1) Potenzen, Wurzelfunktionen, Logarithmus und Exponentialfunktion

1) Potenzen, Wurzelfunktionen, Logarithmus und
Exponentialfunktion
Potenzen mit natürlichen Zahlen als Exponenten:
1. Definition der Potenz:
•
•
•
•
n...Exponent (Hochzahl).
•
.
•
2. erstes Beispiel zu Potenzen:
• Berechne mit Hilfe des Taschenrechners 210 und 102! Welche Schlussfolgerung
kann man durch den Vergleich der Ergebnisse ziehen?
• Lösung: Tastenfolge 210 →Ergebnis: 1024 und Tastenfolge 102 →Ergebnis:
100.
•
3. Merksatz
Die Vertauschung von Basis und Exponent ändert den Wert der Potenz.
4. Addition und Subtraktion von Potenzen:
• Potenzen können dann und nur dann formelmäßig addiert oder subtrahiert
werden, wenn sie sowohl in ihren Basen als auch in ihren Exponenten
übereinstimmen.
• Man rechnet mit den Koeffizienten.
5. Beispiel zur Addition und Subtraktion von Potenzen:
• Berechne 8a2+2b2-(5a2+b2+a)!
• Lösung: 8a2+2b2-5a2-b2-a=8a2-5a2+2b2-b²-a=3a²+b²-a.
6. Merksatz
Es ist immer darauf zu achten, dass zueinander verschiedene Potenzen nicht
zusammengefasst werden können.
7. Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis (und verschiedenen Exponenten):
•
•
•
8. Beispiel zur Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis (und verschiedenen
Exponenten):
•
•
9. Merksatz:
Bei der Multiplikation von Potenzen mit gleichen Basen sind die (zueinander
verschiedenen) Exponenten zu addieren.
10. Division von Potenzen mit gleicher Basis (und verschiedenen Exponenten):
• Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Basis mit der
Differenz der Exponenten potenziert, wobei hier einige Fallunterscheidungen
vorgenommen werden.
•
11. Beispiel zur Division von Potenzen mit gleicher Basis und verschiedenen
Exponenten:
•
;
;
;
•
•
•
.
12. Merksatz:
Bei der Division von Potenzen mit gleichen Basen ist darauf zu achten, dass die
(zueinander verschiedenen) Exponenten zu subtrahieren sind.
13. Multiplikation von Potenzen mit gleichem Exponenten (und verschiedenen Basen):
• Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert, indem man das
Produkt der Basen mit dieser Hochzahl potenziert, d. h.:
,
wobei
und r N*.
14. Beispiel zur Multiplikation von Potenzen mit gleichem Exponenten (und
verschiedenen Basen):
• Berechne:
•
15. Merksatz:
Bei der Multiplikation von Potenzen mit gleichem Exponenten ist das Produkt der
Basen mit dem jeweiligen Exponenten zu potenzieren.
16. Division von Potenzen mit gleichem Exponenten (und verschiedenen Basen):
• Potenzen mit gleichem Exponenten werden dividiert, indem man den
Quotienten der Basen mit dieser Hochzahl potenziert, d.h. =
, wobei a, b ∊ R, b≠0 und r ∊ N*. 17. Beispiel zur Division von Potenzen mit gleichem Exponenten (und verschiedenen
Basen):
• Berechne:
•
18. Merksatz:
Bei der Division von Potenzen mit gleichem Exponenten ist der Quotient der Basen
mit dem jeweiligen Exponenten zu potenzieren.
19. Potenzieren von Potenzen:
• Potenzen werden potenziert, indem man die Basis mit dem Produkt der
Exponenten potenziert, d. h.:
wobei
und
*.
20. Beispiel zum Potenzieren von Potenzen:
• Stelle als Potenz mit nur einem Exponenten dar: a)
• a)
• b)
b)
21. Merksatz
Eine Potenz wird potenziert, indem man die Exponenten multipliziert.
Potenzen mit ganzen Zahlen als Exponenten:
22. Definition:
•
•
23. Beispiel zu Potenzen mit ganzzahligen Exponenten:
•
•
24. Merksatz:
Eine Potenz mit negativem Exponenten kann als Bruch mit positivem Exponenten
dargestellt werden.
25. Potenzfunktionen und ihre Graphen:
• Definition: Eine Funktion f: R→R mit der Funktionsgleichung
heißt Potenzfunktion.
26. Beispiel zur Potenzfunktion:
•
.
