Thema Vielecke
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Mathematik Thema Vielecke Im Januar 2006 © Florian Vetter, Klasse 8a, Riegelhof Realschule Seite 1 von 15 Mathematik Thema: Vielecke INHALTSVERZEICHNES 1. EINLEITUNG 3 2. ARTEN VON VIELECKEN 4 2.1. 2.2. 2.2.1. 2.2.2. 2.2.3. 2.2.4. 2.2.5. 2.2.6. 2.3. 2.4. 2.5. 3. DREIECK VIERECK RECHTECK QUADRAT PARALLELOGRAMM RAUTE TRAPEZ DRACHE FÜNFECK (PENTAGON) ACHTECK (OKTOGON) BERÜHMTES VIELECK BERECHNUNG VON VIELECKEN 4 4 4 4 4 5 5 5 5 6 6 7 3.1. UMFANG 3.1.1. DREIECK 3.1.2. RAUTE 3.1.3. FÜNFECK 7 7 8 8 FLÄCHE 9 3.1.4. DREIECK 3.1.5. RAUTE 3.1.6. FÜNFECK 3.2. WINKEL 3.2.1. DREIECK 3.2.2. VIELECKE 10 10 11 12 12 12 4. ZUSAMMENFASSUNG 14 5. QUELLENANGABEN 15 © Florian Vetter, Klasse 8a, Riegelhof Realschule Seite 2 von 15 Mathematik Thema: Vielecke 1. Einleitung Der Inhalt meiner Präsentation behandelt Raute und Vielecke. Hierbei handelt es sich um Flächen. Flächen sind zweidimensional. Der mathematische Fachausdruck lautet Polygon. Ein Vieleck ist eine ebene Fläche aus mindestens drei oder mehr Punkten die durch Strecken miteinander verbunden sind, so das eine geschlossene Figur entsteht. Was kann man in einem Vieleck berechnen? Umfang Flächen Winkel Vielecke können regelmäßig und unregelmäßig sein. Bei regelmäßigen Vielecken sind alle Innenwinkel und alle Verbindungsstrecken der Eckpunkte gleich groß. © Florian Vetter, Klasse 8a, Riegelhof Realschule Seite 3 von 15 Mathematik Thema: Vielecke 2. Arten von Vielecken Typische Vertreter von Vielecken sind: 2.1. Dreieck regelmäßig 2.2. Viereck 2.2.1. Rechteck regelmäßig unregelmäßig 2.2.2. Quadrat regelmäßig unregelmäßig 2.2.3. Parallelogramm regelmäßig unregelmäßig © Florian Vetter, Klasse 8a, Riegelhof Realschule unregelmäßig Seite 4 von 15 Mathematik Thema: Vielecke 2.2.4. Raute regelmäßig unregelmäßig 2.2.5. Trapez regelmäßig unregelmäßig 2.2.6. Drache regelmäßig unregelmäßig 2.3. Fünfeck (Pentagon) regelmäßig © Florian Vetter, Klasse 8a, Riegelhof Realschule unregelmäßig Seite 5 von 15 Mathematik Thema: Vielecke 2.4. Achteck (Oktogon) regelmäßig 2.5. Berühmtes Vieleck unregelmäßig Das Pentagon ist der Hauptsitz des US-amerikanischen Verteidigungsministeriums. © Florian Vetter, Klasse 8a, Riegelhof Realschule Seite 6 von 15 Mathematik Thema: Vielecke 3. Berechnung von Vielecken Was kann man in einem Vieleck berechnen? Umfang Flächen Winkel 3.1. Umfang Der Umfang ist die Länge des Randes einer Fläche in der Zeichenebene. Umfang = Summe aller Seitenlängen 3.1.1. Dreieck C a b A c B Im Dreieck ist der Umfang die Summe der Seitenlängen a plus b plus c. u = a+b+c © Florian Vetter, Klasse 8a, Riegelhof Realschule Seite 7 von 15 Mathematik Thema: Vielecke 3.1.2. C Raute a a D B a a A In der Raute sind alle Seitenlängen gleich lang. Der Umfang ist daher 4mal eine Seitenlänge. u = 4a 3.1.3. Fünfeck D d c E C e b A a B Im Fünfeck ist der Umfang die Summe aller Seitenlängen. u = a+b+c+d+e © Florian Vetter, Klasse 8a, Riegelhof Realschule Seite 8 von 15 Mathematik Thema: Vielecke Fläche Eine Fläche ist ein nach Länge und Breite flach ausgedehnter Bereich. Um Flächeninhalte bei Vielecken berechnen zu können müssen diese entweder in Teilflächen zerlegt oder sinnvoll ergänzt werden. Bsp.: Teilen von Flächen Bsp.: Ergänzen von Flächen © Florian Vetter, Klasse 8a, Riegelhof