FEYNMAN-Graphen (und Erhaltungsgrößen)

F EYNMAN-Graphen (und Erhaltungsgrößen)
Bernard Metsch
Helmholtz-Institut für Strahlen- und Kernphysik (Theorie)
Rheinische Friedrich-Wilhelms-Universität Bonn
Nußallee 14-16, D-53115 Bonn
[email protected]
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.1
F EYNMAN-Diagramme
↔ Übergangswahrscheinlichkeiten
Zeit
spaeter (′ f ′ )
e−
pf
pi
frueher (′ i′ )
e−
hier
dort
Ort
Elektron mit Impuls pi → Elektron mit Impuls pf
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.2
F EYNMAN-Diagramme
↔ Übergangswahrscheinlichkeiten
Zeit
spaeter (′ f ′ )
e−
pf
pi
frueher (′ i′ )
e−
hier
dort
Ort
Klassisch: eine bestimmte Trajektorie ...
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.2
F EYNMAN-Diagramme
↔ Übergangswahrscheinlichkeiten
Zeit
spaeter (′ f ′ )
e−
pf
pi
frueher (′ i′ )
e−
hier
dort
Ort
Quantenmechanisch: alle Pfade (Kurven) tragen bei ...
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.2
F EYNMAN-Diagramme
↔ Übergangswahrscheinlichkeiten
Zeit
spaeter (′ f ′ )
e−
pf
pi
frueher (′ i′ )
e−
hier
dort
Ort
... auch diese ...
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.2
F EYNMAN-Diagramme
↔ Übergangswahrscheinlichkeiten
Zeit
spaeter (′ f ′ )
e−
pf
’Paarvernichtung’
’Paarerzeugung’
pi
frueher (′ i′ )
e−
hier
dort
Ort
... mit zwischendurch 3 Teilchen ...
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.2
Größenordnungen mikroskopischer Prozesse
klassisch wäre die Paarerzeugung eine Verletzung der Energie-Erhaltung...
:
Schätzung der Größenordnung
>
∆E ∆t ∼ ~
via
~
< ~c
⇒
∆x ≤ c ∆t ∼
,
∆E
∆E
Mit ~ c ≈ 200 MeV fm und ∆E = 2 me c2 ≈ 1 MeV :
<
∆t ∼
<
∆x ≈ 2 10−13 m ,
<
∆t ≈ 10−21 s .
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.3
Grundlagen (~ = 1, c = 1)
Raum-Zeit Punkt x = (x0 ; ~
x) im M INKOWSKI-Raum R4 mit Koordinaten:
` αβ
´
x0 = t , ~
x = x1 ~e1 + x2 ~e2 + x3 ~e3 ∈ R3 .
η ηβγ = δγα .
“
”
4
0 0
a , b ∈ R : ”Skalarprodukt” : (a · b) = a b − ~a · ~b = ηαβ aα bβ = aβ bβ = aα bα
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.4
Grundlagen (~ = 1, c = 1)
Raum-Zeit Punkt x = (x0 ; ~
x) im M INKOWSKI-Raum R4 mit Koordinaten:
` αβ
´
x0 = t , ~
x = x1 ~e1 + x2 ~e2 + x3 ~e3 ∈ R3 .
η ηβγ = δγα .
“
”
4
0 0
a , b ∈ R : ”Skalarprodukt” : (a · b) = a b − ~a · ~b = ηαβ aα bβ = aβ bβ = aα bα
Beispiel: Energie-Impuls eines freien Teilchens der Masse m : p = (E, p
~) mit
p0 = E , p
~ = p1 ~e1 + p2 ~e2 + p3 ~e3“∈ R3”:
p2 := p · p = E 2 − |~
p|2 = m2
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.4
Grundlagen (~ = 1, c = 1)
Raum-Zeit Punkt x = (x0 ; ~
x) im M INKOWSKI-Raum R4 mit Koordinaten:
` αβ
´
x0 = t , ~
x = x1 ~e1 + x2 ~e2 + x3 ~e3 ∈ R3 .
η ηβγ = δγα .
“
”
4
0 0
a , b ∈ R : ”Skalarprodukt” : (a · b) = a b − ~a · ~b = ηαβ aα bβ = aβ bβ = aα bα
Beispiel: Energie-Impuls eines freien Teilchens der Masse m : p = (E, p
~) mit
p0 = E , p
~ = p1 ~e1 + p2 ~e2 + p3 ~e3“∈ R3”:
p2 := p · p = E 2 − |~
p|2 = m2
~
Elektromagnetische Felder beschrieben durch Potentiale: A = (A0 (x) = Φ(x), A(x))
∂ ~
~
E(x)
= − grad Φ(x) −
A(x) .
∂t
∂µ Aµ = 0) Lösungen der inhomogenen
~
~
= rot A(x)
,
B(x)
die (in L ORENZ-Eichung:
Gleichung
D ’A LEMBERT-
∂2 µ
∂2
∂2
∂2
µ
µ
A −
A −
Aµ = j µ
A := η ∂α ∂β A = 2 A −
2
2
2
∂t
∂x1
∂x2
∂x3
sind, wobei j(x) = (ρ(x), ~j(x)) die Ladungs/stromdichte ist.
µ
αβ
µ
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.4
Grundlagen (~ = 1, c = 1)
Raum-Zeit Punkt x = (x0 ; ~
x) im M INKOWSKI-Raum R4 mit Koordinaten:
` αβ
´
x0 = t , ~
x = x1 ~e1 + x2 ~e2 + x3 ~e3 ∈ R3 .
η ηβγ = δγα .
“
”
4
0 0
a , b ∈ R : ”Skalarprodukt” : (a · b) = a b − ~a · ~b = ηαβ aα bβ = aβ bβ = aα bα
Beispiel: Energie-Impuls eines freien Teilchens der Masse m : p = (E, p
~) mit
p0 = E , p
~ = p1 ~e1 + p2 ~e2 + p3 ~e3“∈ R3”:
p2 := p · p = E 2 − |~
p|2 = m2
~
Elektromagnetische Felder beschrieben durch Potentiale: A = (A0 (x) = Φ(x), A(x))
∂ ~
~
E(x)
= − grad Φ(x) −
A(x) .
