Lernzielhilfen - HS

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Aufgaben M-Beispielen
ghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvb
Vorbereitung auf die 2. Schularbeit
nmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyu
iopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjk
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Fr, 03.12.2010
Köck
Lernzielhilfen
Inhalt
Winkel unter 180° mit dem Geodreieck messen und zeichnen. ............................................................................................. 2
Komplementär- und Supplementärwinkel berechnen. .......................................................................................................... 4
Koordinaten von Punkten im Koordinatensystem ablesen und aufschreiben. ...................................................................... 5
Nach gegebenen Koordinaten Figuren in ein Koordinatensystem zeichnen. ......................................................................... 6
Mit dem Zirkel Streckensymmetralen konstruieren............................................................................................................... 6
Winkel mit dem Zirkel halbieren. ........................................................................................................................................... 6
Den größten gemeinsamen Teiler von kleinen Zahlen im Kopf oder mit Hilfe von Teilermengen bestimmen. ..................... 8
Das kleinste gemeinsame Vielfache mit Hilfe der Zerlegung in Primfaktoren bestimmen. ................................................... 9
Brüche graphisch darstellen, wenn die Einheit vorgegeben ist. .......................................................................................... 10
Unechte Brüche als gemischte Zahlen schreiben und umgekehrt. ...................................................................................... 11
Brüche in Dezimalzahlen verwandeln. ................................................................................................................................. 12
Brüche erweitern und kürzen und dadurch diesen die gewünschte Form geben. ............................................................... 12
Brüche so lange kürzen, bis Zähler und Nenner teilerfremd sind. ....................................................................................... 13
klzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnm
Vorbereitung auf die
NAME:____________________________
1. Schularbeit aus MATHEMATIK
KL.: M2/I.
- S.2
03.12.2010
Winkel unter 180° mit dem Geodreieck messen und zeichnen.
Die Größe von Winkeln messen:
1) Nullpunkt genau auf den Scheitel
des Winkels legen.
2)
Die Gradeinteilung des Geodreiecks
zeigt die Winkelgröße an.
Winkelgröße
hier
ablesen!
0
Beachte:
stumpfer Winkel > 90°
spitzer Winkel < 90°
Einen Winkel zeichnen:
1) Ersten Schenkel und Scheitel zeichnen,
Geodreieck so anlegen, dass „0” genau auf dem
Scheitel liegt und die halbe lange Dreiecksseite
genau auf dem ersten Winkelschenkel liegt.
0
0
3)
2) Halte den Nullpunkt auf dem Scheitel „fest” und
drehe das Geodreieck so lange bis die gewünschte
Winkelgröße beim ersten Winkelschenkel ablesbar
ist!
Kontrolliere nochmals die genaue Übereinstimmung von
Nullpunkt und Scheitelmarkierung. Überprüfe die Gradanzeige
und zeichne dann den zweiten Winkelschenkel.
Der Vorteil dieser Art einen Winkel zu zeichnen ist, dass sofort
auch die Länge des Winkelschenkels eingemessen werden kann.
Winkel zwischen 180° und 360° mit dem Geodreieck messen und zeichnen.
706082 Hauptschule Vorderes Stanzertal, St. Margarethen 6551 Pians; Köck Leonhard, HL
Vorbereitung auf die
NAME:____________________________
1. Schularbeit aus MATHEMATIK
KL.: M2/I.
- S.3
03.12.2010
Die Größe eines Winkels > 180°messen:
1) Nullpunkt genau auf den
Scheitel des Winkels legen.
2) An der Gradeinteilung des
Geodreiecks den Winkel ab
180°(gegen den Uhrzeiger) oder
von 360°(mit dem Uhrzeiger)
ablesen.
180
0
Winkel
hier
ablesen
Der gemessen Winkel ist hier
180° + stumpfer Winkel oder
360° - spitzer Winkel.
Einen Winkel > 180° zeichnen:
1) Gestreckten Winkel mit seinem Winkelscheitel zeichnen.
2) Berechne den ab 180° ergänzenden Winkel bis zur gewünschten
Winkelgröße oder jenen Winkel, der noch bis 360° fehlt.
3) Geodreieck anlegen und drehen bis der 2. Winkelschenkel des
gewünschten Winkels eingezeichnet werden kann.
oder:
180°
+
0
360°
0
stumpfer Winkel
-
Alle Winkel > 180° müssen in 2 Winkel zerlegt werden:
180° + spitzer (stumpfer) Winkel = gesuchter Winkel > 180°
oder: 360° - stumpfer (spitzer) Winkel = gesuchter Winkel > 180°
Anwendungsaufgaben zur Winkelmessung lösen.
706082 Hauptschule Vorderes Stanzertal, St. Margarethen 6551 Pians; Köck Leonhard, HL
spitzer Winkel
Vorbereitung auf die
NAME:____________________________
1. Schularbeit aus MATHEMATIK
KL.: M2/I.
