Freie, ungedämpfte, harmonische Schwingungen - Hu

Freie, ungedämpfte, harmonische Schwingungen
x = −x0
Masse
m
x=0
x = +x0
Im Falle des Federschwingers führt die Masse m eine
zeitlich periodische Bewegung um die Ruhelage x = a aus, wenn sie
zuvor um den Betrag x0 (Amplitude) aus der Ruhelage ausgelenkt
wurde. Die Periodendauer T (reziproke Frequenz) ist bestimmt durch
das Gleichgewicht aus Trägheitskraft und Rückstellkraft der Feder
und hängt damit von der Masse und der Rückstellkraft der Feder ab.
Aus der Bewegungsgleichung
m&x& + Dx = 0
erhält man die Auslenkung (Elongation) x mit ω0 = D / m zu
x ( t ) = x 0 sin (ω0 t + ϕ)
Eine solche Lösung erhält man generell, wenn die Kraft linear von x
bzw. das Potential der Kraft quadratisch von x abhängt. Ein vom Ort
quadratisch abhängendes Potential nennt man auch harmonisch, da es
die Ursache für harmonische (sinusförmige) Schwingungen ist.
V ∝ x2
harmonisches Potential
x ( t ) = x 0 sin (ω0 t + ϕ)
x(t)
x0
harmonische Schwingung
Elongation
Amplitude
ω0 = 2πf
Kreisfrequenz ; Frequenz
ϕ
Phasenwinkel
; f
(ω0 t + ϕ)
Phase
E ges =
Gesamtenergie
m 2 2
x 0 ω0
2
freie, harmonische Schwingung
x0 = 1 cm ; f = 1 Hz ; ϕ = 45°
1
0,8
0,6
0,4
x / cm
0,2
0
-0,2
0
1
2
3
-0,4
-0,6
-0,8
-1
t/s
4
5
Im Falle einer ungedämpften Schwingung gilt der Satz von der Erhaltung der mechanischen Energie. Im oben angeführten Beispiel kann
die Schwingungsgleichung direkt aus der Energieerhaltung abgeleitet
werden:
E ges =
m 2 D 2
x& + x = const.
2
2
Durch Differenzieren nach der Zeit erhält man:
d
E ges = 0 = mx& &x& + Dxx&
dt
bzw.
oder
m&x& + Dx = 0
&x& + ω02 x = 0
Im Falle einer ungedämpften harmonischen Schwingung ist die mechanische Gesamtenergie eine Erhaltungsgröße. Es findet eine periodische Umwandlung von kinetischer in potentielle Energie statt. Mit
x ( t ) = x 0 sin (ω0 t + ϕ) und x& ( t ) = x 0ω0 cos(ω0 t + ϕ)
erhält man durch Einsetzen in E ges =
m 2 D 2
x& + x für die Gesamt2
2
energie:
E ges =
m 2 2
x 0 ω0
2
d.h. für den Federschwinger mit ω0 = D / m :
D
E ges = x 02
2
und für das mathematische Pendel mit ω0 = g / l und x 0 = lϕ0 :
E ges =
mgl 2
ϕ0
2
In den folgenden beiden grafischen Darstellungen ist für die Parameter m = 1 kg, f = 1 Hz (bzw. ω0 = 6,28.. s-1), x0 = 1m die kinetische
und potentielle Energie in Abhängigkeit von der Zeit sowie von der
Auslenkung x dargestellt:
Energie
m = 1 kg ; f = 1 Hz ; x0 = 1m
20
18
16
Energie / Nm
14
12
10
8
6
4
2
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
t/s
kinetische Energie
potentielle Energie
20
18
16
Energie / Nm
14
12
10
8
6
4
2
0
-1
-0,5
0
0,5
x/m
kinetische Energie
potentielle Energie
Gesamtenergie
1
Viele Potentiale, die einen Schwingungsvorgang verursachen, sind
nicht harmonisch. In der Nähe eines Potentialminimums kann ein
nichtharmonisches Potential jedoch meistens durch eine Parabel angenähert werden. Für kleine Abweichungen aus der Ruhelage ist dann
ein solcher Schwingungsvorgang harmonisch – siehe z.B. das LenardJones-Potential:
Lenard-Jones Potential
x / nm
10
1,5
8
1
4
Epot / eV
0,5
2
0
0
-2
-0,5
-4
-6
-1
Kraft / willk. Einheiten
6
-8
-1,5
-10
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
x / nm
Lenard-Jones-Potential
harmonische Näherung
E pot
Kraft
 (x − a )2 
≅ E 0 36
− 1
2
a


Das LJP ist quadratisch in den Koordinaten und führt auf eine oszillierende Bewegung um die Gleichgewichtslage x = a mit der Frequenz
ω0 =
D
72E 0
=
µ
a 2µ
wobei µ die reduzierte Masse der beiden wechselwirkenden Massenpunkte darstellt (siehe später – Rotation starrer Körper).