Komplexe Zahlen

Komplexe Zahlen
Bernhard Ganter
Institut für Algebra
TU Dresden
D-01062 Dresden
[email protected]
Bernhard Ganter, TU Dresden
Mathematik I für Informatiker
Körper sind nullteilerfrei
Für Elemente a, b eines Körpers gilt stets:
Aus
a·b =0
folgt
a = 0 oder b = 0.
Beweis: Aus a · b = 0 und a 6= 0 folgt
0 = a−1 · 0 = a−1 · (a · b) = (a−1 · a) · b = b,
also b = 0.
Körper sind also stets nullteilerfrei.
Bernhard Ganter, TU Dresden
Mathematik I für Informatiker
Rechnen mit Zahlenpaaren
Die Menge
R × R := {(a, b) | a, b ∈ R}
aller Paare reeller Zahlen bildet mit der komponentenweisen
Addition
(a1 , b1 ) + (a2 , b2 ) := (a1 + a2 , b1 + b2 )
eine Gruppe.
Frage: Kann man für solche Zahlenpaare auch eine vernünftige
Multiplikation einführen?
Bernhard Ganter, TU Dresden
Mathematik I für Informatiker
Komponentenweise Multiplikation
Die komponentenweise Multiplikation
(a1 , b1 ) (a2 , b2 ) := (a1 · a2 , b1 · b2 )
ist nicht nullteilerfrei:
(1, 0) (0, 1) = (0, 0).
Die komponentenweise Multiplikation führt also nicht zu einer
Körperstruktur.
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Mathematik I für Informatiker
Komplexe Multiplikation
Es gibt nur eine Möglichkeit, eine Multiplikation für Paare reeller
Zahlen so zu definieren, dass sich eine Körperstruktur ergibt:
(a1 , b1 ) · (a2 , b2 ) := (a1 a2 − b1 b2 , a1 b2 + a2 b1 ).
Es ist damit beispielsweise
(2, 3) · (1, 4) = (−10, 11).
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Mathematik I für Informatiker
Die reellen Zahlen als Teilkörper
Die Paare mit 0 als zweiter Komponente werden wie reelle Zahlen
addiert und multipliziert:
(a1 , 0) + (a2 , 0) = (a1 + a2 , 0)
(a1 , 0) · (a2 , 0) = (a1 a2 , 0)
Man kann deshalb die Menge
{(a, 0) | a ∈ R}
mit den reellen Zahlen identifizieren.
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Mathematik I für Informatiker
Imagin!äre Einheit
Jedes Zahlenpaar (a, b) kann als Linearkombination
(a, b) = a · (1, 0) + b · (0, 1)
der Paare (1, 0) und (0, 1) geschrieben werden.
Das legt eine vereinfachte Schreibweise nahe:
Statt (1, 0) schreibt man 1.
Statt (0, 1) schreibt man i.
Statt (a, b) schreibt man a + bi.
Man nennt i die imaginäre Einheit und die Paare der Form
(0, b) = bi imaginäre Zahlen.
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Mathematik I für Informatiker
Merkregel für die Multiplikation
Für die imaginäre Einheit i gilt i · i = (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0), also
i 2 = −1.
Es genügt, sich dies zu merken; die komplexe Multiplikation ist
dann mit den Rechenregeln für Körper festgelegt:
(a1 + b1 i) · (a2 + b2 i) = a1 a2 + a1 b2 i + b1 a2 i + b1 b2 i 2
= a1 a2 − b1 b2 + (a1 b2 + a2 b1 )i.
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Mathematik I für Informatiker
Die komplexen Zahlen
Die reellen Zahlenpaare a + bi mit diesen Rechenoperationen nennt
man die komplexen Zahlen. Die Menge der komplexen Zahlen
wird mit C notiert.
Man nennt
a den Realteil und
b den Imaginärteil
der komplexen Zahl a + bi.
Der Betrag der komplexen Zahl z := a + bi ist definiert als
p
|z| := a2 + b 2 .
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Mathematik I für Informatiker
Konjugation
Die zu z := a + bi konjugiert komplexe Zahl ist
z := a − bi.
Es gilt stets
z · z = a2 + b 2 = |z|2 .
Insbesondere: Das Produkt von z und z ist stets reell.
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Mathematik I für Informatiker
Komplexe Division
z1
z1 · z2
z1 · z2
=
=
.
z2
z2 · z2
|z2 |2
Beispiel:
−4i · (3 + 2i)
−8i 2 − 12i
8 − 12i
8
12
−4i
=
=
=
=
− i.
2
3 − 2i
(3 − 2i) · (3 + 2i)
9 − 4i
13
13 13
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Mathematik I für Informatiker
Polarkoordinaten
Setzt man für eine komplexe Zahl z := a + bi 6= 0
r := |z| und
für φ den Winkel zwischen der positiven reellen Achse und der
Linie zwischen dem Punkt (0, 0) und dem Punkt (a, b),
dann gilt
a = r cos φ,
b = r sin φ.
Man kann dehalb die komplexe Zahl z schreiben als
z = r (cos φ + i sin φ).
Dies nennt man die Darstellung in Polarkoordinaten.
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Mathematik I für Informatiker
Beispiel
√
√
Die komplexe Zahl z := 1 + i 3 hat den Betrag r = 1 + 3 = 2.
Aus
1 = 2 cos φ
√
3 = 2 sin φ
erhält man φ =
π
3
= 60◦ .
Damit ist die Polarkoordinatendarstellung
z = 2(cos
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π
π
+ i sin ).
3
3
Mathematik I für Informatiker
Rechnen mit Polarkoordinaten
Mit Hilfe der Rechenregeln für die trigonometrischen Funktionen
erhält man aus
z1 = r1 (cos φ + i sin φ)
und
z2 = r2 (cos ψ + i sin ψ)
für das Produkt
z1 · z2 = r1 r2 (cos(φ + ψ) + i sin(φ + ψ)).
Das kann man so formulieren:
Bei der komplexen Multiplikation multiplizieren sich die Beträge
und addieren sich die Winkel.
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Mathematik I für Informatiker
Beispiel
Wir ziehen die dritten Wurzel aus −8.
Der Betrag von −8 ist 8, das Argument ist φ = π. Damit erhalten
wir insgesamt drei Wurzeln, nämlich
√
π
π
+ i sin ) = 1 + i 3
3
3
2(cos π + i sin π) = −2
√
5π
5π
2(cos
+ i sin ) = 1 − i 3.
3
3
2(cos
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Mathematik I für Informatiker
Einheitswurzeln
Aus der Formel
√
1
φ 2kπ
φ 2kπ
n
) + i sin( +
) , k = 0, . . . , n,
z n = r cos( +
n
n
n
n
ergeben sich die n-ten Einheitswurzeln
cos
2kπ
2kπ
+ i sin
,
n
n
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k = 0, . . . , n.
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