Harmonischer Oszillator in Pfadintegraldarstellung

Harmonischer Oszillator in Pfadintegraldarstellung
Seminarvortrag: SS09 Autor: Nicolas Schierbaum
1 Einleitung
Der harmonische Oszillator spielt in der Physik eine bedeutende Rolle, wenn es darum geht, zur
Charakterisierung eines quantenphysikalischen Systems ein theoretisches Modell zu finden. Der
Grund dafür liegt in der Einfachheit und vorallem in der exakten Lösbarkeit des harmonischen
Oszillators. Durch Übertragung des Modellsystems des harmonischen Oszillators auf andere
quantenmechanische Probleme, wie z.B. die Quantisierung des elektromagnetischen Feldes,
lassen sich diese exakt beschreiben.
2 Wiederholung
2.1 Operatordarstellung des harmonischen Oszillators
Der harmonische Oszillator wird in der Quantenmechanik durch den Hamilton-Operator eindeutig festgelegt.
Ĥ =
p̂2
mω 2 2
+
q̂ .
2m
2
Mit dem Impulsoperator im eindimensionalem p̂ =
Ĥ = −
~ δ
i δq
(1)
folgt daraus:
~2 δ 2
mω 2 2
+
q̂ .
2m δ 2 q
2
(2)
Die zentrale Aufgabe in der Quantenmechanik liegt im Lösen der Eigenwertgleichung, also der
zeitunabhägigen Schrödinger Gleichung.
Ĥ |φ(q)n i = En |φ(q)n i .
(3)
Dabei sind φ(q)n die Eigenfunktion und En die Energieeigenwerte des Hamilton-Operators Ĥ.
1
En = ~ω(n + ) mit n = 0, 1, 2, ...
2
mω 1/4
2
Hn (q)e−q /2 .
φ(q)n = (2n n!)−1/2
π~
(4)
(5)
mit Hn , den Hermit’schen Polynomen. Die nachfolgende Abbildung 1 zeigt das Energiespektrum und die dazugehörigen Eigenfunktionen des quantenmechanischen harmonischen Oszillators für verschiedene Werte n = 1, ..., 5.
1
Abbildung 1: Energiespektrum des quantenmechanischen harmonischen Oszillators
2.2 Pfadintegrale
Ausgangspunkt der Pfadintegraldarstellung ist die Betrachtung der Übergangsamplitude eines
Teilchens zur Zeit t0 = 0 am Ort y zum Ort x zur Zeit t1 = t. Diese ist gegeben durch:
hx| U (t) |yi = hx| ei/~H·t |yi .
(6)
Dabei ist U (t) der Zeitentwicklungsoperator. Im nächsten Schritt wird die Behauptung aufgestellt, dass sich die Übergangsamplitude durch Integration über alle möglichen Pfade von y
nach x beschreiben lässt.
Z
hx, t|y, 0i =
A[x(t)]D[x(t)]
(7)
mit A[x(t)] einem noch unbekannten Integranten, der vom jeweiligen Pfad abhängig ist. Im
Nachfolgendem ist schrittweise die Lösung dieses Problems dargestellt.
• Bestimmung der Übergangsamplitude eines freien Teilchens:
p2
Der Hamilton-Operator eines freien Teilchens ist H0 = 2m
. Daraus folgt für die Übergangsamplitude:
r
m i m (x−y)2
e 2~t
.
(8)
hx| ei/~H0 ·t |yi =
2π~t
• Bestimmung der Übergangsamplitude eines Teilchens in einem ortsabhängigen Potential
V (x):
Für den Hamilton-Operator gilt dann H = H0 + V (x). In diesem Fall ist keine exakte Rechnung mehr möglich. Man behilft sich mit folgendem Trick: Zunächst bestimmt
man die Übergangsamplitude näherungsweise für kleine Zeiten t = und geht anschließend zu großen Zeiten t = N · mit N → ∞ über. Es ergibt sich schließlich für die
Übergangsamplitude folgender Ausdruck:
Z
i/~H·t
hx| e
|yi =
ei/~S[x] Dx,
(9)
Rt
L(x, ẋ, t0 )dt0 die klassische Wirkung beschreibt und
N/2
m
Dx = D[x(t)] = limN →∞ 2πi~
dx(t1 )...dx(tN −1 ) ist. Das Integral wird über alle Wege
von y nach x gebildet und ist unabhängig von jeglicher Operatordarstellung.
wobei S[x] =
0
2
3 Harmonischer Oszillator in Pfadintegraldarstellung
3.1 Funktionalableitung
An dieser Stelle soll kurz der Begriff der Funktionalableitung eingeführt werden, da die Funktionalableitung ein wichtiges Werkzeug beim Umgang mit den Pfadintegralen darstellt. Gegeben
sei ein Funktional F [x], dass von der Funktion x(s) abhängig ist. Dann ist die Funktionalableitung definiert als:
Z
δF
δF [x] =
ds
δx(s).
