Asymptotisches Verhalten

Asymptotisches Verhalten
f(x)=(x2−5x+6)/(x−1)) mit Asymptote p(x)=x−4
10
8
6
4
y−Achse
2
0
−2
−4
−6
−8
−10
−10
−8
−6
−4
−2
0
x−Achse
2
4
6
8
10
6
8
10
f(x)=(x2−5x+6)/(x2−3x+2) mit Asymptote p(x)=1
10
8
6
4
y−Achse
2
0
−2
−4
−6
−8
−10
−10
−8
−6
−4
−2
0
x−Achse
2
4
f(x)=(x3−5x+1)/(x4−2)) mit Asymptote p(x)=0
30
25
20
15
y−Achse
10
5
0
−5
−10
−15
−20
−5
−4
−3
−2
−1
0
x−Achse
1
2
3
4
5
f(x)=(x2+3x−4)/(x−2) mit Asymptote p(x)=x+5
30
25
20
15
y−Achse
10
5
0
−5
−10
−15
−20
−20
−15
−10
−5
0
x−Achse
5
10
15
20
Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen
sin(x)
1.5
1
0.5
x
0
−0.5
−1
−1.5
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
cos(x)
1.5
1
0.5
0
x
−0.5
−1
−1.5
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
tan(x)
10
5
x
0
−5
−10
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
cot(x)
10
5
x
0
−5
−10
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
Wichtige trigonometrische Identitäten
Die im folgenden formulierten Beziehungen gelten jeweils für alle reellen x und y des
Definitionsbereiches der entsprechenden Funktionen.
Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen
sin(x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y
tan(x ± y) =
cos(x ± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y
tan x ± tan y
1 ∓ tan x tan y
cot(x ± y) =
cot x cot y ∓ 1
cot y ± cot x
Trigonometrischer Pythagoras
sin2 x + cos2 x = 1
Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen
sin2 x = 1 − cos2 x =
tan2 x =
tan2 x
1 + tan2 x
cos2 x = 1 − sin2 x =
sin2 x
1 − cos2 x
=
cos2 x
1 − sin2 x
cot2 x =
1
1 + tan2 x
cos2 x
1 − sin2 x
=
1 − cos2 x
sin2 x
Trigonometrische Funktionen doppelter Argumente
cos(2x) = cos2 x − sin2 x = 1 − 2 sin2 x
sin(2x) = 2 sin x cos x
tan(2x) =
2 tan x
1 − tan2 x
cot(2x) =
cot2 x − 1
2 cot x
Potenzen trigonometrischer Funktionen
1
sin2 x = (1 − cos(2x))
2
1
cos2 x = (1 + cos(2x))
2
Produkte trigonometrischer Funktionen
sin x sin y =
1
(cos(x − y) − cos(x + y))
2
sin x cos y =
cosx cos y =
1
(cos(x − y) + cos(x + y))
2
1
(sin(x − y) + sin(x + y))
2
Umkehrfunktionen: Arcusfunktionen
sin(x) und Umkehrfunktion arcsin(x)
1.5
1
y
0.5
0
−0.5
sin: [ −π/2,π/2] → [−1,1]
−1
arcsin: [−1,1] →[ −π/2,π/2]
−1.5
−1.5
−1
−0.5
0
x
0.5
1
1.5
cos(x) und Umkehrfunktion arccos(x)
3
2.5
2
1.5
y
1
0.5
0
cos:[0,π] → [−1,1]
−0.5
arccos:[−1,1] →[0,π]
−1
−1.5
−1
0
1
x
2
3
tan(x) und Umkehrfunktion arctan(x)
5
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
tan: [ −π/2,π/2] → IR
−4
arctan: IR →[ −π/2,π/2]
−5
−5
0
x
5
cot(x) und Umkehrfunktion arccot(x)
5
4
3
2
1
0
−1
−2
cot: [0,π] → IR
−3
arccot: IR →[0,π]
−4
−5
−5
0
x
5
Umkehrfunktionen: Logarithmusfunktionen
Exponentialfunktionen ax für a=2,e,4,6 und a=1/2, 1/e,1/4,1/6
5
e−x
ex
4
3
2
2x
2−x
1
0
−1
−2
−3
−4
−5
−5
0
5
Logarithmusfunktionen log (x) für a=2,e,4,6 und a=1/2, 1/e,1/4,1/6
a
5
4
3
2
log2(x)
loge(x)=ln(x)
1
0
−1
log1/2(x)
−2
log1/e(x)
−3
−4
−5
−5
0
5
Wichtige hyperbolische Identitäten
Die im folgenden formulierten Beziehungen gelten jeweils für alle reellen x und y des
Definitionsbereiches der entsprechenden Funktionen.
Additionstheoreme der hyperbolischen Funktionen
sinh(x ± y) = sinh x cosh y ± cosh x sinh y
tanh(x ± y) =
tanh x ± tanh y
1 ± tanh x tanh y
cosh(x ± y) = cosh x cosh y ± sinh x sinh y
coth(x ± y) =
1 ± coth x coth y
coth y ± coth x
Hyperbolischer Pythagoras
cosh2 x − sinh2 x = 1
Beziehungen zwischen den hyperbolischen Funktionen
sinh2 x = cosh2 x − 1 =
tanh2 x =
tanh2 x
1 − tanh2 x
cosh2 x = sinh2 x + 1 =
sinh2 x
cosh2 x − 1
=
1 + sinh2 x
cosh2 x
coth2 x =
1
1 − tanh2 x
sinh2 x + 1
cosh2 x
=
sinh2 x
cosh2 x − 1
Hyperbolische Funktionen doppelter Argumente
sinh(2x) = 2 sinh x cosh x
tanh(2x) =
2 tanh x
1 + tanh2 x
cosh(2x) = cosh2 x + sinh2 x = 1 + 2 sinh2 x
coth2 x + 1
coth(2x) =
2 coth x
Potenzen hyperbolischer Funktionen
sinh2 x =
1
(cosh(2x) − 1)
2
cosh2 x =
1
(cosh(2x) + 1)
2
Produkte hyperbolischer Funktionen
1
(cosh(x + y) − cosh(x − y))
2
1
cosh x cosh y = (cosh(x + y) + cosh(x − y))
2
1
sinh x cosh y = (sinh(x + y) + sinh(x − y))
2
sinh x sinh y =
Umkehrfunktionen: Areafunktionen
sinh(x) und Umkehrfunktion arsinh(x)
5
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
sinh: IR → IR
−4
arsinh: IR → IR
−5
−5
0
x
5
cosh(x) und Umkehrfunktion arcosh(x)
5
4
3
cosh: [0,∞) → [1,∞)
2
arcosh: [1,∞) → [0,∞)
1
0
−1
−2
cosh: (−∞,0] → [1,∞)
−3
arcosh: [1,∞) → (−∞,0])
−4
−5
−5
0
x
5
tanh(x) und Umkehrfunktion artanh(x)
5
4
3
2
1
0
−1
−2
tanh: IR → (−1,1)
−3
artanh: (−1,1) → IR
−4
−5
−5
0
x
5
coth(x) und Umkehrfunktion arcoth(x)
5
4
3
2
coth: (−∞,0) → (−∞,−1)
1
arcoth: (−∞,−1) → (−∞,0)
0
−1
−2
coth: (0,∞) → (1,∞)
−3
arcoth: (1,∞) → (0,∞)
−4
−5
−5
0
x
5