Folien - IMN/HTWK

HOCHSCHULE FÜR TECHNIK, WIRTSCHAFT UND KULTUR LEIPZIG
University of Applied Sciences
Curve Matching
www.htwk-leipzig.de
Algorithmische Geometrie
Leonie Bruckert
Leipzig, 24.06.2014
map matching: Anwendungsbeispiel
Problem:
Route eines Fahrzeugs
im Straßennetz
bestimmen,
wenn gestörte GPSDaten gegeben sind
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map matching: Aufgabenstellung
Gegeben: ungerichteter, zusammenhängender, planarer Graph
G=(V,E) im ¡²
Polygonzug P
Gesucht: Weg Q im Graphen mit minimalem Abstand zu P
→ Abstand zwischen zwei Polygonzügen?
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Fréchet-Abstand: Historie
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Maurice Fréchet (1906):
Ähnlichkeitsmaß zwischen zwei Kurven in Parameterdarstellung
Alt, Godau (1990er): Polygonzüge
effiz. Algorithmus: Laufzeit O(mn log mn)
m,n – Anzahl der Knoten/Eckpunkte
Eiter, Mannila (1994): Diskreter Fréchet-Abstand
(nur Eckpunkte des Polygonzugs werden berücksichtigt)
→ Satz: m, n sei die Anzahl der Eckpunkte zweier
Polygonzüge. Der diskrete Fréchet-Abstand
zwischen zwei Polygonzügen kann dann in O(mn)
berechnet werden.
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Fréchet-Abstand: Definition
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Def.: Der (allg.) Frechét-Abstand zwischen zwei Kurven
f :[a, a '] → ¡n, g :[b,b '] → ¡n ist gegeben durch
dF ( f , g ) =
inf
max d ( f (α (t )), g (β (t )))
α :[0,1]→ [ a, a '] t∈ [0,1]
β :[0,1]→ [b,b ']
mit α (0) = a,α (1) = a ', β (0) = b, β (1) = b '
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Anschaulich: Herrchen mit Hund an der Leine
Unterschied zwischen diskretem und stetigem FréchetAbstand?
→ diskreter F.-A. ≥ stetiger F.-A.
→ bei großer Knotenanzahl stetiger F.-A. durch diskreten F.-A.
approximiert
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set-chain matching: Aufgabenstellung (diskret)
Gegeben: Punktmenge S, Polygonzug P in ¡d , d ≥ 2 , ε > 0
Gesucht: Polygonzug Q mit Eckpunkten aus S ' ⊆ S , sodass
d (P,Q) ≤ ε
F
Dürfen Punkte mehrmals
benutzt werden?
Anzahl der verwendeten
Punkte oder Länge des
Polygonzugs Q
minimieren?
→ mehrere Varianten
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set-chain matching: Varianten
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NSMC-k (non-unique set-chain matching with a k subset)
- Länge des Polygonzugs Q minimieren
- Punkte mehrfach benutzbar
- Algorithmus
→ lösbar in O(mn)
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set-chain matching: Varianten
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NSMS-k (non-unique set-chain matching with a k curve)
- Anzahl verwendeter Punkte minimieren
- Punkte mehrfach verwendbar
NP-vollständig → vermutlich nicht effizient lösbar
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USM-k (unique set-chain matching)
- Punkte nur einmal verwendbar
- |Q| minimieren äquivalent zu |S| minimieren
NP-vollständig → vermutlich nicht effizient lösbar
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set-chain matching: Anwendungsbeispiel
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Lückenhafte GPS-Daten eines Fahrzeugs, sodass die Route
des Fahrzeugs zwischen den Datenpunkten nicht bekannt ist
Frage: Welche Strecke hat das Fahrzeug wahrscheinlich
genommen?
Route des Fahrzeugs bekannt
Punkte entsprechen Funkmasten mit einer bestimmten
Reichweite
Problem: Funkmasten finden, sodass der Empfang
gewährleistet ist
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map matching: Varianten
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NMMC-k (non-unique map matching with a k curve)
- Länge des Weges Q im Graphen minimieren
- Knoten mehrfach verwendbar
NMMS-k (non-unique map matching with a k subset)
- Anzahl verwendeter Knoten minimieren
- Knoten mehrfach verwendbar
UMM-k (unique map matching)
- Knoten nur einmal verwendbar
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Weitere Anwendungen
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Geographische Informationssysteme
Mustererkennung
Handschrifterkennung
Abgleich/Vergleich von Molekülen, z.B. Proteinen
(Verschiebung, Drehung)
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Quellen
Tim Wylie: Discretely following a curve
http://www.cs.montana.edu/files/techreports/1213/Wylie.pdf
http://www.inf.fu-berlin.de/lehre/SS12/SemAlg/Berechung%20des
%20Frechet%20Abstands.pdf
http://www.inf.fuberlin.de/lehre/SS12/SemAlg/zusammenfassung_anwendungen_fre
chet.pdf
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