- S.4
03.12.2010
Der Winkel ist ein Maß für eine Drehung.
Die Maßeinheit heißt
Einer vollen Drehung
Daraus folgt:
Einer halben Drehung
Einer Vierteldrehung
Grad.
(= voller Winkel) entsprechen 360°.
(= gestreckter Winkel) entsprechen 180°.
(= rechter Winkel) entsprechen 90°.
1
1
90 des rechten Winkels.
1
360
1
des vollen Winkels.
Gradbereich
Nullwinkel
0
0
90
180
180
180
spitzer Winkel
rechter Winkel
90
90
Bezeichnung
360
360
stumpfer Winkel
gestreckter Winkel
erhabener(überstumpfer) Winkel
voller Winkel
Komplementär- und Supplementärwinkel berechnen.
Winkel, die einander auf 90° ergänzen
heißen Komplementärwinkel.
z.B.
ist Komplementärwinkel zu
umgekehrt:
= 90°
1 +
1
und
1
S
Winkel, die einander auf 180° ergänzen
heißen Supplementärwinkel.
z.B.
1 ist Supplementärwinkel zu
umgekehrt:
= 180°
1 +
und
1
S
Parallel-, Scheitel- und Normalwinkel konstruieren.
706082 Hauptschule Vorderes Stanzertal, St. Margarethen 6551 Pians; Köck Leonhard, HL
Vorbereitung auf die
NAME:____________________________
1. Schularbeit aus MATHEMATIK
KL.: M2/I.
- S.5
03.12.2010
Parallelwinkel sind Winkel, deren Schenkel paarweise parallel sind.
Parallelwinkel können gleich
groß oder supplementär sein!
1
1
supplementär
gleich groß
Normalwinkel sind Winkel, deren Schenkel paarweise normal aufeinander
stehen.
Normalwinkel können gleich
groß oder supplementär sein!
1
1
supplementär
gleich groß
Der Scheitelwinkel ist ein Sonderfall des Parallelwinkels.
Koordinaten von Punkten im Koordinatensystem ablesen und aufschreiben.
Y (2. Achse)
P (4/2)
y-Koordinate von P 1
0
1
x-Koordinate von P
x (1. Achse)
Nullpunkt oder Ursprung
P(4/2)
x-Koordinate
y-Koordinate
706082 Hauptschule Vorderes Stanzertal, St. Margarethen 6551 Pians; Köck Leonhard, HL
Vorbereitung auf die
NAME:____________________________
1. Schularbeit aus MATHEMATIK
KL.: M2/I.
- S.6
03.12.2010
Nach gegebenen Koordinaten Figuren in ein Koordinatensystem zeichnen.
Beispiel:
Die Punkte A, B und D sind Eckpunkte des Rechtecks ABCD:
A(7/3); B(3/9); D(4/1).
Zeichne diese Punkte in ein Koordinatensystem, vervollständige das
Rechteck und gib die Koordinaten des Eckpunktes C an! (e = 5 mm)
1) Koordinatensystem mit gegebenen
Einheitstrecken (z. B. e = 5mm)
zeichnen.
2) Punkte mit Hilfe ihrer
Koordinaten eintragen:
z. B.
x-Koordinate von A: 7 Einheiten;
y-Koordinate von A: 3 Einheiten.
3) Punkte der Reihe nach zu einem
geschlossenen Streckenzug
verbinden.
4) Koordinaten des gesuchten
Punktes ablesen.
y
B
9
c
6
A
3
1
D
0
3
4
x
7
C(0/6)
Mit dem Zirkel Streckensymmetralen konstruieren.
Konstruktion der Streckensymmetrale = Halbieren einer Strecke
Schritt 1
Schritt 2
A
Schritt 3
A
A
sAB
B
B
B
sAB ...heißt Streckensymmetrale der Strecke AB
s AB
AB
Winkel mit dem Zirkel halbieren.
706082 Hauptschule Vorderes Stanzertal, St. Margarethen 6551 Pians; Köck Leonhard, HL
Vorbereitung auf die
NAME:____________________________
1. Schularbeit aus MATHEMATIK
KL.: M2/I.
- S.7
03.12.2010
Konstruktion der Winkelsymmetrale oder Halbieren eines Winkels
1. Einen beliebig großen Kreisbogen (M = S)
X1
auftragen - man erhält die Schnittpunkte X1
und X2.
S
2. Etwas mehr als die Hälfte der Strecke
(= Sehne) zwischen X1 und X2 in den Zirkel
nehmen und von X1 und X2 mit dem Zirkel
abschlagen - man erhält einen Schnittpunkt.
X2
X1
S
3. Den Scheitel S mit dem erhaltenen
Schnittpunkt verbinden (strichpunktiert) man erhält die Winkelsymmetrale von .