∂t
∂µ Aµ = 0) Lösungen der inhomogenen
~
~
= rot A(x)
,
B(x)
die (in L ORENZ-Eichung:
Gleichung
D ’A LEMBERT-
∂2 µ
∂2
∂2
∂2
µ
µ
A −
A −
Aµ = j µ
A := η ∂α ∂β A = 2 A −
2
2
2
∂t
∂x1
∂x2
∂x3
sind, wobei j(x) = (ρ(x), ~j(x)) die Ladungs/stromdichte ist.
x) = 0 :
4-Stromdichte j erfüllt die Kontinuitätsgleichung ∂µ j µ (x) = ∂ ρ(t, ~
x) + div ~j(t, ~
µ
αβ
∂
Q̇G (t) =
∂t
Z
G
µ
3
x) = −
d x ρ(t, ~
G = R3 :
Z
G
Q̇R3 (t) = 0
∂t
3
G AUSS
d x div ~j(t, x) = −
⇒
Z
∂G
“
”
~ · ~j = −I∂G .
df
Q = const. (Ladungserhaltung)
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.4
K LEIN -G ORDON-Gleichung
Die Wellenfunktion φ : R × R3 → C zur Beschreibung eines freien Teilchens der Masse
m und Ladung q (ohne Spin!) erfüllt die K LEIN -G ORDON-Gleichung
∂2
2
αβ
2
x) − ∆φ(t, ~
x) + m2 φ(t, ~
x) = 0 .
φ(x) + m φ(x) = η ∂α ∂β φ(x) + m φ(x) = 2 φ(t, ~
∂t
mit (Basis-)Lösungen
φp (x) = N e−i(p·x) = N e−i(E t−(~p·~x))
für freie Teilchen mit Impuls p
~ und Energie E :
”
“
p|2 = E 2 − |~
p|2 = m2 ,
p · p = (p0 )2 − |~
⇒
q
E = ± m2 + |~
p|2 .
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.5
K LEIN -G ORDON-Gleichung
Die Wellenfunktion φ : R × R3 → C zur Beschreibung eines freien Teilchens der Masse
m und Ladung q (ohne Spin!) erfüllt die K LEIN -G ORDON-Gleichung
∂2
2
αβ
2
x) − ∆φ(t, ~
x) + m2 φ(t, ~
x) = 0 .
φ(x) + m φ(x) = η ∂α ∂β φ(x) + m φ(x) = 2 φ(t, ~
∂t
mit (Basis-)Lösungen
φp (x) = N e−i(p·x) = N e−i(E t−(~p·~x))
für freie Teilchen mit Impuls p
~ und Energie E :
”
“
p|2 = E 2 − |~
p|2 = m2 ,
p · p = (p0 )2 − |~
⇒
q
E = ± m2 + |~
p|2 .
Es folgt:
“
“
”
”
”`
´
αβ
2
αβ
∂α φ ∂β φ + i m2 φ φ = 0
i φ η ∂α ∂β φ + i m φ φ = i ∂α η φ∂β φ − i η
“
”
”
“
”
“
αβ
2
αβ
αβ
−i φ η ∂α ∂β φ − i m φ φ = −i ∂α η φ∂β φ + i η (∂α φ) ∂β φ − i m2 φ φ = 0
h “
”i
αβ
αβ
⇒ ∂α i φ η ∂β φ − φ η ∂β φ = 0
⇔
∂µ J µ = 0 ,
|
{z
}
“
αβ
=:J α [φ]
wobei ρ = Jp0 = 2 E |N |2
(NB ρ < 0 für E < 0 !)
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.5
elektromagnetische Übergangs-Ladungs/Stromdichte
Ansatz für die sog. elektromagnetische Übergangs-Ladungs/Stromdichte die den Übergang von einer Wellenfunktion mit Impuls pi zu eine mit Impuls pf beschreibt:
“
”
“
”
]·x
i
[p
−p
f
i
.
Jfα←i (x) = i Q η αβ φp ∂β φp − φp ∂β φp
= Q (pi + pf )α e
i
f
i
f
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.6
elektromagnetische Übergangs-Ladungs/Stromdichte
Ansatz für die sog. elektromagnetische Übergangs-Ladungs/Stromdichte die den Übergang von einer Wellenfunktion mit Impuls pi zu eine mit Impuls pf beschreibt:
“
”
“
”
]·x
i
[p
−p
f
i
.
Jfα←i (x) = i Q η αβ φp ∂β φp − φp ∂β φp
= Q (pi + pf )α e
i
f
i
f
ad hoc!: Wahrscheinlichkeitsamplitude für den Übergang von einem Elektron mit Impuls
pi to einem mit Impuls pf ist (in niedrigster Ordnung) gegeben durch
Z
Z
”
“
4
α
4
Tf ←i = −i d x Jf ←i (x) Aα (x) = −i d x J f ←i (x) · A(x)
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.6
elektromagnetische Übergangs-Ladungs/Stromdichte
Ansatz für die sog. elektromagnetische Übergangs-Ladungs/Stromdichte die den Übergang von einer Wellenfunktion mit Impuls pi zu eine mit Impuls pf beschreibt:
“
”
“
”
]·x
i
[p
−p
f
i
.
Jfα←i (x) = i Q η αβ φp ∂β φp − φp ∂β φp
= Q (pi + pf )α e
i
f
i
f
ad hoc!: Wahrscheinlichkeitsamplitude für den Übergang von einem Elektron mit Impuls
pi to einem mit Impuls pf ist (in niedrigster Ordnung) gegeben durch
Z
Z
”
“
4
α
4
Tf ←i = −i d x Jf ←i (x) Aα (x) = −i d x J f ←i (x) · A(x)
1. F EYNMAN-Diagramm:
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.6
elektromagnetische Übergangs-Ladungs/Stromdichte
Ansatz für die sog. elektromagnetische Übergangs-Ladungs/Stromdichte die den Übergang von einer Wellenfunktion mit Impuls pi zu eine mit Impuls pf beschreibt:
“
”
“
”
]·x
i
[p
−p
f
i
.
Jfα←i (x) = i Q η αβ φp ∂β φp − φp ∂β φp
= Q (pi + pf )α e
i
f
i
f
ad hoc!: Wahrscheinlichkeitsamplitude für den Übergang von einem Elektron mit Impuls
pi to einem mit Impuls pf ist (in niedrigster Ordnung) gegeben durch
Z
Z
”
“
4
α
4
Tf ←i = −i d x Jf ←i (x) Aα (x) = −i d x J f ←i (x) · A(x)
1. F EYNMAN-Diagramm:
e−
pf
Jfα←i
pi
x Aα
= −i
Z
d4x Jfα←i (x) Aα (x)
e−
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.6
elektromagnetische Übergangs-Ladungs/Stromdichte
Ansatz für die sog. elektromagnetische Übergangs-Ladungs/Stromdichte die den Übergang von einer Wellenfunktion mit Impuls pi zu eine mit Impuls pf beschreibt:
“
”
“
”
]·x
i
[p
−p
f
i
.
