6. Das Rechnen mit Exponenten und mit den

Das Rechnen mit Exponenten und mit den Kennzahlen
54
6. Das Rechnen mit Exponenten und mit den Kennzahlen
der Sexagesimalstellen
Potenzen mit n?gativen Exponenten Ufl(l mit dem Exponenten 0 sind
im Abendland aus dem 1484 abgefaßten Triparty von Chuquet und aus
Stifels 1544 erschienener Arithmetica iniegra bekannt. Über den Stand,
den die Potenzreclmung im islamischen Schrifttum erreichte, herrscht
noch viel Dunkel, zu dessen Aufhellung die folgenden Mitteilungen bei
tragen mögen.
Im ersten Buch des „Schlüssel“ beginnt das fünfte Kapitel, das die
Ausziehung der n-ten Wurzel aus einer ganzen Zahl behandelt, mit fol
genden Ausführungen, denen ich unter Verwendung neuzeitlicher Größenund Rechensymbole kurze Erläuterungen in Klammern beifüge:
Über die Bestimmung der Grundzahl (a, wörth: „erste Seite“, dil‘ auwal)
der Potenzen (a‘, wö rtl „Oese iteten“, mu4ailaät
)
80
Wenn man irgendeine Zahl(a) mit sich selbst multipliziert, dann mit dem
Ergebnis (a
), dann mit dem zweiten Ergebnis (a
2
), dann mit dem dritten
3
Ergebnis (a
) und so fort bis ins Unbegrenzte, so heißt jene erste Zahl (a)
4
„erste Seite“ in bezug au! jedes jener Ergebnisse, und „Wurzel“ (idr) in
bezug auf das erste Ergebnis (a
), d. h. das Ergebnis der Multiplikation der
2
Zahl (a) mit sich selbst, und sie heißt „K‘ubilcwurzel“ (kab) in bezug auf
das zweite Ergebnis (a
). Jene Ergebnisse heißen mit der allgemeinen Be
3
zeichnung Potenzen (a‘, wörtL: „Geseitete“), und jede Potenz hat einen be
sonderen Namen, wie das erste Ergebnis (a
) „zu Wurzelndes“ (madür)
2
oder „Vermögen“ (mdi) oder „Quadrat“ (wörtL: „Oeviert(es)“, murabba),
das zweite Ergebnis (a
) „Gewürfeltes“ (mnka“ab
3
) und auch bei einigen
80
„Kubus“ (ka‘b) mit dem Namen der Seite
am einfachsten sagen wir aber,
„Kubus“ sei der Name der Potenz; man ‘übertrug ihn in unzulässiger Weise
auf die Seite
das dritte Ergebnis (a
) „Quadratoquadrat“ (mdi mdi), das
4
) „Quadratokubus“ (mdi ka,‘b), das fünfte (a°) „Kubokubus“ (ka‘b
5
virte (a
kc&‘b); dann (folgt) (a
) „Quadratoquadratokubus“ (mdi mdl ka‘b), dann
7
) „Quadratokubokubus“ (mdl ka‘b k&b), dann (a
8
(a
9 „Kubokubokubus“
in
l 1 ‘U
: rrw‘ 1 ‘nv, da iV Fit i
duret Zur‘
QiqriraI o
wr te de
t,
du‘in ‘ia
t‘a 1‘
1
Kubo
£cn
K? tu
dr du
d
a‘l o urb ‘renzt zie‘ter
sind
die Eins und jene Erqebnisse proportional ‘nach ein- und demselben Ver
hältnis d. h. es ist das Verhältnis der Eins zur Wurzel (a gleich dem Ver
hältnis der JVwrzei (a) zu dem Vermöqen a
2 und gleich dem Verhältnis des
n Vebalti
zc
Ds ao
zum Quadratoquadrat
sind sie alle bis ins Unbegrenzte pro
d
portional. Dies (gilt) auf der Seite des Aufsteigens.. Etwas dem Gleiches
muß man sich auf der Seite des Absteigens vorstellen, nämlich „der Teil der
—
—‚
‚
‚
‘
‚
Die Kunstwörter muqa“ab für a und mualla für a‘
5 sind offenbar
entsprechend murabba‘ (,‚Geviertes“) fÜr a
2 gebildet worden,
Das Rechnen mit Exponenten und mit den Kennzahlen
Wurzel“ (d. h.
‚
55
die Reziproke der Wurzel a), „der Teil des Vermögens“
„der Teil des Kubus“
(‘ „der Teil des Quadratoquadrats“
(usw)
bis ins Unbegrenzte. Diese sind ebemfalls der Reihe ?Zach proportional, und
das Verhältnis jedes von ihnen zur Eins ist gleich dem Verhältnis der Eins
zu dem ihm namengleichen (Gliede) (vgL Diophant: Icvui) auf der
ßemte des Aufdcigens
(:
1
=
1: au). Offenkundig steht die „Wurzel“ (a)
im ersten der Grade
‘ (manäzil), das „Vermögen“ (a
8
) im zweiten, der
2
„Kubus“ (a
) im dritten und so fort bis ins Unbegrenzte. Wollen wir nun
3
die „Zahl des Grades (den Exponenten) einer Potenz“ (adad ma.nzilat
mudaila‘) wissen, so nehmen wir für jedes „Quadrat(o-)‘ 2, für jedes
„Kubus“ (,‚Kubo-“) 3 und addieren sie alle, dann kommt die Zahl ihres
Grades heraus. IVünsclaen wir aber den Namen der Potenz aus der Zahl
ihres Grades (zu bestimmen), so sehen wir zu: Hat sie (die Zahl des Grades)
ein ganz(zahlig)es Drittel (d. h. ist sie durch 3 teilbar), so nehmen wir
soviel (mal das Wort) „Kubus“) („Kubo “), wie ihr Drittel angibt. Die
Aneinanderhängung der „Kubo-“ („kubus“)
82 wird dann der Name jener
Potenz sein. hat sie (die Zahl des Grades) aber kein ganz(zahlig)es Drittel,
so nehmen wir von ihr 2 und machen sie zu einem „Quadrat(o)“ und dar
nach das Drittel des Restes zu (Worten) „Kubo“ (,‚Kubus“), falls er (der
Rest) ein ganz(zahlig)es Drittel hat A adern/alls nehmen wir nochmals 2
und machen sie zu einem weiteren „Quadrat(o)“ und setzen nach der Zahl
des Drittels des Restes wiederholte „Kubo-“ (,‚Kubus“), wobei wir das Wort
„Quadrato“ dem Worte „Kubo-‘ (,‚Kubus“) vorangehen lassen Dann
kommt dc N r der 1 otenz heraus 1
Wahre 1 h r von den P enze
1
1 J
,a
2
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,
5
3 a a
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bekai‘n c (x, Der Poterzlegr‘J a‘ ai in Mtte1aIDr riiet±t, wie
Tropfke (1i S 1 331 sagt. auf die Lubekannte osehränkt, Letztere
wird, w
K ‘V. 1 a\ sagt, ‚i)ing‘ (aiu) oder „Dinar“ oder „D
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1
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1
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‘tkc f
1(fl ‘ei ogi
4).
K. folgt ahei wie man sucht. dcr Lüophantisclien Benennung der Potenzen
‘1
‚-
‘1!‘
.
‚
66
Das Rechnen mit Exponenten und mit den Kennzahlen
oder „Anteil“ (naØb) oder „Los“ (sahm) oder sonstwie benannt, wobei
meistens ausgemacht sei, daß man sie „Ding“ (ai) nenne. Wird das
„Ding“ (x) mit sich selbst multipliziert, so heißt das Ergebnis (x
) „Ver
2
mögen“ (mäl). Die hierauf folgenden Potenzen von x heißen „Kubus“,
„Quadratoquadrat“ und auch weiterhin genau so wie die Potenzen einer
bekannten Größe an der vorhin angeführten Stelle, auf die K. zurückverweist, genannt wurden. Diese „Range“ (marätib) heißen „die un
bekannten Range“ und „die unbekannten Arten“ (al-ajnäs al-majMila),
weil ihre erste „Seite“ das unbekannte „Ding“ ist.
Auf die Behandlung der Addition (V, 1 b) und der Subtraktion (V, 10>
der „Arten“ folgt ein Abschnitt (V, ld) über ihre Multiplikation, Bei
der Multiplikation zweier Arten sucht man die „Quantität“ (kamya,) und
die „Artung“ (jinsiya) des Ergebnisses. Bei 10 x
2 heißt 10 die Quan
tität“ und x
2 die „Artung“. Die Quantität des Produkts zweier Arten,
z. B, 10 x
2 und 9 x
3 ist das Produkt der Quantitäten beider Arten, im
Beispiel 10 9 = 90. Über die Artung führt K. folgendes aus;
JVas die letztere (die Artung) betrifft, so bemerkten wir schon im fünften
Kapitel des ersten Buches, daß diese Arten zwei Ketten haben, auf den
beiden $eiten des Aufsteigens und des Absteigens. Beider Anfang ist bei
der Einheit, und sie alle (die Arten) sind der Reihe nach proportional. Die
„Zahl des Grades“ (der Exponent) der Eins (adad manzilat al-wäiid) ist 0,
diejenige des Dings (x) und des Teiles des Dings
ist 1, diejenige des
„
(-
()
Vermögens (x
) und des Teiles des Vermögens
2
ist 2, diejenige des Kubus
1
) und seines Teils
3
(x
ist 3, diejenige des Quadratoquadrats (x
) und
4
seines Teils
()
()
ist 4,und so beliebig weit Hier steht die Zahl in der Kraft
der Eins, auch wenn sie größer als 1 oder kleiner als 1 sein sollte, weil die
Zahl, wieviel sie auch betragen möge, die Quantität der Art der Eins ist
,
83
wie (z, B.) fünf Dinge (5 x) die Quantität der Dinge (x) sind.
Multiplizieren wir nun eine dieser Arten mit ener anderen, so ist das
Ergebnis von einer Art, deren Zahl ihres Grades (deren Exponent) vorn Be
taqe der S‘umme der Zahlen der 0-rede der beiden Faktoren ist, wenn sie hin
chtiich der beiden Ketten des Auf steigens send des Absteigens auf derselben
Seite (nämlich der 1) iegen. Im anderen Falle ist sie vorn Setrage des
Überschusses der einen- der beiden über die andere. Es (das Ergebnis) liegt
(im ersten Falle) auf der Seite der Summe oder (im zwiten Falle) auf der
Seite des Uberschusses, Wir bringen eine Tafel für die Artung der Er
gebnisse der Multiplikationen dieser Arten miteinander. Aus ihr erfährt
man (auch) die Artung des Ergebnisses der Di.vision einer (Art) durch eine
arsdered)
.
l.ie Potenzen von x, wie
1, x
2 sind „Arten der Eins“, Der Koef.fi
zient, z.B. 7 in 7 z
, ist ‚die Quantität der Art der Eins“.
2
138
Das Rechnen mit Exponenten und mit den Kennzahlen
57
Auf die Behandlung der Multiplikation mehrerer Arten miteinander
d. Ii. von Binomen und Polynome.n miteinander, fo‘gt der Abschnitt
(V. 1 e) Uber die Division dieser Arten durcheinander. Er beginnt fol
gendermaßen:
1Vollen w jr eine einzige Art durch eine einzige Art dividieren, so divi
dieren wir die Quantität der Art des Dividenden durch die Quantität der Art
des Divisors. Dann ist der Quotient die Zahl der Art des Quotienten, dessen
Zahl des Grades (Exponent) vorn Betrage des Uberschusses zwischen den
Zahlen des Grades (Exponenten) von Dividend und Divisor ist, wenn diese
beiden auf ein und derselben Seite sind, oder vorn Betrage ihrer Summe,
wenn sie (auf) verschieden(en Seiten) sind, und er (der Quotient) ist auf
der Seite des Auf steigens, wenn der Bang (martaba) des Dividenden über
dem Bang des Divisors ist, andernfalls auf der Seite des Absteigensm)
Von der erwähnten Tafel gebe ich auf 5. 58 die Ecken wieder, Es ist
eine quadratische Tafel mit zwei Eingängen. Die Spalten sind oben und
die Zeilen rechts und links mit den „Artungen“ beschriftet, vom „Qua
) fallend über „die Eins“ bis zum „Teil des Quadrato
5
dratokubus“ (x
). In dem Teilquadrat, in dem sich Zeile und Spalte treffen,
5
kubus“ (x
kann man die Artung des Produktes ablesen. Die Artung des Quotienten
aufzufinden ist dadurch ermöglicht, daß die Spalten unten mit den Rezi
proken der oben stehenden Potenzen beschriftet sind, Aber auch durch
inverse Benutzung der Multiplikationstafel kann die Artung des Quo
tienten gefunden werden. Hierauf macht der Verfasser aufmerksam,
nicht aber darauf, daß diese Benutzung den Bereich der Exponenten.
erweitert und daß ebenso auch die Divisionstafel als Multiplikationstafel
dienen kann.
Eine mit dieser Tafel inhaltlich und in der Anordnung genau überein
stimmende Tafel fand Woepcke isoliert auf einer Seite der Handschrift
. Leider ver
84
169 des Pariser Ancien fonds persan und veröffentlichte sie
Der
Unterschied gegen K,‘s
mochte er das Stück nicht genau zu datieren.
Tafel besteht hauptsächlich nur darin, daß die Namen der Potenzen in
den Feldern für die Ergebnisse abgekürzt sind, und zwar, wie man das
acn sonst be arab ‘l ti VI “rern hcubautct du.cL Niederchr ft rer
Endbuchstaben.
Die Diophantischen Namen der Potenzen begegneten uns auch (5. 4
ta cn
un
B i m Lcfiie‘ tel W‘ie 1
1d“ufken Lz
‘ii cm‘
n
tc ge 1 er
iar Lc Muinpiniation iurt D
1 usin on Ptenzei
sch ‘ertaH gen Bezeuhnungen i.r de Potenzen Bei dem nas K n er
über Potenzen und das Rechnen mit ihnen vc.rbringt, macht er nirgendwo
Aripruc1 aa ege1ie F‘“ uci‘ i
Die Jafel zr Beseimmr‘g der Ar ing
des Produktes und des Quotienten bezeichnet er in der Einleitung :.
oben 5. 8) ausdrücklich als von den Vorgängirn übernommen. I.mmem
hin könnten Einzelheiten, z. B. terminologische Besonderheiten, sein
, Premier article. Journal Asiatique (5) 4
58
F. Woepeke, Recherches
(1854), 5. 348384, 8, 8. 37538O.
58
Das Rechnen mit Exponenten und mit den Kennzahlen
Multi
—
/
plikand
Teil des
Quadrataquadrats
Teil des
Quadrata
kuh Us
Kuba
kubakubus
Ding
Eins
Quadrata
kubus
Quadrata
kubakubus
Eins
Teil des
T)iugs
Quadrata
quadrat
Quadrata-
Quadrata
kubus
quadrat
Quadratakubus
Quadrata
quadratakubakubus
Quadrataquadrat
Kubakubakubus
ii
3
i
33
II
II
=4
Teil des
Quadrata
quadrats
Teil des
Quadrata
kubus
Ding
Eins
Eins
Teil des
Dings
Teil des
Quadrata
Teil des
Qudrata
kubus
quadrats
-
Dlvi
—
Teil des
Quadratakubakubus
Teil des
Kubakuba-
Teit des
Kubakubakubus
Teil des
Quadrata
quadrata
kubakubus
Quadrata
quadrat
Q uadrata
Teil des
Q uadrata
quadrats
kubus
-
Teil des
Quadrata
kubus
-
kubus
sor
Al-Kääds Tafel zur Multiplikation und Division von Potenzen
Erläuterung: Ding = x, Vermögen = x
, Kubus = x
2
, Quadratoquadrat =
3
Quadratokubus = x
, Kubokubus
5
‚
Kubokubokubrs =
Q
a
1
dratoquadratokubok
u
ubus =
1
Teil des Dings = : Teil des Vermögens = 1 usw.
