt das Einkommen eines Haushaltes, so sinkt die Nachfrage nach einem
bestimmten Gut: inferiore Güter (für uns uninteressant, sehr selten, Bsp.: Kartoeln im Krieg)
Für gewöhnliche Güter gelten ferner folgende
Kreuzeekte:
∂qi
∂pj
•
> 0, d.h. steigt der Preis eines Gutes j, so steigt die Nachfrgae nach einem Gut i: substitutive
Güter
•
∂qi
∂pj
= 0, d.h. steigt der Preis eines Gutes j, so kann man keine aussage über die Nachfrageentwicklung des Gutes i machen: unabhängige Güter
•
∂qi
∂pj
< 0, d.h. steigt der Preis eines Gutes j, so sinkt die Nachfrage nach einem Gut i: komplementäre Güter
Herleitung der isoelastischen Nachfragefunktion
1
Die Maximierung der symmetrischen CES-Nutzenfunktion U (q1 , q2 ) = [q1γ + q2γ ] γ mit γ < 1 unter
Beachtung der Budgerestriktion E = p1 ∗ q1 + p2 ∗ q2
Man nimmt die Gleichung γ und erhält folgende Lagrangefunktion:
L = q1γ + q2γ + λ ∗ [E − p1 q1 − p2 q2 ]
∂L
Man bildet die Ableitung nach q1 : ∂q
= γ ∗ q1γ−1 − λ ∗ p1 = 0
1
Damit ist umgestellt: q1γ−1 =
Dann das ganze
−1
1−γ
λ
γ
: q1 = ( λγ )
∗ p1
−1
1−γ
−1
∗ p11−γ
−γ
−1
−1
Mal p1 : p1 ∗ q1 = ( λγ ) 1−γ ∗ p11−γ (da: 1−γ
+
−1
1−γ
1−γ )
−γ
analog zu oben gilt: p2 ∗ q2 = ( λγ ) 1−γ ∗ p21−γ
−1
−γ
−γ
Addiert man beide Ergebnisse erhält man: E = ( λγ ) 1−γ ∗ (p11−γ + p21−γ )
−1
Umstellen: ( λγ ) 1−γ =
E
−γ
−γ
(p11−γ +p21−γ
−1
λ 1−γ
Durch einsetzen von ( γ )
nen:
−1
q1 =
q2 =
)
in die erste Gleichung ergeben sich die Marshallschen Nachfragefunktio-
E∗p11−γ
−γ
p11−γ
−γ
+p21−γ
−1
E∗p21−γ
−γ
−γ
p11−γ +p21−γ
−1
qi = Di (p1 , p2 ) =
mit
∂Di
∂pi
< 0 und
E∗pi1−γ
−γ
−γ
p11−γ +p21−γ
∂Di
∂pj < oder
>0
16
Titel 2 Mikroökonomie der Haushalte
Eigenschaften
Für dieses Nachfragesystem gilt:
• Steigt der eigene Preis so sinkt die Nachfrage
• Steigt der andere Preis kann man keine Aussage über die Nachfrage machen, nur in Anhängigkeit mit λ:
für γ >0: die Güter sind substitutiv
für γ <0: die Güter sind komplementär
für γ =0: die Güter sind unabhängig
Marktnachfragefunktion
Der Grenzfall eines homogenen Marktes mit perfekt subtituiven Gütern (γ → 1) impliziert einen einheitlichen Marktpreis p1 = p2 = p
Würde gelten: γ = 1 wäre U = q1 + q2 und die Mengen beliebig austauschbar. Damit wäre der
Dierenzierungsgrad der Güter =0. Dieser Grenzfall wird vorerst ausgeschlossen.
Aus den gleichen Preisen folgt: E = p ∗ (q1 + q2 ) = p ∗ Q
E
Daraus ergibt sich einmal die inverse Nachfragefunktion p = Q
und auch die isoelastische MarktnachE
fragefunktion D(p) = p (diese ist eine vereinfachte Form der Nachfragefunktion, nicht dasselbe!!!)
Verallgemeinerung
Die auf n Güter verallgemeinerte symmetrische CES-Nutzenfunktion lautet:
1
P
U (q1 ...qn ) = [ ni=1 qiγ ] γ
und spiegelt für γ ∈ (0,1) die Vorliebe P
der Haushalte für Gütervielfalt wider. Ihre Maximierung unter
Beachtung der Budgetrestriktion E = ni=1 pi ∗ qi liefert das Nachfragesystem:
−1
qi = Di (p1 ...pn ) =
pi1−γ ∗E
−γ
Pn
1−γ
k=1 pk
Spezialfälle
Anzahl ins unendliche gehend:
Geht n→ ∞ wird der einzelne Preis marginal und man kann die Preis durch N ersetzen:
−1
Di =
pi1−γ ∗E
.
N
Bildet man nun
−1
und D/i pi = pi1−γ
i =
(∂Di /∂pi )
(Di /pi )
−1
=
∗
−1
1−γ
E
N
∂Di
∂pi
=
−1
1−γ
−1
∗ pi1−γ
−1
∗
E
N
kann man die konstante Preiselastizität der Nachfrage
berechnen.
Nutzenbetrachtung bei gleichen Preisen:
Bei gleichen Preisen pi = p gilt für die Nachfragemenge D =
−1
p 1−γ ∗E
−γ
n∗p 1−γ
17
Titel 2 Mikroökonomie der Haushalte
−1
E
Bringt man nun p 1−γ in den Nenner ergibt sich die Gütermenge: D = n+p
Geht man von kardinaler Messbarkeit des Nutzens aus und setzt die Menge in die allgemeine Nutzen1−γ
1
1
P
funktion U = [ qiγ ] γ einsetzt erhält man den Nutzen U = [n ∗ E γ ∗ n−γ ∗ p−γ ] γ = n γ ∗ Ep
Beispiel: Kind hat 6 und CES-Nutzenfunktion und möchte Eiskugeln zu je 1 kaufen
E=6, p=1, γ = 12
(1) n=1 (n=Anzahl der verschiedenen Eissorten)
E
q = np
= 6 (Kugeln)
U =n
1−γ
γ
E
p
=1∗
6
1
= 6 (Nutzeneinheiten)
(2) n=2
6
qi = 2∗1
= 3 (Kugeln/Sorte)
U = 2 ∗ 61 = 12
(3) n=6
6
=1
qi = 6∗1
6
U = 6 ∗ 1 = 36
Cobb-Douglas:
E
Für die Cobb-Douglas-Nutzenfunktion (γ =0) hängen die Nachfragefunktionen mit qi = n∗p
nicht
i
von den Preisen der anderen Gütern ab (Fall der unabhängigen Güter), d.h. gleich hohe Ausgaben
pi ∗ qi für alle Güter
Herleitung der linearen Nachfrgaefunktion
Die Maximierung der quadratischen Nutzenfunktion U (q0 , q1 , q2 ) = q0 +α(q1 +q2 )−(β ∗q12 +2γq1 q2 +
βq22 )/2 unter Beachtung der Budgetrestriktion E = q0 + p1 q1 + p2 q2 :
Man bildet die Lagrangefunktion L = q0 + α(q1 + q2 ) − (β ∗ q12 + 2γq1 q2 + β ∗ q22 )/2 + λ[E − q0 −
p 1 q1 − p 2 q2 ]
∂L
∂q0 = 1 − λ = 0 ⇔ λ = 1
∂L
∂q1 = α − β ∗ q1 − γ ∗ q2 − λ ∗ p1 = 0
In die 2. Fukntion wird λ=1 eingesetzt:
α − β ∗ q1 − γ ∗ q2 = p1
Analog gilt:
α − β ∗ q2 − γ ∗ q1 = p 2
und man erhält das inverse Nachfragesystem. Multipliziert man die erste Gleichung mit β und die
zweite mit γ ergeben sich die folgenden Gleichungen:
β ∗ p1 = αβ − β 2 q1 − βγq2
γ ∗ p2 = αγ − γβq2 − γ 2 q1
Subtrahiert man diese beiden Gleichungen erhält man:
β ∗ p1 − γ ∗ p2 = α(β − γ) − (β 2 − γ 2 )q1 ⇔ (β 2 − γ 2 )q1 = α(β − γ) − (β ∗ p1 − γ ∗ p2 )
β
γ
− β 2 −γ
So ergibt sich: D1 (p1 , p2 ) = q1 = α(β−γ)
2 ∗ p1 + β 2 −γ 2 ∗ p2
β 2 −γ 2
18
Titel 2 Mikroökonomie der Haushalte
β
γ
α
qi = Di (p1 , p2 ) = a − b ∗ pi + d ∗ pj mit a = β+γ
; b = β 2 −γ
2 ; d = β 2 −γ 2
Hierbei entscheidet ist a immer positiv, b immer positiv (steigender Preis fürht zu sinkender Nachfrage) und γ über d und d damit darüber ob der gesamte Ausdruck substitutiv, unabhängig oder
komplementär ist.
Die beiden Güter sind:
• substitutiv für d>0; d.h. hier betrachten wir einen Markt
• komplementär für d<0; d.h. hier betrachten wir keinen Markt, sondern Interaktion
• unabhängig für d=0; d.h. hier betrachten wir getrennte Teilmärkte
Der Grenzfall eines homogenen Marktes (wird Gut 1 gegen Gut 2 substituiert ndet keine nutzenänderung statt) mit perfekt substituiven Gütern (β → γ) impliziert d → b → ∞, so dass eine
marginale Preisänderung einen riesigen Mengeneekt verursacht (Bsp. Benzin) und somit müssen wir
einen einheitlichen Marktpreis p=p1 = p2 beobachten können.