Jfα←i (x) = i Q η αβ φp ∂β φp − φp ∂β φp
= Q (pi + pf )α e
i
f
i
f
ad hoc!: Wahrscheinlichkeitsamplitude für den Übergang von einem Elektron mit Impuls
pi to einem mit Impuls pf ist (in niedrigster Ordnung) gegeben durch
Z
Z
”
“
4
α
4
Tf ←i = −i d x Jf ←i (x) Aα (x) = −i d x J f ←i (x) · A(x)
1. F EYNMAN-Diagramm:
e−
F EYNMAN-Regeln:
1. Kennzeichne
die
Raum-Zeit
Koordinate
der Streuung mit x;
integriere über x ;
pf
Jfα←i
pi
x Aα
= −i
Z
d4x Jfα←i (x) Aα (x)
2. Faktor Jfα←i (x) für die
Streuung pi → pf bei x ;
3. Faktor Aα (x) für das Potential.
e−
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.6
Elektron-Myon Streuung
Streuung eines Elektrons (e− ) an einem Myon (µ− ). Sei A[µ] α (x) Vektorpotential erzeugt
vom Myon, dann
Z
(x) A[µ] α (x)
Tf ←i = −i d4x J[e] α
f ←i
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.7
Elektron-Myon Streuung
Streuung eines Elektrons (e− ) an einem Myon (µ− ). Sei A[µ] α (x) Vektorpotential erzeugt
vom Myon, dann
Z
(x) A[µ] α (x)
Tf ←i = −i d4x J[e] α
f ←i
Bestimmung von A[µ] α (x) : Es gilt:
α
Aα
=
J
(y)
[µ]
[µ] (y)
Nach F OURIER-Transformation folgt
Z
1
4 i(q·y ) α
eα (q) = −
A
d
ye
J[µ] (y)
[µ]
q2
“
“
””
2
q := q · q
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.7
Elektron-Myon Streuung
Streuung eines Elektrons (e− ) an einem Myon (µ− ). Sei A[µ] α (x) Vektorpotential erzeugt
vom Myon, dann
Z
(x) A[µ] α (x)
Tf ←i = −i d4x J[e] α
f ←i
Bestimmung von A[µ] α (x) : Es gilt:
α
Aα
=
J
(y)
[µ]
[µ] (y)
Nach F OURIER-Transformation folgt
Z
“
“
””
1
i
q·y
2
α
4
α
)
(
e (q) = −
q := q · q
A
d ye
J[µ] (y)
[µ]
q2
und
Z
Z
Z
1 (−1) i(q·[y−x])
−i(q·x)
4
4
4 eα
α
d
q
=
d
y
e
Aα
=
d
q
A
e
J
(x)
(y)
(q)
[µ]
[µ]
[µ]
(2π)4 q 2
d.h. Das Potential bei x ist das Integral über alle y, gewichtet mit einem Faktor (dem
’Photon-Propagator’) Z
”
““
”
1 (−ηαβ ) i(q·[y−x])
α β
4
x · y = ηαβ x y
e
Dαβ (x, y) := d q
(2π)4
q2
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.7
Elektron-Myon Streuung
Streuung eines Elektrons (e− ) an einem Myon (µ− ). Sei A[µ] α (x) Vektorpotential erzeugt
vom Myon, dann
Z
(x) A[µ] α (x)
Tf ←i = −i d4x J[e] α
f ←i
Bestimmung von A[µ] α (x) : Es gilt:
α
Aα
=
J
(y)
[µ]
[µ] (y)
Nach F OURIER-Transformation folgt
Z
“
“
””
1
i
q·y
2
α
4
α
)
(
e (q) = −
q := q · q
A
d ye
J[µ] (y)
[µ]
q2
und
Z
Z
Z
1 (−1) i(q·[y−x])
−i(q·x)
4
4
4 eα
α
d
q
=
d
y
e
Aα
=
d
q
A
e
J
(x)
(y)
(q)
[µ]
[µ]
[µ]
(2π)4 q 2
d.h. Das Potential bei x ist das Integral über alle y, gewichtet mit einem Faktor (dem
’Photon-Propagator’) Z
”
““
”
1 (−ηαβ ) i(q·[y−x])
α β
4
x · y = ηαβ x y
e
Dαβ (x, y) := d q
(2π)4
q2
Dementsprechend gilt für die Streuamplitude
Z
Z
β
α
4
(x) Dαβ (x, y) J[µ]
(y) .
Tf ←i = −i d x d4y J[e]
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.7
F EYNMAN-Diagramm
Elektron-Myon Streuung
Übergangsamplitude ∼ Streuamplitude für e− + µ− → e− + µ− :
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.8
F EYNMAN-Diagramm
Elektron-Myon Streuung
Übergangsamplitude ∼ Streuamplitude für e− + µ− → e− + µ− :
F EYNMAN-Diagramm: (in niedrigster Ordnung: keine Vielfachstreuung)
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.8
F EYNMAN-Diagramm
Elektron-Myon Streuung
Übergangsamplitude ∼ Streuamplitude für e− + µ− → e− + µ− :
F EYNMAN-Diagramm: (in niedrigster Ordnung: keine Vielfachstreuung)
µ−
e−
pf
p′f
α
J[e]
f ←i
x
β
J[µ]
f ←i
p′i
pi
µ−
e−
= −i
Dαβ
y
Z
d4x
Z
β
α
d4y J[e]
(x) Dαβ (x, y) J[µ]
(y) = Tf ←i .
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.8
F EYNMAN-Diagramm
Elektron-Myon Streuung
Übergangsamplitude ∼ Streuamplitude für e− + µ− → e− + µ− :
F EYNMAN-Diagramm: (in niedrigster Ordnung: keine Vielfachstreuung)
F EYNMAN-Regeln:
µ−
−
e
pf
x
Dαβ
y
3. Für jede Streuung eines Teilchens bei
x mit pi → pf berücksichtige einen
β
J[µ]
f ←i
Faktor Jfα←i (x) ;
p′i
pi
µ−
e−
= −i
2. Kennzeichne die Raum-Zeitpunkte der
Vertizes und integriere über diese;
p′f
α
J[e]
f ←i
Z
d4x
Z
1. Zeichne alle unterschiedliche F EYNMANDiagramme;
4. Für die Propagation eines Photons
von x nach y berücksichtige einen
Faktor Dαβ (x, y) .
β
α
d4y J[e]
(x) Dαβ (x, y) J[µ]
(y) = Tf ←i .