—
Eigentum sein. Der hier zu Tage tretende Stand der Potenzreehnung hat
folgende Kennzeichen:
Die schon bei Diophant definierten und als Glieder der Gleichungen
auftretenden ‚)Arten“ werden als Glieder einer aufsteigenden und ab
steigenden unbeg,renzten ‚Kette‘ der Potenzen einer bekannten oder
unbekannten Zahl a gedaett. Auch die Eins ist in diese Folge
1
1
1
a°
--‘
a
—‚
a
1, a, in, a,
140
Das Rechnen mit Exponenten und mit den Kennzahlen
59
aufgenommen. Vorhanden sind insbesondere Fachausdrücke für die
Grundzahl (,‚Seite“, Zil), für die Potenz überhaupt (,‚Geseitetes“, mu
ll&) und für den Exponenten (,‚Zahl des Grades“, adad al-manzila),
Bestimmte Potenzen a‘ (n 0) bezeichnet K. noch schwerfällig nach
. Er zeigt
5
Diophant mit Worten wie Quadratokubus“ (mdl kab) für a
aber, wie man für n > 1 aus der 1)iophantisehen Benennung den Ex
ponenten und aus dem Exponenten die Diophantisehe Benennung
findet: Ist
1 = Ooder 1 oder2),
2 (n
n= 2n
+ 3n
1
-mal das Wort „Quadrat(o-)“
1
so hat der Name der Potenz an der Spitze n
(,‚Kubus“).
Darauf folgt no-mal das Wort „Kubo-“
Den wird der Exponent0 zugeschrieben. DiePotenzenaund
„
—
haben denselben Exponenten. I)er Unterschied wird durch die Angabe
gekennzeichnet, daß für n> 0 die Potenz a‘ „auf der Seite des Auf
steigens“ und
„auf der Seite des Absteigens“ liegt. Der hier vorliegende
Gebrauch des Ausdrucks „Seite“ (änib oder ar/) entspricht der Ge
pflogenheit des Altertums irnd des Mittelalters in Geometrie und Ko
ordinatengeometnie der Ebene und der Kugel. So lesen wir in Täbit b.
Q urra‘s Berechnungen von Sonnenuhren sehr oft, daß eine Größe auf
die eine oder auf die andere von zwei „Seiten“ fällt, Für uns heißt das,
daß die Größe im einen Falle positiv und im anderen negativ ist. „Auf
der Seite des Aufsteigens“ bedeutet also hier n> 0, und „auf der Seite
des Absteigens“ bedeutet n <0,wobei allerdings zu beachten ist, daß K
von der Potenz, nicht vom Exponenten, sagt, sie liege auf der
Seite des Aufsteigens oder Absteigens. Unter Verwendung dieser Fach
ausdrücke gibt K. die vollständigen Regeln für Multiplikation und Divi
sion zweier Potenzen, deren Exponenten beliebige positive oder negative
ganze Zahlen oder null sind. Er besitzt also die Vorschriften, die wir
durch die Formeln
am a‘
3
am : a“
am
(m, n anflz und
0).
ausdrücken.
85 den Ex
Im Westen bezeichnet der 1480 verstorbene ah Qaia3ädi
) Er sagt z. B.:
„Gruhdlage“
ass
3
z
mit
,
2
z
z,
ponenten der Potenzen
(=
Der ass der Kuben Ist 3. Ferner: DIe „Zahl“ (d. h. das konstante Glied
einer Gleichung) hat keInen ass. Das ist unvollkommener als bei K, und
auch die von ah Qalasä.d ausgesprochene Exponentenregel für Multi
plikation und Division eier Potenzen ist anscheinend nur für den Fall ge
sn aue le es FrLi
Lh
n L a w ‚rLm
pos 14v sind.
-
, quatniöme partie, chap. 3, 7, 8
49
Woepck.e, Trcdnction
F. Woepcke, R.echerches, 1 art14, 8, 353, 3t4, 307, 3ß8
86
‚
141
—
60
Das Rechnen mit Exponenten und mit den Kennzahlen
Das Verfahren der sexagesimalen Ausziehurig der n4en Wurzel leitet
K. (III, 5) mit folgenden Ausführungen ein:
Wenn man irgend eine einzelne Zahl (adad mufrad)
86 mit sich selbst
multipliziert, dann mit dem Ergebnis, dann mit dem zweiten Ergebnis und
so bis ins Unbegrenzte und (andererseits) die „(Kenn)zahl der Stelle“
(adad almartaba) jener einzelnen Zahl zu sich selbst addiert, dann zu der
Summe, dann zu der zweiten Summe und so bis ins Unbegrenzte, so sind
diese Zahlen dr Reihe nach die (Kenn)zahlen der entsprechenden Stellen
jener Ergebnisse auf Grund des Vorhergehenden, wonach die (Kenn)zahl der
Stelle des Ergebnisses der Multiplikation vom Betrage der Summe der beiden
(Kenn)zahlen der Stellen der beiden Faktoren ist, wenn sie auf derselben
Seite von den Graden (d. h. der Einerstelle „Grad“) sind Notwendig erhält
man diese (Kenn)zahlen auch dadurch, daß man die (Kenn)zahl der Stelle
jener einzelnen (Zahl) mit der Zahl des Grades (dem Exponenten) irgend
einer Potenz multipliziert Daraus erkennt man, daß jede Potenz in der
Steile gefunden wird, die (so beschaffen ist, daß), wenn man ihre (Kenn)zahl
durch die Zahl ihres Grades (durch den Exponenten der Potenz) dividiert,
nichts (d. h. kein Rest) ‘übrigbleibt, d. h es ist die Zahl ihres Grades (der
Exponent der Potenz) ein Teiler ihrer (Kenn)zahl oder ist ihr gleich, wenn
sie eine (Kenn)zahl hat)
Wählen wir als Beispiel für die gegebene „einzelne“ Sexagesimalzahl
2 „Gedritte“ = 2 60, so wird hier der Folge der Potenzen
2 60, 4 606, 8 60v, 16 6012
die ihr gliedweise entsprechende Folge der Exponenten von 60, welche
„(Kenn)zahlen der Stellen“ beißen,
gegenübergestellt Diese Folge wird durch Addition erzeugt, wie jene
durch Multiplikation.
In den beiden letzten Sätzen dieser Textstelle stecken die Formeln:
pj
1
/
rnn
=
K. braucht sie, um zu begründen, daß z. B. das Ausziehen der Kubihl
wurzel aus „Gedrittem“ „einmal Erhöhtes“, aus Sexten Sekunden ergibt
Der Zusatz wenn sie eine (Kenn)zahl hat gIbt dem Exponenten 0 eine
Sonderstellung.
An einer anleren Stelle des Schlüssel (V. 3) gibt der Verfasser zur Er
leichterung der Berechnung von Potenzen as eIgene Erfindung eine
Regel, die. auf der dyadisch.en Darstellung des Exponenten beruht Fr
erläutert sie an zwei Beispielen, die wir folge.ndermaßen schreiben:
F(2212
und
314.
38+4+2
88 Oemeint ist eine Zahl 1
a‘6O 0
,
8
a
‚.(Kenn)zahl ihrer Steile“. Vgl. 5. 41.
142
322
59.
)
2
(a
32
Die ganze Zahl i ist die
Das Rechnen mit Exponenten und mit den Kennzahlen
61
Um 211 auszurechnen, zerlegt er 11 in 8 + 2 + 1 (= 2 + 21 + 20,
oder, im dyadischen Positionssystem geschrieben, = 1011) Er hat also
aus der Folge
d.
2 (20) 2(21), 2 (22), 2 (2)
und ausgerechnet 2, 4, 16, 256,
in der jede folgende Zahl durch Quadrieren der vorhergehenden entsteht,
die ursprüngliche Zahl 2 und die nach der ersten und dritten Quadrierung
entstehenden Zahlen 4 und 256 miteinander zu multipl,izieren.
2,
22, (22)2, [(22)212
81 3 mal
8
256
3mai
6561
1
Hulfszahlen zur Berechnung von 211
Hilfszahlon zur Berechnung von
314
In seiner durch unser linkes Täfelchen angedeuteten tabellarischen Rech
nung sieht man in der ersten Spalte die Exponenten 8, 2, 1 der Basis 2,
In der mittleren Spaltt steht, durch wieie1maliges Quadrieren man bei
Ausgang von 2 zu der betreffenden Potenz gelangt. In der letzten stehen
die ausgerechneten Potenzen 256 4, 2, Wir sehen also hier den Zahlen
256, 4, 2 ihre Logarithmen zur Basis 2 und die Logarithmen dieser Loga
rithmen gegenübergestellt. Die 0 steht wirklich in der Tabelle; zu der
Redeweise „0-mal‘ schwingt sich K. nicht auf Ebenso sehen wir in der
(3)
(2)
(3)
Ausrechnung von 314 (echtes Täfelchen) Ire Zahlen log z und log log z
den Zahlen
6561 z
81 z
9 gegenubergestellt
Fr tsprec ie d findet K 20 fur die bokanr te an das ScF achbr tt an
kr upf dc Aufgabe dc
e 1
6, 2o
s e e ites ( ied
r bi{
be e
te t i iffe
id i V e
i
1
vi
vee ‘i
‚
1
‘1
ww
Das Rechnen mit Exponenten und mit den Kennzahlen
62
44 findet sich (5. 103) ebenso wie z, B, in der von Curtze
von Sevilla
herausgegebenen Aigorismusschrift des 12. Jahrhunderts
88 (5, 21) eine
Tafel mit zwei Eingängen, die den Stellenwert des Produktes zweier
Sexagesimaib r ii ehe aus den Stellenwerten ihrer Faktoren finden läßt.
K. hat die Erweiterung dieser Regel auf alle Stellenwerte der ganzen
und gebr och e n cli Sechzigerzahlen von Vorgängern übernommen und
führt diesen Gegenstand (III, 3) folgendermaßen aus:
Was die Bestimmung der Artung (‘insya) der Stellen betrifft, so (gilt
folgendes): Wie das Verhältnis der Eins zu einem der Faktoren (eines Pro
duktes) gleich dem Verhältnis des anderen Paktors zum Produkt ist, so ist das
Verhältnis der Stelle der Grade
81 zur Stelle eines der Faktoren gleich dem Ver
hältnis der Stelle des anderenFaktors zur Stelle des Produktes, weil alle Stellen
in ständigem Verhältnis stehen (d. h. 1 Grad : 1 Min. = 1 Mm: 1 Sek.
usw.), so daß der Abstand der Steile eines der Faktoren von der Steile der
Grade gleich dem Abstand der Stelle des Produktes von der Stelle des anderen
Paktors ist Neh‘men wir also für die Grade (null)
, für das einmal
89
Erhöhte oder die Minute eins, für das Gezweite und die Sekunde zwei,
für das Gedritte und die Terz drei und (so weiter> nach dieser Regel, so
sind dies die Abstände der Stellen von den Graden, Sie heißen „(Kenn).
zahlen der Stellen“. Multiplizieren wir nun eine „einzelne Zahl“
86 mit
einer ebensolchen, so addieren wir die (Kenn)zahlen der beiden Faktoren,
wenn sie auf derselben Seite der Grade sind, und die Summe ist dann die
(Kenn)zahl der Stelle des Produktes auf jener Seite. Wir nehmen aber den
Unterschied zwischen beiden (Kennzahlen), wenn sie (auf) verschieden(en
Seiten der Grade) sind. Das ist dann die (Kenn)zahi der Steile des Fro.
duktes (und sie liegt) an! derjenigen Seite, die den Uberschuß hat,°)
Di.ese Regel entspricht der Gleichung
60i,60k =
für beliebige ganzzahlige Werte von i und k, die also auch 0 oder negativ
sein können. Wie früher bei den Potenzen überhaupt, kommt das Vor
zicheu
ieder daduvGi zm Ausdiuck -iai3 uui citcn ilptersci iedeu
%erden, diesmal d e xdeu Seiter aut dener (fl5 Giieier n czig act
die Grade“ (a
‘ 600) stehen.
0
Ebenso bringt K. (Iii, 4) für die Bestimmung der (Kenn)zahi der
Stelle eines Quotienten aus den (Kenn)zahlen der Stellen von Dividend
und Divisor die der Gleichung
‘
für beliebige ganze Zahlen i und k entsprechende Regel.
M. Ourtze,
Cia
tber eine A1gorismusSchrift
8 1
so‘ 8
Vt‘irirr1
rlrrr‘r
des Xli. Jahrhunderts.
io‘rr e
6nzen. Bio Steile entspricht riarm der oben (8 56) mitgeteilten Fest
setzu.ng: Die ‚Zahi des Grades“ der Eins ist null. Sie steht ferner im Ein
klang mit der Festsetzung der Kennzahl der Einer der dekadischen Zahlen
(8. weiter unten S 104).
144
Das Rechnen mit Exponenten und mit den Kennzahlen
63
Zur bequemen Bestimmung des Stellenwertes von Produkt und Quo
tient auf Grund dieser Regeln bringt K. ebenso wie die oben (S. 62> ge
nannten Algorismussehriften eine Tafel mit zwei Eingängen, deren Ecken
ich unten wiedergebe. tber und unter den Spalten und links und rechts
von den Zeilen stehen die Namen der Stellen, und im Treffpunkt einer
Zeile mit einer Spalte liest man den Stellennamen des zugehörigen Pro
im Gegen
duktes oder Quotienten ab. Die Stellen reichen aber hier
oben
mit
K.‘s
Einklang
(8. 69)
satz zu jenen Algorismussehriften und im
wiedergegebenen Tafel für die Produkte und Quotienten von Potenzen
von den „Gefünften“ (60k) über den Grad (600) bis herab zu den Quinten
(60), umfassen also auch die über den Grad hinausgehenden Sexa
gesimalstellen der Ganzen, Auch diese Tafel für die Stellenwerte be
zeichnet K. in der Einleitung (oben 8. 7—8) ausdrücklich als von Vor—
—
Geflinftes
Gernertes
Quarte
Gefunftes
Gesehntes
Gen euntes
Erhöhtes
GeGertes
Geneuntes
1
Grad
Quinte
Minute
Quarte
-
Grad
Geachtes
1
j
1—
—
Quarte
Erhöhtes
Oldave
Grad
ans
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d des Quotie ten zw er Se gesim Izahle
ie: LuI
14
©
64
Die reine Sexagesimalrechrnmg bei anderen islamischen Mathematikern
gängern übernommen, Da in den Namen fast aller Stellen die Zahlen 1,
2, 3, 4, 5 stecken, so ist die Tafel im Grunde nichts anderes als die für uns
triviale Tafel für die Addition und Subtraktion
z=x±y, x,y=0,±1,+2,±3,±4,±5.
Auf die Stellenregeln für das Potenzieren und das Radizieren einer
Sexagesimalzahl brauchen wir nicht einzugehen. Ihre Begründung ist in
der oben 5. 60—6 1 wiedergegebenen und erläuterten Textstelle enthalten.
Später werden wir sehen, wie K. die für das Rechnen im Seehziger.
gefüge aufgestellten Regeln über den Stellenwert auf das Zehnergefüge
einschließlich der von K. eingeführten Dezimalbrüche überträgt.
7. Die reine Sexagesimairechnung bei anderen
islamischen Mathematikern
Die in den beiden letzten Abschnitten bei K. nachgewiesene Sexa
gesimalreehnung ist dadurch gekennzeichnet, daß auch die Ganzen sexa
gesimal entwickelt sind, daß die Zahlen im Positionssystem mit den
‚.Sexagesimalziffern“ 0, 1
59 geschrieben sind und daß mit diesen
Zahlen genau entsprechend gerechnet wird, wie mit den Zahlen des
Zehnersystems, wobei an die Stelle des Kleinen Einmaleins das in der
„Sehzigertafel“ niedergelegte Einmaleins der Sexagesimalziffern tritt.
