UE Diskrete Mathematik, Blatt 6 WS 2014/15 1. Geben Sie die

UE Diskrete Mathematik, Blatt 6
WS 2014/15
1. Geben Sie die folgenden Relationen R auf N jeweils explizit als Menge (von geordneten
Paaren) an:
(a) R := {(a, b) : 2a + b = 9}
(b) R := {(a, b) : a + b < 7}
(c) R := {(a, b) : b = a2 }
2. Sei R := {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 1), (2, 4), (2, 5)} eine Relation auf der Menge V =
{1, 2, 3, 4, 5}.
(a) Zeichnen Sie den gerichteten Graphen D = (V, R).
(b) Finden Sie eine nichtleere Teilmenge W von V , sodass die Einschränkung R|W von
R auf W reflexiv oder symmetrisch oder transitiv ist.
(c) Welche geordneten Paare müssen Sie der Relation R jeweils hinzufügen, damit sie
-) reflexiv bzw. -) symmetrisch bzw. -) transitiv wird.
3. Welche der folgenden Relationen R auf Z (bzw. auf R × R im letzten Fall) sind reflexiv,
symmetrisch, antisymmetrisch bzw. transitiv?
(a) aRb :⇔ a + b ungerade,
(b) aRb :⇔ a · b ungerade,
(c) aRb :⇔ a · b > 0,
(d) aRb :⇔ a ≤ b + 1,
(e) (a, b)R(c, d) :⇔ a = c.
4. Geben Sie jeweils ein Beispiel für eine Relation, die
(a) antisymmetrisch und transitiv, aber nicht reflexiv,
(b) symmetrisch, aber nicht reflexiv und nicht transitiv,
(c) symmetrisch und transitiv, aber nicht reflexiv,
(d) reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist.
5. Eine Relation R auf A sei reflexiv und habe folgende Eigenschaft:
∀a, b, c ∈ A : (aRb ∧ aRc) ⇒ bRc .
Ist R symmetrisch, antisymmetrisch oder transitiv?
6. Sei R eine Relation auf A die reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist. Gelten diese
Eigenschaften auch für die Umkehrrelation? Kann R−1 symmetrisch sein?
7. Bestimmen Sie Äquivalenzrelationen R1 bzw. R2 auf der Menge V = {0, 1, 2, 3, 4} derart,
dass die zugehörigen Äquivalenzklassen mit den Partitionen P1 = {{0}, {1}, {2, 3, 4}} bzw.
P2 = {{0, 1}, {2, 3}, {4}} übereinstimmen
8. Zeigen Sie, dass auf Z × Z durch
(x1 , x2 ) ∼ (y1 , y2 ) :⇔ max{|x1 |, |x2 |} = max{|y1 |, |y2 |}
eine Äquivalenzrelation definiert ist. Dabei ist max{a, b} die größere der Zahlen a und b
und max{a, a} = a. Skizzieren Sie die Äquivalenzklassen.