Übungsaufgaben Fortgeschrittene Atomphysik

Wahlpflichtfach Atomphysik I
Wintersemester 2008/09
Prof. Dr. Tilman Pfau
5. Physikalisches Institut
Übungsblatt 02
Besprechung1 : 11./12. November
Aufgabe 2 (Zwei–Teilchen Wellenfunktion I)
a) Gegeben sind zwei normierte Ein-Teilchen-Wellenfunktionen (WF)
φ0 =
1
π 1/4
1
e− 2 (x−a)
2
φ1 =
1
π 1/4
1
e− 2 (x+a)
2
(2.1)
Bestimmen Sie für zwei wechselwirkungsfreie Teilchen die normierte symmetrische und anti–sysmmetrische Zwei-Teilchen-WF.
Hinweis: Die beiden WF sind nicht orthogonal zueinander.
b) Stellen Sie die Dichteverteilung der Ein-Teilchen-WF und Zwei-TeichenWF graphisch dar.
c) Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung an, dass sich beide Teilchen
am selben Ort befinden.
d) Welcher Zwei–Teilchen–Zustand hat, für elektrisch geladene Teilchen, die
kleinere Energie?
Aufgabe 3 (Zwei–Teilchen Wellenfunktion II)
a) Von zwei wechselwirkungsfreien Teilchen befindet sich eines im Grundzustand, das andere im ersten angeregten Zustand eines harmonischen Oszillators
2
− x2
1
φ0 (x) = 1/4 √ e 2aho
π
aho
2
− x2
1
2x
φ1 (x) = 1/4 √
e 2aho
π
2aho aho
(3.1a)
(3.1b)
q
~
mit aho = mω
. Geben Sie die normierte symmetrische und anti–symmetrische
Zwei-Teilchen-WF an.
1
Jonas Metz; Raum: 4-108; Tel: 64 953; E-Mail: [email protected]
1
b) Stellen Sie die Dichteverteilung der Ein-Teilchen-WF und Zwei-TeichenWF graphisch dar.
c) Stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung p(x1 , x2 ), dass sich Teilchen
1 an der Stelle x1 und Teilchen 2 an der Stelle x2 befindet, graphisch dar.
d) Berechnen Sie den Erwartungswert des Abstandes h(x1 − x2 )2 i zwischen
den beiden Teilchen.
e) Stellen Sie x als Funktion der Leiteroperatoren2 a und a† dar und berechnen Sie den Erwartungswert h(x1 − x2 )2 i.
Hinweis: a = √12 ( axho + i pa~ho ).
Aufgabe 4 (Fermionische Korrelationsfunktionen3 )
Die Ergebnisse der voran gegangenen Aufgaben lassen sich in der zweiten
Quantisierung verallgemeinern. Die zweiter Quantisierung ist formal der Übergang von der Quantenmechanik zur Feldtheorie, wir benutzen sie hier jedoch
nur als eine Rechenübung für Erzeugungs– und Vernichtungsoperatoren und
um den grundlegenden Unterschied zwischen Fermionen und Bosonen zu verdeutlichen.
a) Während Bosonen der Kommutatoralgebra [ak , a†k0 ] = δk,k0 und [ak , ak0 ] =
0 = [a†k , a†k0 ] gehorchen, gelten für Fermionen die Antivertauschungsrelationen
{ak , a†k0 } = δk,k0 und {ak , ak0 } = 0 = {a†k , a†k0 }. Hierbei ist k der Wellenvektor
k = p/~.
a) Zeigen Sie, dass aus der Antivertauschungsrelationen folgt, dass ak ak |nk i =
0 für ein beliebigen Mehrteilchenzustand |nk i gilt. Was bedeutet dies für die
def
Anzahl der Fermionen (=Eigenwert des Besetzungsoperator N̂k = a†k ak ) im
Zustand |nk i? Zeigen Sie, dass der Erwartungswert ha†k ak0 i nur für k = k0
nicht verschwindet.
b) Wir betrachten einen Kasten mit Volumen V in dem sich freie Teilchen
(Potential V = 0) ohne Wechselwirkung untereinander bewegen. Wird ein
Teilchen am Ort r vernichtet, so beschreiben wir dies durch den Feldoperator4
1 X ik · r
def
e
ψ̂(r) = √
ak
V k
2
(4.1)
Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren ändern die Teilchenanzahl (Fockraum), während die Leiteroperatoren nur den Anregungszustand eines Teilchens ändern.
3
Experiment mit kalten Atomen: Jeltes et al,P
Nature 445, 402-405 (2007).
4
Der Feldoperator kann als ein Wellenpaket k g(k) exp (ikr) betrachtet werden, in dem
die Wichtungsfunktion der Impulskomponenten“ g(k) durch den Vernichtungsoperator
”
eines Teilchens mit Impuls ~k ersetzt wurde.