(10)
δx(s)
Ein wichtige Hilfsformel stellt in diesem Zusammenhang folgende Gleichung dar:
F [x] = x(a) ⇒
δF
δx(t)
= δ(a − t).
(11)
3.2 Euler-Lagrange-Gleichung
Bei der Herleitung der Euler-Lagrange-Gleichung wird zunächst der klassische Pfad xkl (t)
betrachtet. Dabei ist der klassische Pfad definiert, als der Pfad x(t), den das System tatsächlich
beschreibt.
R t Der klassiche Pfad hat die besondere Eigenschaft, dass die klassische Wirkung
S[x] = 0 L(x, ẋ, t0 )dt0 im Vergleich zu allen anderen Pfaden mit denselben Endpunkten x(tb )
und x(ta ), extremal wird. Es gilt demnach für den klassischen Pfad xkl die Bedingung:
δS[x]|x(t)=xkl (t) = 0.
(12)
Im nächsten Schritt betrachtet man die Wirkung für alle Variationen um den klassischen Pfad
δx(t) = x(t) − xkl (t) mit der Bedingung δx(ta ) = δx(tb ) = 0:
δS[x] = {S[x + δx] − S[x]} .
Mit S[x] =
R tb
ta
(13)
L(x, ẋ, t0 )dt0 folgt daraus
Z
tb
S[x + δx] =
L(ẋ + δ ẋ, x + δx, t)dt
∂L
∂L
L(ẋ, x, t) +
=
δ ẋ +
δx dt
∂ ẋ
∂x
ta
tb
Z tb ∂L
d ∂L
∂L
= S[x] +
δx − δx
−
dt.
∂ ẋ
dt ∂ ẋ
∂x
ta
ta
(14)
ta
Z tb
Dabei ist
tb
∂ ẋ δx ta
∂L
(15)
(16)
= 0, da δx(ta ) = δx(tb ) = 0 gilt. Es folgt für die Variation der Wirkung:
δS[x] = {S[x + δx] − S[x]}
Z tb ∂L
d ∂L
−
dt.
= −δx
dt ∂ ẋ
∂x
ta
Damit die Bedingung δS[x] = 0 erfüllt ist, muss gelten
d ∂L
∂L
−
= 0.
dt ∂ ẋ
∂x
3
(17)
(18)
(19)
Diese Gleichung wird auch als Euler-Lagrange-Gleichung bezeichnet. Unter Berücksichtigung
der Definiton der Funktionalableitung Gleichung 10 folgt für die Funktionalableitung der Wirkung S
δS
∂L
d ∂L
−
= 0.
(20)
=−
δx(t)
dt ∂ ẋ
∂x
Es gibt also einen direkten Zusammenhang zwischen der Funktionalableitung der Wirkung S
und der Euler-Langrange-Gleichung.
3.3 Harmonischer Oszillator
Die Lagrange-Funktion des harmonischen Oszillators lautet
L =
m 2 mω 2
ẋ −
x .
2
2
(21)
Aus Gleichung 19 ergibt sich damit für die Bewegungsgleichung folgende Differentialgleichung
2. Ordnung
mẍ + mω 2 x = 0
(22)
x(t) = c1 sinωt + c2 cosωt.
(23)
mit der allgemeinen Lösung nach
Wobei die Konstanten c1 und c2 durch die Randbedingung x(ta ) = xa und x(tb ) = xb festgelegt
sind. Es gelten für c1 und c2 folgende Zusammenhänge:
c1 =
c2 =
xb cosωta − xa cosωtb
sinωT
xa sinωtb − xb inωta
.
sinωT
(24)
(25)
Durch die Transformation T = tb − ta und dem Additionstheorem sin(α + β) = sinαcosβ +
cosαsinβ ergibt sich für den klassischen Pfad xkl die Lösung der Bewegungsgleichung zu
xkl = xb (cosωta sinωt − sinωta cosωt)/sinωT
(26)
+ xa (sinωtb cosωt − cosωtb sinωt)/sinωT
xb sinω(t − ta ) + xa sinω(tb − t)
.
=
sinωT
(27)
Im nächsten Schritt wird die Wirkung des klassischen Pfads xkl (t) bestimmt.
Z tb
S =
Ldt
ta
Z tb
mω 2 o
x
dt
2
2 kl
ta
itb m Z tb
hm
=
xkl (tb )ẋkl (tb ) −
xkl ẍkl + ω 2 xkl dt
2
2 ta
ta
m
=
{xkl (tb )ẋkl (tb ) − xkl (ta )ẋkl (ta )} .