27. Merksatz:
Durch die Rechenanweisung
wird für festes
r Z jedem x R genau ein Wert y R zugewiesen.
mit
Potenzen mit rationalen Zahlen als Exponenten:
28. Wurzeln - Potenzen, deren Exponenten Stammbrüche sind:
• Definition: Die n-te Wurzel aus einer nichtnegativen Zahl a ist jene
nichtnegative Zahl b, deren n-te Potenz gleich a ist: a, b R,
• Dabei heißt a Radikand, n Wurzelexponent und b Wurzelwert:
29. Beispiel zu Potenzen, deren Exponenten Stammbrüche sind:
•
denn =1024. 30. Merksatz:
31. Definition der n-ten Wurzel:
• Durch analoge Überlegungen wie bei der Quadratwurzel, nämlich
* *...*
(n-mal)=a=a1=
(n-mal)=
*
*...*
mal) gelangt man zur Definition
) (n-
•
32. Beispiel zur n-ten Wurzel:
=
.
33. Merksatz:
34. Definition des Ausdrucks
.
35. Beispiel zur obigen Definition:
=4.
36. Merksatz:
Eine Potenz mit rationalem Exponenten kann in eine Potenz mit ganzzahligem
Exponenten unter einer Wurzel umgeschrieben werden. Dabei ist der ganzzahlige
Exponent der Zähler des rationalen Exponenten und die Ordnung der Wurzel der
Nenner des rationalen Exponenten.
37. Definition der Wurzelfunktion:
• Die Funktion wn: R0+→R0+ mit der Funktionsgleichung
Wurzelfunktion.
38. Beispiele zur Wurzelfunktion:
• w2 :
; w3 :
und w4:
heißt
R0+→R.
39. Merksatz:
Wie wir bereits wissen, ist das Wurzelziehen die "Umkehrung" des Potenzierens, und
umgekehrt. Dementsprechend heißt die Wurzelfunktion w3:
Umkehrfunktion
der Potenzfunktion p3:
. Allgemein: Der Graph der Umkehrfunktion wn der
Potenzfunktion pn entsteht durch Spiegelung der Graphen von pn an der 1. Mediane.
Potenzen und Wurzeln von Polynomen:
40. Multiplikation von Polynomen:
Summen und Differenzen von Potenzen bezeichnet man als Polynome.
• Treten nur Potenzen mit der Basis x auf, so ergibt sich als Normalform des
Polynoms ein Ausdruck der Gestalt
.
• Es gibt auch Polynome in zwei oder mehreren Variablen, z. B
.
• Wenn die einzelnen Variablen eines Polynoms in zwei oder mehreren
Variablen gleichen Grad haben, existiert auch für solche Polynome eine
Normalform, nämlich
.
• Müssen Polynome mit mehreren Gliedern miteinander multipliziert werden,
bietet sich eine Schreibweise an, die der Multiplikation mehrstelliger Zahlen
nachempfunden ist.
41. Beispiel zur Multiplikation von Polynomen in einer Variablen:
• Berechne
•
)
...erste Klammer mal
...erste Klammer mal
...erste Klammer mal 1
...Summe der 3 Teilprodukte.
42. Beispiel zur Multiplikation von Polynomen in zwei Variablen:
• Berechne
•
...erste Klammer mal
...erste Klammer mal
...Summe der zwei
Teilprodukte.
43. Merksatz:
Bei der Multiplikation von Polynomen in einer oder mehreren Variablen ist wichtig,
dass man die Potenzen nach fallenden Exponenten ordnet und dass "richtig"
untereinander geschrieben wird.
44. Division von Polynomen:
• Beim Dividieren von Polynomen ist es günstig, das Divisionsverfahren für
ganze Zahlen nachzuahmen.
45. Beispiel zur Division von Polynomen in einer Variablen:
• Berechne
!
•
entsteht aus
→
1. Zwischenrest →
entsteht aus
2. Zwischenrest →
entsteht aus
3. Zwischenrest →
entsteht aus
0 Rest.
46. Beispiel zur Division von Polynomen in zwei Variablen:
• Berechne
•
0 Rest.
!
47. Merksatz:
Bei der Division von Polynomen sind folgende Schritte durchzuführen:
0. Beide Polynome nach fallenden Potenzen reihen (sonst hat man dann ein
"Durcheinander").
1. (1. Glied des Dividendenpolynoms):(1. Glied des Divisorpolynoms)=1. Glied des
Quotientenpolynoms.
2. (Divisorpolynom)*(1. Glied des Quotientenpolynoms)=1. Zwischenprodukt (richtig
darunterschreiben!)
3. Subtrahieren des 1. Zwischenproduktes vom Dividendenpolynom (eventuell alle
Vorzeichen im 1. Zwischenprodukt wechseln - Addieren ist leichter als Subtrahieren!)
= 1. Zwischenrest.
4. Ersetze den Dividenden durch den 1. Zwischenrest und fahre bei Punkt 1. fort.
48. Herausheben:
• Eine wichtige Anwendung des Dividierens ist das Herausheben, bei dem ein
Polynom in ein Produkt von (zumeist) einem Monom und einem Polynom
umgeformt wird.
49. Beispiel zum Herausheben:
Vereinfache: a)
• a)
b)
• b)
(
50. Merksatz:
Beim Herausheben muss der Divisor "erraten" werden.