Realschule Seite 9 von 15 Mathematik Thema: Vielecke C 3.1.4. Dreieck b c hc hb A A = ½ *a*ha 3.1.5. Raute ha B a C c a a b e B D f a d A A=e*½f=½*e*f © Florian Vetter, Klasse 8a, Riegelhof Realschule Seite 10 von 15 Mathematik Thema: Vielecke 3.1.6. Fünfeck D D d c E C d c A1 A3 E C A2 e b A a B e b A a B A = A1+A2+A3+…+An Eine Möglichkeit der Flächenberechnung im N-Eck ist dessen Zerlegung in Teilflächen. Nun können die Teilflächen entsprechend berechnet werden. © Florian Vetter, Klasse 8a, Riegelhof Realschule Seite 11 von 15 Mathematik Thema: Vielecke 3.2. Winkel Die Winkelsumme im Vieleck berechnet man, indem man die einzelnen Winkel addiert. 3.2.1. Dreieck In jedem Dreieck ist die Winkelsumme 180° α+β+γ = 180° 3.2.2. Vielecke Vielecke können in zwei oder mehrere Dreiecke aufgeteilt werden. Ein Viereck in 2 Dreiecke, ein Fünfeck in 3 Dreiecke, ein Sechseck in 4 Dreiecke, und so weiter. © Florian Vetter, Klasse 8a, Riegelhof Realschule Seite 12 von 15 Mathematik Thema: Vielecke Daher ergibt sich folgende Berechnung: Figur Dreieck Viereck Fünfeck Sechseck Siebeneck n-Eck Winkelsumme 180° (4-2)*180°=360° (5-2)*180°=540° (6-2)*180°=720° (7-2)*180°=900° (n-2)*180° Logisch, oder? Bei regelmäßigen Vielecken sind die Innenwinkel immer gleich groß, d.h. die Winkelsumme geteilt durch die Anzahl der Ecken ergibt den Innenwinkel. n-Eck Dreieck Viereck Fünfeck Sechseck Achteck 20-Eck Innenwinkel 60° 90° 108° 120° 135° 162° © Florian Vetter, Klasse 8a, Riegelhof Realschule Winkelsumme 180° 360° 540° 720° 1080° 3240° Seite 13 von 15 Mathematik Thema: Vielecke 4. Zusammenfassung Der Umfang bei Vielecken ist die Länge des Randes einer Fläche in der Zeichenebene. Umfang = Summe aller Seitenlängen Um Flächeninhalte bei Vielecken berechnen zu können müssen diese entweder in Teilflächen zerlegt oder sinnvoll ergänzt werden. Der Flächeninhalt eines Quadrates kann aus dem Quadrat der Seitenlänge berechnet werden. Der Flächeninhalt eines Rechteckes kann aus dem Produkt der Seitenlänge berechnet werden. Der Flächeninhalt eines Parallelogramms kann aus dem Produkt einer Seitenlänge und der Länge der zugehörigen Höhe berechnet werden. Der Flächeninhalt eines Dreiecks kann aus dem halben Produkt einer Seitenlänge und der Länge der zugehörigen Höhe berechnet werden. Der Flächeninhalt eines Trapezes kann aus dem Produkt der Mittelparallele und der Höhe berechnet werden. Der Flächeninhalt einer Raute bzw.eines Drachens kann aus dem halben Produkt der beiden Diagonalen berechnet werden. Die Winkelsumme ergibt sich aus der Addition aller Einzelwinkel im Vieleck. In jedem Dreieck ist die Winkelsumme 180° Die Winkelsumme im Vieleck mit n Eckpunkten beträgt (n-2)*180° © Florian Vetter, Klasse 8a, Riegelhof Realschule Seite 14 von 15 Mathematik Thema: Vielecke 5. Quellenangaben Bücher: Schnittpunkt, Ernst Klett Verlag, Stuttgart Lexikon der Mathematik, Lexikographisches Institut, München Internet www.google.de www.wikipedia.de www.school-scout.de Internetsuchmaschine Eine freie Internet-Enzyklopädie Deutschlands größter Online-Verlag im Schul- und Bildungswesen http://www.uniflensburg.de/mathe/zero/veranst/elemgeom/eg_wellstein_2003/Kap_09_Vielecke .pdf Universität Flensburg http://www.uni-protokolle.de/Lexikon/Vieleck.html © Florian Vetter, Klasse 8a, Riegelhof Realschule Seite 15 von 15
