Vermessungskunde für Bauingenieure und Geodäten

Vermessungskunde für
Bauingenieure und Geodäten
Übung 1:
Geodätische Koordinatensysteme und Erste Geodätische Hauptaufgabe
Milo Hirsch
Hendrik Hellmers
Florian Schill
Institut für Geodäsie
Fachbereich 13
1 Aufgabenbeschreibung
Die Erste und Zweite Geodätische Hauptaufgabe stellen die beiden Grundaufgaben im Bereich der Vermessungskunde dar. Bei kleinräumigen Vermessungsaufgaben erfolgt die Berechnung in einem ebenen, kartesischen Koordinatensystem. Am Beispiel des Gauß-KrügerKoordinatensystems wird zunächst die Erste Geodätische Hauptaufgabe erläutert.
1.1 Geodätisches Koordinatensystem
Im Gegensatz zu einem ebenen, rechtwinkligen Koordinatensystem in der Mathematik wurde
der Drehsinn im geodätischen Koordinatensystem gemäß dem Uhrzeiger festgelegt, da Winkelinstrumente wie Theodolit, Kompass etc. die Winkel in dieser Drehrichtung messen. Als
unmittelbare Folge dieser Festlegung mussten die X- und Y-Achse vertauscht werden, damit
trigonometrische Winkelfunktionen wie Sinus, Kosinus, etc. in gewohnter Weise für trigonometrische Berechnungen benutzen werden können. Auch die Nummerierung der Quadranten
erfolgt somit gemäß dem Uhrzeigersinn.
Der Richtungswinkel t wird somit beginnend von der X-Achse im Uhrzeigersinn gezählt und
dient zur richtungsmäßigen Orientierung einer Horizontalstrecke s.
X
P
s
t
Y
Abbildung 1: Geodätisches Koordinatensystem
Vermessungskunde für Bauingenieure und Geodäten
1
1.2 Erste Geodätische Hauptaufgabe
Aus den gegebenen zweidimensionalen kartesischen Koordinaten zweier Punkte PA, PE ist deren
Horizontalentfernung sA,E und der Richtungswinkel t A,E zu bestimmen. Horizontalentfernung s
und Richtungswinkel t werden zusammen als ebene Polarkoordinaten bezeichnet.
Gegeben: Punkt PA (YA, X A) Gesucht: Richtungswinkel t A,E
Punkt PE (YE , X E )
Strecke sA,E
X
PE tA,E
ΔY
XE
ΔX
tE,A
sA,E
tA,E
XA
PA
YA
YE
Y
Abbildung 2: Erste Geodätische Hauptaufgabe
Lösung:
t A,E = arctan
YE − YA
X E − XA
‚
= arctan
∆YA,E
∆X A,E
Œ
(Quadrantenabfrage beachten!)
t E,A = t A,E ± 200 gon (Gegenrichtungswinkel)
sA,E =
Æ
2
2
∆YA,E
+ ∆X A,E
Vermessungskunde für Bauingenieure und Geodäten
2
Quadrantenabfrage für die ArcTan-Funktion
Die Vorzeichen trigonometrischer Winkelfunktionen hängen davon ab, bis in welchen Quadranten sich dieser Winkel erstreckt. Für die eindeutige Berechnung des Richtungswinkels aus Koordinaten ist deshalb immer eine Quadrantenabfrage nach folgendem Schema notwendig:
X
IV
(+ 400 gon)
I
(+ 0 gon)
Y
III
(+ 200 gon)
II
(+ 200 gon)
Quadrant
Zähler
Nenner
Zuschlag
I
+
+
+ 0 gon
II
+
-
+ 200 gon
III
-
-
+ 200 gon
IV
-
+
+ 400 gon
Vermessungskunde für Bauingenieure und Geodäten
3
Kontrollen
1. Koordinatenunterschiede ∆YA,E , ∆X A,E
X E + YE − X A + YA = ∆X A,E + ∆YA,E
2. Argument und Funktionswert der Winkelfunktion
∆YA,E
Um die Berechnung des Quotienten
∆X A,E
(Argument) und des Funktionswertes der
ArcTan-Funktion zu kontrollieren benutzt man die t+50 Probe.
Der Winkel t+50 gon ergibt sich aus der Beziehung tan(t + 50 gon) =
∆X A,E +∆YA,E
∆X A,E −∆YA,E
, die
aus der Abbildung 3 zu entnehmen ist.
X
ΔY
PE
100 gon
s
s
ΔX-ΔY
ΔX
ΔY
ΔX
tA,E
tA,E
50 gon
PA
Y
Abbildung 3: Geometrische Beziehungen der Kontrollen
‚
t A,E + 50 gon = arctan
∆X A,E + ∆YA,E
∆X A,E − ∆YA,E
Œ
(Quadrantenabfrage beachten!)
Vermessungskunde für Bauingenieure und Geodäten
4
3. Strecke sA,E
Die Kontrolle erfolgt mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen (siehe Abbildung 3)
s=
∆X A,E
cos t A,E
oder
s=
∆YA,E
sin t A,E
Für die Kontrolle wird der Quotient mit dem betragsmäßig größten Koordinatenunterschied gewählt.
Vermessungskunde für Bauingenieure und Geodäten
5
2 Übungsaufgaben
Aufgabe G1.1
Berechnen Sie den Richtungswinkel t A,B und die Strecke sA,B zwischen den angegebenen Punkten (Es gilt: A = Standpunkt und B = Zielpunkt) und interpretieren Sie die Lage der Punkte im
Gauß-Krüger-System. Führen Sie bei der Berechnung die zuvor angegebenen Kontrollen durch
und veranschaulichen Sie sich Ihre Ergebnisse anhand einer Skizze.
Punkt
Y [m]
X [m]
Punkt
Y [m]
X [m]
B
35
29.527, 161
55
89.633, 593
B
44
45.893, 070
54
17.367, 444
A
35
29.663, 457
55
89.871, 234
A
44
46.243, 219
54
17.083, 123
(a)
(b)
Aufgabe G1.2
Gegeben sind die Richtungswinkel t A,B und t C,B . Berechnen Sie mithilfe der gegebenen Richtungswinkel den Brechungswinkel β.
A
B
A
β
β
B
C
C
(a)
(b)
t A,B = 266, 9707 gon
t A,B = 233, 8475 gon
t C,B = 322, 7546 gon
t C,B = 61, 6648 gon
Vermessungskunde für Bauingenieure und Geodäten
6
Aufgabe G1.3
Gegeben ist jeweils der Richtungswinkel t A,B und der Brechungswinkel β . Gesucht ist der Richtungswinkel t B,C .
A
A
C
B
β
β
C
B
(a)
(b)
t A,B = 181, 9502 gon
t A,B = 228, 4785 gon
β = 89, 1791 gon
β = 209, 5837 gon
Vermessungskunde für Bauingenieure und Geodäten
7