Die Winkelsymmetrale w teilt
in 2 genau
gleich große Teile.
X2
X1
w
2
2
S
X2
Anmerkung: Die Winkelsymmetrale ist die Streckensymmetrale der Sehne X1X2.(Es
ist nicht erforderlich, diese Sehne einzuzeichnen.)
Winkel von 30°, 15°, 45°, 90°, 120° ... mit dem Zirkel konstruieren.
Winkel-Konstruktion mit dem Zirkel
Man zeichnet eine Gerade und nimmt einen
beliebigen Radius in den Zirkel.
Dann konstruiert man einen Kreisbogen und
schlägt denselben Radius am Kreisbogen ab - es
entsteht ein 60°Winkel.
Durch mehrmaliges Abschlagen des Radius
entstehen Vielfache von 60°Winkel, durch
Halbieren mit Hilfe der Winkelsymmetrale
entstehen Teile von 60°Winkel.
r
r
60°
S
r
r
60
r
2
r
2
30
2
2
= 30°
90
S
r
S
90° kann auch als halber gestreckter Winkel konstruiert werden.
Inkreis- und Umkreismittelpunkt von Dreiecken konstruieren.
706082 Hauptschule Vorderes Stanzertal, St. Margarethen 6551 Pians; Köck Leonhard, HL
Vorbereitung auf die
NAME:____________________________
1. Schularbeit aus MATHEMATIK
KL.: M2/I.
- S.8
03.12.2010
Die drei Seitensymmetralen eines Dreiecks schneiden einander in einem Punkt,
dem Umkreismittelpunkt. Sein Abstand von den Eckpunkten ist der Umkreisradius
r.
a)
b)
c)
d)
Zeichne zu jeder Seite ihre Streckensymmetrale!
Alle drei Streckensymmetralen müssen sich in
einem Punkt schneiden, dem Umkreismittelpunkt. sAD
Ziehe von diesem Punkt eine Linie zu einem
Dreiecks-Eckpunkt; das ist der Umkreisradius r.
Nimm diesen Radius in den Zirkel und zeichne
eine Kreis!
A, B, C müssen auf der Kreislinie liegen!
sBC
C
a
b
U
r
A
c
B
sAB
Die drei Winkelsymmetralen eines Dreiecks schneiden einander in einem Punkt,
dem Inkreismittelpunkt. Sein Normalabstand von den Dreiecksseiten ist der
Inkreisradius .
C
a) Konstruiere die Winkelsymmetrale w , w , w von
jedem Winkel des Dreiecks!
b) Alle drei Winkelsymmetralen schneiden sich in
einem Punkt; dies ist der Inkreismittelpunkt I.
b
a
I
c) Ziehe von diesem Punkt aus eine Normale auf eine
Dreiecksseite; das ist der Inkreisradius .
d) Nimm diesen Radius in den Zirkel und zeichne
einen Kreis! Der Kreis berührt die Dreiecksseiten
von innen. Jede Dreiecksseite ist eine Tangente
an den Inkreis.
A
c
Den größten gemeinsamen Teiler von kleinen Zahlen im Kopf oder mit Hilfe von Teilermengen
bestimmen.
706082 Hauptschule Vorderes Stanzertal, St. Margarethen 6551 Pians; Köck Leonhard, HL
B
Vorbereitung auf die
NAME:____________________________
1. Schularbeit aus MATHEMATIK
KL.: M2/I.
03.12.2010
Haben zwei Zahlen einen oder mehrere gleiche Teiler, so
bezeichnet man diese als gemeinsame Teiler (gT). Der größte von
ihnen heißt größter gemeinsamer Teiler (ggT).
z. B.:
T(6) = 1,2,3,6
T(8) = 1,2,4,8
gT(6,8) = 1,2
ggT(6,8) = 2
Zahlen, die außer 1 keinen gemeinsamen Teiler haben, heißen
teilerfremd (z. B.: 3 und 4).
Bestimmen des größten gemeinsamen Teilers durch
Primfaktorenzerlegung:
Der größte gemeinsame Teiler (ggT) von zwei Zahlen ist das
Produkt aller gemeinsamen Primfaktoren.
z.B.: ggT(12,30)
12 2
30
2
6 2
15
3
3 3
5
5
1
1
ggT(12,30) = 2 . 3 = 6
Das kleinste gemeinsame Vielfache mit Hilfe der Zerlegung in Primfaktoren bestimmen.
706082 Hauptschule Vorderes Stanzertal, St. Margarethen 6551 Pians; Köck Leonhard, HL
- S.9
Vorbereitung auf die
NAME:____________________________
1. Schularbeit aus MATHEMATIK
KL.: M2/I.