2
Analog beschreibt ψ̂ † (r) die Erzeugung eines Teilchens am Ort r. Berechnen
Sie die Einteilchen-Dichtefunktion
G(1) (r − r 0 ) = hφ0 |ψ̂ † (r)ψ̂(r 0 )|φ0 i
def
(4.2)
wobei sich nk Teilchen im Zustand k, nk0 Teilchen im Zustand k0 , etc. befinden: |φ0 i = |{nk }i = |n1 , ..., nk , ..., nk0 , ...i. Benutzen Sie dazu:
• Analog zur Teilaufgabe a) gilt ha†k ak0 i =
6 0 nur für k = k0
• Vergrößern Sie das Volumen V , so dass Sie von
Zuständen
P denRdiskreten
d3 k
1
ins Kontinuum wechseln dürfen limV →∞ V k = (2π)3
• Die Teilchenzahldichte nk = a†k ak /V ist für verschwindende Temperatur gegeben durch die Fermi–Dirac Verteilungsfunktion
(
1, falls k < kF
nk = Θ(kF − k) ≡
(4.3)
0, sonst
• Lösen Sie das Integral durch die geschickte Wahl des Koordinatensystems exp (ikr) = exp (ikr cos ϑ) in Kugelkoordinaten.
def
Ergebnis: g (1) (r − r 0 ) =
G(1) (r−r 0 )
G(1) (0)
=
3
(sin ξ
ξ3
def
+ ξ cos ξ), mit ξ = kF |r − r 0 |.
c) Nun soll die Zweiteilchen–Dichteverteilung
G(2) (r − r 0 ) = hφ0 |ψ̂ † (r)ψ̂ † (r 0 )ψ̂(r 0 )ψ̂(r)|φ0 i
def
(4.4)
berechnet und diskutiert werden. Benutzen Sie
• Nur die Kombinationen
(i) k1 = k3 und k2 = k4
(ii) k1 = k4 und k2 = k3
liefern einen Beitrag
• Die Integrale lassen sich separieren und wir erhalten die gleichen Integrale wie in Teilaufgabe b).
(2)
0
(r−r )
Ergebnis: g (2) (r − r 0 ) = G G(2)
= 1 − [g (1) (r − r 0 )]2
(0)
Wieso ist dies ein verblüffendes Ergebnis?
def
Für Bosonen liefert eine analoge Rechnung, in der die Dichteverteilung durch
eine Gaussfunktion mit Impulsbreite ~∆k angenommen wird, g (2) (r − r 0 ) =
1 + exp [(∆k)2 (r − r 0 )2 /2].
Aufgabe 5 (QM Kurztest [freiwillig])
In allen unten aufgelisteten Fragen ist der Hamiltonoperator Ĥ zeitunabhängig.
3
1. Die Eigenwertgleichung eines Operators Q̂ ist durch Q̂|ψj i = λj |ψj i
mit j = 1, ..., N gegeben. Drücken Sie hφ|Q̂|φi durch |ψj i aus.
2. Sie präparieren ein System so, dass es nicht in einem Eigenzustand
von Q ist. Jetzt messen die Observable Q mehrfach (in zeitlich kurzer
Abfolge). Erwarten Sie, dass Sie stets das gleiche Resultat erhalten?
Begründen Sie Ihre Aussage.
3. Sie messen die Observable Q an einem Ensemble identisch präparierter
Systeme, welche nicht in einem Eigenzustand von Q sind. Erwarten
Sie, dass Sie stets das gleiche Resultat erhalten? Begründen Sie Ihre
Aussage.
4. Ein Teilchen befinde sich in einem zeitunabhängigen eindimensionalen harmonischen Potential. Unter welcher Bedingung wird der Erwartungswert des Ortsoperators Q̂ zeitabhängig sein?
• Das Teilchen befindet sich anfänglich in einem Eigenzustand des
Impulsoperators.
• Das Teilchen befindet sich anfänglich in einem Eigenzustand des
Ortsoperators.
Begründen Sie Ihre Aussagen.
5a Welcher Hamiltonloperator beschreibt ein Elektron in einem homogenen Magnetfeld, das in z–Richtung zeigt.
b Die z–Komponente des Spins wird gemessen. Was sind die möglichen
Eigenwerte?
c Das System befindet sich in dem Zustand |χi = |↑i + |↓i. Was sind die
möglichen Resultate eine Messung und mit welcher Wahrscheinlichkeit
treten sie auf?
d Falls Sie bei der ersten Messung von Ŝz als Resultat ~/2 erhalten, was
ist die Wahrscheinlichkeit bei einer zweiten Messung von Ŝz das gleiche
zu erhalten?
e Was geschieht, falls Sie als zweites Ŝx messen?
f Was ist der Erwartungswert Ŝz im Zustand |χi?
g Falls sich das Elektron anfänglich in einem Eigenzustand von Sx befindet, hängt dann der Erwartungswert von Sy von der Zeit ab? Begründen
Sie Ihre Antwort.
4
h Falls sich das Elektron anfänglich in einem Eigenzustand von Sx befindet, hängt dann der Erwartungswert von Sz von der Zeit ab? Begründen
Sie Ihre Antwort.
i Falls sich das Elektron anfänglich in einem Eigenzustand von Sz befindet, hängt dann der Erwartungswert von Sx von der Zeit ab? Begründen
Sie Ihre Antwort.
5