Aus dem inversen Nachfragesystem folgt so die inverse Marktnachfragefunktion:
p=α − β ∗ Q mit Q=q1 + q2
und die lineare Marktnachfragefunktion:
D(p)=( αβ ) − ( β1 )*p
Interpretation:
• Die quadratische Nutzenfunktionen (mit Numeraire-Gut) liefern analytisch leicht handhabbare
lineare Nachfragesysteme
• Im Gegensatz zu den CES-Nutzenfunktionen implizieren sie Sättigungsgrenzen
• Diese Sättigungsgrenzen liegen auf homogenen Märkten bei Q= αβ (hier ist p=0) und der Prohibitivpreis (darüber wird nicht mehr gekauft) bei p=α (hier ist Q=0)
• Das Einkommen verschwindet aus der linearen Nachfragefukntion, da q1 und q2 bis zur Sättigungsgrenze gekauft werden und danach E für q0 ausgegeben wird. Dabei wird unterstellt, dass
E komplett für q1 und q2 ausreicht.
• Im Vergleich zu den CES-Nutzenfukntionen ist die Verallgemeinerung auf den Fall mit n>2
dierenzierten Gütern weniger elegant, so dass die komparativen Vorteile der quadratischen
Nutzenfunktion vor allem im Zwei-Güter-Fall zum Ausdruck kommen
Verallgemeinerung
Die Maximierung der Nutzenfunktion
P
P P
U(q0 , q1 , ..., qn ) = q0 + α ni=1 qi − 21 ni=1 nj=1 βij qi qj
−β
mit βij = β mit i=j; βij = γmiti 6= j; α, β > 0; (n−1)
<γ<β
unter Beachtung
der
Budgetrestriktion:
P
E = q0 + ni=1 pi qi
liefert das inverse Nachfragesystem:
19
Titel 2 Mikroökonomie der Haushalte
P
pi = α − β ∗ qi − γ nj=1 qj mit i=1...n
und das Nachfragesystem:
P
qi = Di (p1 ...pn ) = a − b ∗ pi + d nj=1 pj mit i=1...n
α
a = (β+(n−1)γ)
(β+(n−2)γ)
b = (β−γ)(β+(n−1)γ)
γ
d = (β−γ)(β+(n−1)γ)
2.4 Faktorangebotsfunktion (Arbeitskraft)
Topics
• Konsum, Freizeit und Arbeitsangebot
Nutzenfunktionen mit Konsum und Freizeit
Konsum- und Arbeitsangebotsfunktioneb
• Intertemporaler Konsum, Kredit und Ersparnis
Intertemporale Nutzenfunktionen
Konsum- und Spar-(=Kapitalangebots-)funktionen
Konsum, Freizeit und Arbeitsangebot
Nutzenfunktion mit dem Konsum(index) c und der Freizeit f:
U(c,f)=α ∗ lnc + (1 − α)lnf
Budgetrestriktion (ohne Sparen/Kredit) bei gegebenem Kapitaleinkommen x und gegebenem Preis(index)
p=1:
x+w*l=c d.h. Kapitaleinkommen+Lohnsatz*Arbeitsstunden(=Lohneinkommen)=Konsum
Denition der Freizeit :
f = l − l mit l als maximale Arbeitsueit von 16 Stunden und f als Freizeit, l als Arbeitsstunden
Maximierung des Nutzens unter Beachtung der Nebenbedingungen:
L = α ∗ lnc + (1 − α) ∗ lnf + λ[x + wl − c]. Man setzt l=l-f ein:
L = α ∗ lnc + (1 − α) ∗ lnf + λ[x + w ∗ (l − f ) − c]
Dabei sind α, x, l die exogenen und c,f die endogenen Variablen.
∂L
α
∂c = c − λ = 0 ⇔ α = λ − c(I)
∂L
1−α
∂f = f − λ ∗ w = 0 ⇔ 1 − α = λ ∗ w ∗ f ⇔ 1 = λ ∗ (wf + c)(II)
Umformung der NB: x+wl=c ⇔ x + w(l − f ) = c ⇔ x + w ∗ l = wf + c(III)
1
(III) in (II): 1 = λ ∗ (x + w ∗ l) ⇔ λ = x+w∗l
(IV )
(IV) in (I) Konsumfunktion: α =
c
x+w∗l
(IV) in (II) Freizeitfunktion: 1 − α =
⇔ c = α ∗ (x + w ∗ l) mit
1
x+w∗l
∂c
∂w
∂c
> 0, ∂x
>0
∗ w ∗ f ⇔ f = (1 − α)(l +
x
w)
mit
∂f
∂w
< 0, ∂f
∂x > 0
Da f=l-l und damit Arbeitsangebotsfunktion l = f −l = (1−α)(l+ wx )−l = α∗l−(1−α)
x
∂l
w mit ∂w
>
20
Titel 2 Mikroökonomie der Haushalte
∂l
0, ∂x
<0
Intertemporaler Konsum, Kredit und Sparen
Hier erfolgt nun die Dynamisierung des Modells mit der Erweiterung auf mehrere Perioden.
Intertemporale Nutzenfunktion mit dem Konsum c1 in Periode 1 und c2 in Periode 2 sowie der konstanten Zeitpräferenzrate ρ>0:
1
U (c1 , c2 ) = u(c1 ) + 1+ρ
u(c2 )
mit U=Gesamtnutzen aller Perioden und u=Nutzen in einer Periode und
ρ=wie wichtig ist der zukünftige Nutzen im Vergleich zum heutigen (analog zu Zinsen); bei 0 wäre
zukünftiger Nutzen gleich dem heutigen Nutzen (unrealistisch); bei ∞ wäre zukünftiger Nutzen völlig
egal (unrealistisch)
Die Budgetrestriktion ergibt sich bei einem gegebenem Einkommen E in beiden Perioden und bei
dem Preis p=1 wegen:
c2 = E + (1 + r)(E − c1 ) als:
1
1
1
E + 1+r
= c1 + 1+r
c2 mit E=heutiges Einkommen (gleichbleibend), 1+r
E =morgiges Einkommen
1
(diskontiert), c1 =heutiger Konsum, 1+r c2 =morgiger Konsum (präferenzgekürzt)
(1 + r) ∗ c1 + c2 = (1 + r) ∗ E + E
Intertemporale Nutzenmaximierung liefert die Konsumfunktion c1 = c1 (r, ρ, E) mit
1
0, ∂c
∂E > 0
und die Sparfunktion s1 = s1 (r, ρ, E) = E − c1 mit
Beispielrechnung:
1
U (c1 , c2 ) = c12 +
1
∂s1
∂r
1
< 0, ∂c
∂ρ >
∂s1
1
> 0, ∂s
∂ρ < 0, ∂E > 0
1
1
2
1+ρ c2
1
1
1
1+r ∗ E − c1 − 1+r c2 ]
1
− 12
∂L
1 −2
∂c1 = 2 c1 − λ = 0 ⇔ c1 = 2λ(I)
1
− 12
1+ρ
∂L
1 −2
1
1
∂c2 = 2 ∗ 1+ρ c2 − λ 1+r = 0 ⇔ c2 = 2λ 1+r (II)
1
1+r
2
(I):(II): ( cc21 )− 2 = 1+ρ
⇔ cc12 = ( 1+ρ
1+r )
Zur Konsumfunktion muss man nun ∗c2 rechnen und
L = c12 +
∂c1
∂r
1
2
1+ρ c2
+ λ[E +
was ich heute
konsumiere:
(1+ρ)2 +(1+r)∗(1+ρ)2
c1 = (1+r)2 +(1+r)∗(1+ρ)2 ∗ E
die Budgetrestrktion einsetzen, dann weiÿ ich
Nach diesem Schema funktioniert auch die Sparfunktion:
(1+r)2 −(1+ρ)2
s1 = (1+r)
2 +(1+r)∗(1+ρ)2 ∗ E
Funktion für
den Konsum in Periode 2:
(1+r)2 +(1+r)
c2 = (1+ρ)
2 +(1+r) ∗ E
21
Titel 3 Produktionstechnologien und Unternehmensentscheidungen
Der Konsum ist deniert als:
c2
1+r
c1 = 1+ρ wobei da die Konsumfunktionen eingesetzt werden.
Er zeigt wie Wirtschaftssubjekte ihren Konsum einschätzen. Ein steigender Konsumpfad bedeutet der
Bruch ist gröÿer 0 und damit ρ<r, ist der Bruch kleiner 0 sinkt der Konsumpfad für ρ>r und bleibt
konstant für ρ=r
3 Produktionstechnologien und Unternehmensentscheidungen
3.1 Produktionstechnologie und Produktionsfunktionen
Topics
• Produktionsfaktoren und Produktionstechnologie
• Eigenschaften von Produktionsfunktionen
Die Grenzrate der technischen Substitution
Die Substitutionselastizität
Homogenität und Skalenelastizität
• Die CES-Produktionsfunktion als generische Produktionsfunktion
Produktionstechnologie
Wichtige Produktionsfaktoren xi :
• (Sach)Kapital K: Maschinen
• Arbeit L (hier einfache Arbeit)
• Humankapital H (wichtiger für später): das was man im Kopf hat und incht schriftlich niedergeschrieben (Erfahrung)
• Vorleistungen V
• Energie E
• Wissenskapital A: personenunabhängig, schriftlich niedergelegt
Die Produktionsfunktion q = F (x1 ...xn )
beschreibt die Produktionstechnologie, indem sie jeder Kombination von Faktoreinsätzen xi einen
Ertrag q zuordnet
Bsp.: Zwei Produktionsfaktoren Kapital x1 = K und Arbeit x2 = L
Produktionsfunktion: q=F(K,L)
22
Titel 3 Produktionstechnologien und Unternehmensentscheidungen
Wichtige Begrie:
• Diese Begrie stellen Durchschnitte dar
• F/K: Kapitalproduktivität: was eine z.B. Maschine im Schnitt produziert
• K/F: Kapitalkoezient
• F/L: Arbeitsproduktivität: was eine Arbeitskraft im Schnitt am Output beisteuert
• L/F: Arbeitskoezient
• L/K: Arbeitsintensität: hohe Arbeitsintensität deutet auf viele Beschäftigte hin
• K/L: Kapitalintensität
• Die Begrie stellen kardinale Werte dar
• FK =
∂F
∂K :
• FL =
∂F
∂L :
Grenzproduktivität des Kapitals
Grenzproduktivität der Arbeit
• F,K = FK ∗ K
F : (Partielle) Produktionselastizität des Kapitals: steigt der Kapitaleinsatz um
1%, um wieviel % steigt dann der Output
• F,L = FL ∗
K
L:
(Partielle) Produktionselastizität des Arbeit
Es gibt selten limitationale Produktionsfunktionen, sondern meistens zumindest teilweise substitutionale Produktionsfunktionen. Grundlegende Annahmen für substitutionale Produktionsfunktionen mit
den beiden Produktionsfaktoren K und L:
FK > 0, FKK < 0 = konkave Kapitalfunktion; FL > 0, FLL < 0= konkave Arbeitsfunktion; FKL > 0
= steigt L, dann steigt die Grenzproduktivität von K (viele L, dann lohnt sich K)
Das totale Dierential der Produktionsfunktion q=F(K,L) lautet:
dq = FK dK + FL dL
Grenzrate der technischen Substitution
Isoquante
Alle Kombinationen von Faktoreinsatzmengen (K,L), die zu einem gleichen Ertrag q führen.
