7.4 - FernUni Hagen

Allgemeine WRäume
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Allgemeine WRäume
Der Abschnitt hat den allgemeinen WRaum bzw. den Maÿ- Überblick
raum zum Gegenstand. Dazu wird zunächst der Begri der σ Algebra eingeführt; ein (wichtiger) Spezialfall stellt die Borel'sche σ Algebra über dem Rn dar.
Der Begri des WMaÿes ist in Abschnitt 3 über einem
diskreten Ausgangsraum eingeführt worden, was eine
erhebliche Vereinfachung bedeutet. Als Ereignissystem
(Gesamtheit aller Ereignisse) wurde und konnte die
Potenzmenge P(Ω) (Menge aller Teilmengen einer
Menge) des diskreten Ausgangsraumes Ω herangezogen werden. Eine Leitidee, die bei überabzählbaren Ausgangsräumen aufgrund logischer Widersprüche aufgegeben werden muss. Als Indiz für das
Gesagte mag dienen, dass es auf P(R) der Potenzmenge von R, kein translationsinvariantes Maÿ
gibt; d.h., es gibt auf P(R) kein Maÿ, das kongruenten
Figuren stets dieselbe Maÿzahl zuordnet.
Der Ausweg besteht darin, dass Maÿe über sogenannten σ Algebren deniert werden; im Spezialfall des
Rn wählt man insbesondere die sogenannte Borel'sche
σ Algebra. Für die Behandlung praktischer Proble-
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me im Rn ergeben sich dadurch kaum Einschränkungen.
7.1 Denition (σ Algebra)
Ein System A von Teilmengen über Ω heiÿt σ Algebra
(über Ω), falls gilt:
(7.1.1)
Ω∈A
(7.1.2)
(7.1.3)
mit einer Folge
A ∈ A ⇒ Ac ∈ A
(An )
von Mengen aus
∞
[
A
gilt auch
An ∈ A .
n=1
Beispiele von σ Algebren über Ω6= ∅ sind etwa
die Systeme
{∅, Ω} oder {∅, A, Ac , Ω} für A ⊂ Ω oder P(Ω) .
Als unmittelbare Konsequenz aus 7.1 erhält man die
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7.2 Folgerungen
7.2.1 ∅ ∈ A .
7.2.2 Ist (An ) eine Folge von Mengen aus A, so
gilt auch
∞
\
An ∈ A .
n=1
7.2.3 Ai ∈ A, i = 1, . . . , n ⇒
n
[
Ai ∈ A
bzw.
i=1
n
\
Ai ∈ A .
i=1
7.2.4 Mit Ai ∈ A, i = 1, 2 gilt auch A1 \A2 ∈ A .
Man sagt für 7.2.2 bzw. 7.2.3 auch, dass eine σ Algebra
gegenüber den Operationen Vereinigung und
Durchschnitt bez. endlich oder abzählbar vieler Elemente der σ Algebra abgeschlossen ist.
7.3 Borel'sche σ Algebra
Über R bzw. Rn wird standardmäÿig die sogenannte
Borel'sche σ Algebra B bzw. Bn verabredet, wobei
hier auf eine förmliche Einführung verzichtet wird.
Als σ Algebra genügen B bzw. B n den Bedingungen
aus (7.1.1) (7.1.3).
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Darüber hinaus enthält B die Mengensysteme
(Mengen von Mengen)
• aller Halbintervalle (−∞, x] mit x ∈ R
• aller Intervalle (a, b), (a, b], [a, b) und [a, b] mit
a≤b⊂R
• aller oenen Mengen aus R.
Entsprechendes gilt für B n .
Von Bedeutung ist, dass B n auch stets alle Einpunktmengen {x} ⊂ Rn mit x ∈ Rn enthält; ein
Sachverhalt, der bei beliebigen σ Algebren nicht zutreen muss; vgl. z.B. die σ Algebra {∅, Ω} über Ω.
Da die Borel'sche σ Algebra B n zum Standard
Denitionsraum für WMaÿe über dem Rn gemacht wird, heiÿt dies, dass auch den Einpunktmengen des Rn Maÿwerte zukommen.
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7.4 Denition
7.4.1 Das Tripel (Ω, A, P ) mit Ω als nichtleerer
Menge, A als σ Algebra über Ω und einer
Abbildung
P : A → R+
(7.4.1.1) P (Ω) = 1
heit),
(7.4.1.2) P (A) ≥ 0
tivität),
mit
(Normiert-
(A ∈ Ω)
(Nichtnega-
(7.4.1.3) für jede Folge (An ) paarweiser fremder
Mengen aus A gilt
!
∞
∞
X
X
An =
P (An ) (σ−Additivität)
P
1
1
heiÿt (allgemeiner) Wahrscheinlichkeitsraum (W
Raum); Ω heiÿt Ausgangsraum; A steht für das Ereignissystem; P heiÿt WMaÿ. Die Elemente von A
heiÿen messbare Mengen. (Ω, A) heiÿt Messraum;
wir sprechen vom WMaÿ P über dem Messraum (Ω, A).
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7.4.2 Wird die Bedingung (7.4.1.1) P (Ω) = 1
zugunsten von P (∅) = 0 aufgegeben, so
spricht man von P als von einem Maÿ und
schreibt anstelle von P nunmehr µ, ν etc.;
(Ω, A, µ) heiÿt Maÿraum.
∞
P
( An meint die disjunkte Vereinigung,
1
d.h., die Vereinigung der disjunkten Mengen An )
Beachten Sie: Nur den messbaren Mengen, also den
Elementen der σ Algebra A, können Wahrscheinlichkeiten zugeordnet werden.
7.5 Die Realisation gemäÿ einem WMaÿ als
auÿermath. Konzept
In der intuitiven, auÿermathematischen Deutung
meint P (A) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein
zufällig gemäÿ P zustandegekommenes (durch
Messung oder Beobachtung ermitteltes) ω̄ ∈ Ω in die
Menge A hineinfällt, d.h., dass ω̄ ∈ A für A ∈ A
gilt.
Man spricht von ω̄ als von einer Realisation gemäÿ
dem W-Maÿ P .
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Die empirische Überprüfung, ob es sich bei vorgegebenen Realisationen um solche gemäÿ P handelt, ist nur für ein Kollektiv möglich; vgl. Experiment 15.1 .
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7.6 Das BorelLebesgue Maÿ
7.6.1 Auf (R, B) ist (ohne Beweis) ein Maÿ µ eindeutig durch die Vorgabe
für a < b ∈ R
µ((a, b]) = b − a
festgelegt.
µ heiÿt das BorelLebesgue Maÿ (BL
Maÿ) auf B, wobei anstelle von µ speziell
das Zeichen λ verwendet wird.
7.6.2 λ stellt ein allgemeines Maÿ auf B über
R dar; λ ist also kein WMaÿ.
Ist nun A ∈ B eine Menge aus R, z.B. das
Intervall [0; 1], so stellt die sog. Einschränkung λA von λ auf A ein WMaÿ dar;
nämlich die sogenannte Gleichverteilung
auf A (allgemeine Gleichverteilung)
λA (B) :=
λ(B)
λ(A)
(B ⊂ A, B ∈ B) .
Oenbar ist λA (A) = 1 .
Im Falle A := [0; 1] gilt
λ[0;1] (B) = λ(B)
(B ⊂ A, B ∈ B) .