Diese reine Sechzigerrechnung, die K. von Vorgängern übernommen hat,
war durchaus nicht bei allen islamischen Mathematikern verbreitet, auch
nicht bei denjenigen, die in erster Linie auf die Sechzigerrechnung an
gewiesen waren, den Astronomen. Wir nahmen schon wiederholt Ge
legenheit, darauf hinzuweisen und halten hier noch einmal fest, daß wir
weder in der lateinischen
und dem mit ihr
zusammenhängenden Liber Aigorismi des Johannes von Sevilla
, noch
43
in den umfangre.ichen trigonometrischen Rechnungen, die abBirün, einer
der beiesensten und aufgeklärtesten islamischen Astronomen der Bhte
zeit in seinem Taidtd?
4 darbietet, eine reine Sexagesimalrechmmg
finden. Hier wie auch z. B. in dem Pxeehenbuche eines so kiuaen iIathe
matikers wie aLKarai
‘ wird mit den Einheiten einer geeignet niedrig
52
gewählten Sexagesimalsteile dekadisch gerechnet. Nur bei der Multh
plikation (II, 5. ii, Kap. 36) erwähnt ahKarai, daß man jede Stelle
60 Ci . 0) des Multiplikators mit jeder ebensolchen des Muitipih
kanden multlnlizleren konre. Enenso vermissen wir de reine Sechziaeio
rechnung wohl in den meisten bisher etsclbossenen byzantinischen und
abendländischen Schriften des Mittelalters. Von byzantinischen Quellen
seien neben den schon (5 511 erwähnten Seholien zu Euklid Maxirnus
Ela
u d Dar am
_54S
um a‘ 5itc Du n
1
Barlaame Logistik°° l.andeit von der Multiplikation und Division von
°° Bariaami
Monachi Logistica, griechisch und lateinisch hrsgg. von
•J. (ihambers, Paris 1600.
‚...‚
146
1
Die reine Sexagesimairechnung bei anderen islamischen Mathematikern 65
„Teilen“ (ioLpc) und „Minuten (Xeict&),
letzteres Wort umfaßt be
kanntlich außer den „ersten Minuten“ auch die „zweiten“, „dritten“
usw. Minuten, die daher ihre Namen „Sekunden“, „Terzen“ usw. haben.
Barlaam weiß weder etwas von ganzen Sexagesimalzahlen noch von der
Sechzigertafel. Dasselbe gilt für L e vi ben G e rs on (1288—1344) inseiner
„Praxis des Rechners“
.
91
Bei dieser Sachlage erscheint es wissenswert, welche Mathematiker des
Mittelalters, zunächst im Bereiche des Islam, außer K. nachweislich oder
vermutlich die reine Sexagesimairechnung kennen, lehren oder an
wenden. Der folgende Überblick soll die zur Zeit mir mögliche erste Zu
rechtfindung in dieser Frage hinsichtlich der islamischen Mathematiker
geben. Ich gehe dabei rückwärts von der spätesten Zeit auf die frühere.
Einer der letzten Gelehrten um Ulug Beg, Schüler und Nachfolger des
oben (5. 5, 5 17) genannten Qähzäde ar Rümi war AIä‘addin Ali b.
Mubammad al- Qüi (starb 1474) der die Tafeln Ulu Begs abschloß
(vgl. oben 5. 4), später aber unter Muhammed II an der Aya Sofya in
Konstantinopel wirkte. Sein diesem Sultan gewidmeter Lehrbrief über
das Rechnen (ar‘risäla a1-Muiarnmadya /il-aisäb) ist anscheinend von
westeuropäischen Forschern noch nicht untersucht worden. Er weist in
der Einteilung und den Überschriften der Kapitel eine starke Anlehnung
an den „Schlüssel“ von K. auf (Katalog Leiden JJP‘, 5 74—75) Man
kann also vermuten, daß das zweite Buch des ersten Teils, das die Über
schrift „Über das Rechnen der Astronomen“ trägt, ebenso wie Krn‘s ähn
lich überschriebenes drittes Buch eine Darstellung der reinen Sexa
gesimairechnung enthält. Daß ah QüsI die ganzen Sexagesirnalzahlen
besaß, geht aus dem Artikel ar-raf (,‚das Erhöhen“) in dem 1745 ge
sehr ebener Fachwörterlexiko Ton at Tahänawi
3 (1, 5 p72) hervor,
Dieser Art kel erläut rt ü e a z
5 c iz gerzanler „ei
ai Erhohte&‘,
‚zv e rtal F
ioh es
s und
ei ( bei au 1 Qüs
5 L hrbr ef de3
Rec i iens,
Gleiches wie für den Absehnitt a1-Qüsi‘s gilt für das zweite Kapitel
des Werkes Quellen des Rechnens“ (‘UyLn a1-isäb)
, das von dem
9
wenig bekannten Mubanilna4l Bqir b
Zain a1-hidin al Yazdi ncrFaß
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Etwa drsc1ben Z it we li hei1tn eben genannten Verfasser von
Rechcnwtrkntteini e:hn
Maridirii (1423
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lipre 22 Ptna(Bhar, IndLen; 1L37. 3. 15 Nr. 2420.
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5
Urterin.n
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1
PjbHe 1.ibrary an
5Ob) an
Luckey, Rechnkuust.
141
66 Die reine Sexagesimalrechnung hoi anderen islamischen Mathematikern
überaus zahlreichen Schriften über Rechnen und Astronomie befindet
sich eine, die ausschließlich der reinen Sexagesimairechnung gewidmet
ist, und die wir deshalb näher betrachten wollen, Diese schon früher
(5. 39) von uns erwähnte Schrift ist betitelt: Feinheiten der Wahrheiten
. Bisher scheint nur
67
über die Rechnung der arade und Minuten
E. Woepcke ihr Beachtung geschenkt zu haben und im Anschluß an ihn
. In seinen Untersuchungen über die Einführung der
55
Carra dc Vaux
65 erwähnt Woepcke aufS. 54 dieses
indischen Arithmetik im Abendland
Handschriften zur Verfügung
Werkchen, von dem ihm zwei Pariser 83
standen, und aufS. 66 bis 70 übersetzt er das Vorwort, die Einleitung und
die Kapitelüberschriften. Bei der Erörterung der Verbreitung der in
65 berührt er die Schrift (5. 464) erneut, Im Vorwort sagt
dischen Ziffern
Sibt, al-Märidini:
Es gibt im Rechnen der sphärischen Operationen nichts schöneres, als das
Rechenverfahren des Sechzigerverhältnisses, wie es in unserer gegenwärtigei
Zeit angewandt wird, wo man das Verfahren der Früheren wegen seiner
Schwierigkeit und seiner vielen Operationen aufgab. Ich habe keine be
friedigende Einführung in diesen Zweig (der Wissenschaft) gelesen außer
der Einführung unseres Meisters, des Im.äm, des Hochgelehrten, ihäbaddtn
die
möge Gott der Erhabene sich seiner erbarmen
Aimad b. ai-Majdi
betitelt ist: Enthüllung der Wahrheiten über die Rechnung der Grade und
Minuten, Ich kenne über diesen Zweig kein vor ihr (erschienenes) Werk.
Es gibt über die Ziele dieser Wissenschaft nur geringfügige, ungenügende
Gottes Er
. Er (ihäbaddIn)
94
Darlegung (von Kühgär und anderen)
gab aber in -ihr ausführliche Hinweise auf das Ver
barmen über ihn!
fahren der Früheren in Sachen des maftüh und des ubär und breite Aus
einandersetzungen über das Verfahren des Verhältnisses, obwohl er sich kurz
fassen wollte. So ergaben sich Schwierigkeiten hinsichtlich seiner Erklä
rungen, derart, daß man einiges davon kaum nach langem Nachdenken
versteht).
Deshalb, so fährt Sibf al-Märidl.ni fort, wolle e-r selbst eine praktische
Einführung schreiben, in der er nur das Notwendige über das (Sechziger)—‚
—
—
—
verhältnis bringen und die von bäbaddfn zu knapp behandelten Dinge
durch leicht verständliche Erklärungen und zahlreiche Beispiele er
on Hinweisen auf das Verfahren der Früheren und un
läutern werde,
o le er iabei oshcn
nntIde Ii i
De hier ibersetzten Ausführungen bestätigen unsere Beobachtung,
daß die rein..e Sexagesirnalrechnung bei den islamischen Mathematikern
Die eine- ist- die. jetzt mit Nr. 2541;i bezeichnete; vgl. Bibhoth6ouo
Nationale. Cataloaue des manuser. ar. par M. le Baron dc Siane, Paris
Die andere, die nach Woepckes Angabe damals noch
1883 —1895 2. 4 5
nicht k.ataiogisiert war, wird die Bandschrift Nr. 2560,15, 2. 462 des ge
nannten Katalogs sein.
er
n
i6 ‘Noepu c sei re ht Oolchucr‘ arc? andr
e B arfe n
Hand
gänze ich nach Woepckes Übersetzung. Sie fehlen in der Qothaer
.
87
schrift
Die reinc Sexagesimairechnung bei anderen islamischen Mathematikern
67
uiid auch bei den Astronomen nicht zu allen Zeiten verbreitet war. Auf
fallend ist, daß Sib al-Märidini, der anfangs wahrscheinlich in Damaskus
und später ebenso wie sein gepriesener Lehrer ihäbaddIn in Kairo
wirkte, den „Schlüssel“ von K. nicht nennt. Sollte dieses Werk, das vier
Jahre jünger als der Vielschreiber Sibf war, zu seiner Zeit noch nicht nach
Kairo gelangt sein? ihäbaddin, bekannt unter dem Namen Ibn ah
Magd, lebte von 1365 bis 1447, war also Zeitgenosse von K. und war
62 Jahre alt, als der „Schlüssel“ 1427 erschien. Seine von Sibt genannte
Schrift ist uns in Oxford und Algier erhalten. Nach Angabe des Ox
forder Katalogs (5. 222) ist sie ein Liber de arithmetica astronomica et
Tabula sexayenaria und besteht aus 23 Blättern. In diesem Werk hat
gerade das, was Sibt als Ballast abwarf, die Auseinandersetzung mit den
Verfahren der Früheren, für uns Belang. Nach Untersuchung der Schrift
wird man auch die Abhängigkeit des Sibt von ihäbaddin und die
zwischen diesen beiden und K. etwa bestehenden Abhängigkeitsverhält
nisse eher beurteilen können. Ferner wird man erfahren, ob maftü1,z, wie
Woepcke angibt und wie es auch an dieser Stelle natürlich erscheint, das
Kopfrechnen bedeutet. Anderswo wird für maftfi die Bedeutung „ra
tional“ (= mun(aq) angegeben.
Sibf al-Maridini gibt viele Zahlenbeispiele, doch teilt er bei den meisten
nur das fertige Ergebnis mit. Wie die Reehenschemata aussehen sollen,
muß man sich besonders bei der Division und der Wurzelausziehung erst
nach dem Text klarmachen, Denn diesem sind hierfür keine ausgeführten
Muster beigegeben, und das gilt anscheinend nicht nur für die beiden von
mir benutzten Handschriften.
Die Sexagesimaibrüche Minuten, Sekunden usw. werden nach Sib bis
ins Unbegrenzte gebildet. Diesen „Erniedrigten“ (al-rna4ü(ät) stehen
die entsprechenden „Erhöhten“ (a.imarfüät) gegenüber: „einmal Er
höhtes“, „zweimal Erhöhtes“ usw. bis ins Unbegrenzte. „Dies ist die ver
breitete Benennung. Einige nennen das auch „Erhöhtes“, „Gezweites“
usw.“ (dieselben Kunstwörter wie bei K.). Die „Erniedrigten“ liegen
„auf der Seite des Erniedrigens“ (lt Jänib al•d,i.att), die „Erhöhten“ „auf
r‘i hc Grade iieei L‘C
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1
Wie K schreiet S
von
links failend mit den (umrnalbuchstaben und
nach
rechts
system
dem oben (5. 39) erwähnten Nullzeichen Den Stellenwert macht er bei
Zahlen im laufenden Text wie in folgendenn Beispiel kenntlich: 4 25 40,
Erhöhtes, Grade und Minuten, oder hei einer längeren Zahl: 7 38 30 49 41 45
Quarten, und ihre erste (Stelle ist) einmal Erhöhtes. Anderswo schreibt er
aber au eh einfach ähnlich wie K.: 0 30 0 36 Terzen. Offenbar mit Rück
sicht darauf, daß bei den meisten Anwendungen die Grade die höchste
Steile bilden, hat er hier eine Null an die Spitze gesetzt, wie man auch,
wenn nichts über den Stellenwert gesagt ist, die höchrte i.‘telle als „Grad“
dea.‘ hwdeee vom
wni.w
schreibte r vor:
149
68 Die reine Sexagesimaireehnung bei anderen islamischen Mathematikern
Du mußt a,ber die Stelle der Grade durch ein Zeichen markieren, wenn.
bei ihnen Erhöhtes steht, und wenn der Name der letzten der Stellen notiert
wird, so ist das gut.)
Den ersten Teil dieser Vorschrift sehen wir, wenigstens in den beiden
von mir benutztn Handschriften, nicht befolgt. Ein solches Zeichen zur
Kennzeichnung der Einerstelle der Sechzigerzahl, das K. nicht vor
schreibt, bedeutet einen wirklichen Fortschritt. Es macht aus der ohne
beigegebene Ste1lnnamen relativen Sechzigerzahl eine absolute, ist ein
Vorläufer der entsprechenden Kennzeichnung der Einer der Dezimalzahlen durch den dahinter gesetzten Punkt oder das Komma und ent
spricht dem Strichpunkt (Semikolon), den 0. Neugebauer eingeführt hat.
In einem Beispiel für Addition von mehr als zwei Summanden sind in der
Gothaer Handschrift die Namen der Stellen wie so oft bei K. über die
Spalten geschrieben, und zwar hier abgekürzt durch die letzten Buch
staben der Wörter für „Tierkreiszeichen“, „Grad“, „Minuten“, „Se
kunden“,
Die „Sechzigertafel“ (Kap. 3), die nach „dem sexagesimalen Verhältnis“
(a.n-n.isba as-sittiniya) so heiße
später nennt Sibt sie auch „Tafel der
Verhältnisse“
ist nach seiner Beschreibung genau so gestaltet wie bei K.
Ist das Produkt aus der „Breitenzahl“ und der „Längenzahl“ kleiner
als 60, so heißt es „Erniedrigtes“ (‘munea() und wird (entsprechend der
arabischen Schreibriehtung) in die linke Seite des zugehörigen Klein
quadrats geschrieben. Andernfalls dividiert man das Produkt durch 60
und schreibt den Quotienten als „Erhöhtes“ (marf‘ü.) in die rechte Seite
desselben Feldes und den Rest, falls ein solcher vorhanden ist, als „Er
niedrigtes“ (munb.c4) links daneben. Ist die Stelle des Erhöhten oder die
des Erniedrigten leer, so setzt man eine Null hinein,
Da die ganze Tafel nur schwer auf einem Blatf untergebracht werden
könne, und, falls dies geschehe, schwer zu benutzen sei, werde sie meistens
in Teiltafeln zerlegt, die man auf mehrere Blätter verteile. In der
„Brei.te“ werde die Tafel nach Belieben untergeteilt, und gewöhnlich
stelle man dann zwecks bequemer Benutzung auf einem Blatt die Teiltafel für den Be.reieh der „Länge“ von 1 bis 30 her und neben ihr die für
denselben Breitenbereich geltende Teiltafel für die Längenzahien von
31 1 is 60. Hinter dem Schluß der Handschrift des 1.nstituts befindet sieh
(46 a—51 b) eine solche zerlegte Sechzigertafeb Die Teiltafeln haben in
der .‚Länge“ die Bereiche 1—30, 31—60, in der „Breite“ 1—10, 11—20,
21—30, 31—40, 41—50. 51—60. so daß 12 Teiltafeln entstanden sind.