Aus einer Isoquante gilt damit denitionsgemäÿ: dq=0 ↔
−dK
dL
=
FL
FK .
Die Grenzrate der technischen Substitution (GRTS):
|dK/dL| = FL /FK
gibt die Steigung einer Isoquante (als Absolutbetrag) in einem beliebigen Punkt an.
Substitutionselastizität
Die Substitutionselastizität (funktioniert wie bei Haushalten): wie schwierig ist es L für K zu substituieren
23
Titel 3 Produktionstechnologien und Unternehmensentscheidungen
d(K/L) d(FL /FK )
K/L : FL /FK
dln(FL /FK ) −1
[ dln(K/L) ]
σ=
=
d(K/L)
d(FL /FK )
:
K/L
FL /FK
=
ist ein Maÿ für die Krümmung einer Isoquante
Sie ist deniert als relative Änderung des Faktoreinsatzverhältnisses bezogen auf eine relative Änderung der Grenzrate der technischen Substitution.
Bsp.1: Cobb-Douglas-Produktionsfunktion F (K, L) = K α ∗ Lbeta
FL = β ∗ K α ∗ Lβ−1 = β ∗
F
FK = α ∗ K
⇒
β
FL
K
KL = α ∗ ( L ) ⇒
F
L
K
ln( αβ ∗ ( K
L )) = ln(β − α) + ln L ⇒
K
nach ln( L ) ableiten: σ = 1(1−1 = 1)
Bsp.2: CES-Produktionsfunktion F (K, L) = [K ρ + Lρ ]m/ρ
FL
FK
1−ρ ⇒ σ =
= (K
L)
1
1−ρ
Die Isoquanten unterschiedlicher CES-Produktionsfunktionen sieht man auf S.9 Skript:
σ = 0 ⇒ Kapital und Arbeit müssen perfekt aufeinander passen (Bagger und Baggerfahrer)
σ → ∞ ⇒ zwei Produktionsfaktoren sind völlig gleich (Zwillinge als Arbeitskräfte zwischen denen
man wählt)
σ = 1 ⇒ Cobb-Douglas
Skalenerträge
Was passiert wenn man alle Inputfaktoren gleichzeitig verdoppelt? Wird der Output verdoppelt, weniger oder mehr als verdoppelt?
→ Skalenerträge beschreiben die Ertragseekte einer simultanen und gleichmäÿigen Erhöhung aller
Faktoreinsätze
Bsp. für zwei Produktionsfaktoren K und L: Anlage Nr.6
24
Titel 3 Produktionstechnologien und Unternehmensentscheidungen
Homogenität
Homogene Produktionsfunktionen:
Eine Produktionsfunktion heiÿt homogen vom Grade m, wenn der λ-fache Einsatz aller Produktionsfaktoren zu einem λm -fachen Ertrag führt, wobei λ oft =2
• m>1: steigende Skalenerträge (z.B. Synergieeekte, Ezienzvorteile)
• m=1: konstante Skalenerträge = LINEAR-HOMOGENE FUNKTIONEN
• m<1: sinkende Skalenerträge (z.B. Platzprobleme)
Produktionsfunktionen mit dem Homogenitätsgrad m: Anlage Nr.8
25
Titel 3 Produktionstechnologien und Unternehmensentscheidungen
Bsp.1: Cobb-Douglas-Produktionsfunktion F (K, L) = K α ∗ Lβ
Es gilt:
(λ ∗ K)α ∗ (λ ∗ L)β = λα ∗ K α ∗ λβ ∗ Lβ = λα+β K α ∗ Lβ = λm F (K, L) mit m = α + β
Bsp.2: CES-Produktionsfunktion F (K, L) = [K ρ + Lρ ]m/ρ
Es gilt:
[(λ ∗ K)rho + (λ ∗ L)ρ ]m/ρ = [λρ ∗ (K ρ + Lρ )]m/ρ = λρ∗m/ρ ∗ [K ρ + Lρ ]m/ρ = λm ∗ [K ρ + Lρ ]m/ρ =
λm ∗ F (K, L)
Die Skalenelastizität
Eigenschaften homogener Produktionsfunktionen:
Die Skalenelastizität q,λ = (dq/dλ) : (q/λ) ist konstant
Aus der Produktionsfunktion:
q = F (λ ∗ K0 , λ ∗ L0 ) = λm ∗ F (K0 , L0 )
folgt:
dq
m−1 ∗ F (K , L )
0
0
dλ = m ∗ λ
d
m−1
=
λ
∗
F
(K
,
L
)
0
0
λ
q,λ = m
Die Skalenelastizität entspricht der Summe der partiellen Produktionselastizitäten
Aus der Produktionsfunktion:
q=F(K,L)
folgt:
dq = FK dK + FL dL (das ganze nun durch q(=F) teilen und um K bzw. L erweitern)
dq
K
dK
L dL
q = (FK ∗ F ) ∗ ( K ) + (FL ∗ F )( L )
Da alle Inputfaktoren sollen denitionsgemäÿ in gleicher Höhe wachsen, weshalb Division mit dλ/λ =
dK/K = dL/L ergibt:
q,λ = F,K + F,L
Im Fall der Cobb-Douglas-Produktionsfunktion gilt:
F = K α ∗ Lβ
F,K = α
F,L = β
q,λ = α + β
Klassikation nach Skalenerträgen:
• konstante Skalenerträge für α + β = 1
• sinkende Skalenerträge für α + β < 1
• steigende Skalenerträge für α + β > 1
26
Titel 3 Produktionstechnologien und Unternehmensentscheidungen
Die CES-Produktionsfunktion
Als generische Funktion dient die homogene CES-Produktionsfunktion:
q = A[aK ρ + (1 − a)Lρ ]m/ρ ; 0 < a < 1; m > 0; ρ ≤ 1
1
mit der Skalenelastizität m und der Substitutionselastizität σ = 1−ρ
K und L sind dabei zwei beliebige Produktionsfaktoren und müssen nicht unbedingt Arbeit und Kapital
darstellen.
a und 1-a müssen nicht in dieser Weise gewählt werden, dass sie 1 ergeben, so ist aber der Übergang
zur CD-Funktion möglich.
A ist der Technologieparameter (normalerweise durch Entwicklungsausgaben langfristig veränderbar),
der hier fest gegeben ist.
Beispiel: q = [K 2 + 2L 2 ]4
1
1
Man kann direkt ablesen, dass ρ = 12
1
Aus m
ρ = 4 und ρ = 2 ergibt sich m=2=Skalenelastizitätsgrad → steigende Skalenerträge
1
1
=2
Aus ρ = 12 ergibt sich σ = 1−ρ
= 1/2
Da 1K+2L gilt und die Vorfaktoren =1 ergeben müssen, muss a = 31 gewählt werden
Wegen dem teilen durch 3 muss der ganze Ausdruck auch mit 3 multipliziert werden. Da dann [3 ∗ ...]4
steht, wird dies vorgezogen und es gilt A = 34 = 81
Wichtiger Spezialfall der CES-Produktionsfunktion:
Für ρ → 0 muss man die Gleichung erst logarithmieren und dann L'hopital anwenden um anschlieÿend
den Grenzübergang durchzuführen. Es ergibt sich die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion:
A ∗ [k a ∗ L1−a ]m = A ∗ [K am ∗ L(1−a)m ] = A ∗ K α ∗ Lβ mit α = a ∗ m und β = (1 − a) ∗ m
Ist α + β = 1 so ist m=1
Bemerkung:
Da in der Markt- und Preistheorie zwar die Skalenelastizität, weniger aber die Substitutionselastizität
von Bedeutung ist, dient diese homogene CD-Produktionsfunktion im Folgenden als Standardbeispiel.
3.2 Die Minimalkostenkombination
Topics
• Die Isokostenlinie
• Kosteniminmierung bei gegebener Produktionsmenge
Graphische Lösung
Analytische Lösung
• Bestimmungsfaktoren der Produktionskosten
27
Titel 3 Produktionstechnologien und Unternehmensentscheidungen
Isokostenlinie
Die Minimalkostenkobination gibt die Faktoreinsatzmengen x∗i der einzelnen Produktionsfaktoren i an,
mit der eine gegebene Produktionsmenge q erzeugt werden kann und die bei gegebenen Faktorpreisen
vi , i=1...n die geringsten Kosten C verursacht (Kostenminimierung unter der NB der Produktionsherstellung). Dabei besitzt das Unternehmen keine Marktmacht, d.h. alle Faktorpreise sind exogen
gegeben (wie z.B. Löhne, Zinsen, ...).