51. Wurzelfreimachen des Nenners:
• Zerlegungsformeln:
•
•
unzerlegbar in R
•
•
.
52. Beispiel zum Wurzelfreimachen des Nenners:
• Mache die Nenner der folgenden Brüche wurzelfrei: a)
und b)
.
• Lösung: Wir erweitern geeignet: a)
.
• Gemäß Zerlegungsformel 1) ist ja
• b)
• Gemäß Zerlegungsformel 3) ist ja
53. Merksatz:
Ist der Nenner des Bruches ein Ausdruck, der Wurzeln enthält, so versucht man den
Bruch so geschickt zu erweitern, dass die Wurzeln wegfallen. Dabei verwendet man
die Zerlegungsformeln.
54. Potenzen von Binomen:
• Binomische Formeln:
•
•
•
•
55. Beispiele zu Potenzen von Binomen:
•
•
.
56. Merksatz:
Es lassen sich folgende Gesetzmäßigkeiten für (a+b)n vermuten:
1) Der Potenzexponent von a beginnt mit n und wird bei jedem nachfolgenden Glied
um 1 kleiner, der von b hingegen beginnt mit 0 (beachte b0=1) und wird jeweils um 1
größer.
2) Die Koeffizienten der Potenzen des Binoms (=Binomialkoeffizienten) sind
symmetrisch angeordnet.
3) Der erste und der letzte Koeffizient ist 1, der zweite und der vorletzte n.
4) Um eine Regel für die anderen Koeffizienten zu finden, betrachten wir, wie etwa
die
² zustande gekommen ist: Sie ergab sich beim Ausmultiplizieren aus
also aus der Summe zweier
Koeffizienten der vorhergehenden Reihe.
57. Pascal'sches Dreieck:
• Die Eigenschaften 1) bis 4) erkennt man deutlich, wenn man die
Binomialkoeffizienten in Form eines Dreiecks, dem sogenannten
PASCAL'schen Dreieck, anordnet, in dem auch die Koeffizienten von
und
eingetragen sind.
58. Das Pascal'sche Dreieck bis n=5:
• n=0
1
n=1
1 1
n=2
1 2 1
n=3
1 3 3 1
n=4
1 4 6 4 1
n=5
1 5 10 10 5 1
k=0
k=1
k=2
k=3
k=4
k=5
59. Wurzelgleichungen:
• Gleichungen, in denen die Variable (Variablen) unter einem Wurzelzeichen
auftritt (auftreten), nennt man Wurzelgleichungen.
60. Beispiel zu Wurzelgleichungen:
• Löse für G=R:
•
•
•
•
• Probe: LS
• Löse für
•
•
.
}.
•
•
• Probe: LS
61. Beispiel zu einer Gleichung in der mehrere Wurzeln auftreten:
• Löse in R:
•
• Beachte:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
,
=
²!
1
*
Wurzel isolieren!
So weit wie möglich kürzen!
Quadrieren!
Herstellen der normierten Form der quadratischen Gleichung und lösen!
•
•
•
• Probe für
:
• Probe für
:
ist nicht definiert
• Dass -3 keine Lösung ist, hätte man auch anhand der Definitionsmenge
sehen können:
62. Beispiel zu einer Wurzelgleichung, die in R nicht lösbar ist:
• Löse für
•
•
•
•
• Probe: LS=RS=
ist nicht definiert, da der Radikand
sein
muss
• Die Unlösbarkeit der Gleichung hätte man auch unmittelbar aus der
Definitionsmenge ersehen können:
63. Merksatz:
Da Quadrieren und Wurzelziehen in R keine Äquivalenzumformungen sind, ist es bei
Wurzelgleichungen äußerst wichtig, stets eine Probe durchzuführen.
Potenzen mit reellen Exponenten - Exponentialfunktion:
64. Potenzen mit reellen Exponenten:
• Potenzen, deren Exponent x eine endliche Dezimalzahl ist, haben wir vorher
schon behandelt.
• Beispielsweise ist 31,4 gleichbedeutend mit
.
• Was aber kann
bedeuten?
•
ist der Grenzwert der Folge (1; 1,4; 1,41; 1,414;...).
• Wir legen daher
als Grenzwert der Folge (31; 31,4; 31,41; 31,414;...) fest.
• Diese Folge ist wohldefiniert, da ja jedes Folgenglied eine endliche
Dezimalzahl als Exponent besitzt.
• Die Folge ist monoton wachsend und -z. B. durch 3²- nach oben beschränkt
und konvergiert daher gemäß dem Satz von der monotonen Konvergenz.
• Die Rechenregeln für Potenzen gelten auch für Potenzen mit beliebigen
reellen Exponenten.
• Betrachten wir zum Beispiel die Regel ar*as=ar+s: Strebt die Exponentenfolge
(r1; r2; r3;...) gegen r und die Exponentenfolge (s1; s2; s3;...) gegen s, so strebt
die Summenfolge (r1+s1; r2+s2; r3+s3;...) gegen r+s.