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.8
C OULOMBsches
Tf ←i
=
=
Gesetz
Z
Z
β
α
(y)
d4y J[e]
(x) Dαβ (x, y) J[µ]
“
”
Z
Z
Z
1 − J [e] (x) · J [µ] (y) i(q·[y−x])
4
4
4
−i d x d y d q
e
(2π)4
q2
−i
d4x
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.9
C OULOMBsches
Tf ←i
=
=
Gesetz
Z
Z
β
α
(y)
d4y J[e]
(x) Dαβ (x, y) J[µ]
“
”
Z
Z
Z
1 − J [e] (x) · J [µ] (y) i(q·[y−x])
4
4
4
−i d x d y d q
e
(2π)4
q2
−i
d4x
Nun gilt in einem System wo einer der Teilchen anfangs ruht:
“
”
0 (x) J 0 (y)
J [e] (x) · J [µ] (y)
J[e]
[µ]
−
=
q2
|~
q |2
sowie
Z
Z
0 0
0
1
1
1
1 i(~q·[~y−~x])
3
e
=
dq 0 ei q [y −x ] = δ(x0 − y 0 ) und
d
q
2π
(2π)3
|~
q |2
4π|~
x−~
y|
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.9
C OULOMBsches
Tf ←i
=
=
Gesetz
Z
Z
β
α
(y)
d4y J[e]
(x) Dαβ (x, y) J[µ]
“
”
Z
Z
Z
1 − J [e] (x) · J [µ] (y) i(q·[y−x])
4
4
4
−i d x d y d q
e
(2π)4
q2
−i
d4x
Nun gilt in einem System wo einer der Teilchen anfangs ruht:
“
”
0 (x) J 0 (y)
J [e] (x) · J [µ] (y)
J[e]
[µ]
−
=
q2
|~
q |2
sowie
Z
Z
0 0
0
1
1
1
1 i(~q·[~y−~x])
3
e
=
dq 0 ei q [y −x ] = δ(x0 − y 0 ) und
d
q
2π
(2π)3
|~
q |2
4π|~
x−~
y|
und somit
Tf ←i = −i
Z
d4x
Z
d3y
0 (t, ~
0 (t, ~
y)
x) J[µ]
J[e]
4π|~
x(t) − ~
y (t)|
= −i
Z
dt
Q[e] Q[µ]
4π|~
x(t) − ~
y (t)|
weil
Z
d3x J 0 (t, ~
x) = Q .
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.9
Elektron-Myon Streuung im Impulsraum
Es galt
“
”
]·x
i
[p
−p
α
f
i
Jfα←i (x) = Q (pi + pf ) e
.
Deshalb
Tf ←i = −i
Z
4
dx
Z
β
α
(y)
(x) Dαβ (x, y) J[µ]
y J[e]
4
d
Q[e] (pi + pf
”
“
−p
]·x
i
[p
f
i
)α e
= −i
Z
4
dx
Z
4
dy
Z
d4q
1
(2π)4
−ηαβ i(q·[y−x])
′
′ β i
e
Q
(p
+
p
[µ]
i
f) e
q2
”
“
[p′ −p′ ]·y
f
i
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.10
Elektron-Myon Streuung im Impulsraum
Es galt
“
”
]·x
i
[p
−p
α
f
i
Jfα←i (x) = Q (pi + pf ) e
.
Deshalb
Tf ←i = −i
Z
4
dx
Z
β
α
(y)
(x) Dαβ (x, y) J[µ]
y J[e]
4
d
Q[e] (pi + pf
”
“
−p
]·x
i
[p
f
i
)α e
= −i
Z
4
dx
Z
4
dy
Z
d4q
1
(2π)4
−ηαβ i(q·[y−x])
′
′ β i
e
Q
(p
+
p
[µ]
i
f) e
q2
”
“
[p′ −p′ ]·y
f
i
Nun gilt
Z
”
“
i [p −p −q]·x
d4x e
f
i
= (2π)4 δ (4) (pf − pi − q) ,
wie auch
Z
“
”
′
′
i [p −p +q]·y
d4y e
f
i
= (2π)4 δ (4) (p′f − p′i + q) ,
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.10
Elektron-Myon Streuung im Impulsraum
Es galt
“
”
]·x
i
[p
−p
α
f
i
Jfα←i (x) = Q (pi + pf ) e
.
Deshalb
Tf ←i = −i
Z
4
dx
Z
β
α
(y)
(x) Dαβ (x, y) J[µ]
y J[e]
4
d
Q[e] (pi + pf
”
“
−p
]·x
i
[p
f
i
)α e
= −i
Z
4
dx
Z
4
dy
Z
d4q
1
(2π)4
−ηαβ i(q·[y−x])
′
′ β i
e
Q
(p
+
p
[µ]
i
f) e
q2
”
“
[p′ −p′ ]·y
f
i
Nun gilt
Z
”
“
i [p −p −q]·x
d4x e
f
i
= (2π)4 δ (4) (pf − pi − q) ,
wie auch
Z
“
”
′
′
i [p −p +q]·y
d4y e
f
i
= (2π)4 δ (4) (p′f − p′i + q) ,
d.h. es gibt nur Beiträge falls
pf − pi = q = p′i − p′f
⇔
pi + p′i = pf + p′f . (Energie-Impuls Erhaltung!)
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.10
F EYNMAN-Regeln
Tf ←i = −iQ[e] (pi + pf )α
für e− − µ− Streuung im Impulsraum
˛
“
”
−ηαβ ˛˛
′
4 (4)
′ β
′
′
(pi + pi ) − (pf + pf )
˛ q=pf −pi Q[µ] (pi + pf ) (2π) δ
q2 ˛
′
′
=p −p
i
f
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.11
F EYNMAN-Regeln
Tf ←i = −iQ[e] (pi + pf )α
für e− − µ− Streuung im Impulsraum
˛
“
”
−ηαβ ˛˛
′
4 (4)
′ β
′
′
(pi + pi ) − (pf + pf )
˛ q=pf −pi Q[µ] (pi + pf ) (2π) δ
q2 ˛
′
′
=p −p
i
f
F EYNMAN-Diagramm (Impulsraum):
µ−
e−
pf
p′f
q
Q[e] (pi + pf )α
pi
e−
=
p
=
p′ − p ′
f
i
η
− qαβ
2
−p
i
f
Q[µ] (p′i + p′f )β
p′i
µ−
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.11
F EYNMAN-Regeln
Tf ←i = −iQ[e] (pi + pf )α
für e− − µ− Streuung im Impulsraum
˛
“
”
−ηαβ ˛˛
′
4 (4)
′ β
′
′
(pi + pi ) − (pf + pf )
˛ q=pf −pi Q[µ] (pi + pf ) (2π) δ
q2 ˛
′
′
=p −p
i
F EYNMAN-Diagramm (Impulsraum):
µ−
e−
pf
p′f
q
Q[e] (pi + pf )α
pi
e−
=
p
=
p′ − p ′
f
i
η
− qαβ
2
−p
i
f
Q[µ] (p′i + p′f )β
f
F EYNMAN-Regeln:
1. Zeichne alle unterschiedliche F EYNMANDiagramme ;
2. Kennzeichne die Impulse aller interner
Linien gemäß der Energie-Impuls Erhaltung an jedem Vertex ;
3. Für jedes externe Teilchen ein Faktor
“1” ;
p′i
µ−
4. Für jeden Vertex wo ein Teilchen der
Ladung Q von pi nach pf streut ein
Faktor Q (pi + pf )α ;
5. Für jeden Photon-Propagator ein Fakη
tor − qαβ
2 .