Im Fall der beiden Produktionsfaktoren K und L mit den Faktorpriesen Zinssatz r und Lohnsatz
w folgt aus der Kostendenition die Isokostenlinie C=rK+wL
Vergleiche Anlage Nr.9
Minimalkostenkombination
Die Minimalkostenkombination (K*,L*) ergibt sich grasch als Tangentialpunkt einer gegebenen Isoquante und der niedrigst möglich Isokostenlinie. Für die Isokostenlinie gilt:
C=rK+wL ⇔ rK = C − wL ⇔ K = rc − wr ∗ L
L=0: K= Cr
K=0: Cr = wr ∗ L ⇔ L = C
w
Damit ist q gerade noch zu produzieren.
Steigt q, d.h. will ich mehr produzieren, muss ich wegen festem w und r C erhöhen = je mehr
ich produziere umso höher die Kosten
Steigt r (auf r') wird die Kostenfunktion acher = es ist ein geringeres Produktionsniveau nötig oder
höhere Kosten entstehen um q zu halten
Steigt w (auf w') wird die Kostenfunktion steiler = es ist ein geringeres Produktionsniveau nötig oder
höhere Kosten entstehen um q zu halten
⇒ C=C(r,w,q) und K,L sind als endogene Faktoren in Entscheidung des Unternehmens und somit in
der Kostenfunktion nicht enthalten.
Die analytische Lösung erfolgt durch die Minimierung der Kosten unter der NB dass eine bestimmte
Menge produziert wird, da sonst die Kosten auf 0 minimiert würden.
L=rK+wL+λ[q-F(K,L)]
Optimalitätsbedingungen:
dL
∂F
dK = r − λ ∗ ∂K = 0 ⇔ r = λ ∗ FK (I)
dL
∂F
dL = w − λ ∗ ∂L = 0 ⇔ w = λ ∗ FL (II)
(I):(II)= wr = FFKL und dies ist = − dK
dL
Damit folgt: Das Verhältnis der Faktorpreise ist gleich dem Verhältnis der Grenzproduktivitäten ist
gleich der Grenzrate der technischen Substitution.
Anders ausgedrückt: In der MKK entspricht die Steigung der Kostenfunktion (Verhältnis Faktorpreise)
der steigung der Isoquante (GRTS)
Bestimmungsfaktoren der Produktionskosten
Die minimalen Kosten der Herstellung einer bestimmten Gütermenge
• steigen mit dem Zins
28
Titel 3 Produktionstechnologien und Unternehmensentscheidungen
• steigen mit dem Lohnsatz
• steigen mit der Produktionsmenge
Der funktionale Zusammenhang wird durch die Kostenfunktion beschrieben.
3.3 Kosten- und bedingte Faktornachfragefunktionen
Topics
• Kostenfunktionen
• Dualität von Produktions- und Kostenfunktionen
• Kostenfunktionen mit quasixen Produktionsfaktoren
• bedingte Faktornachfragefunktionen
• Shepards Lemma
Der Dualitätsansatz
Die Kostenfunktion C = C(v1 ...vn , q)
ordnet jeder Kombination von Faktorpreisen vi , i=1...n und geplantem Ertrag q die minimale Produktionskosten C zu.
Bsp.:
Im Fall der beiden Produktionsfaktoren K und L mit der Faktorpreisen r und w ergibt sich die Kostenfunktion:
C=C(r,w,q)
mit Cr > 0, Cw > 0, Cq > 0
Wir gehen von der CD-Produktionsfunktion aus: q = K α Lβ
Die Lagrangefunktion lautet: L = rK + wL + λ[q − K α Lβ ]
Optimalitätsbedingungen:
q
q
dL
dK = r − λ ∗ α ∗ K = 0 ⇔ r = λ ∗ α ∗ K ⇔ rK = λ ∗ α ∗ q(I)
q
q
dL
dL = w − λ ∗ β ∗ L = 0 ⇔ w = λ ∗ β ∗ L ⇔ wL = λ ∗ β ∗ q(II)
(I)+(II): C = λ ∗ (α + β) ∗ q
Man versucht nun λ zu bestimmen. Dazu wird Gleichung (I):r und (II):w gerechnet:
β
K = λ ∗ αr ∗ q(III) und L = λ ∗ w
∗ q(IV )
α
β
(III) ∗ (IV ) ergibt:
β β
) ∗ q α+β
q = λα+β ∗ ( αr )α ∗ ( w
r
β
λα+β = q 1−α−β ∗ ( α )α ∗ ( w
β)
Das ganze nun
1−α−β
α+β
1
α+β
( αr )
ergibt:
alpha
α+β
beta
α+β
λ=q
∗
∗ (w
β)
Setzt man nun dieses λ in obige Kostenfunktion ein erhält man:
α
β
1
α+β ∗ q α+β
C = (α + β) ∗ ( αr ) α+β ∗ ( w
β)
29
Titel 3 Produktionstechnologien und Unternehmensentscheidungen
wobei dieses q entsteht durch: q 1 ∗ q
1−α−β
α+β
α+β
= q α+β
+ 1−α−β
α+β
Die Kostenfunktion beruht auf den optimalen Faktoreinsatzmengen. Dazu muss in obiger Rechnung
das λ in (III) und (IV) eingesetzt werden:
−β
β
1
α+β ∗ q α+β
K∗ = ( αr ) α+β ∗ ( w
β)
α
−α
1
α+β ∗ q α+β
L∗ = ( αr ) α+β ∗ ( w
β)
Für K* gilt: Positiver Einsatz von w und q führen zur Steigerung von K, positiver Einsatz von r führt
zum Sinken von K
Für L* gilt: Positiver Einsatz von r und q führen zur Steigerung vin L, positiver Einsatz von w führt
zum Sinken von L
Insgesamt deshalb: Steigt r führt das zum Rückgang von K, aber zur Steigung von L, umgekehrtes
gilt für w. Dies ist der Substitutionseekt.
Über die Skalenelastizität α + β kann man weitere Aussagen über die Kosten machen:
Ist sie >1, dann steigen die Kosten unterproportional (C=...q 1/2 =konkav)
Ist sie =1, dann steigen die Kosten proportional (C=...q=linear)
Ist sie <1, dann steigen die Kosten überproportional (C=...q 2 =konvex)
Die Durchschnittskostenfunktion
lautet:1
alpha
alpha
1−α−β
beta
beta
C
r α+β
w α+β
α+β ∗ q −1 = (α + β) ∗ ( r ) α+β ∗ ( w ) α+β ∗ q α+β
=
(α
+
β)
∗
(
)
∗
(
)
∗
q
q
α
β
α
β
Über die Skalenelastizität α + β kann man weitere Aussagen über die Stückkosten machen:
Ist sie >1, dann sinken die Stückkosten mit zunehmender Produktion
Ist sie =1, dann sind die Stückkosten unabhängig von der Menge = konstante Stückkostenfunktion
Ist sie <1, dann steigen die Stückkosten mit zunehmender Produktion
Die Grenzkostenfunktion
lautet:beta
alpha
∂C
r α+β
α+β ∗
∗ (w
∂q = (α + β) ∗ ( α )
β)
1
α+β
∗q
1
1− α+β
alpha
beta
α+β ∗ q
= ( αr ) α+β ∗ ( w
β)
1−α−β
α+β
Kurzfristige Kostenfunktionen
Langfristig können zwar alle Produktionsfaktoren als variabel angesehen werden (wie oben), kurzfristig
sind aber einge Produktionsfaktoren als unveränderbar (quasix) anzusehen. Kapital (Maschinen, Gebäuden) können normalerweise nicht gut verkauft werden, sind also quasix. Unqualizierte Arbeiter
können leicht entlassen und eingestellt werden, sind also variabel.
Im Schaubild kann man dann bei variablem L für das jeweilige q und festes K das Optimum nden.
α
Die zur Cobb-Douglas-Produktionsfunktion q = K Lβ duale kurzfristige Kostenfunktion beruht auf
dem Arbeitseinsatz
−α/β 1/β
q
(CD-Produktionsfunktion nach L aufgelöst)
L∗ = K
und lautet für L* in die Kostenfukntion C = rK + wL eingesetzt:
−α/β 1/β
C = rK + wK
q
Sie tangiert die langfristige Kostenfunktion C bei der Produktionsmenge, für die der quasixe Kapi-
30
Titel 3 Produktionstechnologien und Unternehmensentscheidungen
taleinsatz K gerade dem optimalen Kapitaleinsatz K* enspricht, liegt aber sonst immer drüber.
Vergleiche Anlage Nr.10
Bedingte Faktornachfragefunktionen
Bedingte, d.h. auf bestimmte Produktionsmengen konditionierte Faktornachfragefunktionen werden
im Zuge der Kostenminimierung automatisch abgeleitet.
Ausgehend von einer dualen Kostenfunktion lassen sie sich sehr einfach durch Shepards Lemma ableiten:
∂C
Shepards Lemma ∂v
= xi
i
dC
Als Beispiel ist dw =Arbeitsnachfragefunktion L
Shepards Lemma
Im Fall der beiden Produktionsfaktoren K und L mit den Faktorpreisen r und w folgt aus der Anwendung von Shepards Lemma die Kapitalnachfragefunktion:
∂C
∂r = K ∗ (r, w, q)
mit K∗r < 0, K∗w > 0, K∗q > 0
und die Arbeitsnachfragefunktion:
∂C
∂w = L ∗ (r, w, q)
mit L∗r > 0, L∗w > 0, L∗q > 0
Im Standardbeispiel:
Aus der langfristigen CD-Kostenfunktion:
1
r α
w β
C = (α + β) ∗ ( ) α+β ∗ ( ) α+β q α+β
α
β
(1)
folgen nach Shepard Lemma die bedingten Faktornachfragefunktionen:
K∗ =
L∗ =
∂C
∂r
∂C
∂w
−β
β
1
(2)
α
α+β
−α
α+β
1
α+β
(3)
(4)
α+β q α+β
= ( αr ) α+β ( w
β)
= ( αr )
(w
β)
q
Aus der kurzfristigen CD-Kostenfunktion:
C = rK + wK
−α
β
1
q β (wobeirK = F ixkosten)
(5)
folgt nach Shepards Lemma die bedingte Arbeitsnachfragefunktion:
L∗ =
−α 1
∂C
= K β qβ
∂w
(6)
Wie man hier sieht spiegeln hier Produktionsfunktion und Kostenfunktion gleiche Technologien wieder,
d.h. um die bedingte Faktornachfragefunktion zu erhalten ist es egal ob man von der Produktionsfunktion oder der Kostenfunktion ableitet.