65. Beispiel zu Potenzen mit reellen Exponenten:
• Zu zeigen (a*b)r=ar*br, wobei r ∊ R.
• Wir betrachten dazu die Folge (r1; r2; r3;...) → r, dann gilt: (ar1; ar2; ar3;...) →
ar, (br1; br2; br3;...) → br und ((a*b)r1;(a*b)r2; (a*b)r3;...) → (a*b)r.
• Nun gilt aber (a*b)ri=ari*bri für alle i∊Q.
66. Merksatz:
Das Berechnen von Potenzen mit irrationalen Exponenten kann man näherungsweise
aus dem Berechnen von Potenzen mit rationalen Exponenten herleiten.
67. Die Exponentialfunktion:
• Definition: Unter der Exponentialfunktion zur Basis a versteht man die
Funktion
a
exp: R →R, y=ax und a∊R+.
68. Beispiel zur Exponentialfunktion:
• Zeichne die Graphen der Funktionen a)y=2x, b)y=3x, c)y=0.1x und d)y=0.5x
für D=[-5; 5] in ein Koordinatensystem!
• Wir stellen eine Wertetabelle (gerundet auf 2 Dezimalstellen) auf:
x
-5
-4
-3
-2
-1 0 1 2
3
4
x
2
0,031 0,062 0,12 0,2 0, 1 2 4
8
16
25
5
5
5
5
x
3
1/243 1/81
1/27 1/9 1/ 1 3 9
27
81
3
0.1x 10000 1000 1000 100 10 1 0, 0,0 0,00 0,000
0
0
1 1
1
1
x
0.5 32
16
8
4
2 1 0, 0,2 0,12 0,062
5 5
5
5
5
32
243
0,0000
1
0,0312
5
69. Merksatz:
Anhand des obigen Beispiels können wir folgende Eigenschaften für die
Exponentialfunktionen feststellen:
Die Funktionen sind durch die x-Achse nach unten beschränkt; mit anderen Worten:
Sämtliche Funktionswerte sind positiv, d.h. der Graph verläuft zur Gänze oberhalb der
x-Achse.
Die Funktionen sind nach oben unbeschränkt (außer a=1).
Die Funktionsgraphen enthalten stets den Punkt P(0∣1). Erkläre!
Für a>1 ist die Funktion streng monoton wachsend, für a=1 konstant, für 0<a<1 streng
monoton fallend.
Die Graphen der Funktionen y=ax und y=(1/a)x liegen symmetrisch bezüglich der yAchse.
Für a>1 ist die negative x-Achse die einzige Asymptote, für 0<a<1 ist die positive xAchse die einzige Asymptote.
EULER'sche Zahl und natürliche Exponentialfunktion:
70. Die Verzinsung eines Kapitals:
• Im Folgenden wollen wir uns mit der Verzinsung eines Kapitals
beschäftigen.
• Gegeben sei das Kapital K, das zu 100% jährlich verzinst wird; d.h. der
Zinsfuß ist 100%.
• Nach einem Jahr hat man dann doppelt so viel wie zu Beginn des Jahres, also
2K.
• Frau Helga Schlaumeier ist das noch zu wenig und sie überlegt sich
Folgendes: Angenommen, sie lässt sich das Geld mit den Zinsen bereits nach
einem halben Jahr von der Bank wieder auszahlen, dann erhält sie
K+K/2=3K/2.
• Dieses Geld legt sie sofort wieder ein, dann erhält sie nach einem weiteren
halben Jahr an Zinsen: * = , also insgesamt + = = 2,25*K.
• Was erhält Frau Schlaumeier, wenn sie das Geld nun monatlich behebt und
sofort wieder einzahlt?
• Nach dem 1. Monat: K1=K+ *K=K*(1+ )...
• Nach dem 12. Monat: K12=K*(1+ )12≈2,613*K.
• Ebenso leicht lässt sich berechnen, was sich theoretisch bei einer täglichen
Behebung und Einzahlung ergäbe: K365=K*(1+ )365≈2,7145*K.
• Die Steigerung von 2,613 bei monatlicher Einzahlung auf 2,7145 bei
täglicher Einzahlung ist eigentlich gering. Es ist daher zu vermuten, dass sich
auch bei noch weiteren Steigungen kein sehr viel höherer Wert als 2,71
ergibt.
• Mathematisch ausgedrückt stellt sich die Frage, ob der Grenzwert
existiert, und wenn ja, wie groß er ist.
• Definition: Die Zahl e=
=
= 2,718281828459045... heißt EULER'sche Zahl. Sie gibt
an, auf das Wievielfache ein Kapital bei einem jährlichen Zinssatz von 100%
bei stetiger Verzinsung in einem Jahr anwächst.
