Aufgabenblatt 8 - Informatik - FB3

Mathematische Grundlagen der Informatik I, WS01/02
Aufgabenblatt 8
Aufgabe 1
Sei (M,d) ein metrischer Raum, ( xn ) n∈ eine Folge in M, und es sei a ∈ M . Durch
yn := d ( xn , a ) wird eine Folge reeller Zahlen definiert. Man zeige die Äquivalenz der
Aussagen
( xn ) n∈ besitzt den Grenzwert a
(Hier bewegt man sich in M!)
( yn ) n∈ besitzt den Grenzwert 0
(Hier bewegt man sich in
!)
Aufgabe 2
a
a1
und xn +1 := xn + nn++11 . Damit ist xn offenbar
2
2
, an . Man zeige, dass ( xn ) n∈ eine Cauchyfolge ist, die deshalb
Sei (an ) n∈ eine Folge in {0,1} . Man setze x1 :=
der Dualbruch 0, a1a2 a3 a4 ,
einen Grenzwert a ∈ besitzt. Man zeige, dass 0 ≤ a ≤ 1 und gebe eine Folge (an ) n∈ an, so
dass der Grenzwert von ( xn ) n∈ 1 ist. (Wir werden später feststellen, dass jede reelle Zahl eine
i.w. eindeutige solche Darstellung besitzt.)
(Hinweis: Man muß xn − xm abschätzen, wobei oBdA n ≥ m . Man benötigt, dass
n
1
xn = ai ⋅
2
i =1
i
1 − q n +1
q =
, und benutzt die bekannte Summenformel
, sowie die von
1− q
i =0
n
i
( )
Blatt 7 bekannte Tatsache, dass für 0<q<1 die Folge q n
n∈
den Grenzwert 0 besitzt.)
Aufgabe 2 (Ungleichungen für die euklidische Metrik)
a) Seien x = ( x1 , x2 ) , y = ( y1 , y2 ) zwei Punkte in × . Man definiert das Skalarprodukt
< x, y >:= x1 y1 + x2 y2 und die Norm x := < x, x > = x12 + x2 2 Man zeige die CauchySchwarzsche Ungleichung:
< x, y > ≤ x y
(Hinweis: für reelle Zahlen 0 ≤ a ≤ b gilt: a ≤ b ⇔ a 2 ≤ b 2 . Also ist obige Ungleichung
2
2
2
äquivalent zu < x, y > ≤ x y ; in dieser Form ist man die lästigen Wurzeln los. Man
benutze die obigen Definitionsgleichungen und rechne los. An einer entscheidenden Stelle der
Rechnung ist zu benutzen, dass Quadrate reeller Zahlen nicht-negativ sind.)
b) Seien wieder x = ( x1 , x2 ) , y = ( y1 , y2 ) zwei Punkte in
Metrik gegeben durch
d ( x, y ) := x − y =
( y1 − x1 ) + ( y2 − x2 )
2
×
. Auf
×
ist die euklidische
2
Man beweise die Dreiecksungleichung für diese Metrik.
2
(Wie in a) zeige man, daß d 2 ( x, z ) ≤ ( d ( x, y ) + d ( y, z ) ) ; damit wird man die Wurzeln zum
größten Teil los. Man rechnet alle auftretenden Ausdrücke aus, fasse zusammen und kommt
dann an einen Punkt, an dem die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung benötigt wird.)