31
Titel 3 Produktionstechnologien und Unternehmensentscheidungen
3.4 Güterangebots- und Faktornachfragefunktionen
Topics
• Güterangebotsfunktionen
• Faktornachfragefunktionen
• Gewinnfunktionen
• Hotellings-Lemma
Güterangebotsfunktion
Grundlegende Annahmen:
Steigende Grenzkosten und gegebener Güterpreis (vollkommene Konkurrenz)
Dann ordnet die Güterangebotsfunktion:
q∗ = q(p, v1 ...vn )
jeder Kombination von Güterpreis p und Faktorpreisen vi , i=1...n, die optimale Produktionsmenge q*
zu.
Im Fall der beiden Produktionsfaktoren K und L mit den Faktorpreisen r und w lautet die Güterangebotsfunktion:
∂q∗
q*=q(p,r,w) mit ∂q∗
∂p > 0, ∂r(w) < 0
Die optimale Produktionsmenge ergibt sich aus der Maximierung des Gewinns (der tatsächliche Gewinn ohne Rückstellungen oder Bilanztricks) mit p,r,w gegeben: Π=pq-C(r,w,q)
Da q als einziger Faktor frei disponierbar ist, ergibt sich die notwendige Optimalitätsbedingung:
∂Π
∂C(r, w, q)
=p−
=0
∂q
∂q
(7)
folgt die Outputregel:
p=
∂C(r, w, q)
∂q
(8)
so dass gilt: Preis=Grenzkosten und damit die Güterangebotsfunktion:
q*=q(p,r,w)
Im Standardbeispiel mit der Cobb-Douglas-Kostenfunktion:
1
r α
w β
C = (α + β) ∗ ( ) α+β ∗ ( ) α+β q α+β
α
β
(9)
lautet die Outputregel:
r α
w β 1−α−β
p = ( ) α+β ∗ ( ) α+β q α+β
α
β
(10)
32
Titel 3 Produktionstechnologien und Unternehmensentscheidungen
Auösung nach der Produktionsmenge liefert die Güterangebotsfunktion:
(α+β)
r −α w −β
q∗ = p (1−α−β) ( ) 1−α−β ( ) 1−α−β
α
β
(11)
Anmerkungen zum Thema Güterangebotsfunktionen
Für steigende Grenzkosten entsprechen sich aufgrund der Outputregel die Grenzkostenfunktion und
die Angebotsfunktion eines UN in einem Punkt, so dass man q bestimmen kann
Bei konstanten Skalenerträgen gibt es auch konstante Grenzkosten:
• Liegen die Grenzkosten über p ndet keine Produktion statt
• Liegen die Grenzkosten unter p will UN unendlich viel produzieren
• Liegen die Grenzkosten auf p macht das UN kein Gewinn
Vergleiche Schaubild: Anlage Nr.11
Für zunächst fallende Grenzkosten ist nur der steigende Teil der Grenzkostenfunktion ab bestimmten
Preisuntergrenzen relevant, d.h. q1 ist keine Lösung, da bis dorthin nur Verlust (SOC nicht beachtet)
und q2 möglich, da zwischen q1 und q2 jedes Stück Gewinn bringt, danach aber wieder Verlust
• Kurzfristig muss der Preis über dem Betriebsminimum liegen d.h. über den variablen Durchschnittskosten: p > Cqv
• Langfristig muss der Preis über dem Betriebsoptimum liegen d.h. über den gesamten Durchschnittskosten: p > Cq
• Produziert wird bis q2 wenn der Gewinn zwischen q1 und q2 gröÿer ist als der Verlust zwischen
q0 und q1
Faktornachfragefunktionen
Die unbedingte Faktornachfragefunktion xi ∗ = xi (p, v1 ...vn )
∂xi ∗
i∗
mit ∂x
∂p > 0, ∂vi < 0
ordnet jeder Kombination von Güterpreis p und Faktorpreisen vi ,i=1...n die optimale Faktornachfrage
xi ∗ zu
Unbedingte Faktornachfragefunktionen ergeben sich aus den bedingten Faktornachfragefunktionen:
xi ∗ = xi (v1 ...vn , q∗) unter Verwendung der Güterangebotsfunktion q*=q(p,r,w)
Im Standardbeispiel mit den bedingten Faktornachfragefunktionen:
−β
K∗
β
1
α+β ∗ q (α+β)
= ( αr ) α+β ∗ ( w
β)
α
β
1
w α+β
)
L∗ = ( αr ) α+β ∗ ( −α
∗ q (α+β)
(12)
(13)
(14)
33
Titel 3 Produktionstechnologien und Unternehmensentscheidungen
und der Güterangebotsfunktion:
(α+β)
−β
−α
r
w
q∗ = p (1−α−β) ∗ ( ) (1−α−β) ∗ ( ) (1−α−β)
α
β
(15)
ergeben sich die (unbedingten) Faktornachfragefunktionen:
(1−β)
1
−β
− (1−α−β) w 1−α−β
(β)
(16)
1
−α
(1−α−β)
(17)
(18)
K∗ = p 1−α−β ( αr )
L∗ = p 1−α−β ( αr )
(w
β)
1−α
− 1−α−β
Hier sieht man, dass hoher Lohn und hoher Zins zu niedrigem Output führen ⇔ Haushaltssektor
Gewinnfunktionen
Bei stiegenden Grenzkosten und vollkommener Konkurrenz ordnet die Gewinnfunktion:
Π∗ = Π(p, v1 ...vn )
jeder Kombination von Güterpreis p und Faktorpreisen vi , i=1...n den maximalen unternehmerischen
Gewinn Π∗ zu.
Im Fall der beiden Produktionsfaktoren Kapital und Arbeit mit den Faktorpreisen r und w lautet die
Gewinnfunktion: Π∗ = Π(p, r, w)
∂Π∗
mit ∂Π∗
∂p > 0, ∂r(w) < 0, d.h. der Gewinn steigt mit dem Preis und fällt mit den Faktorpreisen
Im Standardbeispiel mit der Kostenfunktion:
1
w β
r α
C = (α + β) ∗ ( ) α+β ∗ ( ) α+β q α+β
α
β
(19)
und der Güterangebotsfunktion:
(α+β)
−β
−α
r
w
q∗ = p (1−α−β) ∗ ( ) (1−α−β) ∗ ( ) (1−α−β)
α
β
(20)
ergibt sich die Gewinnfunktion:
(21)
pq ∗ −C(q∗)
Π∗ =
(1 − α − β)( αr )
(1 − α − β)p
1
1−α−β
α
α+β
( αr )
(w
β)
β
α+β
−α
(1−α−β)
q∗
1
α+β
(w
β)
−β
(1−α−β)
(22)
(23)
Hotellings Lemma
Güterangebots- und Faktornachfragefunktionen lassen sich sehr leicht aus der Gewinnfunktion durch
34
Titel 4 4: Vollkommene Konkurrenz
Hotellings Lemma ableiten:
∂Π∗
= q∗
∂p
(24)
−∂Π∗
= xi ∗
∂vi
(25)
Im Fall der beiden Produktionsfaktoren K und L erhält man die Kapitalnachfragefunktion:
−∂Π∗
= K ∗ (p, r, w)
∂r
und die Arbeitsnachfragefunktion
(26)
−∂Π∗
= L ∗ (p, r, w)
∂w
(27)
Im Standardbeispiel folgen aus der Gewinnfunktion:
−β
−α
1
r
w
(1 − α − β)p 1−α−β ( ) (1−α−β) ( ) (1−α−β)
α
β
(28)
durch Anwendung von Hotellings Lemma die Güterangebotsfunktion:
q∗ =
(α+β)
−β
−α
∂Π
r
w
= p (1−α−β) ∗ ( ) (1−α−β) ∗ ( ) (1−α−β)
∂p
α
β
(29)
sowie die Faktornachfragefunktionen:
1
L∗ = p
1
1−α−β
(1−β)
−β
− (1−α−β) w 1−α−β
(β)
(30)
−α
(1−α−β)
(31)
(32)
K∗ = p 1−α−β ( αr )
( αr )
(w
β)
1−α
− 1−α−β
Ein komplettes Berechnungsbeispiel ndet sich in der Anlage Nr.12
4 4: Vollkommene Konkurrenz
Eigenschaften der Marktform der vollkommenen Konkurrenz (hier realistisch, sondern zur Vereinfachung):
• Polypol (sehr viele atomistisch kleine Unternehmen): keiner hat Marktmacht (d.h. Preise, Zinsen,... gegeben)
• Homogenität der Güter (keine Dierenzierung möglich)
35
Titel 4 4: Vollkommene Konkurrenz
• keine persönlichen, zeitlichen oder räumlichen Präferenzen der Konsumenten
• vollständige Informationsstruktur
4.1 Marktangebot
Ausgangspunkt: Man hat eine quadratische Kostenfunktion und sinkende Skalenerträge (α + β =0,5
als Bsp.)
Einfaches Vorgehen:
Bei zweien addiert man einfach für jeden Preis das jeweilige Angebot und erhält die Markangebotsfunktion
Siehe Grak Anhang
Die Marktangebotsfunktion S(p) ergibt sich aus der horizontalen Aggregation der Güterangebotsfunktionen aller Unternehmen. Dabei werden die Unternehmen als symmetrisch angenommen mit gleicher
individueller Angebotsfunktion.
Beispiel einer linearen Güterangebotsfunktion eines Unternehmens: qi ∗ = ki ∗ p
Marktangebotsfunktion bei n symmetrischen Unternehmen: S(p)=k*p mit k = n ∗ ki (funktioniert
nur bei Polypol, da n dort sehr groÿ)
Siehe Anhang Nr.13
Die Preiselastizität des Marktangebots ist deniert als:
S,p =
∂S(p)
∂p
S(p)
p
(33)
Sie gibt an um wie viel Prozent sich die Angebotsmenge erhöht wenn sich der Preis um 1 Prozent
erhöht.