71. Die stetige Verzinsung:
• Die Zinseszinsformel Kn=K0*(1+
)n gilt gemäß ihrer Herleitung nur für
ganze Jahre und Bruchteile von Jahren (n∊Q+).
• Wendet man diese Formel auch für Exponenten ∊ R+ an, was natürlich nur
von theoretischem Interesse ist, so spricht man von einer stetigen Verzinsung
Kx=K0*qx, x∊R+, q=1+ .
• Letztere ist rechnerisch bequemer, so dass man die (ohnedies nur kleine)
Abweichung von der bankmäßigen Verzinsung, bei der das Kapital während
des Jahres (Banken rechnen mit 12 mal 30=360 Tagen) linear verzinst wird,
oft in Kauf nimmt.
72. Beispiel zur stetigen Verzinsung:
• Ein Kapital von 10000 Euro wird in der Mitte des Jahres auf 3,5 Jahre
angelegt. Berechne das Endkapital Kn bei 3% Verzinsung mittels (1) stetiger
Verzinsung und vergleiche (2) mit der bankmäßigen!
• (1) Kn=10000*(1+0,03)3,5=11089,97.
• (2) Die Zinsen nach 0,5 Jahren betragen 150, das Kapital daher 10150 und
nach weiteren drei Jahren K3=10150*(1+0,03)3=11091,18.
• Der Unterschied zur bankmäßigen Verzinsung beträgt nur 1,21 Euro!
73. Merksatz:
Die stetige Verzinsung leitet sich aus der Zinseszinsformel ab, wobei nun nicht nur
Exponenten aus Q+ sondern auch Exponenten aus R+ zugelassen sind. Die stetige
Verzinsung unterscheidet sich von der bankmäßigen dahingehend, dass die Bank im
Gegensatz zur stetigen Verzinsung während des Jahres linear verzinst.
Logarithmus und Logarithmusfunktion:
74. Definition des Logarithmus:
• Betrachten wir das Beispiel 2³=8. Dann gibt es offenbar drei Möglichkeiten,
daraus eine Bestimmungsgleichung zu machen:
• Die Gleichung 2³=x: Die Lösung findet man durch Potenzieren.
• Die Gleichung x³=8: Die Lösung findet man durch Wurzelziehen: x= .
• Die Gleichung 2x=8: Aus dem Graphen von y=2x kann man erkennen, dass
die Gleichung genau eine Lösung hat.
• Um diese Lösung -allgemein: die Lösung der Gleichung ax=b - explizit
darstellen zu können, müssen wir eine weitere Umkehrfunktion des
Potenzierens und eine zugehörige Schreibweise und Sprechweise einführen.
• Definition: Die Lösung der Gleichung ax=b (a∊R+\{1}, b∊R+) in R nennt man
den Logarithmus von b zur Basis a; b heißt Numerus.
• ax=b ↔ x=alogb.
• In Worten: Der Logarithmus von b zur Basis a ist jener Exponent, mit dem
man a potenzieren muss, um b zu erhalten.
75. Beispiel zum Logarithmus:
• Berechne: a) 7log 49, b) 2log (1/8), c) 5log
• a) 7log 49=2, da 7²=49.
, d) 0,5log 2.
• b) 2log (1/8)=-3, da 2-3=1/2³=1/8.
• c) 5log =1/2, da 51/2= .
• d) 0,5log 2=-1, da 0,5-1=(1/2)-1=2.
76. Merksatz:
Der Logarithmus antwortet im Allgemeinen auf die Frage: "Die Basis hoch wie viel ist
der Numerus?".
77. Definition der Logarithmusfunktion:
• Definition: Unter der Logarithmusfunktion zur Basis a versteht man die
Funktion
• alog: R+→R, y=alogx und a∊R+\{1}.
• Da Logarithmieren und Exponenzieren Umkehroperationen sind, bezeichnen
wir die Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion.
• Um die Logarithmusfunktion zu erhalten, braucht man also nur den Graphen
der Exponentialfunktion an der 1. Mediane zu spiegeln.
• Somit können wir auch die Eigenschaften der Logarithmusfunktion aus
denen der Exponentialfunktion herleiten:
• Die Funktion ist nur für positive reelle Zahlen definiert, d. h. der Graph
verläuft rechts der y-Achse.
• Die Funktion ist nach unten und oben unbeschränkt.
• Die Funktion enthält stets den Punkt P(1∣0).
• Für a>1 ist die Funktion streng monoton wachsend, für 0<a<1 ist die
Funktion streng monoton fallend.
• Die Graphen der Logarithmusfunktion zur Basis a und zur Basis 1/a liegen
symmetrisch bezüglich der x-Achse.
• Für a>1 ist die negative y-Achse die einzige Asymptote, für 0<a<1 ist die
positive y-Achse die einzige Asymptote.
78. Beispiel zur Logarithmusfunktion:
79. Merksatz:
Die Exponentialfunktion und die Logarithmusfunktion sind zueinander
Umkehrfunktionen. Dies bedeutet, dass man die Logarithmusfunktion aus der
Exponentialfunktion durch Spiegelung an der 1. Mediane erhält.
