Axiom I - Lo

Regionaler Arbeitskreis Mathematik
Stochastik
Ein kurzer Blick auf die Theorie in
der historischen und
wissenschaftlichen Mathematik
Achim Pfeiffer
Regionaler Arbeitskreis Mathematik
Geburtsstunde der Stochastik
1654 Frage an Blaise Pascal:
„Was ist wahrscheinlicher, bei vier Würfen mit einem
Würfel mindestens eine Sechs zu werfen oder bei 24
Würfen mit zwei Würfeln eine Doppelsechs?“
sehr junge Disziplin
Achim Pfeiffer
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Zuerst hatten wir kein Glück, und
dann kam auch noch Pech dazu!
Jeder Mensch hat ein subjektives
Wahrscheinlichkeitsempfinden.
Dieses soll präzisiert werden.
Wahrscheinlichkeitstheorie
Achim Pfeiffer
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Stochastik
• Wahrscheinlichkeitstheorie
• Statistik (Beobachtungen interpretieren)
• Im weiteren Sinn: Kombinatorik
Achim Pfeiffer
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Klassische Definition
Ist Ω = {ω1, ω2, ω2, ..., ωm} und sind
alle Elementarereignisse Ai = {ωi}
gleichwahrscheinlich, so wird die
Wahrscheinlichkeit definiert als
p(Ai ) = 1/m (für alle i = 1, 2, ..., m).
Problem: Ω = {Knabe, Mädchen}
0.486 zu 0.514
Achim Pfeiffer
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Statistische Definition
Tritt das Ereignis A bei n-maliger Wiederholung
eines Zufallsexperiments z-mal auf, so heißen:
z absolute Häufigkeit von A und
h = hn(A) = z/n relative Häufigkeit von A.
Die Wahrscheinlichkeit wird definiert als
p(A) = hn(A) = z/n
Achim Pfeiffer
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Definition nach R. v. Mises
(1883 – 1953)
p ( A )  lim
n 
z ( A)
n
………..man kann aber immer nur endlich viele Experimente machen.
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Axiome aber woher?
Relative Häufigkeiten:
1) 0 ≤ hn(A) ≤ 1
2) hn(Ω) = 1
3) hn(Ø )= 0
4) A ∩ B = Ø hn (A B) = hn (A) + hn (B)
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Axiomensystem von Kolmogoroff
veröffentlicht: 1933
P(Ω) sei ein Ereignisraum.
Eine Funktion p, die jedem Ereignis AP(Ω)
eine reelle Zahl zuordnet, heißt
Wahrscheinlichkeitsmaß, wenn
Axiom I: p(A) ≥ 0
Axiom II: p(Ω) = 1
Axiom III: A ∩ B = Ø  p(A B) = p(A) + p(B) gilt.
Dann heißt p(A) die Wahrscheinlichkeit des
Ereignisses A.
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Axiom I: p(A) ≥ 0
Axiom II: p(Ω) = 1
Axiom III: A ∩ B = Ø
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
p(AB) = p(A) + p(B) gilt.
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Diskrete
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Ω = {ω1, ω2, ..., ωm}
1) p({ωi}) ≥ 0
2)  p({ωi}) = 1
Jede Funktion p mit diesen Eigenschaften heißt
Wahrscheinlichkeitsfunktion
oder Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Ein Ergebnisraum Ω zusammen mit einer
Wahrscheinlichkeitsverteilung p heißt
Wahrscheinlichkeitsraum, geschrieben (Ω, p).
n
i 1
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IQ
keine diskrete Verteilung
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Es gibt eine von
Carl Friedrich Gauss
(1777-1855)
gefundene Funktion,
die die oberen
Rechteckmitten
verbindet.
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Kursstufe