Im Beispiel:
k
k =1
4.2 Marktnachfrage
Ausgangspunkt: Man hat eine quadratische Nutzenfunktion und homogene Güter
Einfaches Vorghen
Siehe Grak Anlage Nr.14
Die Marktnachfragefunktion D(p) ergibt sich aus der horizontalen Aggregation der Güternachfragefunktionen aller Haushalte. Dabei ist m ein Durchschnitthaushalt.
Beispiel einer linearen Güternachfragefunktion eines Haushalts: Di (p) = ai − bi ∗ p
Marktnachfragefunktion: D(p)=a-b*p mit a = m ∗ ai , b = m ∗ bi
36
Titel 4 4: Vollkommene Konkurrenz
Die Preiselastizität der Marktnachfrage ist deniert als:
D,p =
∂D(p)
∂p
D(p)
p
<0
(34)
Im Beispiel:
−b : ap − b
Dies ist in keinem Fall konstant, sondern bewegt sich zwischen:
Sättigungspreis p → 0 und damit → 0
Prohibitivpreis → −∞
Will man eine konstante Elastizität muss man von der CES-Nutzenfunktion ausgehen, da dann die
Marktnachfrage eine konvexe Kurve ist und diese isoelastisch ist
4.3 Marktgleichgewicht
Das Gleichgewicht (p*,Q*) auf einem Gütermarkt ergibt sich mit Q=S(p)=D(p)
S(p)=k*p, D(p)=a-b*p
S(p)=D(p)
k*p=a-b*p ⇔ a=(b+k)*p
a
P ∗ = b+k
und wenn man p* in D(p) einsetzt:
ak
Q∗ = b+k
Anlage Nr.15
Zur Stabilität des Gleichgewichts:
• in p1 herrscht Überangebot
Setzt ein Unternehmen einen geringeren Preis, strömen alle Nachfrager dorthin; andere Unternehmen werden mit der Preissenkung folgen bis zum Gleichgewichtspreis
→ höhere Preise führen zu einem Preisunterbietungswettbewerb der Unternehmen
• in p2 herrscht Übernachfrage
Bietet ein Nachfrager einen höheren Preis, bekommt er alle Angebote; weitere Nachfrager werden damit folgen bis zum Gleichgewichtspreis
→ niedrigere Preise führen zu einem Preisüberbietungswettbewerb der Haushalte
• Bei starren Preisen kann es zur Rationierung der Haushalte oder der Unternehmen kommen
In der Haushalts- und Unternehmenstheorie war der Preis immer gegeben, dies liegt wie wir hier
sehen daran dass der Gleichgewichtspreis der optimale Punkt ist, von dem es sich für keinen lohnt
abzuweichen.
37
Titel 4 4: Vollkommene Konkurrenz
4.3.1 Arbeits- und Kapitalmärkte
Der Arbeitsmarkt
• Das Arbeitsangebot der Haushalte steigt mit steigendem Lohnsatz
• Die Arbeitsnachfrage der Unternehmen sinkt mit steigendem Lohnsatz
• Bei exiblen Lohnsätzen wird der Arbeitsmarkt geräumt
• Bei zu hohen starren Lohnsätzen werden die Haushalte rationiert: denn bei höheren Löhnen sind
mehr bereit zu arbeiten als Unternehmen einstellen = Arbeitslosigkeit
• Warum bieten UN trotzdem diesen hohen Lohn? Es gibt Motivationsgründe und Betriebstreuegründe
• Vergleiche Grak
Der Kapitalmarkt
• Das Kapitalangebot der Haushalte (Ersparnis) steigt mit steigendem Zinssatz
• Die Kapitalnachfrage der Unternehmen sinkt mit stiegendem Zinssatz
• Bei exiblen Zinssätzen wird der Kapitalmarkt geräumt
• Vergleiche Grak
Anlage Nr.16+17
38
Titel 5 5: Unvollkommene Konkurrenz
4.4 Produzentenrente, Konsumentenrente und Wohlfahrt
Die Konsumentenrente ist deniert als Dierenz zwischen der Zahlungsbereitschaft und der Zahlungsverpichtung der Haushalte auf einem Gütermarkt:
Z
p
KR =
(35)
D(p)dp
p∗
mit dem Steigungsparameter 1/-1 gilt:
KR =
Die
(p − p∗)2
2
(36)
Produzentenrente ist deniert als der Gewinn der Unternehmen auf einem Gütermarkt:
p∗
Z
(37)
S(p)dp
PR =
0
im Monopolfall bei konstanten Grenzkosten gilt:
πM =
(1 − c)2
4
(38)
Die Wohlfahrt ist deniert als die Summe von Konsumentenrente und Produzentenrente:
W=KR+PR
Rechenbeispiel
Bei den linearen Angebots- und Nachfragefunktionen:
S(p)=p und D(p)=1-p
ergibt sich ein Marktpreis P*=0,5 (aus S(p)=D(p)) und damit:
Z
1
(1 − p)dp =
KR =
0.5
Z
PR =
0,5
pdp =
0
1
8
1
8
(39)
(40)
und die Wohlfahrt ist damit W=0,25
5 5: Unvollkommene Konkurrenz
5.1 Monpolistisches Marktverhalten
Man vereinfacht nun die jeweiligen Funktionen stark: α + β = 1 und die Skalenerträge=1, auÿerdem
Währungs- und Mengenangaben transformiert, so dass:
• standardisierte Marktnachfragefunktion D(p)=1-p, wobei a=1 und b=1
39
Titel 5 5: Unvollkommene Konkurrenz
• C=c*q mit konstanten, identischen Produktionsstückkosten c= Grenzkosten
Die grasche Lösung (Anlage Nr.7)für den optimalen Preis in diesem Fall im Vergleich zum Polypol
siehe Skript: Konstruktion des Monopolpreises:
Strecke von c bis p halbieren oder
Grenzerlöskurve (1-2q)= Grenzkostenkurve (c) und im Schnittpunt liegt dann die optimale Menge
von der man den Preis nden kann.
40
Titel 5 5: Unvollkommene Konkurrenz
Die analytische Lösung:
Gewinn: Π=p*q-C=p*q-c*q=(p-c)*q= entweder (p-c)*(1-p) (oder =((1-q)-c)*q) (Gewinngleichung)
dΠ
Maximiere: dΠ
dp =1-2p+c=0 (oder dq =1-2q+c=0)
1−c
Optimaler Monopolpreis: p = 1+c
2 = c + 2 (=im Schaubild die Hälfte der Strecke zwischen c und
1)
Optimale Monopolmenge (p in D(p)=1-p)= 1−c
2
2
Monopolgewinn (p in Π)=Π= (1−c)
4
Wohlfahrt im Monopolfall
Aus dem im vorigen Kapitel gemachten Beispiel ergibt sich:
1−c 2
2
KR = (1 − p)2 /2=[Monopolpreis einsetzen]=(1 − 1+c
2 ) /2 = ( 2 ) /2 =
(1−c)2
4
π M + KRM
(1−c)2
8
P R = πM =
2
2
WM =
= (1−c)
+ (1−c)
= 38 (1 − c)2
8
4
Dabei wird bei steigendem c immer weniger nachgefragt und immer weniger produziert, da p* die
Hälfte der Strecke zwischen Kosten und Prohibitivpreis ist: geringere Wohlfahrt
Wohlfahrtsverlust
Die Maximierung der Wohlfahrt:
2
W = P R + KR = (p − c)(1 − p) + (1−p)
:
2
∂W
∂p = (1 − 2p + c) + (1 − p)(−1) = 0
liefert den wohlfahrtsoptimierenden Preis: p=c, so dass gilt:
2
π = 0, W = KR = (1−c)
2
und damit beläuft sich der Wohlfahrtsverlust (deadweight loss) auf
(1−c)2
8
Grasch:
Das Schaubild zeigt die neue Wohlfahrt. Im vergleich zur oben gezeichneten ist das vorher verlorene
gepunktete Dreieck, dass durch einen höheren Preis entstanden ist (geringere Menge), hier wieder
enthalten ⇒ dieses Dreieck stellt den Wohlfahrtsverlust dar.
Da p=c im Polypol gilt, schat diese Marktform das Wohlfahrtsoptimum
5.1.1 Ausblick: Mikroökonomie II
Preissetzungstrategien eines Monopolisten bei unterschiedlichen Gütereigenschaften:
• Preisbildung bei veredelten und Einzelhandelsgütern
• Preisdiskrimierung bei nicht-transferierbaren Gütern
• Intertemporale Preisdierenzierung bei Gebrauchsgütern
• Auktionspreise bei unteilbaren und verderblichen Gütern
• Preissignale für Qualität bei Erfahrungsgütern
41
Titel 5 5: Unvollkommene Konkurrenz
5.2 Oligopolistischer Wettbewerb
Topics
• Oligopoltheorie und Spieltheorie
• Mengenwettbewerb
Das Cournot Modell
Das Stackelberg Modell
• Preiswettbewerb
Das Betrand Modell
Das Standardmodell des Preiswettbewerbs
Das Dixit/Stiglitz Modell der monopolistischen Konkurrenz
5.3 Oligopoltheorie und Spieltheorie
Die meisten Märkte sind durch oligopolistische Marktstrukturen, d.h. durch eine mittlere Zahl n von
Konkurrenten gekenntzeichent.
Der Monopolfall und der Polypolfall sind Grenzfälle mit n=1 und n=∞
Gerade bei wenigen Konkurrenten spielt deren strategische Interaktion eine wesentliche Rolle.
Mathematische Grundlagen für die Analyse von Entscheidungssituationen bei strategischer Interaktion
weniger Entscheidungsträger ist die Spieltheorie.