2
=
nm
ẋ2kl −
4
(28)
(29)
(30)
(31)
(32)
Mit
xkl =
und
ẋkl =
xb sinω(t − ta ) + xa sinω(tb − t)
sinωT
xb cosω(t − ta ) − xa cosω(tb − t)
·ω
sinωT
folgt
Skl =
mω 2
(xa + x2b )cosωT − 2xa xb ) .
2sinωT
(33)
Als Nächstes betrachtet man einen beliebigen Pfad x(t). Dieser lässt sich auch durch den
klassischen Pfad xkl (t) darstellen, siehe Abbildung 2:
x(t) = xkl (t) + y(t)
wobei für y(t) die Randbedingungen y(ta ) = y(tb ) = 0 gelten. Die Wirkung von S[x] = S[xkl +y]
Abbildung 2: beliebiger Pfad x(t) = xkl (t) + y(t)
lässt sich um den klassischen Pfad xkl taylorentwickeln.
Z tb
Z Z
δ 2 S[xkl ]
1 tb tb
δS[xkl ]
S[x] = S[xkl ] +
dt
y(t) +
dtdt0
y(t)y(t0 )
δx(t)
2 ta ta
δx(t)δx(t0 )
ta
(34)
kl ]
mit δS[x
δx(t) = 0. Da S eine quadratische Wirkung ist, kann die Entwicklung nach dem 3. Term
abgebrochen werden. Mit der zweifachen Funktionalableitung
δ 2 S[xkl ]
δx(t)δx(t0 )
δ
δS
0
δx(t ) δx(t)
δ
=
(−mẍ(t) − mω 2 x(t))
δx(t0 )
d2
= −m 2 δ(t − t0 ) − mω 2 δ(t − t0 )
dt
=
5
(35)
(36)
(37)
eingesetzt in S[x] ergibt sich folgende Gleichung
2
Z Z
m tb tb
d
0
2
S[x] = S[xkl −
dtdt
+ ω y(t)y(t0 )δ(t − t0 )
2 ta ta
dt2
(
)
2
Z
d
m tb
2
dt
= S[xkl ] +
ẏ(t) − ω y(t)
2 ta
dt
= S[xkl ] + S[y].
(38)
(39)
(40)
Die Gleichung zeigt, dass die Wirkung eines beliebigen Pfades x(t) sich additiv aus der
kung des klassischen Pfades xkl und der Wirkung der Abweichung y(t) vom klassichen
zusammensetzt. Damit lässt sich die Übergangsamplitude berechnen
Z
K(xb , tb ; xa , ta ) =
Dxei/~S[x]
Z
=
Dxei/~(S[xkl ]+S[y]) .
Da S[xkl ] unabhängig vom Anfangs- und Endpunkt xa und xb ist, folgt
Z
Dyei/~S[y]
K(xb , tb ; xa , ta ) = ei/~S[xkl ]
WirPfad
(41)
(42)
(43)
y(ta )=y(tb )=0
R tb
2
2 2
mit S[y] = m
2 ta dt(ẏ − ω y ). Das Pfadintegral ist Zeitinvariant, deshalb kann das Integral
von 0 → T integriert werden. Dies sollte die nachfolgenden Rechenschritte vereinfachen.
Z T
S[y] =
(ẏ 2 − ω 2 y 2 )dt
(44)
0
Durch partielle Integration erhalten wir den folgenden Ausdruck für die Wirkung S[y]
Z
m T
=
(ẏ ẏ − ω 2 y 2 )dt
(45)
2 0
Z
m
m T
T
=
[y ẏ]0 −
(y ÿ + ω 2 y 2 )dt
(46)
2
2 0
Z m T
d2
2
=
y(t) − 2 − ω y(t) dt.
(47)
2 0
dt
2
d
2 . Die zentrale Frage diesbezüglich ist, wie wirkt der
Im Integral steht der Operator − dt
2 − ω
Operator auf y(t)? Mit den Randbedingungen y(0) = y(T ) = 0 sollte uns diese Problemstellung
an die quantenmechanische Behandlung eines Teilchens im Potentialtopf mit der Breite T
erinnern. In diesem Zusammenhang gilt für die Eigenfunktionen
r
2
nπt
yn (t) =
sin
mit n = 0, 1, 2, .... .
(48)
T
T
Die Eigenfunktionen bilden ein vollständiges Orthonormalsystem, deshalb lässt sich y(t) aus
yn (t) entwickeln
y(t) =
∞
X
n=1
6
an yn (t).
(49)
2
d
2 auf die Funktionen y wirken, ergeben sich die EigenLässt man den Operator − dt
−
ω
n
2
werte λn des Operators.
r
2
d
nπt
d2
2
− 2 − ω2
sin
(50)
− 2 − ω 2 yn (t) =
dt
dt
T
T
r
2
nπ 2
nπt
2
=
sin
(51)
−ω
T
T
T
= λn yn (t).