Das Wesen der Sechzig ertafei als sexagesimales Einmaleins erläutert
Sibf gut dahin, daß hier die Einer von 1 bis 59 reichen und daß die Tafel
hergestellt wurde, um alle Produkte je zweier dieser Einer zu enthalten,
weil es zu schwierig sei, sie alle auswendig zu wissen.
Ihr Add t‘r fK
‘ II m 1 Suranti
1
((n Z beOlTHIt
niedrigsten Stelle. idr schreibt bei di.esen Rechnungsarten vor, das Er
gebnis über die gegebenen Zahlen zu setzen. Von den vIelen Multipli
kationsverfahren wIll er (Kap. 5) nur zwei behandeln. Nach der ersten
*
—‚
150
Die reine Sexagesimairechnung bei anderen islamischen Mathematikern 69
Ausführungsart gibt er für das Beispiel der Multiplikation 1 45 58 26 40
von 5 10 mit 20 30 40 eine Beschreibung, die bei unserer
1 40
Umkehning der Schreibrichtung zu nebenstehendem
2 30
Schema führt. Hier soll die höchste Stelle beider Faktoren
3 20
„Grad“ sein, und vom darüber geschriebenen Ergebnis
a
20
wird die niedrigste Stelle richtig als Terzen und die höchste
s 0
richtig als einmal Erhöhtes gefunden. Die zweite Aus6 40
führungsweise ist das uns bekannte Verfahren mit dem
„Gitter“. Sib nennt dieses Verfahren „die Multiplikation
20 30 40
vermittels der Tafel“ (ad1arb bil4adwa1) und bezeichnet
20
30
40
es als das schönste aller Verfahren. K. sah im Gebrauch
des Gitters eine Hilfe für Anfänger.
Die ausführlichen Anweisungen, nach denen (Kap. 7) in verschiedenen
Fällen die Division einer Sechzigerzahl durch eine andere ausgeführt
werden soll, übergehe ich hier, Hingewiesen sei aber auf das achte Ka
pitel, (las Vereinfachungen für die Fälle behandelt, in denen Dividend
oder Divisor oder beide besonders geartete Zahlen sind. Ein einfacher
Fall ist folgender: Der Divisor sei zweistellig und habe als höchste Stelle 1
wie bei der Aufgabe 42 30 : 1 25. Hier sucht man in der mit der Breitenzahl 25 überschriebenen Spalte der Sechzigertafel die Zahl, die so be
schaffen ist, daß wenn man zu ihrem „Erhöhten“
die zugehörige Längenzahl addiert, der Dividend
oder eine ihm möglichst nahe kommende kleinere
1
0 25
2
o so Zahl herauskommt. Dann ist die betreffende
Längenzahl der gesuchte Quotient oder dessen
höchste Steile. Im Beispiel ergibt sich als Quotient
30
T 12 30
30, da 12 30 zu 42 30 wird, wenn man zu 12 die
Längenzahl 30 addiert.
In diesem achten Kapitel empfiehlt Sibt auch für geeignete Fälle eine
abgekürzte Division. Sei z.B. 49 durch 451 20 zu dividieren, so komme
1 5 18 3 mit dem Rest 40 56 Quarten heraus. Doch reiche in diesem Bei
spiel 1 5 18 als Ergebnis aus. In einem solchen Falle sei es am geschick
testen den ersten Ret &r fiel 5 I 40 hevrae nur Cuifl eHe Gr45e un
Minuten des Divjsors, d. i. hier durch 45 1 zu dividieren, nachdem man
(wie hier) die Sekunden abgestrichen oder zu den Minuten aufgerundet
habe. Wenn man wolle, könne man auch den zweiten Rest dividieren,
der hier 13 33 20 betrage; dann werde mari ihn nur durch die Grade (leS
Divisors (hier 45) dividieren, nachdem man die zugehörigen Minuten auf
gerundet oder ab estrichen habe. „Das hat keinen EInfluß, und es liegt
kein großer Nutzen in der Steigerung der Verfeinerung.“ In demselben
Kapitel weist Sibf auf die achtgiiedrigen Perioden der Sexagesimalzahlen
hin, dje bei der ]. ivision von. 47 50 und von 1 18 durch 1 25 55
entstehen
,
fJie
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der sz €- : ‚Ka‘
bei on Vif ‘id r
Vr tu
ir t ‘uw-‘ au n i‘
igergrsd ehm
znii n
K
Im Unterschied zu K,‘s Verfahren werden die zweite und die folgenden
Sexagesimalstelien der Wurzeln jedesmal zunächst wie bei Theon von
...
151
70
Die reine Sexagesirnairechnung bei anderen islamischen Mathematikern
Alexandrien auf eine dem Newtonscheri Näherungsverfahren ent
ßpreohende Weise näherungsweise bestimmt, aber natürlich unter Ver
wendung der Sechzigertafel. Wie wenig brauchbar diese Näherungs
bestimmung z. B. für die zweite Sexagesimalstelle von V3 ausfällt, wird
nicht gesagt.
Den Exponenten von 60 in einem Gliede einer Sexagesimalentwicklung,
den wir bei K. als „(Kenn)zahl der Stelle“ bezeichnet sahen, nennt Sib
ass. Er sagt in der Einleitung:
Was den ass betrifft, so ist er beim Rechnen ein Ausdruck für die Zahl der
Stelle (martaba) der Zahl, hier aber ein Ausdruck für den Abstand der Stelle
(rutba) der Zahl von den Graden, einerlei, ob es ein Erhöhtes oder ein Er
niedrigtes ist. Die Jrade haben also keinen ass; der ass der Minuten ist 1
und ebenso derjenige des einmal Erhöhten; der ass der Sekunden ist 2 und
ebenso derjenige des zweimal Erhöhten und (so fort) nach dieser Vorschrift))
Das Wort ass (auch uss oder iss ausgesprochen) bedeutet „Grundlage“
(vgl. 5. 59 unten). Es begegnet uns bei aI-1{aär (wahrscheinlich 12. Jahr
hundert) als Bezeichnung der Nummern der mit den natürlichen Zahlen
von den Einem aufwärts gezählten Stellen der ganzen dekadischen
Zahlen:
Und da die Einer die erste Stufe bilden, so sagt man, ihr ass sei 1, ebenso
Und die Männer
der ass der Zehner sei 2, derjenige der Hunderter 3 usw.
der Rechenkunst nennen dieses Kapitel der Zahlenstufen auch das Kapitel
.
95
des ass
Derselbe Begriff liegt bei Tbn al-Bannä (13. Jahrh.) an einer Stelle vor,
48 (5 291) so übersetzt: Der Exponent (l‘exposant) der
die A Marre
Einer st 1 der Eaponent der Zehner ist 2 der Exponent der Hunderter ist
ditw
n Wes cii w ikende Z itg ii sse des Sib ge
al Qalasäd
e
N
t
ass
irr Icici r Sinne w hi d er bei den Po
b ucht (5 10) d W
s d( n wal er
Ic i heu Wo
rer Unb 1 er r ii mit
ter ze 1
59).
gl
5
poner cii bezeichnet (
Diesen her al-Hasär und Ihn ai-Eaniä vorkommenden, Rehon ju dc!
n°‘iei
des Azhiiuedes naelneharen Begrift dürft
ii cnn er an der eben arieführtcru Txt steile sagt der as sei beim Rechnen,
i. h. herrn dekadischen Rochnen ein Ausdruck für die Zahl, d h die
Ordnungszahl, einer Steile elner Zanl Sehr fraglich ist, oh er hicrhe
sei ( 1 r verbessert Weise den Eir n die Ordnur gszahl 0, den Z 1 cm 1
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, 5. 15,
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Die reine Sexagesimalrechnung bei anderen islamischen Mathematikern 71
selben Wortes für den Exponenten der Unbekannten. In Sibt‘s Aus
spruch Die Grade haben keinen ass tritt uns im Vergleich mit K. dieselbe
Rückständigkeit entgegen, wie in al- Qalaädi‘s Ausspruch Die Zahl (d. h.
das konstante Glied einer Gleichung) hat keinen ass, K. sagt in diesen
Fällen, wie wir sahen, „die Zahldes Grades“ der Eins bzw „die (Kenn)
zahl der Stelle“ der Grade sei null. Man findet die hier erörterten Be
zeichnungen weiter unten in unserer tabellarischen Zusammenstellung
(S 124) wieder.
Zur Bestimmung der „Art“ (‘ins), cl. h. des Stellenwertes eines Pro
duktes aus den Stellenwerten der beiden Faktoren gibt Sib (Kap. 4) zu
nächst eine Anzahl Einzelregeln, die er dann in folgende einzige Regel
zusammenfaßt:
Der ass eines Produktes ist gleich der Summe der ass der beiden Faktoren,
wenn beide in der „Seite“ (jiha) iibereinstimmen, und gleich ihrer Differenz
(‘ genommen) auf der „Seite“ desjenigen der beiden, der den größeren ass
hat, wenn sie (in der „Seite“) verschieden sincZ‘)
Sagen wir hier statt ass „absoluter Wert des Stellenexponenten“, und
gebrauchen wir statt „Seite“ den Ausdruck „Vorzeichen“, so erhält die
Regel die moderne Form. Sie entspricht der oben (5. 73—74) mit
geteilten Regel K,‘s, aber die Regel von Sibt hat gegenüber derjenigen
von K. den Mangel, daß sie nicht die Fälle umfaßt, in denen einer der
Faktoren oder beide „Grade“ sind, d. h. den Stellenexponenten 0 haben,
denn „die Grade haben“ bei Sibi „keinen ass“.
Für die „Art“ des Quotienten folgen (Kap. 6) entsprechende Einzeh
regeln, die Sib dann so zusammenfaßt:
Wenn beide (nämlich die ass von Dividend und Divisor) nach „Betrag“
(kam) und „Seite“ (jiha) übereinstimmen, so hat das Ergebnis keinen ass.
Unterscheiden sie sich in der „Seite“, so ist allgemein ihre Summe (‘ ge
nommen) auf der „Seite“ des Dividenden (der ass des Ergebnisses). Sind
sie verschieden nach dem „Betrag“ und stimmen sie in der „Seite“ überein,
so ist (der ass des Ergebnisses) der Uberschuß (‘ genommen) auf der ge
meinsamen „Seite“, wenn er (der tlberschuß) dem Dividenden zukommt,
andernfalls umgekehrt. Alles dieses läuft darauf hinaus, daß der Abstand
der Stelle (rutba) des Quotienten von (derjenigen> der Grade gleich dem Ab
stand (der Stelle) des Divisors von (derjenigen) des Dividenden isU)
Tafeln zur Bestimmung des Stellenwertes von Produkt und Quotient
bringt Sibf nicht.
Das zehnte Kapitel handelt von der Probe. Diese könne man, sagt
Sibf, mit einer beliebigen „einzelnen Zahl“ (‘adad mu/rad) machen
so
nennt Sibf die Sexageeimalziffern —: er, Sibt, beschränke sich aber auf
die besten Probezahlen 7 und 8. Für die Zahl 15 9 24 0 40 reduziert man
bei der Siebenerprobe die höchste Stelle 15 auf den kleinsten positiven
Rest module 7. Diesen Rest 1 multipliziert man mit 4 und addiert das
Ergebnis 4 zur nächsten Stelle 9. Mit der gefundenen Zahl 13 verfährt
man ebenso wie vorher mit der höchsten Stelle 15, und so fort. Es ergibt
—
153
72
Die reine Sexagesimaireehnung bei anderen islamischen Mathematikern
sich schließlich als letzter Rest 3. Bei der Achterprobe verfährt man ent.
sprechend. Auch hier ist das Vierfache des jeweiligen Restes zur nächst
niederen Stelle zu addieren. Der letzte Rest ist im obigen Beispiel 0.
Die Zahl 15 9 24 0 40 hat also für die Siebenerprobe die „Waage“ 3 und
rno 7
für die Achterprobe die „Waage“ 0, d.h. es ist 15 9 240 40
{
Die einfache Begründung seiner Berechnung dieser „Waagen“ gibt Sibt
nicht. Sie beruht darauf, daß 60 sowohl bei der Teilung durch 7 wie bei
der Teilung durch 8 den Rest 4 läßt, Daß man bei der Aehterprobe die
„Waage“ nur zu der aus den beiden niedrigsten Stellen gebildeten Sexa
2 durch 8 teilbar ist, und
gesimalzahl zu bilden braucht, da 60“ für ii
daß die Teilbarkeit des einmal „Erhöhten“ durch 4 das Verfahren der
Berechnung der „Waage“ für diese Probe weiter vereinfacht, scheint
Sib nicht bemerkt zu haben,
Wie mit diesen „Waagen“ die Probe auf Addition, Subtraktion, Multi
plikation, Division und Quadratwurzelausziehung vorzunehmen ist,
brauchen wir hier nicht wiederzugeben. Gleich anderen islamischen
Rechnern (Siehe 5. 2B—27) meint Sibt, das Stimmen der Probe reiche
hin, um eine Rechnung für richtig zu erklären. So sagt er in bezug auf
die Addition: Wenn die beiden (nämlich die Summe der Waagen der
Summanden und die Waage ihrer Summe> sich decken, so ist die Addition
richtig, andernfalls wiederhole sie !‘) Wie kraß ist dieser Fehler! Wenn alle
Sexagesimalstellen des Ergebnisses mit Ausnahme der beiden niedrigsten
falsch sind, so wird doch die Achterprobe stimmen!
Auf die Wiedergabe der Rechnungsweise und der Proben bei Zahlen, in
denen Tierkreiszeichen zu je 30 Grad vorkommen, verzichten wir. Diese
Rechnungen haben nur beschränkte Bedeutung. Daß Sibt (Kap. 5) zwe
Größen, deren jede aus Tierkreiszeichen, Graden und Minuten besteht,
auch miteinander multipliziert, hat weder theoretischen noch prak
tischen Wert. Daß er es fertig bringt, das Produkt wieder als einen Kreisbogen zu behandeln, indem er es unter Weglassung der Vielfachen von
6 Erhöhten = 360 Grad wieder durch Tierkreiszeichen, Grad und Mi
nuten ausdrückt, wirft ein Licht auf das geringe mathematische Ver
ständnis dieses fruchtbaren Bücherschreibers. Er scheint sich kaum be
wußt zu sein, daß das Rechnen mit Graden, Minuten usw. seinen Wert
darin hat, daß es ein Rechnen mit unbenannten Zahlen ist. Auch K.
berücksichtigt das Rechnen mit Ausdrücken, in denen Tierkreiszeiehen
vorkommen, also Längen auf der Ekliptik, aber nur beim Verdoppeln,
Hälften, Addieren und 5 btrahieren.
Den Schluß der ‚Eeinheiten“ bildet die Behandlung der linearen Ein
sefaitimg (Ineerpolation) hei Benutzung sexagesimaler Tafeln mit nem
und zwei Eingangen.
154
Die reine Sexagesimairechnung bei anderen islamischen Mathematikern
73
t her
die Geschichte der islamischen reinen Sechzigerrechnung in den
vier Jahrhunderten, die (1er Zeit K.‘s vorhergehen, müssen in Zukunft
Quellenstudieri Aufschluß geben. Aus einer Bemerkung Schoy‘s
96 ersehe
ich, daß in der Berliner Handschrift der Ilhänischen Tafeln von a
Tüsi (1201—74 n. Ohr.) das Wort marfü vorkommt. Es wird hier offen
bar wie überall in der Bedeutung „Erhöhtes“ für die den „Graden“
oder „Teilen“ übergeordnete Sechzigerstelle gebraucht. Hiernach besaß
at4‘üsI die ganzen Sexagesimalzahlen. Näheres darf man aus der Unter
suchung seiner beiden uns erhaltenen Rechenbücher erhoffen. Das eine
derselben: „Zusammenfassungen des Rechnens mit Tafel und Staub“
97
bringt im dritten Kapitel zwei „Wege“ (maslak) der Bruchrechnung nach
dem Verfahren der Astronornen, nämlich erstens „ihr Verfahren ver
mittels der Rechnung der Inder“ und zweitens „ihr Verfahren vermittels
der ummalreehnung“. Das andereReehenbueh atTäsI‘s ist persisch ge
schrieben, heißt: „Schrift über die Multiplikation und die Division“
98 und
handelt im dritten Buche „über die Rechnung der Grade und Minuten“.