Am stärksten ist diese strategische Interaktion bei nur zwei Konkurrenten im Markt. Strategische
Eekte werden daher meist für den Duopolfall analysiert.
Spieltheoretische Konzepte
Je nach Entscheidungssequenz und Informationsstruktur verwendet man:
• das Nash-Gleichgewicht von Nash (1951) in statischen Spielen mit vollständiger Information
• das teilspielperfekte Nash-Gleichgewicht von Selten (1965) in dynamischen Spielen mit vollständiger information
• das bayesianische Gleichgewicht von Harsanyi (1967/68) in statischen Spielen mit unvollständiger Information
• das perfekte bayesianische Gleichgewicht von Selten (1975) in dynamischen Spielen mit unvollständiger Information
42
Titel 5 5: Unvollkommene Konkurrenz
Das Nash-Gleichgewicht
Im Fall von 2 Spielern (Unternehmen) mit den Auszahlungen (Gewinn) π i , i = 1, 2 und mit den
Aktionsparametern (Entscheidungsvariablen) si liegt immer dann ein Nashgleichgewicht (s1 ∗, s2 ∗)
vor falls gilt:
π 1 (s1 ∗, s2 ∗) ≥ π 1 (s1 , s2 ∗) (Abweichung s1 )
π 2 (s1 ∗, s2 ∗) ≥ π 2 (s1 ∗, s2 ) (Abweichung s2 )
d.h. falls eine einseitige Abweichung eines Spielers i von der Strategie si ∗ nicht zu einer Erhöhung
seiner Auszahlung führt. ABER: eine zweiseitige Abweichung kann sogar relativ häug zu höheren
Auszahlungen führen.
Aktionsparameter können in Grundmodellen entweder die Preise pi (bei Preiswettbewerb) oder die
Mengen qi (bei Mengenwettbewerb) sein.
Das teilspielperfekte Nash-Gleichgewicht
Das teilspielperfekte Nash-Gleichgewicht erfordert im Fall einer sequenziellen Entscheidungsstruktur,
dass die Entscheidungen auf jeder Spielstufe ein Nash-Gleichgewicht darstellen.
Die Lösung eines teilspielperfekten Nash-Gleichgewichts erhält man allgemein in drei Schritten:
• bedingte Bestimmung der Entscheidungen auf der letzten Spielstufe, wobei alle auf früheren
Spielstufen getroenen Entscheidungen als allseits bekannt und nicht mehr veränderbar unterstellt werden
• Sukzessive bedingte Bestimmung der Entscheidungen auf der jeweils zeitlich vorgelagerten Spielstufe in analoger Weise, wobei die Auswirkungen auf alle nachfolgenen Entscheidungen korrekt
antizipiert werden (Rückwärtsinduktion)
• Unbedingte Bestimmung aller Entscheidungen gemäÿ ihrer zeitlichen Abfolge, mit der ersten
Spielstufe beginnend (Vorwärtsrechnung)
5.4 Mengenwettbewerb: Cournot-Modell
Annahmen:
• Standardisierte Marktnachfragefunktion D(p)=1-p
• Konstante und identische Produktionsstückkosten c1 = c2 = c
Maximierung der Gewinne:
Π(q1 , q2 ) = (1 − qi − qj − c)qi mit i, j = 1, 2 und i 6= j
Π1 (q1 , q2 ) = (1 − q1 − q2 − c) ∗ q1
∂Π1 (q1 ,q2 )
= 1 − 2q1 − q2 − c = 0
∂q1
→ R1 (q2 ) = q1 = 1−q22 −c
dq1
→ R10 (q2 ) = dq
= −0, 5
2
43
Titel 5 5: Unvollkommene Konkurrenz
Analog für Unternehmen 2:
R2 (q1 ) = q2 = 1−q21 −c
X beruhend auf zufälliges a
→ q1 wählt b dabei
aber: q2 kann sich mit c besser stellen, also kein Nash-GG
Schaubild:
Reaktionsfunktionen und Isogewinnlinien im Cournot-Modell
Isogewinnlinien: Gewinn auf der ganzen Kurve gleich → Gewinn am gröÿten bei kleinster Isogewinnlinie, nämlich Schnittpunkt R mit q-Achse
Berechnung Nash-GG
Im Symmetriefall gilt: q1 = q2 = q∗
Das Nash-GG lieht im Schnittpunkt der Reaktionskurven:
Π = 1 − 3q C − c = 0
q C = 1−c
3
Mit diesen Produktionsmengen ergibt sich der Marktpreis durch einsetzen in 1 − 2q C :
pC = 1 − 2 ∗ (1−c)
= 3−2+2c
= (1+2c)
= c + (1−c)
3
3
3
3
Und die Unternehmensgewinne:
0,25(1−c)
1−c
1
2
ΠC = (p − c)q C = (c + 1−c
(halber Monopolgewinn)
3 − c) ∗ 3 = 9 (1 − c) <
2
Kartellabsprachen
Durch eine Kartellabsprache könnten sich die Unternehmen auf den Monopolpreis pM = c+0, 5(1−c)
einigen.
Dazu müssten sie gleichzeitig die Mengen auf q K = q M /2 = 0, 25(1 − c) reduzieren und erzielten
dann die Gewinne:
ΠK = ΠM /2 = 81 (1 − c)2
Indem man sich darauf einigt weniger zu produzieren. Der Preisanstieg dominiert den Mengenrückgang
und Π steigt. Auf diese Produktionsmenge würden beide Unternehmen mit einer Mengenerhöhung
q A = RA (q K ) = (1 − q K − c)/2 = 38 (1 − c)
reagieren und dadurch einen noch höheren Ausbruchsgewinn erzielen:
9
ΠA = 64
(1 − c)2
Die Mengen q K bilden demnach kein Nash-GG, d.h. das Kartell ist nicht stabil.
Stabilität schaen:
• über Vertrag nicht möglich
• aber Preiserhöhungen unabhängig von Mengenwirkungen auf Absprache über Codes (3 Grad)
möglich
Zusammenfassung
• Im Duopolfall ergibt sich ein niedrigerer Marktpreis als im Monopolfall
44
Titel 5 5: Unvollkommene Konkurrenz
• Damit sinkt die Produzentenrente, steigt die Konsumentenrente und steigt die Wohlfahrt im
Markt
• Die Summe der Duopolgewinne ist geringer als der Monopolgewinn, so dass ein Anreiz zu
Kartellabsprachen oder Fusionen besteht
• Ohne vertragliche Bindung sind diese Kartelle aber nicht stabil (kein Nash-GG)
• Mit steigenden Produktionsstückkosten sinken die Produktionsmengen, steigen die Preise und
sinken die Gewinne der Unternehmen
5.4.1 Das verallgemeinerte Cournot-Modell
Verallgemeinerung des Cournot-Modells auf den symmetrischen Oligopolfall mit n≥ 2 Unternehmen
im Markt.
Die Maximierung der Gewinne:
i
Π (q1 ...qn ) = (1 −
n
X
−c)qi und
k=1
∂Π
= 1 − q1 − q2 − ...qn − qi − c = 0
∂qi
(41)
Über die Symmetrie erhält man die optimale Produktionsmenge:
1 − (n + 1) ∗ qC − c = 0 und damit:
1−c
q C = n+1
Dies liefert auch den Marktpreis durch einsetzen der Menge in 1 − n ∗ q C :
pC =
n + 1 − n + nc
1 + nc
1−c
=
=c+
n+1
n+1
n+1
(42)
und die Unternehmensgewinne durch einsetzen in (p − c) ∗ q C :
Π=
1−c 1−c
1−c 2
∗
=(
)
n+1 n+1
n+1
(43)
Interpretation der Ergebnisse
• Mit zunehmender Konkurrentenzahl n sinken der Marktpreis und die Unternehmensgewinne,
aber steigt die Wohlfahrt im Markt
• Bei freiem Marktzutritt treten unendlich viele Unternehmen in den Markt ein
• Monopolfall (Duopolfall) und Polypolfall ergeben sich als Grenzfälle des symmetrischen Oligopolmodells mit n=1 (2) bzw. n→ ∞
• Im Monopolfall ist der Wohlfahrtsverlust am gröÿten
• Im Polypolfall wird das Wohlfahrtsoptimum erreicht
45
Titel 5 5: Unvollkommene Konkurrenz
Markteintrittskosten
Endogenisierung der Marktstruktur durch die Einführung xer Markteintrittskosten f:
Dadurch ist nun n fest vorgegeben (exogen), da f hier n bestimmt. Markteintritt so vieler Unternehmen,
bis das zuletzt eintretende Unternehmen gerade noch positive Gewinne realisieren kann. Aus der
Nullgewinnbedingung:
(1−c)2
ΠC = (n+1)
2 − f = 0
folgt bei Vernachlässigung des Ganzzahligkeitsproblems der Eintritt von n Unternehmen indem man
nach n auöst:
√ −1
n = 1−c
f
Bei nicht ganzahligen Lösungen wie z.B. 3,7 muss man abrunden und die Lösung wäre, dass 3 UN
eintreten.
Kritik
Cournot unterstellt durchgehend einen homogenen Markt
5.5 Mengenwettbewerb: Das Stackelberg-Modell
Sequenzielle Entscheidungsstruktur im Stackelberg-Modell:
1. Stufe: Mengenentscheidung q1 des Stackelberg-leaders i=1
2. Stufe: Mengenentscheidung q2 des Stackelberg-followers i=2
Berechnung des teilspielperfekten Nash-GG
1. Lösungsschritt:
Bestimmung von q2 konditioniert auf alternative q1 :
Die Maximierung des Gewinns von i=2
Π2 (q1 , q2 ) = (1 − q1 − q2 − c) ∗ q2
über die Produktionsmenge liefert die Reaktionsfunktion:
q2 = R2 (q1 ) = 1−q21 −c
2. Lösungsschritt:
Die Maximierung der Gewinnfunktion von i=1
Π1 = (1 − q1 − q2 − c) ∗ q1
Hier setzt man nun die im ersten Schritt ermittelte Menge q2 = 1−q21 −c ein:
Π1 = (1 − q1 − c) ∗ q21
∂Π1
= (1 − 2q1 − c)/2 = 0
∂q 1
S
q1 = 1−c
2 > qC
Durch Vorwärtsrechnung (jetzt q1 in q2 ) ergibt sich die Menge die der Follower wählt:
1− 1−c −c
2
q2S =
= 1−c
2
4 < qC
Damit ergibt sich der Marktpreis:
C
pS = 1 − q1 − q2 = c + 1−c
4 <p
Im Vergleich zum Cournotfall kann also der Leader eine höhere Menge erreichen (Monopolmenge)
und der follower muss die Menge senken. Der Preis sinkt gleichzeitig auch.