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.11
F EYNMAN-Diagramm
Elektron-Myon Streuung II
Elektron-Myon Streuung durch (Einzel-)Photonaustausch
µ−
e−
pf
α
J[e]
f ←i
pi
e−
p′f
x
Dαβ
y
β
J[µ]
f ←i
p′i
µ−
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.12
F EYNMAN-Diagramm
Elektron-Myon Streuung II
Elektron-Myon Streuung durch (Einzel-)Photonaustausch
µ−
−
µ
e
−
e−
pf
α
J[e]
f ←i
pi
p′f
p′f
x
Dαβ
y
pf
=
β
J[µ]
f ←i
γ∗
p′i
p′i
pi
µ−
e−
µ−
e−
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.12
F EYNMAN-Diagramm
Elektron-Myon Streuung II
Elektron-Myon Streuung durch (Einzel-)Photonaustausch
e−
µ−
−
µ
e
−
µ−
e−
pf
α
J[e]
f ←i
pi
x
Dαβ
y
pf
p′f
p′f
pf
=
β
J[µ]
f ←i
p′f
γ∗
+
p′i
p′i
pi
p′i
pi
µ−
e−
γ∗
e−
µ−
e−
µ−
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.12
F EYNMAN-Diagramm
Elektron-Myon Streuung II
Elektron-Myon Streuung durch (Einzel-)Photonaustausch
e−
µ−
−
µ
e
−
µ−
e−
pf
α
J[e]
f ←i
x
Dαβ
y
pi
pf
p′f
p′f
pf
=
β
J[µ]
f ←i
p′f
γ∗
+
p′i
p′i
pi
p′i
pi
µ−
e−
γ∗
e−
µ−
µ−
e−
F EYNMAN-Diagramm
enthält beide Zeitordnungen!
Für den Energie-Impuls des ausgetauschten Photons gilt:
q = pf − pi = p′i − p′f .
NB: q 2 6= 0 (’virtuelles Photon’: γ ∗ ) .
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.12
Antiteilchen: F EYNMAN -S T ÜCKELBERG-Interpretation
Ladungs-/Stromdichte eines Elektrons mit Ladung Q[e− ] = −e , Masse m, Impuls p
~ und
p
Energie E = E0 = + m2 + |~
p|2 : 0
1
1
0
0
x)
J − (t, ~
E
(+)
A = 2|N |2 (−e) @ 0 A
J [e− ] (x) = 2 Q[e− ] p = @ [e ]
p
~
J~[e− ] (t, ~
x)
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.13
Antiteilchen: F EYNMAN -S T ÜCKELBERG-Interpretation
Ladungs-/Stromdichte eines Elektrons mit Ladung Q[e− ] = −e , Masse m, Impuls p
~ und
p
Energie E = E0 = + m2 + |~
p|2 : 0
1
1
0
0
x)
J − (t, ~
E
(+)
A = 2|N |2 (−e) @ 0 A
J [e− ] (x) = 2 Q[e− ] p = @ [e ]
p
~
J~[e− ] (t, ~
x)
Ladungs-/Stromdichte eines Elektrons mit Ladung Q[e− ] = −e , Masse m, Impuls p
~ und
Energie E = −E0 :
0
1
−E0
(−)
A
J [e− ] (x) = 2|N |2 (−e) @
p
~
0
0
1
1
E0
E
A = 2|N |2 (+e) @ 0 A
= 2|N |2 (+e) @
−~
p
−~
p
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.13
Antiteilchen: F EYNMAN -S T ÜCKELBERG-Interpretation
Ladungs-/Stromdichte eines Elektrons mit Ladung Q[e− ] = −e , Masse m, Impuls p
~ und
p
Energie E = E0 = + m2 + |~
p|2 : 0
1
1
0
0
x)
J − (t, ~
E
(+)
A = 2|N |2 (−e) @ 0 A
J [e− ] (x) = 2 Q[e− ] p = @ [e ]
p
~
J~[e− ] (t, ~
x)
Ladungs-/Stromdichte eines Elektrons mit Ladung Q[e− ] = −e , Masse m, Impuls p
~ und
Energie E = −E0 :
0
1
−E0
(−)
A
J [e− ] (x) = 2|N |2 (−e) @
p
~
0
0
1
1
E0
E
A = 2|N |2 (+e) @ 0 A
= 2|N |2 (+e) @
−~
p
−~
p
Dementsprechend:
p
Die Emission eines Positrons mit Energie E = E0 = + m2 + |~
p|2 > 0
entspricht der Absorbtion eines Elektrons mit Energie E = −E0 < 0 ,
oder:
Negative-Energie Teilchen-Lösungen die in der Zeit rückwärts propagieren
beschreiben Antiteilchen-Lösungen die in der Zeit vorwärts propagieren.
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.13
Anwendung: Positron-Myon Streuung
(leichte) Modifizierung einer der F EYNMAN-Regeln:
4. Für jeden Vertex wo ein Teilchen der Ladung Q mit pi eingeht und mit pf verläßt:
ein Faktor Q (pi + pf )α ;
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.14
Anwendung: Positron-Myon Streuung
(leichte) Modifizierung einer der F EYNMAN-Regeln:
4. Für jeden Vertex wo ein Teilchen der Ladung Q mit pi eingeht und mit pf verläßt:
ein Faktor Q (pi + pf )α ;
µ−
e+
pf
p′f
η
− qαβ
2
pi
e+
Q[µ] (p′i + p′f )β
p′i
µ−
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.14
Anwendung: Positron-Myon Streuung
(leichte) Modifizierung einer der F EYNMAN-Regeln:
4. Für jeden Vertex wo ein Teilchen der Ladung Q mit pi eingeht und mit pf verläßt:
ein Faktor Q (pi + pf )α ;
pf
µ−
e−
µ−
e+
p′f
−pf
p′f
η
η
− qαβ
2
pi
e+
Q[µ] (p′i + p′f )β
≡
Q[e] (−pi − pf )α
=
p′i
−pi
µ−
αβ
− (pi −p
2
f)
e−
ηαβ
− (p′ −p
′ )2
i
f
Q[µ] (p′i + p′f )β
p′i
µ−
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.14
Anwendung: Positron-Myon Streuung
(leichte) Modifizierung einer der F EYNMAN-Regeln:
4. Für jeden Vertex wo ein Teilchen der Ladung Q mit pi eingeht und mit pf verläßt:
ein Faktor Q (pi + pf )α ;
pf
µ−
e+
µ−
e+
pf
p′f
p′f
η
η
− qαβ
2
pi
e+
Q[µ] (p′i + p′f )β
≡
Q[e] (−pi − pf )α
=
p′i
pi
µ−
αβ
− (pi −p
2
f)
e+
ηαβ
− (p′ −p
′ )2
i
f
Q[µ] (p′i + p′f )β
p′i
µ−
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.15
Anwendung: Elastische Positron-Elektron Streuung
Zwei Beiträge zur Übergangsamplitude in niedrigster Ordnung:
e−
e+
e+
pf
p′f
pi
p′i
e−
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.16
Anwendung: Elastische Positron-Elektron Streuung
Zwei Beiträge zur Übergangsamplitude in niedrigster Ordnung:
e−
e+
e−
e+
pf
pf
p′f
pi
p′i
p′f
+
pi
+
e
p′i
−
e
e+
e−
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.16
Anwendung: Elastische Positron-Elektron Streuung
Zwei Beiträge zur Übergangsamplitude in niedrigster Ordnung:
e−
e+
e−
e+
pf
pf
p′f
pi
p′i
p′f
+
p′i
pi
−
+
e
e
e−
e+
+ Beiträge höherer Ordnung, z.B:
e+
e−
e+
e−
e+
e+
+
+
+
+
e+
e−
e+
e+
e−
+
+ ···
e−
e+
e+
e−
e−
e−
e+
e−
e−
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.16
Zusätzliche F EYNMAN-Regeln und Bemerkungen
Beiträge höherer Ordnung enthalten sog. Schleifen (“Loops”) wo die Impulse nicht durch
Energie-Impuls Erhaltung festgelegt sind:
im Impulsraum:
6. Für jede geschlossene Schleife für ein Teilchen mit Impuls k:
R 4
1
dk;
(2π)4
Ein Faktor:
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.17
Zusätzliche F EYNMAN-Regeln und Bemerkungen
Beiträge höherer Ordnung enthalten sog. Schleifen (“Loops”) wo die Impulse nicht durch
Energie-Impuls Erhaltung festgelegt sind:
im Impulsraum:
6. Für jede geschlossene Schleife für ein Teilchen mit Impuls k:
R 4
1
dk;
(2π)4
Ein Faktor:
Analog zum Photon-Propagator, ist der Propagator für ein Teilchen (ohne Spin!) mit
Masse m mit Impuls q im Impulsraum gegeben durch
1
D(q) = 2
q − m2
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.17
Zusätzliche F EYNMAN-Regeln und Bemerkungen
Beiträge höherer Ordnung enthalten sog. Schleifen (“Loops”) wo die Impulse nicht durch
Energie-Impuls Erhaltung festgelegt sind:
im Impulsraum:
6. Für jede geschlossene Schleife für ein Teilchen mit Impuls k:
R 4
1
dk;
(2π)4
Ein Faktor:
Analog zum Photon-Propagator, ist der Propagator für ein Teilchen (ohne Spin!) mit
Masse m mit Impuls q im Impulsraum gegeben durch
1
D(q) = 2
q − m2
Reelle Photonen werden beschrieben durch ein Vektorpotential
Aµ (x) = εµ (k) ei(k·x) ,
wobei ε(k) die Polarisation des Photons beschreibt mit
(k · k) = 0 ,
(ε(k) · k) = 0
”
“
und ~
ε(k) · ~k = 0 gewählt werden kann.
7. Für jedes einfallende (ausgehende) Photon mit Impuls k: Ein Faktor: εµ (k)
(εµ (k)∗ ) ;
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.17
Beispiel: C OMPTON-Streuung am Elektron
In niedrigster Ordnung 2 Beiträge:
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.18
Beispiel: C OMPTON-Streuung am Elektron
In niedrigster Ordnung 2 Beiträge:
γ
e−
εβ ∗ , k f
pf
Q[e] (kf + pf + pf )β
D(q) =
1
q 2 −m2
q = pi + k i = pf + k f
Q[e] (pi + ki + pi )α
εα , k i
γ
pi
e−
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.18
Beispiel: C OMPTON-Streuung am Elektron
In niedrigster Ordnung 2 Beiträge:
γ
γ
e−
εβ ∗ , k f
pf
pf
εβ ∗ , k f
Q[e] (kf + pf + pf )β
D(q) =
1
q 2 −m2
q = pi + k i = pf + k f
Q[e] (pi + ki + pi )α
εα , k i
γ
e−
+
D(q) =
1
q 2 −m2
εα , k i
pi
Q[e] (2pf − ki )β
q = pi − k f = pf − k i
Q[e] (2pi − kf )α
pi
e−
γ
e−
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.18
Beispiel: C OMPTON-Streuung am Elektron
In niedrigster Ordnung 2 Beiträge:
γ
γ
e−
εβ ∗ , k f
pf
pf
εβ ∗ , k f
Q[e] (kf + pf + pf )β
D(q) =
1
q 2 −m2
q = pi + k i = pf + k f
+
Q[e] (pi + ki + pi )α
εα , k i
D(q) =
1
q 2 −m2
εα , k i
pi
γ
Tf ←i =
e−
q = pi − k f = pf − k i
Q[e] (2pi − kf )α
pi
e−
−i Q2[e]
Q[e] (2pf − ki )β
γ
h
ε(ki )α ε(kf )β (2pi + ki )α
e−
1
β
(2p
+
k
)
f
f
(pi + ki )2 − m2
i
1
β
(2pf − ki ) ;
+(2pi − kf )
(pi − kf )2 − m2
α
Energie-Impuls Erhaltung:
k i + pi = k f + pf .
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.18
Bausteine der (spinlosen) Elektrodynamik
Externe Linien:
e−
p
p
p
e−
γ
[e+ ]
k, εα
k, εβ ∗
p
[e+ ]
γ
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.19
Bausteine der (spinlosen) Elektrodynamik
Externe Linien:
e−
γ
[e+ ]
p
p
p
k, εα
[e+ ]
e−
Propagatoren:
γ
k, εβ ∗
p
γ
p
k
e
η
− qαβ
2
1
p2 −m2
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.19
Bausteine der (spinlosen) Elektrodynamik
Externe Linien:
e−
γ
[e+ ]
p
p
k, εα
p
[e+ ]
e−
Propagatoren:
γ
k, εβ ∗
p
γ
p
k
e
η
− qαβ
2
1
p2 −m2
Vertizes:
e
p′
Q[e] (p + p′ )α
γ
+
···
p
e
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.19
Bauplan zu den F EYNMAN-Diagramme
• Alle mögliche Verbindungen der externen Linien (reelle Teilchen
p2 = m2 ) via Vertizes und Propagatoren (virtuelle Teilchen
p2 6= m2 );
• Energie-Impulserhaltung an jedem Vertex;
• Ladungserhaltung an jedem Vertex;
• Teilchensorte (Leptontzahlerhaltung Le , Lµ ) an jedem Vertex.