(52)
Damit lässt sich der Ausdruck für die Wirkung S[y] umformen zu
Z m T
d2
2
S[y] =
y(t) − 2 − ω y(t) dt
2 0
dt
! ∞
!
Z T X
∞
X
m
=
am ym
λn an yn dt.
2 0
m=1
(53)
(54)
n=1
Unter Berücksichtigung der Orthonormalitätsbedingung
Z T
dtyn (t)ym (t) = δn,m
0
folgt
∞
mX 2
S[y] =
an λn .
2
(55)
n=1
Um unser Ziel nicht aus den Augen zu verlieren, kehren wir zurück zur eigentlichen Gleichung,
die wir bestimmen wollen, der Übergangsamplitude:
Z
K(xb , tb ; xa , ta ) =
Dxei/~S[x]
(56)
Z
= ei/~S[xkl ] Dyei/~S[y]
(57)
= ei/~S[xkl ] F (tb ; ta ).
(58)
Q
Das Integrationsmaß geht auf Grund der Gleichung 55 über in Dy = J ∞
n=1 dan . Dabei ist
J ein unbestimmter Normierungsfaktor. Mit Hilfe von Gleichung 55 für die Wirkung von S[y]
lässt sich das Funktionalintegral F (tb ; ta ) = F (T ) bestimmen. Es folgt
Z
F (T ) =
Dyei/~S[y]
(59)
= J
Z Y
∞
m
2
m
2
ei/~ 2 λn an dan
(60)
n=1
= J
= J
∞ Z
Y
n=1
∞ r
Y
n=1
7
ei/~ 2 λn an dan
(61)
2~πi
λn m
(62)
Um J zu eliminieren, wird der Fall betrachten, was passiert, wenn ω = 0 ist. Dann ergibt
2
sich die Lagrange-Funktion zu L = m
2 ẋ , entsprechend der Langrange-Funktion eines freien
Teilchens L0 . Die Lösung des Funktionalintegrals für ein freies Teilchen ist dabei
F0 =
nπ 2
m 1/2
mit den Eigenwerten λ(0)
=
.
n
2πi~T
T
Im nächsten Schritt wird das Verhältnis zwischen
F (T )
F0 (T )
=
∞
Y
"
F (T )
F0 (T )
λn
(63)
bestimmt
#−1/2
(0)
n=1 λn
∞ Y
(64)
ω2T 2
=
1− 2 2
n π
n=1
sinωT
.
=
ωT
−1/2
(65)
(66)
Daraus ergibt sich dann für F (T ) folgender Ausdruck
F (T ) =
1/2
F (T )
mω
.
· F0 (T ) =
F0 (T )
2πi~sinωT
(67)
Mit diesem Ergebnis lässt sich nun die Übergangsamplitude bestimmen.
K(xb , tb ; xa , ta ) =
1/2
n
o
mω
mω 2
(xb + x2a )cosωT − 2xb xa .
exp i
2πi~sinωT
2~sinωT
(68)
Diese Gleichung ist die sogenannte Mehlerformel. Sie stellt die zentrale Gleichung zur Bestimmung des Energiespektrums und der Eigenfunktionen dar. Um zu zeigen, dass mit Hilfe der
Pfadintegraldarstellung des harmonischen Oszillators dieselben Ergebnisse erzielt werden, wie
durch die Operatordarstellung in Abschnitt 2.1 wird im Folgendem das Energiespektrum aus
der Mehlerformel bestimmt. Dazu bildet man die Spur von e−i/~HT . Allgemein gilt für die Spur
X
Sp e−i/~HT = hx| e−i/~HT |xi =
e−i/~En T
(69)
n
8
oder über die Mehlerformel
−i/~HT
Sp e
Z
+∞
K(x, T, x, 0)dx
=
(70)
−∞
r
=
=
=
=
imω 2
exp
dx
2(cosωT − 1)x
2~sinωT
r
1/2
mω
2π~sinωT
2πi~sinωT imω2(1 − cosωT )
1/2
1
2i2 2sin2 ( ω2 T )
1
T
2isin ω2
mω
2πi~sinωT
Z
(71)
(72)
(73)
(74)
ω
=
=geom.Reihe
e−i 2 T
1 − e−iωT
∞
X
e−iω(n+1/2)T
(75)
(76)
n=0
Aus dem Vergleich der Gleichung 76 und der Gleichung 69 ergeben sich die Energieeigenwerte
zu
En = ~ω(n + 1/2).
(77)
Dies entspricht der Gleichung 4. Es ergibt sich also durch die Pfadintegralberechnung des
harmonischen Oszillators dasgleiche Ergebnis für das Energiespektrum wie bei der quantenmechanischen Behandlung durch Operatoren.
4 Quellen:
Münster, Gernot: Quantentheorie, Verlag: de Gruyter
http://www.physik.tu-dresden.de/itp/members/soffscripte/qf 2001.pdf
9