Nun werfen wir einen Blick auf den Stand der reinen Sexagesimal
rechnung in der Zeit um das Jahr 1000 n. Ohr., der Blütezeit der islamischen
Mathematik. Wir sahen oben (5. 66), daß zum mindesten in einer der
Pariser Handschriften der „Feinheiten“ des Sib al-Märidini Ausführun
gen von Küyär über die Sexagesimairechnung erwähnt sind. In dem
schon (S. 19) genannten kleinen Reehenbuch
46 dieses Astronomen sind
uns solche Ausführungen erhalten. Die Lebenszeit des Küyär b.
Labbän al-Ili muß nach Suter (5. 83—84 Nr. 192) etwa in die Jahre
971 bis 1029 gefallen sein. Zu der Angabe von Tropfke (1 5. 82), er sei
ein jüdischer Gelehrter
, sind mir keine Unterlagen bekannt, Sowohl
99
seine Heimat Öilän wie sein Name führen zu dem Schluß, daß er wie die
meisten damaligen Mathematiker und Astronornen Perser war. Nach
aIBaihaqI‘°° (1105—69) nimmt man an, daß der Name seines Vaters
als Labbän oder Labbär überliefert werde; in der Sprache der Bewohner
von Öflän heiße das: „der Löwe“, Von Küyär besitzen wir neben einer
astrologischen Schrift astronomische Arbeiten, insbesondere astro
nomische Tafeln. Er nahm Anteil an den. Fortschritten, die die Trigono
metrie zu seiner Zeit machte, wie der Erfimlune des siihärischen Sinus
satzes und der in onometnisehen Verwertung der Tangensfunktion. Als
rcc c‘ Atv n m ko utu c
r u1i
(
eu C rE
1
tm g
zum Reelmen und insbesondere zu dem hei den Astroiornen üblichen
Rechnen mit SechzigerzahIen zu schreiben.
Ci. Schov, Die trigonometrisehen Lehren des persischen Astronomen
127 3
ei os4bbLta.t watdurä..h. i gl Krause 3, 496.
Kitäb acJ darb weh qiama. Vgl. Krause 5. 497.
ß ‘i
9i
Cr‘awänn‘
‚
n Dieselbe Angabe findet sich bei 4... Mieii, La scienee arabe, Leiden
1939, 5. 109.
‘°° Al-Baihaqf, Tatimma Siwän al-Hikma cd. by M. Shafi‘, 1, Lahore
1935, 5. 83.
74 Die reine Sexagesimairechnung bei anderen islamischen Mathematikern
46 ist
Sein Rechenbuch „Über die Elemente des Rechnens der Inder“
uns arabisch nur in Istanbul erhalten und es ist bei uns erst durch den
Katalog von Krause bekannt geworden. Das Werkchen umfaßt in der
b_27
3
(26
b
), die 1283—84 n, Ohr,
Handschrift 31 siebzehnzeilige Seiten 8
geschrieben vurden, In Oxford ist eine hebräische Handschrift, die man
als Ubersetzung dieses Rechenbuchs von Küyär angesehen hat: „Be
1 verfaßt von Schalom b. Josef, der 1450
trachtung dei Elemente“‘°
bis 1460 in Konstantinopel lebte.
Das Rechenbuch des Küyär ist im Gegensatz zu anderen, weitschwei
figen islamischen Schriften dieser Art knapp. Da hie und da etwas nicht
voll durchgeführt ist, möchte man zuweilen meinen, eine gekürzte Be
arbeitung vor sich zu haben. Aber schon anNasawi, Küyär‘s Schüler,
hebt die gedrängte Darstellungsweise im Rechenbuche seines Lehrers
hervor. Die Schrift gibt an Hand von Beispielen einen so frischen und
lebendigen Einblick in das dekadische und das sexaesimale StaubtafeL
rechnen, daß mir ihre Veröffentlichung in Text und Übersetzung lohnend
erscheint, zumal sie mit den Rechenbüchern von AbulWafä und aL
Karai zu den ältesten Rechenbüchern gehört, die sich in arabischer
Sprache erhalten haben.
Der Stambuler Text beginnt nicht mit den im Bücherlexikon des Iäi
Halifa (VI, 5. 51. Nr. 12691) für das „Buch (maqäla) über das Rechnen“
des Küyär mitgeteilten Anfangsworten. Die Einleitungsworte der Hand
schrift sagen nach Nennung des Titels „Gber die Elemente des Rechnens
der Inder“ nur, daß die Schrift zwei Bücher (maqäla) umfasse, und zwar:
1. Buch: Die Herausbringung der Elemente durch das Einfache, 0/fen
bare und Bekannte,
2. Buch: ihre Herausbringung durch das Zusammengesetzte, d. i. eer
mittels der Tafel, de ‚Sechzigertafei“ zubenannt ist‘)
Da Küyär unter „Elementen“ (uüi) die drei Recimungsarten Muith
plikation, Division und Quadratwurzelausziehen versteht, denen er am
hangsweise als viertes „Element“ das Ausziehen der Kubikwurzel beigibt,
80 bedeutet „Herausbringung (istiräg) der Elemente“ die Ausführung
djeser Rechnungsarten. Im ersten Buch finden wir das dekadische Pm
•sitlonsrechnen und die uneigentliche Sexagesimairechnung, im zweiten
die reine Sexagesimalrechnimg.
Die von Steinschneider‘°
2 mitgeteilten Kapitelüberschriften der tJber
cetzung des Schalorn b. Josef decken sich bis zur achten annähernd oder
‚
‘iyün hä‘iqqärtm. Bodl. Oppenh. 272 A. Qu. Dieser Schrift setzt
Brockelmann J2 5. 253 irrtümlich die 1{andschrift Kairo V, 5. 317 gleich.
Letztere enthält die 1. Maq CIa von azZ1 ahämi‘ von Kütyär und hat
sphärisch•astronomhchen Inhalt.
102 hL Stein.schneider,
Abraham ihn Esra, Abh. z. Gesch. d. Kath. 3
(1880), 5. 57—128, 5. 5. 109. Vgl. auch M. Steinschneider, Zur Gesch. d.
°‚
TJbers. ans d. md. ins Arab., Zeitschi.. d. D. Morgeni. Ges. 24 (1870), 5. 332,
8. 335, 8. 375; ferner M. Steinschneider, Die hebr, Übers, d. Mittelalters
u. d. Juden als Dolmetscher, Berlin 1893, 8, 565— 566,
Die reine Sexagesimairechnung bei anderen islamischen Mathematikern 75
vollkommen mit den t)berschriften der ersten acht Abschnitte des ersten
Buchs der arabischen Schrift. Das letzte, zwölfte Kapitel bei Sehalom
über die Probe entspricht dem neunten und letzten Abschnitt des ersten
Buches des arabischen Textes. Kapitel 10 bei Schalorn behandelt die
dekadische Ausziehung der Kubikwurzel, die die arabische Handschrift
anhangsweise als letzten, 16. Abschnitt des zweiten Buches bringt, ob
wohl sie inhaltlich zum ersten Buch gehört. Die Kapitel 9 und 11 bei
Sohalom behandeln das Ergebnis der Quadratwurzel und das Ergebnis
der Kubikwurzel. Offenbar enthalten sie Entsprechendes wie die Ab
schnitte, die vom Ergebnis der Multiplikation und der Division handeln,
d. h. von der Bestimmung des Stellenwertes der Produkte und Quo
tienten.
Die Oxforder hebräische Handschrift enthält also im wesentlichen nur
den Inhalt des ersten Buches der Stambuler arabischen Handschrift,
d. h. in der Hauptsache das dekadische Rechnen, nicht aber die reine
Sexagesimairechnung des zweiten Buches. Da }IäI alifa auch nur ein
„Buch (maqäla) über das Rechnen“ von Küyär zu nennen weiß, ist es
möglich, daß dem Schalom nicht mehr vorlag, als er übersetzt hat, und
man kann fragen, ob etwa nur das erste Buch Küyärs Werk ist und ein
Buch des Stambuler Textes mit den Aus
anderer als er das
führungen über eine Sexagesimairechnung dem ersten angefügt habe. Das
müßte dann vor 1283—84, der Zeit der Niederschrift der Stambuler Hand
schrift, geschehen sein. Eine solche Annahme erscheint mir recht un
wahrscheinlich, da das zweite Buch denselben Charakter islamischen
das erste und sich dem
Staubtafeirechnens der früheren Zeit
wie wir (5. 66) sahen, in
ersten ganz organisch angliedert. Auch ist
mindestens einer der beiden Pariser Handschriften der „Feinheiten“ von
Sibt abMäridin Küyär als Bearbeiter desselben Gegenstandes genannt.
Ferner werden wir sehen, daß die reine Sechzigerrechnung schon vor
Küyär vorhanden war. Eher möchte ich also annehmen, daß etwa in
einer dem Schalom und dem 11äi ITalifa vorliegenden Ausgabe von
Küyär‘s Rechenbuch die. vielen Benutzern zu fern liegende und zu
shn ier‘g rel e nen‘lc iine Sexigeimarec‘n nec eggelassen r Daß
eine solche Kürzung nahe lag, werden wir hei amNasawi sehen, Wenn
ich im Folgenden vom Werk Küyär‘s spreche. so meine ich den Inhalt
er Szncuiei IL
ur
De Behardilung ici 1 e ‘nt
r c ersten Bec‘e I i‘ J e Ke‘u t
nis der Figuren‘‘ uwar) dci‘ Ziffern ()‚iurü/), also (ICI‘ neun Zeichen
zweite
trägt,
wie
ja,
‚
‚
ihre und der Nuil (sifri Setzunn im clekadischen Po
‘i 1
s ‘ouss r‘ n r Al ‘ri 2, d e ‚ermernun 2
in
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(iid ‚\ enui 6
tng n aqän o e atgesc it
n
die Addition bezeichnet; die Subtraktion ist „Verminderung ; eine andere
t der „\ nn‘ 6€ r ing‘ ei die „Halftung“ ‘taeslf) Fs 6 ‘Iizci 1, —5)
Multiplikation, (1, 6—7) Division und (1, 8) Quadratwurzela.usziehung.
Die dekad isehe Kubikwurzelausziehung ist, wie oben schon gesagt wurde,
-
‚
76 Die reine Sexagesimairechnung bei anderen islamischen Mathematikern
dem zweiten Buch (II, 16) angehängt. Weder bei den astronomischen
noch bei den geschäftlichen Rechnungen sei sie unbedingt erforderlich.
Die Ausführung aller Rechnungen im ersten wie im zweiten Buch ist
ein reines Staubtafeirechnen, das ich hier nicht schildere. Der Text mit
seinen lebendigen Beispielen vermag das beste Bild zu geben. Die
Rechnungen werden nach der älteren Weise ausgeführt, also Addition
und Subtraktion bei der höchsten, Hälftung bei der niedrigsten Stelle
beginnend. Das Verfahren der dekadischen Kubikwurzelausziehung er
° der Kubikwurzelziehung bei an
5
sieht man aus meiner Wiedergabe
hierin wie in vielem anderem nachahmt,
Küyär
Nasawi, der den
Hier sei nur hervorgehoben, was sieh auf die Sechzigerreehnung be
zieht. Es fällt auf, daß Küyär (las Rechnen mit gemeinen Brüchen so
gut wie gar nichts behandelt. Sicher nachweisbar sind solche nur an
wenigen Stellen. Bei der Division einer ganzen durch eine ganze Zahl
dient ein gemeiner Bruch als genaue Ergänzung des ganzzahligen Er
gebnisses, wenn die Division nicht ganzzahlig aufgeht; bei der nicht auf
gehenden Wurzelziehung aus einer ganzen Zahl tritt er als angenäherte
derartige Ergänzung auf. Bei der Division verwandelt Küyär obendrein
diesen Restbruch genau oder näherungsweise in einen zweistelligen
Sechzigerbruch. Da wo er, auch im ersten Buch, von „Brüchen“ (kusr)
spricht, meint er fast immer Sechzigerbrüche.
Schon dieses erste Buch behandelt Rechnungen mit Sechzigerbrüchen.
In dem Unterabschniitt: „Multiplikation der Grade und Brüche“, der
dem Abschnitt 4 über die Multiplikation angehängt ist, wird die Multi
plikation von Sexagesimalzahlen, deren höchste Stelle höchstens „Grade“
sind, nach der Weise gelehrt, die wir oben (5. 45) als „uneigentliche
Sexagesimairechnung“ gekennzeichnet haben: Verwandlung der ge
gebenen Sexagesimalzahlen in „die Art (ins) des letzten Bruche&‘ wie
Küyär sieh ausdrückt, d.h. in Einheiten der niedrigsten Sexagesimal
stelle und anschließende dekadische Multiplikation der Zahlen dieser
Einheiten. t)ber die Rüekverwandlung des Produkts in eine normale
Sexagesimalzahl sagt Küvär nichts, ohi aber begegnen uns die auch
sonst (vgl. 5. 60) in der uneigentlicinen Sechzigerrechnung bekannten
Regeln:
Das ...rodukt von Ciaden mit raden ist rad, (dasjenige) von Graden
mit Brüchen sind die betreffenden Brüche, wie z. B. (dasjenige) von Graden
mit. Feicunden ist ße1cundenb0)
Die sich unmittelbar anschließende Regel für die Multiplikation einer
Sexagesimaibruchstelle mit einer anderen Sexagesimaibruchstelle finden
wir auf fölgende. bemerkenswerte Form ebraeht:
(1) a•s Produkt) von Brüchen mit Brüchen ist die Summe der beiden lVorte
wie z. B. (dasjenige) von Minuten mit Sekunden ist Terzen, weil es eins
‘plus zwei ist, und (dasjenige) von Sekunden mit Sekunden ist Quarten, weit
es zwei plus zwei isiS)
6O‘ für i, k <0.
5
aa
158
Die reine Sexagesimalreehnung bei anderen islamischen Mathematikern 77.
Der hier gebrauchte Ausdruck „Wort“ (lafz) bezeichnet die Grundzahl
2, 3, usw, die in den Wörtern „Sekunde“, „Terze“ usw. steckt, also den
absoluten Wert des Exponenten der betreffenden gebrochenen Sechzigerstelle, Ihren Vorläufer und ihre Parallele hat die Textstelle in den
Stellen 5. 18 und 5. 50—51 der beiden lateinischen al-Hwärizmi
. In der zweiten derselben heißt es: El sie semper numerus,
44
Schriften
qui ex multiplicatione /ractionum in se prouenerit, denominationem habebit
a numero, qui ex ipsarum agregatione prouenerit.
Bei der Division ist von der Teilung von Ganzen mit Brüchen durch
Ganze mit Br(ielien die Rede. Der Gebrauch des Wortes „Ganze“ (siiai)
statt „Grade“ zeigt, daß man hier nicht bloß an Sechzigerbrüche zu
denken braucht. Dividend und Divisor sollen wie bei der Multiplikation
auf „die Art des letzten Bruches“ gebracht werden, so daß also z. B. der
flividend in lauter Sekunden und der .Di isor in lauter Terzen verwandelt
wird, Dann sollen diese Bruche dividiert werden, d h. in unserem Bei
spiel die Sekunden durch die Terzcn
Aus den nun folgenden Vorschriften für die Bestimmung des Stellenwertes des Quotientcn seien von den einzeln behandelten Fällen zwei
hervorgehoben:
(Der Quotient) aus der Teilung von 0-raden durch Britche ist Grade, die
entsprechend der Zahl (‘adad) des Divisors erhöht sind, wie z. B.: Grade
Unter „Erhöhtem“ ver
durch Sekunden (ergibt> zweimal erhöhte Grade
muß, dann das, was
werden
multipliziert
mit
60
das
daß
Ergebnis
stehe ich,
herauskommt, mit 60. Bis dahin ist es das Ergebnis aus der Division von
Graden durch Sekunden. Oder es wird (z. B.) viermal mit 60 multipliziert,
dann ist e der Quotient ‘an Graden durch Quarten,Y)
Da tedeutet
Ferner
a ii ausger
dekadise
gehnis w r
Letzte
(Das Lrgebnis) der Da‘.on eines Bruches von kleivrem ‚Wort“ durch
einen oichen sot qrö/3ere Bart“ sivd Grade die ‘nt‘yreche,nl der Zahl
i ort des J)tuidendn und (dem
(odad) des Ueterschiedc u‘ hnd‘
jniaeni de L)i:or. erhht ‘ul, ade z. B. M‘nuGn durch T“rzet (ergibt)
u:eonai ‘rhohte (Gade.)