- S.10
03.12.2010
Haben zwei Zahlen gleiche Vielfache, so bezeichnet man diese als
gemeinsame Vielvache (gV). Das kleinste davon heißt kleinstes
gemeinsames Vielfaches (kgV).
z.B.:
V(6) = 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, ...
V(8) = 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, ...
gV(6,8) = 24, 48, 72, ...
kgV(6,8) = 24
Bestimmen des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV) durch
Primfaktorenzerlegung:
Das kgV zweier Zahlen ist das Produkt der Primfaktoren der einen
Zahl und der fehlenden Primfaktoren der anderen Zahl.
z.B.: kgV(12,30)
12 2
30
2
6 2
15
3
3 3
5
5
1
1
Schreib die Primfaktoren der größeren Zahl auf und suche
dann von der anderen Zahl die noch fehlenden Primfaktoren!
kgV(12,30) = 2.3.5.2 = 60
Sind zwei Zahlen teilerfremd (ggT = 1), so ist ihr kleinstes
gemeinsamens Vielfaches gleich ihrem Produkt.
z. B.: kgV(5,8) = 40
Brüche graphisch darstellen, wenn die Einheit vorgegeben ist.
706082 Hauptschule Vorderes Stanzertal, St. Margarethen 6551 Pians; Köck Leonhard, HL
Vorbereitung auf die
NAME:____________________________
1. Schularbeit aus MATHEMATIK
KL.: M2/I.
03.12.2010
Der Nenner (= Zahl unter dem Bruchstrich) gibt an, in wie viel
gleich große Teile das Ganze geteilt werden soll.
Der Zähler (= Zahl auf dem Bruchstrich) zählt, wie viele Teile
gekennzeichnet werden sollen.
z.B.: Male
5
8
des Kreises mit Farbe an!
Der Nenner gibt an, dass der Kreis in 8 gleich
große Teile geteilt werden muss.
Der Zähler gibt an, dass 5 solche Teile
gekennzeichnet werden müssen.
Unechte Brüche als gemischte Zahlen schreiben und umgekehrt.
706082 Hauptschule Vorderes Stanzertal, St. Margarethen 6551 Pians; Köck Leonhard, HL
- S.11
Vorbereitung auf die
NAME:____________________________
1. Schularbeit aus MATHEMATIK
KL.: M2/I.
- S.12
03.12.2010
a) Verwandlung einer gemischten Zahl in einen unechten Bruch:
z.B.: 3
1
4
=
?
4
Beachte, dass 3 14 eigentlich 3 + 14 bedeutet!
Verwandle die Ganzen in Viertel! (Jedes Ganze hat vier Viertel.)
3 = 12
4
Damit ergibt sich: 3 +
1
4
=
12
4
+
1
4
=
13
4
b) Verwandlung eines unechten Bruches in eine gemischte Zahl:
z.B.:
13
5
?
?
5
Dividiere den Zähler durch den Nenner! Damit erhältst du die
Ganzen. Der Rest ergibt den Bruch, der übrig bleibt.
13 : 5 = 2 Rest 3
13
2 35
5
Brüche in Dezimalzahlen verwandeln.
Es gibt zwei Möglichkeiten, einen Bruch in eine Dezimalzahl
umzuwandeln:
1) Der Bruch lässt sich in einen Dezimalbruch ( Nenner 10, 100,
1000,...) verwandeln.
75
Z.B.: 43
0,75
100
2) Jeder Bruch kann durch Ausdividieren in eine Dezimalzahl
übergeführt werden.
1:6
0,16
Z.B.: 61
Brüche erweitern und kürzen und dadurch diesen die gewünschte Form geben.
706082 Hauptschule Vorderes Stanzertal, St. Margarethen 6551 Pians; Köck Leonhard, HL
Vorbereitung auf die
NAME:____________________________
1. Schularbeit aus MATHEMATIK
KL.: M2/I.
- S.13
03.12.2010
Erweitern
Kürzen
Brüche werden erweitert, indem
der Zähler und der Nenner mit
derselben Zahl multipliziert
werden.
Brüche werden gekürzt, indem der
Zähler und der Nenner durch
dieselbe Zahl dividiert werden.
:n
n
a n
b n
a
b
b:n
:n
n
z.B.:
a:n
a
b
3
5
12
20
(Zähler und Nenner
wurden mit 4 multipliziert)
z.B.:
6
8
3
4
(Zähler und Nenner
wurden durch 2 dividiert)
Brüche so lange kürzen, bis Zähler und Nenner teilerfremd sind.
4
6
:2
:2
2
3
Ein Bruch wird gekürzt, indem man Zähler und Nenner durch
dieselbe Zahl (außer Null) dividiert.
Alles Gute,
Köck Leonhard
…und eine schöne Adventzeit!
706082 Hauptschule Vorderes Stanzertal, St. Margarethen 6551 Pians; Köck Leonhard, HL