• Gesamt-Energie-Impulserhaltung;
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.20
Starke Wechselwirkung: Chromodynamik (QCD)
Bausteine der Hadronen: Quarks: Spin
1
-Teilchen
2
mit Quantenzahlen:
Flavour
B
Q
I3
S
C
B
T
d
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
− 31
− 21
0
0
0
0
1
2
0
0
0
0
0
−1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
−1
u
s
c
b
t
2
3
− 31
2
3
− 31
2
3
0
0
1
Y
1
3
1
3
− 32
4
3
− 32
4
3
Hyperladung: Y = B + S + C + B + T ; elektrische Ladung: Q = I3 +
1
2
Y .
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.21
Starke Wechselwirkung: Chromodynamik (QCD)
Bausteine der Hadronen: Quarks: Spin
1
-Teilchen
2
mit Quantenzahlen:
Flavour
B
Q
I3
S
C
B
T
d
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
− 31
− 21
0
0
0
0
1
2
0
0
0
0
0
−1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
−1
u
s
c
b
t
2
3
− 31
2
3
− 31
2
3
0
0
1
Y
1
3
1
3
− 32
4
3
− 32
4
3
Hyperladung: Y = B + S + C + B + T ; elektrische Ladung: Q = I3 +
Quarks besitzen zusätzlich noch Farbladung: q, q, q .
Für die Antiquarks gilt für jede dieser Quantenzahlen Q :
Q[q] = −Q[q]
1
2
Y .
und diese besitzen die Farbladungen: q ≡ q, q ≡ q, q ≡ q .
Hadronen: Farbfreie Zustände:
f
B = 0: Mesonen (z.B. ∝ qq + qq + qq) , B = 1: Baryonen (z.B. ∝ qqq)
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.21
Starke Wechselwirkung: Chromodynamik (QCD)
Bausteine der Hadronen: Quarks: Spin
1
-Teilchen
2
mit Quantenzahlen:
Flavour
B
Q
I3
S
C
B
T
d
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
− 31
− 21
0
0
0
0
1
2
0
0
0
0
0
−1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
−1
u
s
c
b
t
2
3
− 31
2
3
− 31
2
3
0
0
1
Y
1
3
1
3
− 32
4
3
− 32
4
3
Hyperladung: Y = B + S + C + B + T ; elektrische Ladung: Q = I3 +
Quarks besitzen zusätzlich noch Farbladung: q, q, q .
Für die Antiquarks gilt für jede dieser Quantenzahlen Q :
Q[q] = −Q[q]
1
2
Y .
und diese besitzen die Farbladungen: q ≡ q, q ≡ q, q ≡ q .
Hadronen: Farbfreie Zustände:
f
B = 0: Mesonen (z.B. ∝ qq + qq + qq) , B = 1: Baryonen (z.B. ∝ qqq)
Starke Wechselwirkung wird durch Gluonaustausch beschrieben, Kopplung mittels Übergangsströme die (ggf.) die Farbladung ändern.
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.21
Farbaustauschwechselwirkung I
Wir schreiben q ∈ C3 :
0
1
1
C
B
C
q≡B
@ 0 A,
0
0
1
0
C
B
C
q≡B
@ 1 A,
0
0
1
0
C
B
C
q≡B
@ 0 A,
1
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.22
Farbaustauschwechselwirkung I
Wir schreiben q ∈ C3 :
0
1
1
0
0
1
1
0
0
C
C
C
B
B
B
C
C
C
B
B
q≡B
q
≡
q
≡
,
,
@ 0 A
@ 1 A
@ 0 A,
0
0
1
und beschreiben die Kopplung der Gluonen an den Quarks mittels
G ELL -M ANN Matrizen: C3 → C3 (QCD ∼ SU (3)C Eichfeldtheorie)
0
0
B
λ1 = B
@ 1
0
0
0
B
λ4 = B
@ 0
1
0
0
B
λ6 = B
@ 0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
C
0 C
A,
0
1
1
C
0 C
A,
0
1
0
C
1 C
A,
0
0
0
B
λ2 = B
@ i
0
0
0
B
λ5 = B
@ 0
i
0
0
B
λ7 = B
@ 0
0
−i
0
1
C
0 C
A,
0
0
1
0 −i
C
0
0 C
A,
0
0
1
0
0
C
0 −i C
A,
i
0
0
0
1
B
λ3 = B
@ 0
0
0
0
0
C
0 C
A,
0
−1
0
1
1 B
λ8 = √ B
0
3@
0
1
0
0
1
0
0
−2
1
C
C.
A
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.22
Farbaustauschwechselwirkung II
Farbtriplett:
Farbantitriplett:
q
q
q
q
−q
q
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.23
Farbaustauschwechselwirkung II
Farbtriplett:
Farbantitriplett:
q
q
q
−q
q
q
→ 8 Gluonkopplungen:
1
(λ1
2
1
(λ1
2
1
(λ4
2
1
(λ4
2
1
(λ6
2
1
(λ6
2
1
λ :
2 3
1
λ :
2 8
+ i λ2 ) :
q 7→ q ,
q 7→ −q ;
− i λ2 ) :
q 7→ q
−q 7→ q ;
+ i λ5 ) :
q 7→ q ,
q 7→ q ;
− i λ5 ) :
q 7→ q
q 7→ q ;
+ i λ7 ) :
q 7→ q ,
−q 7→ q ;
− i λ7 ) :
q 7→ q
q 7→ −q ;
q 7→∝ q , q 7→∝ −q ,
q 7→∝ −q , q 7→∝ q ,
q 7→∝ q , q 7→∝ q , q 7→∝ −2 q ,
q 7→∝ q , q 7→∝ q , q 7→∝ −2 q ,
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.23
Farbaustauschwechselwirkung III: Vertizes:
Beispiel für Quark-Gluon-Kopplung:
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.24
Farbaustauschwechselwirkung III: Vertizes:
Beispiel für Quark-Gluon-Kopplung:
q
gS (λ6 + iλ7 )
g
q
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.24
Farbaustauschwechselwirkung III: Vertizes:
Beispiel für Quark-Gluon-Kopplung:
q
gS (λ6 + iλ7 )
g
q
Gluonen tragen selber Farbladung:
z.B. 3-Gluon Kopplung,
g
4-Gluon Kopplung
g
g
g
g
g
g
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.24
Farbaustauschwechselwirkung IV
Beispiel für Quark-(Anti-)-Quark Wechselwirkung via Gluon-Austausch
in niedrigster Ordnung:
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.25
Farbaustauschwechselwirkung IV
Beispiel für Quark-(Anti-)-Quark Wechselwirkung via Gluon-Austausch
in niedrigster Ordnung:
q
q
q
q
z.B. für das Massenspektrum der Baryonen
∼ (qqq)
f
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.25
Farbaustauschwechselwirkung IV
Beispiel für Quark-(Anti-)-Quark Wechselwirkung via Gluon-Austausch
in niedrigster Ordnung:
q
q
q
q
q
q
z.B. für das Massenspektrum der Baryonen
∼ (qqq)
f
q
q
z.B. für das Massenspektrum der Mesonen
∼ (qq + qq + qq)
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.25
Schwache Wechselwirkung: Flavourdynamik
Zur Beschreibung der schwachen Wechselwirkung werden die Teilchen ebenfalls
in Multipletts zusammengefasst:
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.26
Schwache Wechselwirkung: Flavourdynamik
Zur Beschreibung der schwachen Wechselwirkung werden die Teilchen ebenfalls
in Multipletts zusammengefasst:
(W )
Y (W )
1
2
1
−2
−1
−1
0
−2
− 31
− 12
1
3
1
3
− 32
4
3
B
L
Q
νe
0
1
0
e−
L
0
1
e−
R
−1
0
1
dL
1
3
1
3
1
3
1
3
0
uL
dR
uR
0
0
0
2
3
− 31
2
3
I3
−1
1
2
0
0
(W )
+ 21 Y (W ) .