58)
a steih
d
t‘‘
t
hin
i
.:
-
fl.,-
‘.)
iiegenrh St‘xagesims lst&ien lrauskoinm‘-‘n,
1 O
„1
i,
(
.i
-.
78 Die reine Sexagesimairechnung bei anderen islamischen Mathematikern
I)as zweite Buch beginnt so:
Für diese drei Elemente, nümlich Multiplikation, Division und Quadrat
Wurzel gibt es ein anderes Verfahren nach der Weise der Zusammensetzung
vermittels einer Tafel, die unter dem Namen „ßechzigertafel“ bekannt ist.
Dieses Verfahren wollen wir in diesem Buche befolgen, weil es, wenn befolgt.
die Anwendung der (Sexagesimal)brüche ‘und das Weittreiben der Ver
feinerung (Genauigkeit) erleichtert durch die Anlehnung an das vorher
gehende Einfache (die dekadische Rechnung des ersten Buches), wobei
uns keine andere Mühe obliegt, als die Ziffern (urU/) aus der Tafel auf das
Bechenbrett zu übertragen. ‘)
In (1er an die Spitze (11, 1) gesetzten kurzen Beschreibung der Sech
zigertafel, die grundsätzlich genau so eingerichtet ist, wie bei K. und
Sib al-Märidini, sehen wir wieder wie bei diesen beiden auch jede ein
zelne Spalte als „Tafel“ bezeichnet. Die ganze Tafel wird zu Beginn
„Tafeln“ genannt, wenn die Schreibung der Gothaer Handschrift richtig
ist, Am Kopfe jeder der 60 Spalten steht die „Breitenzahl“, deren Viel
fache die Spalte enthält. Im Verlauf der Anwendungen wird z. B. die mit
der Breitenzahl 18 überschriebene Spalte einfach „Tafel der 18“ (‘adwai
taniäniya‘a‘ar) bezeichnet; manchmal ist hinzugefügt: „von den Breitenzahlen“, In jeder Einzeltafel (Spalte) stehen die Vielfachen der Kopfzahl
in zwei „Reihen“ (saträn), deren erste die höheren Sexagesimalstellen der
zweistelligen Produkte enthält. Küyär nennt diese höheren Stellen
„Stellen der Sechzig“ (marätib as-sittin), so wie wir von der Zehnerstelle
einer Zahl im Zehnergefüge sprechen. Die andere „Reihe“ enthält „die
Teile der Sechzig“ (aÖ‘zä as-sittin). Aus der Beschreibung ersehe ich
nicht klar, ob die beiden Stellen jedes Produkts wie bei K. neben
einander oder untereinander geschrieben gedacht sind, Letzteres würde
dem Brauch Küyär‘s entsprechen, in Rechnungen die Stellen der Sexa
gesimalzahien untereinander zu schreiben, Am Längsrande stehen die
„Längenzahlen“ von 1 bis 60. Von einer Zerlegung der Sechzigeitafel iii
Teiltafeln ist nicht die Rede,
Im zweiten Abschnitt lehrt Küyär die Verwandlung einer ganzen
dekadischen Zahl in eine ganze Sechzigerzahl. 15621 z. B. wird durch
Division mit 60 in 265 ‘60
21 verwandelt, und ebenso ergibt sieh
265
4 ‘60
25 irnd so erbSE man iir 15b2i die scxaesimaie Dar
-
stellung, die KMySr in der Form 0 schreibt, Diese Verwandlung nennt
er „Erhöhen (raf‘). was dem sonstigen Gebrauch dieses Wortes ent
. oben 5. 32,
1
spricht ivg
45, 5, 513,
Die oberste Stebe i m verlie-endep 1‘a!l ‚zu Gmal EMhts“, da‘
ign ewimal Frhctes‘ uni! .‚Grad
1‘ 3D 1
oeh .‚Er1u Fiu 0.
also Minuten, Sekurdeia usw. bei een Graden stehen, soll man sw untec
die 21, also unter die Grade setzen. Fehlende Stellen werden nötigenfalls
mit Nullen ausgefüllt. In dieser Schreibung der Sechzigerzahl mit Ziffern
‘
.
.
160
‚
Die reine Sexagesimairechnung bei anderen islamischen Mathematikern
79
ist der Stellenwert nicht kenntlich gemacht. Die Zahl, die die Handschrift
im laufenden Text mit den Worten fünfundzwanzig Grad und sechsund
dreißig Minuten und dreiundzwanzig Sekunden aussehreibt, ist in Ziffern
12
36 geschrieben, Und ihre Hälfte 48
11
23
30
Bei dieser Schreibung der Sechzigerzahl in einer Säule sind die „in
dischen“ Ziffern
\
‘
y
und das Leerzeichen 0 angewandt
Im laufenden Text dagegen sind die Sexagesimaiziffern, wenn nicht
Worten, so in Öummalbuchstaben geschrieben. Da es sich hierbei oft um
Zahlen handelt, die aus der Sechzigertafel entnommen wurden, so liegt
in
der Gedanke nahe, daß die Benutzung einer in ummalbucbstaben ge
schriebenen Sechzigertafel vorausgesetzt wird. Die Säulensehreibung der
Sexagesimalzahlen in indischen Ziffern beobachten wir auch bei al
44 (5. 54—55), ferner
44 (5. 21—22) und Johannes von Sevilla
wärizmI
er Zeit geschrieben wurden
byzantinisch
in
in Scholien zu Euklid, die
(vgl. oben 5. 51).
Das Rechnen auf der Staubtafei bedarf nur weniger Schreibzeilen, die
in derjenigen Dimension verlaufen, in der die Stellen nach dem Positions
system aufeinanderfolgen. Im Verlaufe der Rechnung neu entstehende
Zahlen, für deren Niederschrift der Rechner mit der Feder die zweite
Dimension in Anspruch nimmt, schreibt der Staubtafeirechner an die
Stelle der alten Zahlen. Küyär‘s sexagesimale Staubtafeirechnungen
sifl(i (las getreue Abbild seiner dekadischen Staubtafeirechnungen mit
dem einzigen Unterschied, daß bei der dekadisehen Rechnung die Zahlen
mit von links nach rec].ts, bei der sexagesimalen mit ‘on obefl nach
unten fallendem Stellenwert geschrieben sind, und daß hei der Sexa
gesimairechnung an Steile von waagerechten Trennungsstrichen senk
rechte auftreten, Küyär geht bis zu den sexagesimalen Quadratwurzeh
ausziehungen. Die Kubikwurzel finden wir in seiner Schrift nur dc
kadisch ausgezogen. Bei A.nwendung der indischen Ziffern ist die Säulenschreibung der Sechzigerzahlen für den Staubtafeirechner natürlich viel
zweckmäßiger als die Zeilenschrcibung, da bei dieser die Se.xagesimai
arüer
1
cbiwre ace r
rr
Im lzsciwr A
zuhalten wären.
Zur Bestimmung des Stelienwertes der höchsten Steile eines Produktes
aus den Stelienwerten der höchsten Stellen der Faktoren bringt Küyär
r :u a e Faie m
1
Ree
d e Lr4etI ncr im ewie Bi n gre e
er cx i erten m rkc‘ume Aber
1
re
Je r a‘n C
ew
diese Re.gein werden im zweiten I3uch nicht fhrmuliert, wenn mau voru
einer noch zu ei.wähnenden Bemerkung im zwölften Abscheltt absiehlc
Vilmehr soll d..er $tellenexponent des Produktes aus einer Tai.el mit
zwei Eingängen entnommen werden, vde TV eön. solche zusätzlich brachte
t abez n 1 i TTandshrilc
ml b.vd ncln
S 63‘ 13 e ladJ
‘
80 Die reine SexagesimaLreehnung bei anderen islamischen Mathematikern
nicht wiedergegeben. Oben und am rechten Rande stehen wieder die
Stellenbezeichnungen für jeden der Faktoren. Sie enthalten sowohl die
verschiedenen „Erhöhten“, wie die Brüche Minuten, Sekunden usw. ich
nehme an, daß auch die Grade nicht fehlten, Ist nun z B. „einmal Er
höhtes“ mit „zweimal Erhöhtem“ zu multiplizieren, so trifft sich die
Spalte, an deren Kopf „einmal Erhöhtes“ steht, mit der Zeile, die mit
„zweimal Erhöhtes“ beschriftet ist, in einem Kleinquadrat, in das der
Stellenwert des Produktes hineingeschrieben ist. Bei Küyär steht hier
aber nicht, wie böi K, das Wort „dreimal Erhöhtes“, sondern die schwarz
geschriebene Ziffer 3, die anscheinend als Öummalbuchstabe
ge
schrieben ist. Schwarz geschriebene Ziffern bedeuten den Stellenexponenten von „Erhöhten“, rot geschriebene von „Brüchen“. Eine
rote 4 würde also Quarten anzeigen. Was der Mathematiker der Gegen
wart durch die Vorzeichen + und
andeutet, nämlich das, was das
Mittelalter so oft als die eine oder andere von zwei „Seiten“ bezeichnet,
ist also hier durch schwarze und rote Farbe unterschieden, so wie heut
zutage der Kaufmann in Abrechnungen die Vermögensbeträge schwarz,
die Schuldsummen aber rot einträgt. Umgekehrt malten im Mittelalter
die Chinesen positive Zahlen rot, negative schwarz‘°
. Als schwarz oder
3
rot geschriebene Ziffern treten also hier in der islamischen Mathematik,
der man eine ausdrückliche Einführung der negativen Zahlen absprechen
muß, die Zahlen auf, die wir als positive oder negative Exponenten in der
Entwicklung nach Potenzen von 60 bezeichnen. Ob in dieser Tafel
Küyär‘s die Exponenten der Grade als Nullen eingetragen waren, ist
aus seiner Beschreibung nicht ersichtlich.
Für die Bestimmung des Stellenwertes des Quotienten sieht Küyär
eine besondere Tafel vor, die entsprechend der vorhin beschriebenen an
gelegt ist,
Der zwölfte Abschnitt des zweiten Buches lehrt, daß bei einer ii
stelligen ganzen Sexagesimalzahl die höchste Stelle (n
1)-mal Er
höhtes ist, ferner, daß bei Division von m-mal Erhöhtem durch n-mal
Erhöhtes die Stelle der Grade die (m
n ± 1)-te Stelle von oben sei.
Wie die 1berschriften zeigen, sollte in den dreizehnteri Abschnitt die
Sechzigertafei kommen, der vierzehnte und der fünfzehnte sollten die
soeben beschriebene.u beiden Tafeln für den Stellenwert von Produkt und
Quotient enthalten. Unsere Handschrift hat nur die Überschriften.
Wie das erste Buch (1, 9) mit der Probe schließt, so behandelt Küyär
im zweiten Buche (ii, 11) gegen Ende der Ausführungen über die reine
Sexagesma[rechnung ebeufhils die Probe. In beiden Fällen begeht er
nicht wie andere die Torheit, das Stimlnen der Probe als hinreichend für
dIe Richtigkeit der Rechnung zu erklären. Aber seine Probe •für die
Sexagesimairechnur±g ist ungeschickt. Er überträgt die Neunerprobe.
iie u hei ier Rcdwer m Zec rs‘ rten a
eetr r‘a: aa r
‘ee
1
Reci.rnung im Sechzigersystem..
Um z. 13, dIe „Waage“, d. h. den kleinsten positiven Rest der DivisIon
Vgl. 31. Cantor, Ceschichte der Mathematik I (1907), 8. 585.
—
—
162
Die reine Sexagesimairechnung bei anderen islamischen Mathematikern 81
durch 9 für die ganze dreistellige Sexagesimalzahl 25 38 46 zu bilden,
reduziert er die Quersumme 7 der höchsten Stelle 25 auf ihren kleinsten
positiven Rest modulo 9, der hier 7 selbst ist. Diese Zahl 7 multipliziert
er mit 6 und addiert zum Produkt 42 die Ziffern 3 und 8 der zweithöchsten
Stelle 38. Die Summe 53 wird wieder (durchfortwährendes Subtrahieren
von 9) auf den kleinsten positiven Rest modulo 9 gebracht, der hier 8 ist.
Dann wiederholt sich das Spiel: 8 6 + 6 + 4 = 58 4 mod 9. Die
„Waage“ von 25 38 46 ist also 4.
Küyär macht sich hier unnötige Arbeit, Er bemerkt nicht, daß die
dritte Stelle von unten und alle höheren Stellen einer ganzen Sexagesimal.
zahl, nach ihrem Stellenwert zusammengenommen, eine Zahl bilden, die
durch 602, also auch durch 9, teilbar ist. Die Neunerwaage einer mehr
als zweistelligen ganzen Sechzigerzahl ist also gleich der Neunerwaage
der aus den beiden niedrigsten Stellen bestehenden ganzen Sechzigerzahl.
Und auch für diese zweistellige Sechzigerzahl ließe sich Küyär‘s Bildungs.
vorschrift noch vereinfachen, da die höhere der beiden Stellen einen durch
60, also durch 3 teilbaren Bestandteil darstellt. Wie geringwertig diese
Neunerprobe der Sechzigerzahlen ist, erhellt daraus, daß sie in der dritten
Stelle von unten des Ergebnisses und in allen höheren Stellen keinen
Fehler aufdecken kann. Ähnliches begegnete uns bei der Achterprobe des
Sib alMärjdn, Dagegen wählte K. im Sechzigergefüge die „Waage“ 59.
Sie ist das wahre Gegenstück der „Waage“ 9 des Zehnergefüges, weil
60 1 mod 59 ist, wie 10 1 mod 9.
Nichts nimmt der Verfasser als neu oder gar von ihm selbst erfunden
in Anspruch. Dies gilt besonders für die Tafel, die unter dem Namen
&chzigertafel bekannt ist (vgl. oben 5. 78), und deren Einrichtung ebenso
wie die „Erhöhten“, d. h. die ganzen Sechzigerzahlen, als übernommenes
Gut erscheint. Bemerkenswert ist, daß die „Erhöhten“, wie wir sahen,
bei der Behandlung der Division in die imeigentliche Sechzigerreehnung
des ersten Buches sozusagen ühergestrahlt sind, dort aber sofort in
Zahlen des Zeliners sterns verwandelt werden.
Die Beurteilung von Küyär‘s Rechenbuch enthält dadurch weitere
Unterlauen, dail wir das Rechenbuch von an. N as awi heranziehen.