Rechnen mit Logarithmen:
80. Logarithmieren und Entlogarithmieren:
• Bevor es elektronische Rechner gab, wurden die Logarithmen vor allem dazu
verwendet, um das Multiplizieren und Dividieren zu vereinfachen.
• Wir erläutern die Idee an einem ganz einfachen Beispiel: Die Multiplikation
4*8 kann man wegen 4=2² und 8=2³ unter Anwendung der Potenzregeln in
der Form 4*8=2²*2³=2²+3=25=32 berechnen.
• Unter Verwendung von Logarithmen kann man dafür schreiben:
4*8=22log4*22log8=22log4+2log8=22log32=32.
• Man sieht: 2log(4*8)=2log4+2log8.
• In Verallgemeinerung dieses Beispiels gilt: alog(u*v)=alog u+alog v.
• Der Logarithmus eines Produktes ist also gleich der Summe der Logarithmen
der Faktoren.
• Für a∊R+\{1} und u, v ∊ R+ gelten folgende Regeln: 1) alog(u*v)=alog u+alog
v, 2)alog(u/v)= alog u-alog v, 3) alog ur=r* alog u mit r∊R, 4) alog = * alog u
mit r∊N*.
81. Beispiel zum Logarithmieren und Entlogarithmieren:
• a) Stelle log(5x²* /z4) als Summe bzw. Differenz von Logarithmen dar!
• b) Stelle 2* log5-0,5*(log a+2*logb)+0,8*logc als Logarithmus eines Terms
dar!
• a)...=log(5*x²)+log y1/2-log z4=log 5 +2*log x+1/2*log y-4*log z.
• b)...=2*log 5-0,5*log a-log b+4/5*log c=log 5²-log a0,5-log b+log c4/5=
log 5²+log -(log +log b)=log (5²* /
).
82. Merksatz:
Da Logarithmen "nur" die Hochzahlen von Potenzen zu einer festen Basis a sind,
gelten für sie genau jene Rechengesetze, die wir schon beim Potenzrechnen kennen
gelernt haben - nur eben in einer anderen Sprech- und Schreibweise.
83. Zusammenhang zwischen Logarithmen mit verschiedenen Basen:
• Für die praktische Anwendung sind vor allem der dekadische Logarithmus
(wegen seines Zusammenhanges mit dem dekadischen Zahlensystem) und
der natürliche Logarithmus (zur Darstellung kontinuierlicher
Wachstumsprozesse) wichtig.
• Diese beiden Logarithmen sind auch am Taschenrechner unmittelbar
verfügbar.
• Für gewisse Anwendungen sind jedoch gelegentlich auch die Logarithmen
zu anderen Basen von Bedeutung, z.B. in der Informatik der Logarithmus zur
Basis 2.
• Alle diese Logarithmen lassen sich aufgrund des folgenden Zusammenhangs
am Taschenrechner ermitteln: Werden beide Seiten der Definition des
Logarithmus aalogx=x bezüglich der Basis 10 logarithmiert, so erhält man
a
logx*lg a=lg x.
• Hieraus ergibt sich die Umrechnungsformel von lg x auf alog x: alog x= .
84. Merksatz:
Wir brauchen also nur lg x durch den dekadischen Logarithmus zur Basis a zu
dividieren, um den
a
log x zu erhalten. Mit anderen Worten: Der dekadische Logarithmus und der
Logarithmus zur Basis a sind direkt proportional.
Exponentialgleichungen und logarithmische Gleichungen:
85. Exponentialgleichungen:
• Logarithmen kann man nicht nur zum Abschätzen verwenden, sondern man
kann damit auch Gleichungen lösen, in denen die Unbekannte als Exponent
vorkommt.
• Solche Gleichungen heißen naturgemäß Exponentialgleichungen.
• Sie lassen sich vielfach durch Logarithmieren lösen.
86. Beispiel zu Exponentialgleichungen:
• Berechne x aus 3x=2, G=R!
• Wir führen die Gleichung durch Logarithmieren zur Basis 10 in eine lineare
Gleichung über:
• lg 3x=lg 2
• x*lg 3=lg 2
• x= ≈0,63093
• Probe: 30,63093≈2.
87. Merksatz:
An sich ist es gleichgültig, bezüglich welcher Basis man die Gleichung logarithmiert.
Unmittelbar am Taschenrechner sind jedoch nur der dekadische bzw. der natürliche
Logarithmus verfügbar, so dass man diesen im Allgemeinen den Vorzug gibt.
88. Logarithmische Gleichungen:
• Bei vielen Problemen treten Gleichungen auf, bei denen die Unbekannte als
Numerus von Logarithmen vorkommt; man nennt sie logarithmische
Gleichungen.