46
Titel 5 5: Unvollkommene Konkurrenz
Die Unternehmensgewinne belaufen sich hier auf:
Π = (p − c) ∗ q →0
2
Π1S = (1−c)
> ΠC
8
Π2S =
(1−c)2
16
< ΠC
Der Vergleich der Stackelberg-Lösung mit der Cournot-Lösung zeigt den rst-mover advantage des
leaders:
• Der leader produziert mehr
• bewirkt dadurch eine Produktionsreduktion des followers
• und kann trotz eines niedrigeren Marktpreises
• einen höheren Gewinn erzielen
• während der Gewinn des Followers sinkt
47
Titel 5 5: Unvollkommene Konkurrenz
5.6 Mengenwettbewerb: Asymmetrie
Π1 (q1 , q2 ) = (1 − q1 − q2 − c1 )q1
∂Π
∂q1 = 1 − 2q1 − q2 − c1 = 0(i)
analog: 1 − 2q2 − q1 − c2 = 0(ii)
(2i-ii): 1 − 3q1 − 2c1 + c2 = 0
q1 = 1−2c31 +c2
q2 = 1−2c32 +c1
Q = q1 + q2 und p=1-Q...
48
Titel 5 5: Unvollkommene Konkurrenz
Tabelle 1: Zusammenfassung
Annahmen Cournot-Modell
2 Unternehmen
Symmetrie
simultane Entscheidungen
Mengenwettbewerb
Erweiterung/Modikationen
n-Unternehmen
Asymmetrie
sequentielle entscheidung (Stackelberg)
Preiswettbewerb (Bertrand)
5.7 Preiswettbewerb: Bertrand-Modell
Ausgangspunkt:
Unternehmen setzen Preise, nicht Mengen (alle anderen Annahmen werden vom symmetrischen
Cournot-Modell übernommen).
Die Gewinngleichung der UN in diesem Preiswettbewerb lautet:
Πi (p1 , p2 ) = (pi − c)Di (p1 , p2 ) mit


f rallepi < pj
1 − pi
Di = (1 − pi )/2 f rallepi = pj


0
f rallepi > pj
(44)
Ausschlussverfahren zur Suche des Nash-GG
(1) p1 < c: verursacht Verlust
(2) p1 ≥ p2 > c: durch kleine Preissenkung kann sich einer besser stellen = Cournot-GG gilt hier
nicht
(3) p1 > p2 = 0: obwohl hier beide 0-Gewinn kann sich UN 2 besser stellen durch kleine Preissteigerung
(4) p1 = p2 = c: Nash-GG
Im Ausschlussverfahren aller möglichen Preiskonstellationen zeigt sich, dass:
pB =c
das einzige Nash-GG darstellt.
Dieses Ergebnis begründet das Bertrand-Paradoxon:
bereits zwei symmetrische UN in einem Markt generieren das Wettbewerbsergebnis der vollkommenen
Konkurrenz (Two is enough for competition)
Ursächliche Annahmen für das Bertrand-Paradoxon:
• Homogene Gütermärkte
• statischer Wettbewerb
• konstante Skalenerträge und unbegrenzte Produktionskapazitäten jedes UN
49
Titel 5 5: Unvollkommene Konkurrenz
• vollständige Informationsstruktur
Die vielfältigen Möglichkeiten einer Auösung des Bertrand-Paradoxons durch entsprechende Lockerungen dieser restriktiven Annahmen sind Gegenstand der angewandten Mikroökonomik bzw. der
Industrieökonomik
5.8 Standardmodell des Preiswettbewerbs
Annahmen:
• hier Heterogenität vorausgesetzt: lineare Nachfragefunktionen:
Di = a − bpi + dpj mit a=b=1 und -1<d<1 (praktisch d=positiv)
• konstante und identische Produktionsstückkosten c1 = c2 = c
Die Maximierung der Gewinne:
Π1 = (p1 − c)(a − bp1 + dp2 ) = (p1 − c)(1 − p1 + dp2 )
∂Π
∂p1 = 1 − 2p1 + dp2 + c = 0
über die Preise liefert die notwendigen Optimalitätsbedingungen in Form der Reaktionsfunktionen:
1+dpj +c
pi = Ri (pj ) =
2
die in einem (p1 , p2 )-Diagramm für d∈(0,1) die positiven Steigungen Ri0 (pj )=d/2 besitzen.
50
Titel 5 5: Unvollkommene Konkurrenz
Das auch hier gilt: p1 = p2 = p∗ liegt das Nash-GG im Schnittpunkt der Reaktionskurven:
1-(2-d)*p*+c=0
1+c
p∗ = 2−d
(wobei d=0 und damit Unabhängigkeit den Monopolpreis produzieren)
Bei diesen Preisen ergeben sich Produktionsmengen:
1+c
1−c+dc
(p ∗ −c) = 2−d
− (2−d)∗c
2−d = 2−d
q∗ = 1−(1−d)c
2−d
und die Unternehmensgewinne:
2
Π = (p ∗ −c)(1 − p ∗ +dp∗) = (1−(1−d)c)
(wobei Preis immer gröÿer als Grenzkosten und damit
(2−d)2
immer Gewinn und Betrand-Paradoxon widerlegt)
Bemerkungen:
• Für den Grenzfall homogener Märkte d → b → ∞ (da β → γ ) geht im allgemeinen Gewinn
des Preiswettbewerbs der Nenner nach ∞ und Π gegen 0, man erhält die Bertrand-Lösung, für
unabhängige Teilmärkte (d=0) die Monopol-Lösung
• Aus der linearen Nachfragefunktion ergibt sich im Mengenwettbewerb die Gewinnfunktion:
2
Π = (α − β ∗ qi − γ ∗ qj − c) ∗ qi mit dem allgemeinen Gewinn: β(α−c)
(2β+γ)2
2
Für α = β = γ =1 ergibt sich die Cournot-Lösung: (1−c)
9
Aus der linearen Nachfragefunktion ergibt sich im Preiswettbewerb die Gewinnfunktion: Π =
2
(pi − c)(a − bpi + dpj ) mit dem allgemeinen Gewinn: b a−(bd)∗c
2b−d
2
Für a=b=1 ergibt sich die Lösung im Standardmodell: ( 1−dc
2−d )
Für entsprechende Parameterwerte aus der gleichen Nutzenfunktion lässt sich zeigen, dass Preiswettbewerb bei substituiven Gütern grundsätzlich wettbewerbsintensiver (d.h. geringere Gewinne) ist als Mengenwettbewerb:
Grund ist, dass Mengenwettbewerb als reduzierte Form einer Kapazitätssetzung im teilspielperfekten Nash-GG bei voller Kapazitätsauslastung
• Bei sequentiellem Preiswettbewerb stellt sich im Gegensatz zu sequentiellem Mengenwettbewerb
bei substituiven Gütern ein second-mover advantage des followers ein: der leader erzielt bei
starker Preiserhöhung einen moderaten Gewinnzuwachs, während der follower bei moderater
Preiserhöhung einen starken Gewinnzuwachs realisieren kann
• Managemententscheidungen:
man sollte geringe Kapazitäten setzen, dies resultiert in hohe Preise und höherem Gewinn
Produkte sollte man dierenzieren, wenigstens über Werbung (=künstlicher Heterogenitätseekt)
im Preiswettbewerb ist man besser follower als leader
51
Titel 5 5: Unvollkommene Konkurrenz
5.9 Monopolistische Konkurrenz: Dixit/Stiglitz-Modell
Das Dixit/Stiglitz-Modell der monopolistischen Konkurrenz:
Monopolistisch: Entscheidung hängt nur vom eigenen Preis ab
Konkurrenz: n Unternehmen angenommen
Annahmen:
• Isoelastische Nachfragefunktion:
−1/(1−γ)
p
Di = P i
n
E
(45)
−γ/(1−γ)
k=1 pk
einer groÿen Zahl n von UN, die jeweils ein Gut herstellen
Dann wird der Nenner eine konstante N
• konstante und identische Produktionsstückkosten c1 = ... = cn = c
Aus diesen beiden Annahmen resultiert der Symmetriefall mit der konstanten Preiselastizität der
unternehmensspezischen Nachfrage:
1
i = 1−γ
Die Gewinnfunktion Π = (pi − c) ∗ Di − f wird maximiert über p:
i
Di + (pi − c) ∗ ∂D
∂pi = 0
Teilt man durch pi und
∂Di
∂pi
ergibt sich:
Di /pi
∂Di /∂pi
+ (1 − pci ) = 0
Setzt man für den ersten Ausdruck die umgekehrte Elastizität ein ergibt sich:
−1 + γ + 1 − pci = 0 ⇔ pi = γc = p (für gleiche Grenzkosten)
Daraus berechnet man den Gewinn:
1−γ
(pi − c) = γc − γ∗c
γ = γ ∗c
−1/1−γ
pi
E
E
= np
n∗p−γ/1−γ
1−γ
E
γ ∗ c ∗ np − f
Di =
Π=
= (1 − γ) ∗ E/n − f
Endogenisierung von n mit endogener Marktstruktur bestimmt die Zahl der Unternehmen:
(1 − γ)E/n − f = 0
n = (1−γ)E
f
Umso höher die Markteintrittskosten, umso weniger UN
52