Nach a1Bihaot°°
1O911O) gehurte dieser am Buyidenhot zu ar
1 zu in
Ra v rk
i Pu lci an Le ‘i0 laFre alt iev or 1er en b01
1
genanntes
Reehen
wiederholt
Schülern des Küyär Sein von uns schon
47 ‚Das Zufriedenstellende (ai.muqni) über das indische Rechnen‘
buch
is uns in Leiden erhalten Im Vorwort, das der Leidener Katalog ab.
druckt. setzt sieh amNasawi mit- den Rechenbüchern seiner \Torränger
auseinander und sagt unter anderem:
n einziq Ar‘ Rr an
zur ii
Riruge ‘iv!e e
ir‘ .srtcfR
1
ges.vandten Rechnungen (muäm.aiat) gebunden ist, wie A bü [antfa nA
Dinawari und Kühydr at-Oili. Denn trotz der kurzen Fassung schrieb
K-ükydr für die astronomische Rechnung den Leitfaden (daftar) der übrtgen
angewandten Rechnungen, und Abü Hanifa schrieb für die übrigen an
gewandten Rechnungen den Leitfaden der astronomischen RechnungPb)
8
Luckey, Rechenkunst,
82
Die reine Sexagesimairechnung bei anderen islamischen Mathematikern
Wenn ich die hier über Küyär gemachte Bemerkung richtig verstehe,
so wirft an-Nasaw seinem Lehrer vor, daß sein Rechenbuch zwar, wie
auch dessen Titel „Elemente des Rechnens der Inder“ zeigt, allen mög
liehen Anwendungen des Rechnens gerecht werden sollte, daß der Ver
fasser es aber bei der Ausführung zu sehr auf die astronomischen Rech
nungen zugespitzt labe. Das würde gut zu dein oben von uns gekenn
zeichneten Inhalt passen und dafür sprechen, daß auch das zweite Buch
des Werkes (1cm Küyär angehört.
In seinem eigenen Werk verspricht an-Nasawi solche Einseitigkeit zu
vermeiden; er will eine für alle angewandten Rechnungen, einschließlich
der astronomischen, brauchbare Anleitung schreiben. So ist denn zu
verstehen, (laß er, der sich stark an Küyär anlehnt, zwar die uneigent
liche Sechzigerrechnung nach dem Vorbild von Küyär‘s erstem Buch
behandelt
siehe das Beispiel oben 8. 44—45
nicht aber die reine
Sechzigerreehnung entsprechend Küyär‘s zweitem Buch. Man muß sich
stets vergegenwärtigen, daß auch für die Mehrzahl der astronomischen
Rechnungen, insbesondere die der sphärischen Trigonometrie, die ge
gebenen und die gefundenen Sechzigerzahlen fast immer aus weniger als
60 Einem (,‚Teilen“, „Graden“), ferner Minuten und höchstens noch
Sekunden bestanden, und daß man also, wie die Rechnungen in al-BirünI‘s
Ta.idt1 auch zeigen, mit der uneigentlichen Sechzigerrechnung auskam.
An-Nasaw bringt in seinem Vorwort zum Ausdruck, daß er das mehr Abgelegene und ihm schwierig Erscheinende meiden will. So mag er auch der
reinen Sechzigerrechnung als etwas zu Theoretischem und Ungewohntem
aus dem Wege gegangen sein. Im übrigen geht seine Abhängigkeit von
Küyär, auch in den gebrauchten Ausdrücken, weit. Wie dieser arbeitet er
bei der Division der Sechzigerzahlen mit „einmal Erhöhten“, „zweimal Er
höhten“ usw. und bestätigt damit, daß die Sechzigerstellen mit positivem
Exponenten zu seiner Zeit eingeführt waren. Natürlich muß er auch die
Ausziehung von Wurzeln aus Sechzigerzahlen auf uneigentliche Weise leh
ren, Bei Küyär fehlt diese Behandlungsweise der Wurzeln, da er offenbar
die Wurzelausziehung auf rein sexagesimale Art als einfacher betrachtete,
Abgesehen davon, daß Küyär b. Labbän die reine Sechzigerrechnung
als etwas tbernommenes darbietet, besitzen wir noch ein gewichtiges
Zeugnis dafür, daß sie zu seiner Zeit vorhanden war. Nach Angabe des
zuverlässigen Biographen und Bücherkenners Ibn ah Qifti‘°
4 (1172 bis
1248) verfaßte Abul-Wafä‘ al-BüzaänI eine „Schrift über die Rechnung
mit der sexagesimalen Tafel“ (kitäb al-ama1 bii4adwal as-sittini). Der
Perser Ahul-Waf
vielleicht der bedeutendste Mathematiker jener
Blütezeit, war am 10. Juni 940 ii. Gut, in Büzaän hei isäbiir geboren
und starb ranh Ihn ah Qitil am 1. Juli 9$8‘°, Äuf seine Bruchrechnung
—‚
Ihn ei Qfti h 2S2 Z. _4.
Nauh Ihn Ha‘i‘kCn ei
Jahre 3a7 d. L grber
1
nas ar
2 Januar 92e endete. In d:esem Jahre 327 ‘. II beobachtete r .n Bagaa‘t
eine Mondfinsternis in Verabredung mit ai-B!rürr, der dzee Finsternis in
der Hauptstadt von Uwärizm beobachtete. (Tahdid
) 8. 275)
7t
164
Die reine Sexagesimaireehnung bei anderen islamischen Mathematikern
83
gingen wir schon ein, Seine Schrift über reine Sechzigerrechnung ist uns
nicht erhalten. Indessen scheint sein oben (5. 29> erwähntes Rechen
58 zu bestätigen, daß er die reine Sechzigerrechnung besaß. Die erste
buch
„Station“ (manzila) des Werkes, die mir bisher allein zugänglich war,
enthält keinen unmittelbaren Hinweis auf die reine Sechzigerrechnung.
Eher kann dies bei der noch zu untersuchenden zweiten Station der Fall
sein, denn Woepcke, der die Leidener Handschrift einsah, sagt von den
beiden ersten Stationen‘°
:
6
Les deux prerniers tivres forment un trait€l complet d‘arithrnitique pra.
tique. On y trouve une thlorie fort dlvelopple des fractions, dc la conversion
des nombres entiers et des /ractions en quantits sexagnes et sexagsima1es,
dc la multiplication des nornbres entiers et des fractions.
Die zweite Station enthält hiernach unter anderem die Verwandlung
ganzer Zahlen des Zehnergefüges in ganze Sechzigerzahlen. Wir sahen,
daß Küyär mit dieser Verwandlung die reine Sechzigerrechnung seines
zweiten Buches eröffnete.
Obwohl die erste Station zwar keine Sechzigerrechnung behandelt,
ist sie uns im Hinblick auf die Sechzigerrechnung wichtig. Sie bringt
zahlreiche Tafeln und Anleitungen für Verwandlungen von einfachen
Brüchen und ganzen rationalen Verbindungen solcher Brüche in andere
Brüche und Bruchverbindungen, insbesondere auch in Brüche mit dem
Nenner 60 und Tafeln und Anleitungen für die umgekehrten Verwand
lungen. Zunächst werden die „Häupter“ als Brüche mit dem Nenner 60
ausgedrückt. Es ergeben sich die beiden Zusammenstellungen
1
1
1
1
1
1
1
1
und
8
In der Leidener Handschrift sind diese wie alle Zahlen in Worten ge
schrieben, Unter jedes „Haupt“ ist hier der Zähler des gleichwertigen
Bruches mit dem Nenner 60 gesetzt. Bei der ersten Gruppe ist der Zähler
des Bruches mit dem Nenner eine ganze Zahl, bei der zweiten eine ge
mischte.
Dann folgt eine Tafel, in der zu jedem der Brüche
sowohl der Zähler des gieichwertigen Bruches mit dem Nenner 60 wie
auch eine Darstellung der Summe von Zahlen angegeben ist, die nur
Häupter oder oder Produkte zweier Brüche dieser Arten (,‚angehängte
Brüche“) sind. Von dieser Tafel, deren erste Spalte geordnet in der Folge
fortschreitet, gebe ich hierneben einen Aus
1
.
..‘
‘
84 Die reine Sexagesimaireehnung bei anderen islamischen Mathematikern
schnitt. Die mittlere Spalte gibt nicht in allen
Fällen die volle Sexagesimalentwicklung des vor
45
gelegten Bruches, wie das auch die untere Zeile der
1
2
1
zweiten der obigen Tafeln für die Häupter nicht
2
‘)4
‘,
tat; aber der Benutzer kann diese Entwicklung mit
Hilfe der vorhandenen Tafeln herstellen. Z. B.
findet er für zunächst 26. Die erste SechzigerUi
17 4T47
7
7
stelle der Entwicklung von ist also 26. Zu
liefert ihm dieselbe Tafel die Zahl 40 als zweite
1
1
Bei den Brüchen mit dem
Sechzigerstelle von
“‘,i
ä
Entwicklung als unendlich
sich
die
wird
7
Nenner
und periodisch erweisen.
Auf die weiter dargebotenen Verwandlungen, z. B. die Verwandlungen
von Summen von Häuptern und Produkten von Häuptern in Brüche mit
dem Nenner 60 und die umgekehrten Verwandlungen gehe ich nicht ein.
Der Gegenstand erfordert eine ausführliche Darstellung, wobei der Text
zu übersetzen ist und die entsprechenden Ausführungen im Rechenbuch
al-Karaj heranzuziehen sind. Hier hebe ich aber aus den sich
von 52
daran anschließenden Ausführungen eins heraus:
Es sei eine Zahl m zu einer Zahl n ins Verhältnis zu setzen, d. h. es sei
das Ergebnis der Division m: n genau oder annähernd als Summe von
Häuptern (einschließlich ) und Häupterprodukten auszudrücken.
Wir beschränken uns hier auf ganzzahliges rn, obwohl Abul-Wafä auch
für eine gemischte Zahl m die Aufgabe lösen kann. Der ebenfalls ganz
zahlige Divisor n habe zunächst keine anderen Primfaktoren als die
10 der Häupter, also höchstens die Prim
jenigen der Nenner 2, 3,
3 verwandelt nun
faktoren 2, 3, 5, 7. Abul-Wafä
m
in
zunachst den darzustelienden Quotienten
(n)
fl
einen Bruch mit dem Nenner 60. Um den Zähler
30
dieses gesuchten Bruches zu finden, soll man ent
weder 60 rn ausrechnen und durch n dividieren,
15
mit m multiplizieren. Nur auf
oder man soll
40
.
.
‚
—
-
8
‘ii
i
.1
dieses zweite Verfahren ehnn wir hiur ein, Zu
3
seiner bequemen Ausführung bringt Abul-Wafä
die hierneben teilweise wiedergegebene Tafel, die
er dem Gedächtnis einzuprägen empfiebit. In ihr
1 -ren pate c Lnhu
dan thmtt L Zahl de
nur
die genannten Primfaktoren
von 2 bis 120, die
2, 3, 5, 7 besitzer.. Neben dieser Zahl n der ersten
60
7
da1t 2teLf in Ur z-‘ ten ci
n
als gemischte Zahl. Um z. B. auf c.en. 1. enner GO
7 die
zu bringen, entnimmt man der Tafel zu n
Die reine Sexagesirnairechnung bei anderen islamischen Mathematikern 85
und multipliziert diesen Wert 8 mit 6. Man
= 8
n
51
erhält 51 und der gesuchte Bruch mit dem Nenner 60 ist also
60-fache Reziproke
Hier haben wir eine Tafel, die demselben Zweck dient, wie die altbabylonischen Reziprokentafeln, nämlich dem Zweck, eine Division als
Multiplikation auszuführen. Es erscheint mir reizvoll und auch für das
Verständnis der babylonischen Rechenweise fruchtbar, zwischen Anlage
und Gebrauch der babylonischen Reziprokentafeln und dieser islamischen
Reziprokentafel Vergleiche anzustellen.
Der Bruch mit dem Nenner 60 ist hier für Abul-WafA? nicht Ziel,
sondern Durchgangsstation. Aus einer vorhergehenden ausführlichen
Anleitung, die alle auftretenden Brüche von der t
5i
=
und darzustellen lehrt, ergibt sich
+ +
durch Häupter
4,
und so ist an
die Stelle der von den Schreiber und Rechnern gemiedenen Form die
„schöne“ Darstellung durch Häupter gesetzt.
Für den Fall, daß die ganze Zahl n „unaussprechbar (aamm) nach der
‘Weise der Schreiber“ ist, d. h. daß n auch andere Primteiler als 2, 3, 5, 7
hat, zeigt Abul-Wafä> verschiedene Verfahren,
näherungsweise als
Summe von Häuptern und Häupterprodukte darzustellen. Der von ihm
bevorzugte Weg geht durch die sexagesimale Entwicklung von
hin
durch. Er bricht diese Entwicklung je nach der gewünschten Genauig
keit der Annäherung hinter den ersten Sechzigstem oder bei einer höheren
Stelle ab, wobei er nötigenfalls die letzte benutzte Stelle um eine Einheit
aufrundet.
tber Abul-Wafä hinaus kann ich zur Zeit die reine Sechzigerrechnung
in der islamischen Welt nicht zurückverfolgen. Das hier gegebene Bild
ist naturgemäß lückenhaft. Aus den zahlreichen uns erhaltenen und noch
nicht untersuchten arabischen und persischen Rechenbüchern wird man
es ohne Frage ergänzen können. Leider hat sich aus der Zeit vor Abul
Wahl> kaum ein Rechenbuch erhalten, Es gab deren eine Anzahl, so die
im Eihrist
42 nach Verfasser und Titel angefährten und diejenigen,welche
amNasawi in der Einleitung seines eigenen Rechenbuches kritisiert, Von
ans erLaitnen aitren Werken. die Aufschlüsse versprechen, nenne ich
das „Buch der VGiendung im Rechnen“ von ¶Abdaiqähir b. Tähir ah
7 (‘‘ 1037). Der dritte der 7 Teile dieses Werkes enthält in
Badädh°
8 Kapiteln die „Darlegung der Kenntnis der Vorschriften des Verfahrens
bei der Rechnung der Grade, Minuten und dergleichen“.
167
8$ Die reine Sexagesimairechnung bei anderen islamischen Mathematikern
Besondere Beachtung verdient ferner eine Abhandlung, die Abü Nasr
Manür b. AlI b. Iräq (lebte um 1000) als Lehrbrief an seinen Schüler
al-Birüni richtete. Diese Schrift, die nach einem von aLBirünI selbst
\TerzeiehnislO den Titel „Lehrb
angelegten 8
rief über die Minutentafel“
trug, hat sieh in 9
Oxford‘° und in Bankipur“° erhalten, I)er Katalog
von Bankipur bezeichnet sie als the best work on sexage
nary methods o/
caiculation, und wenn mit. der „Minutentafel die Sechzigertafel gemeint
ist, so ist dies ein weiteres Zeichen dafür, daß um das Jahr 1000 die reine
Sechzigerrechnung vorhanden war. Daß, wie wir sahen, al-Birüni in
seinem 1025 abgeschlossenen Taidid von der reinen Sechzigerrechnung
keinen Gebrauch macht, spricht nicht gegen diese Vermutung. Er macht
in demselben Werke auch keinen Gebrauch vom sphärischen Sinussatz,
über den um Abü Nasr in einem Lehrhrief unterrichtete“, Dort wie
hier könnte AbulWafä‘ Anregung oder Anstoß zur Abfassung des Lehn
briefes gegeben haben,
Neben den Reehenbüchern wird man aber zusehen, ob man in den Werk
stätten der angewandten Rechnungen selbst Anzeichen vorn Gebrauch
der reinen Sechzigerreehnung findet. Hier kommt natürlich in erster
Linie die Astronomie mit ihrer Hilfswissenschaft, der Trigonometrie, in
Betracht, vor allein die Berechnung der trigonometrischen
Bisher
sind mir neben dem erwähnten Anzeichen hei a.t-Tüsi nur K.‘s Be
rechnungen von 2 r und sin 10 als Anwendungen der reinen Sechziger
rechnung, und zwar großartig geglückte, bekannt,
Es mögen noch Hinweise auf einige späte, die Sechzigerrechnung be-.
treffende islamische Schriften folgen, die zeigen, wie lange diese Me
thoden im Osten ihr Dasein weitergefristet haben. Zu den „Feinheiten“
des Sibf al-Märidini gibt es neben verschiedenen Auszügen einen mir
nicht zugänglichen Kommentar des 1774 gestorbenen 1asan al-a
, Das Institut für Geschichte der Medizin und der Naturwissen
2
barti
schaften in Berlin besitzt drei auf die reine Sechzigerrechnung bezügliche
Handschriften“ Eine von ihnen (II. 49), 1823 geschrieben., die die
.