89. Beispiel zu logarithmischen Gleichungen:
• Löse die Gleichung 6*(lg x)²+2=lg x7 für G=R+!
• 6*(lg x)²-7lg x+2=0 lg x=u
• 6u²-7u+2=0
• u²-7/6*u+1/3=0
• u1,2=7/12+•
•
•
•
•
= (7+-1)/12.
u1=2/3 → x1=10u1=102/3=
.
u2
1/2
u2=1/2 → x2=10 =10 =
.
L={
;
}.
Probe: Für x1: LS=4,6667=RS.
Für x2: LS=3,5=RS.
90. Merksatz:
Beim Lösen logarithmischer Gleichungen ist es oft hilfreich, den logarithmierten
Numerus zu substituieren.
2) Schularbeit
1. Potenzen und Potenzfunktionen a) Die Wellenlänge von blauem Licht beträgt etwa 450nm. Wie viele Wellenberge müssten sich daher auf einer Distanz von 1 m befinden? (3P) b) Vereinfache uns stelle das Ergebnis mit positiven Hochzahlen dar: [
]*
= (9P) (4P) (2P) c) Vereinfache so weit wie möglich: = d) Beseitige die Klammer und vereinfache! = 2. Wurzelgleichungen a) Löse folgende Gleichungen mit G=R! Bestimme vorher die Definitionsmenge! =
(7P) b) Erkläre die Wichtigkeit einer Probe speziell bei Wurzelgleichungen! 3. Exponentialfunktion (3P) a) Ist f eine Exponentialfunktion mit f(x)=c*ax (c∊R, a∊R+), dann gilt: f(x+1)=f(x)*a Beweise diese Aussage! (3P) b) Von einem bestimmten Zeitpunkt an, wächst die Bevölkerung einer Stadt annähernd exponentiell nach dem folgenden Wachstumsgesetz. Dabei ist N(t) die Einwohnerzahl nach t Jahren. Wie viele Einwohner sind zum Anfangspunkt, wie viele nach 5 Jahren vorhanden? Um wie viel Prozent nimmt die Einwohnerzahl jährlich zu? N(t)=10500*1,08t (6P) 4. Logarithmusfunktion a) Eine Größe vermindert sich nach dem Abnahmegesetz N(t)=500*
Nach welcher Zeit ist N(t)≤10? (t in Jahren). (5P) (2P) (4P) b) Vereinfache: a
log
+ alog(a-­‐b). c) Für welche x∊R gilt näherungsweise 52x-­‐1=30? Mucha suerte (Viel Erfolg)! Beurteilung: 48-­‐45 Sehr gut 44-­‐39 Gut 38-­‐30 Befriedigend 29-­‐24 Genügend 23-­‐0 Nicht genügend 3) Arbeitsblätter
Wurzelfunktion – Umkehrung der Potenzfunktion Definition: Die Funktion heißt Wurzelfunktion. mit der Funktionsgleichung , Welche gemeinsamen Eigenschaften kannst du erkennen hinsichtlich •
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der Funktionswerte der Nullstellen der Monotonie der gemeinsamen Punkte Was kann man mit steigendem Wurzelexponenten aussagen? Zusammenhang zwischen Potenzfunktion und Wurzelfunktion Was fällt hier auf? Begründe! Antwort: Die Zuordnungsgleichungen und beschreiben denselben Zusammenhang. Die Funktionsgleichung der zweiten Funktion entsteht durch Radizieren aus der ersten. Wird nun in der zweiten Funktionsgleichung mit vertauscht, so erhält man . Da das Vertauschen der Variablen eine Spiegelung an der 1. Mediane beschreibt, liegen die Graphen symmetrisch zur 1. Mediane. Die Exponentialfunktion Definition: Die Funktion heißt Exponentialfunktion zur Basis a. In der folgenden Abbildung sind die Graphen eingezeichnet: Welche Eigenschaften für Exponentialfunktionen kannst du aus dieser Abbildung feststellen hinsichtlich: •
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der Funktionswerte des gemeinsamen Punktes der Monotonie der Symmetrie bezüglich der Graphen der Asymptoten Logarithmusfunktionen Definition: Unter der Logarithmusfunktion versteht man die Funktion: a
log: R+→R, y=alogx und a∊R+\{1}.
Da Logarithmieren und Exponenzieren Umkehroperationen sind, kann man die Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion zeichnen. Man braucht dazu nur den Graphen der Exponentialfunktion an der 1. Mediane spiegeln. Welche Eigenschaften für Logartihmusfunktionen kannst du aus dieser Abbildung feststellen hinsichtlich: der Definitionswerte der Monotonie der Symmetrie der Logarithmusfunktion zur Basis a und zur Basis der Asymptoten Formuliere die Rechenregeln für das Logarithmieren und Entlogarithmieren: •
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Merkregel: Beim Logarithmieren einer Rechenoperation erniedrigt sich diese um eine Stufe, beim Entlogarithmieren erhöht sie sich um eine Stufe. Zusammenfassung der Rechenregeln Exponenten in ℕ∗ !"# ℝ 1. Potenzen mit natürlichen Zahlen als Exponenten: Basen Potenzen ± ∗ ∶ Rechenregel Bsp Gleich Gleich + !! ! + !" ! = (! + !)! ! 3! ! + 2! ! = 5! ! Gleich Gleich -­‐ !! ! − !" ! = (! − !)! ! 3! ! − 2! ! = ! ! (Verschieden) Gleich * ! ! ∗ ! ! = (! ∗ !)! 4! ∗ 3! = (4 ∗ 3)! (Verschieden) Gleich / !!