Elektrische Ladung: Q = I3
Für die Antiquarks gilt für jede dieser Quantenzahlen Q :
Q[p] = −Q[p]
(L ↔ R) .
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.26
Schwache Wechselwirkung: Flavourdynamik II
Für die linkshändigen Leptonen ℓL ∈ C2 identifizieren wir ℓL ∈ C2 :
1
0
1
0
1
0
A,
A,
@
νL ≡ @
e−
≡
L
0
1
(analog für die Quarks)
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.27
Schwache Wechselwirkung: Flavourdynamik II
Für die linkshändigen Leptonen ℓL ∈ C2 identifizieren wir ℓL ∈ C2 :
1
0
1
0
1
0
A,
A,
@
νL ≡ @
e−
≡
L
0
1
(analog für die Quarks)
Die Kopplung der schwachen Wechselwirkung wird für die linkshändigen Teilchen
1
1
beschrieben mit P0
AULI -Matrizen (SU (2)L ): τ± = 2 (τ1 ± i τ2 ) ,
1
0
1
0 2 τ3
1
τ+
=@
0
1
A,
τ−
=@
0
0
A,
τ3 = @
1
0 0
1 0
0
und für die rechtshändigen “Singletts” ≈ in der Elektrodynamik.
0
−1
A.
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.27
Schwache Wechselwirkung: Flavourdynamik II
Für die linkshändigen Leptonen ℓL ∈ C2 identifizieren wir ℓL ∈ C2 :
1
0
1
0
1
0
A,
A,
@
νL ≡ @
e−
≡
L
0
1
(analog für die Quarks)
Die Kopplung der schwachen Wechselwirkung wird für die linkshändigen Teilchen
1
1
beschrieben mit P0
AULI -Matrizen (SU (2)L ): τ± = 2 (τ1 ± i τ2 ) ,
1
0
1
0 2 τ3
1
τ+
=@
0
1
A,
τ−
=@
0
0
A,
τ3 = @
1
0
A.
0 0
1 0
0 −1
und für die rechtshändigen “Singletts” ≈ in der Elektrodynamik.
Analog zur Kopplung des elektromagnetischen Stroms am Photon (∝ (J · A)) werden die
µ
µ
, W3µ gekoppelt :Stärke g zu Iµ+ , Iµ− , Iµ3
, W+
sog. schwache Ströme an Vektorfelder W−
(schwache-Isospin Strom) und an einem einzelnen Vektorfeld B µ mit Stärke
(schwache-Hyperladung Strom) (SU (2)L × U (1)):
”
X
g′ “ Y
J ·B
∝g
(I k · W k ) +
2
k
g′
2
zu JµY
W ± entsprechen massiver geladener Teilchen, W 3 und B sind elektrisch neutral. (Symmetriebrechung (H IGGS-Mechanismus) → Photon A und das neutrale Vektorboson Z 0 ) .
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.27
Anwendung: Neutrino–Quark Wechselwirkung
durch Vektorbosonaustausch
2
e−
u[ 3 ]
gW τ−
W+
νe
gW τ+
W−
1
d[− 3 ]
ν–q Streuung
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.28
Anwendung: Neutrino–Quark Wechselwirkung
durch Vektorbosonaustausch
−
e
u
gW τ−
W
[ 32 ]
ν–q Streuung
u[ 3 ]
gW τ−
+
νe
2
e−
gW τ+
W−
d
[− 31 ]
νe
1
W+
d[− 3 ]
gW τ+
2
u[ 3 ]
W−
1
d[− 3 ]
ν + n(ddu) → e− + p(udu) Streuung
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.28
Anwendung: Neutrino–Quark Wechselwirkung
durch Vektorbosonaustausch
−
e
u
gW τ−
W
[ 32 ]
gW τ+
W−
d
[− 31 ]
ν–q Streuung
e−
νe
1
W+
d[− 3 ]
gW τ+
2
u[ 3 ]
W−
1
d[− 3 ]
ν + n(ddu) → e− + p(udu) Streuung
2
νe
gW τ−
u[ 3 ]
gW τ−
+
νe
2
e−
u[ 3 ]
gW τ+
W
1
d[− 3 ]
d → u e− ν e Amplitude
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.28
Anwendung: Neutrino–Quark Wechselwirkung
durch Vektorbosonaustausch
−
e
u
gW τ−
W
[ 32 ]
2
e−
u[ 3 ]
gW τ−
+
gW τ+
1
W+
d[− 3 ]
gW τ+
W−
W−
νe
d
[− 31 ]
ν–q Streuung
e−
νe
u
[ 32 ]
νe
1
d[− 3 ]
ν + n(ddu) → e− + p(udu) Streuung
e−
2
νe
u[ 3 ]
1
gW τ−
gW τ−
gW τ+
2
u[ 3 ]
d[− 3 ]
gW τ+
2
u[ 3 ]
W
W
1
d
d→
u e−
ν e Amplitude
[− 31 ]
d[− 3 ]
n → p e− ν e .
β Zerfalls des Neutrons
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.28
Beispiel: e+ + e− → µ+ + µ− Reaktion
µ−
µ+
pf
p′f
γ
pi
e+
p′i
e−
mittels Photon-Austausch ...
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.29
Beispiel: e+ + e− → µ+ + µ− Reaktion
µ−
µ+
pf
pf
p′f
γ
pi
e+
µ−
µ+
Z0
+
p′i
pi
e−
mittels Photon-Austausch ...
p′f
e+
p′i
e−
und ... Z 0 Austausch
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.29
Literatur
•
F. H ALZEN , A.D. M ARTIN, QUARKS AND LEPTONS: An Introductionary Course in
Modern Particle Physics, Wiley, New York (1984);
•
R.P. F EYNMAN , A.R. H IBBS, Quantum Electrodynamics, Benjamin, New York
(1962);
•
M. S EYMOUR, The Meaning of Feynman Diagrams, CERN ...
F EYNMAN -Graphen und Erhaltungsgrößen, Bad Honnef, 20140626 – p.30