3
‚‚Feinheiten‘‘ von Sibt al -Maridini enthält, wurde von uns (3. 39, 3. 65
bis 73) schon herangezogen.
Von dci he oD nIrr at im
‘II D
e‘ i4er
T
m
unbekannten Mu]ammad b. Mulianimad as-. arnaqäti (2
ie Fassung
des Titels deute.t auf die Sjp ätzeit islamischer Mathematik. Er lautet:
„Die köstlichen Perlen und das rechnerische Ergebnis! in der Ermittlung
AI-Birüni, Chronologie orientalischer Völker, hrsgg. von E. Sachau.
l7
i 1‘
3 XXX ‘VI1
‘° Jo. Uri, Bihiiothecae Bodleianae codd. mss. or.
cat-alogus 1, Oxford
175 7, 8. 203 7T.r 9406‘
1.10 Kai-sIe
Bankip-ore 22m) 8. 7°
246514 (Sßa. 93b
‚“ P.
].nickey, Zur Entstehung der Kugeldreiecksrechnun.g. Deutsche
‘]°4
8.
4 02 S 4 15—446.
112
Vgl. Brockeimaun Di 3. 168, bupp!. 11 3. 216—-217.
113
Eandschriftenkatalog‘° 8. 171-.—174, 8. 208,
05 0
Die reine Sexagesimairechnung bei anderen islamischen Mathematikern
87
der Anteile (iia) und den Rechnungen aus den sexagesimalen rfafelnc
Der Verfasser sagt in den Einleitungsworten, das Bedürfnis der Be
rechnung der Gebetszeiten habe ihn zur Abfassung dieser Schrift be
wogen. Die Prüfung des Werkehens ergibt, daß „Die köstlichen Perlen“
gestohlen sind. Die Anleitungen zum sexagesimalen Rechnen hat der
Verfasser oder ein Vorgänger mit einigen Umstellungen samt den Bei
spielen überwiegend wörtlich aus den „Feinheiten“ des Sib al-Märidini,
den er nicht nennt, abgeschrieben. Obwohl dabei das Verfahren der
Wurzelausziehung weggelassen ist, wird bei der Behandlung der Probe,
dem ‘Wortlaut der „Feinheiten“ entsprechend, auch die Probe der
Wurzelausziehung behandelt, wobei auf die Beispiele der Wurzel
ausziehung zurückgegriffen und zurückverwiesen wird, die dieses Korn
pilat gar nicht gebracht hat. Die Schrift leitet ferner dazu an, unter Ver
wendung von Tabellen Aufgaben der sphärischen Astronomie zu lösen,
die mit der Auffindung der Gebetszeiten zusammenhängen. Vermutlich
sind (liese Anleitungen anderswo abgeschrieben, vielleicht aus einer an
deren Schrift des Sibf.
Auf 5. 16b befindet sich eine Tafel zur Bestimmung der „Art“, d, h.
des Stellenwertes des Produktes und eine solche zur Bestimmung des
Stellenwertes des Quotienten. i)iese Tafeln sind wie bei Küyär und K.
Die „Erhöhten“ sind hier durch die Ziffern \
bezeichnet, die Grade, Minuten, usw. durch die Endbuchstaben der
betreffenden arabischen Wörter.
Auf diese Schrift folgt in demselben Handschriftenband eine zweite
Handschrift (II. 2), die auf Seite 19a als „Lehrbrief über das Sechzigerverhältnis bei der Rechnung der Zeitwissenschaft“ bezeichnet wird und
nach einer Angabe an derselben Stelle im Jahre 1239 d. H., d. i. 1823—24
geschrieben wurde. Die „Zeitwissenschaft“ befaßt sich vorwiegend mit
der Festlegung der Gebetszeiten.
Der hauptsächliche Inhalt der Handschrift ist eine Sechzigertafei
(5, i9b24a). Die Teiltafeln gehen in der „Länge“ von 1 bis 30 und von
55 bis 60. Be
31 bQ 60, in der „Breite“ von 1 bis 6, 7 bis 12,
59, 60 deren
merkenswert ist, daß über den Breitenzahlen 1, 2, 3,
ji 1 i 1arab1‘cheiiBruch‘usdru(ken an
szchzte I-ile
unrii 6 s Ze,1ites 1
el ri ‚nui Z B eeht aher 3
und über 59
± 4
Ebenso steht über 7 der Wortausdruck für
angelegt.
‘
‘
‘
.‚
..‚
.
derjenige für
+
So kann die Tafel dazu dienen,
H
±
einer
in (ieranedeuteten
60
sti :kt it Ferre“
rtrbe
‘ rrT_
4
ist über den Kopfzahlen 1, 2, . . 60 ihre Quadratwurzel angegeben, und
zwar meht auf drei gültige Sexagesimaistelien.
Sechzicerzahl für n
1. 2.
.
.
..
5$ zu bilden, wenn
.‚
88 Die reine Sexagesimaireehnung bei anderen islamischen Mathematikern
Die reine Sechzigerrechnung hat im Mittelalter in das Abendland Ein
gang gefunden, doch scheinen hierüber keine eingehenden Forschungen
vorzuliegen. Eine sexagesimale Produktentafel bis 49 mal 49 findet sich
nach 4
Eneström“ bei Petrus dc Dacia (um 1300>. „Gewiß war das
wichtig“, sagt hierzu E. Zinn er“
, „denn bald nach 1300 entstehen in
5
Paris die sogenannten Alfonsischen Tafeln, die im Gegensatz zu den vor
hergehenden Tafeln die Sechzigerteilung vollständig durchführen, so daß
man nicht nur die Bruchteile der Stunden und Grade durch Sechzigerbrüche darstellte, sondern auch je 60 Tage und Grade zu neuen Einheiten
zusammenfaßte“. Johann von Gmunden (um 1380 bis 1442) über
nahm die 60-gradigenZeichen ausdrücklich aus 6
denAlfonsischenTafeln“
.
In dem Brief, den 7
Bianchini“ am 5. 2. 1464 am Regiomontan schrieb,
ist von der Herstellung einer Sechzigertafel die Rede.
Später begegnet uns diese Tafel in gedruckten Büchern, Orontius
Finaeus (1494—1555) brachte sie in Buch 1 seiner 1532 erschienenen
„Promathesis“ unter der Bezeichnung Cancm Sexagenarius, die eine wört
liche Obersetzung des schon von AbuI-Wafä? gebrauchten Ausdrucks al
dwa1 as-sittni sein mag. Ich sah die 1542 erschienene dritte Auflage
seiner „Arithmetica practica“ ein, deren drittes Buch die gebrochenen
Zahlen iuxta mentem astronomorum, per sexagenariam partium successi
onem distributis behandelt, Auf Blatt 45a_46 b befindet sich die in vier
Teiltafeln zerlegte Sechzigertafel, hier Tabula proportionalis genannt.
Die Faktoren am linken Rand laufen von 1 bis 60, die am oberen Rande
laufen bei den einzelnen Tafeln von 1 bis 15, von 16 bis 30, von 31 bis 45
und von 46 bis 60. Quadrat und Kubikzahlen sind durch Fettdruck des
linken und rechten Randes des betreffenden Häuschens hervorgehoben.
Der Bestimmung des Stellenwertes von Produkt und Quotient dient wie
bei Küyär und anderen islamischen Schriftstellern je eine rilafel mit
zwei Eingängen, die sich über ganze und gebrochene Stellenwerte er
streckt,
Auch der Wittenberger Mathematiker und Astronom Ca sp ar Pc ii cc r
bringt in seiner 1556 erschienenen „Logistica astronomica“ sowohl die
höheren ganzen Sechzigerzahlen (die „Erhöhten“): sexagena prima, es
cund-a usw. wie die Sechzigerbrüch e: serupulum prcmum, secundum usw.
Ausführlich behandelt er die Einrichtung und Herstellung der Sechziger‘
tafel.
Ebenso besitzt John Cham hers, der Hera:usgeber und Erläuterer der
(.5. 64 unten) erwähnten, 1600 erschienenen Druckausgabe der Logistik
Bariaarns die reine Sechzigerrechnung. Der sexaesimalen Rechen
,
90
114
Tabula. magistri Petri Philomene dc Dacia ad inveniendum propo
sitionem cujuevis numeri. Biblioteca V.aticana Cod. Reg. Suec. n. 1452. Vgl.
1i
tnw, 3
:daw
4 1c9(, 8
E. Zi.nner, Petrus dc Dacia, Archeion 18 (1.936).
„
Canto$° IP (1913), 8. 177.
3
Abh, z. Gesch, d. math, Wiss. 12 (1902), 8, 239.
Z:i
170
8 318—329.
8,
Die reine Sexagesimalrechnung bei anderen islamischen Mathematikern 89
nen mit
weise Theons von Alexandrien und Barlaama stellt er das Rech
der Sechzigertafel mit folgenden Worten gegenüber:
g ge
In unserer Zeit ist ein bedeutend bequemeres Verfahren zur Geltun
der gewöhnlich
langt, das sich auf eine gewisse Art von Zahlenabakus stützt,
Sechziger“
„der
oder
Tafel der Tafeln“ oder „Tafel der Proportionen“
wird
.
8
‘
genannt 1
rechenden
Bei diesen Bezeichnungen denken wir wieder an die entsp
arabischen
arabischen Namen und insbesondere daran, daß auch in
el“ (jadwal)
Texten für die Spalten der Sechzigertafel dasselbe Wort „Taf
Tafeln.
alen
sion
gebraucht ist, wie für die Gesamtheit dieser eindimen
Skrupeln“
n
Ohambers bietet ebenfalls einen „Abakus der Sexagene und
l
entspricht
e
Tafe
zur Bestimmung der „Spezies“ des Produktes dar, Dies
, d. Ii, hier die
unserer auf 5. 63 wiedergegebenen Tafel K‘s. Die „Spezies“
en wieder
Zahl
als
ern
Stellenwerte, sind an den Rändern und in allen Feld
i Ö 1
gegeben. Diejenigen an den Rändern sind
(608) über die
1 ‚ d. h. sie laufen von den sechsten Sexagenen
Einer (60°) bis zu den Oktaven (60-8),
rechnung des
Chamber prangert bei der Multiplikation die Sechziger
n
des Orontius
Orontius Finaeus an, ferner bei der Division die Verfahre
gesimal
und des Gemma Frisius (1508—1555), die, bis sie alle Seza
ingen,
ckbr
zurü
stellen auf die niedrigste Spezies bringen und sie dann wieder
umbringen“ In
.
einen durch die überaus verdrießlichen Umwege geradezu 9
bringt Orontius
tica
ca
prac
der soeben genannten Ausgabe der Arithmeti
sexagesimale.
aber neben diesen umständlichen Verfahren auch das rein
e oben (5. 47)
Die sexagesimale Produktentafel bei J. Wallis wurd
e und der Loga
schon erwähnt. Mit der Einführung der Dezimaibrüch
e Bedeutung.
rithmen verlor die reine Sechzigerrecimung ihre praktisch
m kurzen
seine
Der Deutsche Franz Woepcke (1826—64), der in
ik beigetragen
Leben so viel zur Erforschung der islamischen Mathemat
zigerrechnung
Sech
hat, ist fast der einzige, der in neuerer Zeit die reine
. Er beobachtete sie in den
20
in arabischen Schriften bemerkt hat‘
lüssel“ K‘s,
„Feinheiten“ des Sibf alMäridin1, vielleicht auch im „Sch
rer Fragen,
Aber er macht nur i]. Vorbeigehen, bei Behand.lung ande
chrift von
darauf aufmerksam. I)ie Sechzigertafel erläutert er zur )bers
iplica.tion
Kap. 3 der „Feinheiten“ durch die Worte G‘est la table de muit
terung
aie‘ Die ganzen Sechzigerzahlen erwähnt er bei Erör
1
sexagAim
2
.
118
itior,
aam 3. 81: hodie invaluit uia quaedam aliquanta expe&
9
Barl
°
ecu
vuig
larum
la tabu
quasi abaco nititur quodam, gui tabu
quae numerorum
tabula proportionum &xovt&8ce‘ dicitur.
minimum epeciem
„ 8
Bar.laam 3 07 qu ctum omnes ffiifl•Utia8 ad
°
ambagibus te pian
ducunt, ab eddem rureum reducunt, taediosi8eimia
peseumdabunt.
ten“ des
7
„Feinhei
120 Durch ihn wurde Carra dc Vaux auf die 8
Sibf ahMäridn aufmerksam.
121
ction 3. 70,
5
rodu
6
F. Woepcke, Sur I‘int
171
O
Die Frage nach dem Ursprung der islamischen Sexagesimalreehnung
des Gebrauchs der indischen Ziffern und der Öumma1ziffern:
le
caicul sexagsimai, dc mgrne qu‘it avait subdivis le degr en minutes, se
cündes, tierces etc. avait conu des ordres ascendants, suprieurs au degr,
dc sorte que, si on vouiait, on n‘&ait jarnais oblig de depasser, dans la
notation, le nombre 59122 Dazu kommt Woepckes oben (5. 83) wieder
gegebener Hinweis auf die quantitds sexagnes bei AbulWafä‘.
Da die Mathernatikhistoriker früher der mittelalterlicher, Sechziger
rechnung kein großes Interesse entgegenbrachten, fanden Woepckes Be
merkungen kaum Beachtung. Weder M. Cantor noch Tropfke sagen
etwas über die islamische reine Sechzigerrechnung. So konnte es
kommen, daß F. Thureau-Dangin, den eine verständliche Teilnahme
trieb, sieh über das Schicksal der Sechzigerrechnung im Laufe der naeh
babylonischen Zeit zu unterrichten, erklärt‘
: Sa.ve für some rare and
23
late exceptions, this system has, beginning with the Oreeks, always been em
ployed to express fractions only. Was er mit den „seltenen und späten
Ausnahmen“ meint, zeigt sein Hinweis auf Wallis
75 und Tropfke (1,
5. 61 ff.). 0. Neugebauer gar findet bei einer kurzen Erörterung des
‚allmählichen Rückschritts“ der Sexagesimalrechnung seit den a1t
babylonischen Texten für das Mittelalter nur die Worte: „Das Mittel
alter kehrt dann zum Fingerreehnen zurück, wie es nur noch an vor
geschichtlichen Spuren in Mesopotamien und Agypten erkennbar
ist‘ ‘123
Die Tatsache, daß reine Sechzigerrechnung schon vor dem Jahre 1000
bei islamischen Mathematikern nachweisbar ist, läßt uns bei dem tieferen
Einblick, den insbesondere die Forschungen von Thureau.Dangii und
von 0. Neugebauer in die babylonische Sechzigerrechnung gaben, die
Frage aufwerfen: Welches ist der Ursprung der islamischen reinen
Sechzigerrechnung?
& Die Frage nach dem Ursprung der islamischen
Sexagesimalrechnung
Die Herkunft der uneientii ehen islamischen Sechzicerreehnung
scheint mir vor allem durch die Schrift Alooritmi dc numero Indorum“
md den Liber Algorisrni des Johannes von Sevilla
14 aufgeklärt zu sein.
Diese Schriften lehren, wie auch der Titel der ersten anzeigt, das Rechnen
mit den indischen Zahlen, Woepckes Gründe‘
24 dafür, daß de erste
eine Übersetzung des Rechenbuches von ab .tvärizm1 ist, erscheinen
F. Woepeke, 51dm, sur In propagation
85 5. 465.
F. ThureamDangin, Sketch of a history of the sexagesimal system.
Osiris 7 (1939), 5. 9141. 5, 5. 95 und Fußnote 101 auf 8. 138.
0.
Neuebauer in Quell. Stud. MaNi. 11 4 5. 356.
124
F. Whepcko, SlIr I‘introduction
65 5. 17‘i9.
‘
123
1 72