! !
=
!!
!
4!
4 !
=
!
3
3
Gleich (Verschieden) * ! ! ∗ ! ! = ! !!! 2! ∗ 2! = 2!!! Gleich (Verschieden) / !!
= ! !!! !!
2!
= 2!!! 2!
!!
2!
Potenzieren von Potenzen !
= ! !∗! !
= ! !∗! Wichtig: Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Basis mit der Differenz der Exponenten potenziert, wobei folgende Fallunterscheidungen vorgenommen werden: !!
!!
!!!! !ü! ! > !
= ! !ü! ! = ! !
!!! !ü! ! < !
!
2. Potenzen mit ganzen Zahlen als Exponenten: Zusätzlich der beiden Definitionen werden alle Rechenregeln mit natürlichen Exponenten übernommen. Definition: !!! =
!
!!
!ü! ! ∈ ℝ ∖ ! , ! ∈ ℕ∗ Definition: !! = ! !ü! ! ∈ ℝ ∖ ! Untersuchen von Potenzfunktionen Definition: !"#$ !"#$%&'# !: ℝ → ℝ !"#. ℝ ∖ ! → ℝ !"# !"# !"#$%&'#()*+&,-"#) ! = !! !"# ! ∈ ℤ !"#ß! !"#$%&'(%)#*"% Welche gemeinsamen Eigenschaften kannst du erkennen: • Geht die Funktion durch den Ursprung? • Verläuft sie unterhalb der x-­‐Achse? • Symmetrie? Welche Eigenschaften erfüllen nun folgende Potenzfunktionen? Gemeinsame Eigenschaften für den Fall gerader Exponenten ! !! • verlaufen durch den Ursprung • verlaufen nirgends unterhalb der x-­‐Achse • symmetrisch zur y-­‐Achse Gemeinsame Eigenschaften für den Fall ungerader Exponenten ! ! ! • • • Gemeinsame Eigenschaften für den Fall gerader Exponenten ! !! • • • Gemeinsame Eigenschaften für den Fall ungerader Exponenten ! !! •
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Grobziele: Die Schüler sollen die Verbindung von
Potenzen/Wurzeln/Exponentialfunktion/Logarithmusfunktion verstehen
Feinziele
Die Schüler sollen folgende Themen erarbeiten:
FZ 1
Potenzen mit natürlichen Zahlen als Exponenten
FZ 2
Potenzen mit ganzen Zahlen als Exponenten
FZ 3
Potenzen mit rationalen Zahlen als Exponenten
FZ 4
Potenzen und Wurzeln von Polynomen
FZ 5
Potenzen mit reellen Exponenten - Exponentialfunktion
FZ 6
EULER'sche Zahl und natürliche Exponentialfunktion
FZ 7
Rechnen mit Logarithmen
FZ 8
Exponentialgleichungen und logarithmische Gleichungen
Ziele
FZ
Dauer
h
Unterrichtsverlauf
(strukturiert z. B. nach: Einstieg, Problembegegnung, Lösungsplan entwickeln,
Ausführen, Sicherung des Unterrichtsertrages, etc.)
Lehr-, Lernmittel
/ Lehrverfahren /
methodische
Hinweise
Vorrechnen, üben
1
2
Herausarbeitung der Definitionen und durch viele Übungsaufgaben das Erlernte vertiefen
2
2
Durch die Zusammenfassung der Rechenregeln in der Tabelle intensive Übungseinheit
Gemeinsam üben
und rechnen
3
1
SchülerInnen auch an der Tafel Hausübungen vorrechnen lassen
Vorrechnen,
erklären
4
2
Herausarbeitung der Definitionen und durch viele Übungsaufgaben das Erlernte vertiefen
Gruppenarbeit
5
2
SchülerInnen können sich gegenseitig die Aufgaben erklären
Gruppenarbeit
6
2
Herausarbeitung der Definitionen und durch viele Übungsaufgaben das Erlernte vertiefen
Gemeinsam üben
und rechnen
7
2
Herausarbeitung der Definitionen und durch viele Übungsaufgaben das Erlernte vertiefen
Vorrechnen,
erklären
8
2
SchülerInnen durch geeignete Übungsaufgaben den Rechenweg erarbeiten lassen
Üben
lassen