2.2 Arbeit und Energie Aufgaben

2.2 Arbeit und Energie
Aufgaben
Aufgabe 1:
Auf einem Katapult befindet sich eine Kugel
der Masse m, die durch eine Feder beschleunigt wird. Die Feder ist am Anfang um die
Strecke s0 zusammengedrückt.
s
s0
α
Für die Kraft, die die Feder auf die Kugel ausübt, gilt: F=c  s 0−s 
H
h
Während der Beschleunigung gleitet die Kugel reibungsbehaftet auf dem Katapult.
Berechnen Sie mit Hilfe des Arbeitssatzes
a) die Geschwindigkeit vB, mit der die Kugel das Katapult verlässt,
b) die maximale Höhe H, die die Kugel erreicht,
c) die Geschwindigkeit vD, mit der die Kugel auf den Boden auftrifft.
Zahlenwerte: Kugelmasse m = 10kg, Abschusswinkel α = 30°, Federkonstante c = 10N/mm, Einfederung s0 = 200mm, Gleitreibungskoeffizient μ = 0,2,
Rampenhöhe h = 0,2m
(Ergebnis: vB = 6,112m/s, H = 0,6760m, vD = 6,425m/s)
Aufgabe 2:
Die Masse m hat im Abstand d0 vor einer linearen Feder mit der Federkonstanten c die
Geschwindigkeit v0.
a) Mit welcher Geschwindigkeit v1 erreicht
die Masse die Feder?
d0
m
v0
c
μ
b) Wie groß ist die Einfederung s1, wenn die Masse zur Ruhe kommt?
c) Welche Geschwindigkeit v2 hat die Masse, wenn die Feder wieder entspannt ist?
d) In welchem Abstand d2 von der entspannten Feder kommt die Masse
wieder zur Ruhe?
Während des gesamten Vorgangs gleitet die Masse reibungsbehaftet auf
dem Boden.
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Zahlenwerte: m = 10kg, d0 = 5m, c = 10kN/m, v0 = 10m/s, μ = 0,3
(Ergebnis: v1 = 8,401m/s, s1 = 0,2627m, v2 = 8,215m/s, d2 = 11,47m)
Aufgabe 3:
Eine Wasserrutsche besteht aus drei geraden Teilstücken mit unterschiedlicher
Neigung. Ein Kind der Masse m beginnt
im Punkt A aus der Ruhe zu rutschen.
Der Gleitreibungskoeffizient zwischen
Bahn und Kind ist μ.
a) Wie groß sind die Reibungskräfte
in den einzelnen Teilstücken?
A
s
B
C
D
δ
β
hB
γ
hA
hC
b) Welche Geschwindigkeit hat das Kind in den Punkten B, C und D?
Zahlenwerte: m = 30kg, μ = 0,2, β = 30°, γ = 45°, δ = 20°, hA = 5m, hB = 4m,
hC = 1m
(Ergebnis: RAB = 50,97N, RBC = 41,62N, RCD = 55,31N; vB = 3,581m/s,
vC = 7,740m/s, vD = 8,292m/s)
Aufgabe 4:
Ein Bungee-Springer der Masse m springt aus
der Höhe H. Das Seil, an dem er hängt, hat die
Federkonstante c. Der Springer springt aus der
Ruhe ab. Der Luftwiderstand darf vernachlässigt werden.
a) Welche Länge Lmax darf das Seil höchstens haben, wenn der Springer die Höhe
h nicht unterschreiten soll?
b) Welche Geschwindigkeit v0 hat der Springer in dem Moment, in dem das Seil anfängt, gedehnt zu werden?
c) Wie groß ist die größte Verzögerung
amax?
Zahlenwerte: m = 80kg, H = 80m, c = 50N/m, h = 2m
(Ergebnis: Lmax = 28,52m, v0 = 23,66m/s, amax = 2,152g)
Aufgabe 5:
Ein Körper der Masse m wird in der Höhe h aus der Ruhe losgelassen. Er
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trifft mit der Geschwindigkeit v auf den Erdboden auf. Wie groß ist die Arbeit
WD der dissipativen Kräfte?
Zahlenwerte: m = 5kg, h = 20m, v = 15m/s
(Ergebnis: WD = -418,5J)
Aufgabe 6:
Ein Massenpunkt gleitet unter der Wirkung der
Schwerkraft reibungsfrei auf der vorgegebenen
Bahn
 
x
z x=H 1−
L
3
z
A
H
.
B
Im Punkt A ist der Massenpunkt in Ruhe.
x
L
a) Bestimmen Sie die Geschwindigkeit des
Massenpunktes in Abhängigkeit von der Koordinate x.
b) Welche Geschwindigkeit vB hat der Massenpunkt im Punkt B?
Zahlenwerte: H = 5m, L = 5m
(Ergebnis: vB = 9,905m/s)
Aufgabe 7:
Für die Anziehungskraft, die die Erde auf einen Körper
der Masse m ausübt, der sich in der Höhe h über der
Erdoberfläche befindet, gilt:
F h=
Mm
 Rh 
m
F
h
2
.
Dabei ist γ die Gravitationskonstante, M die Masse der
Erde und R der Radius der Erde.
M
a) Welche Beziehung gilt für die potenzielle Energie EP(h), wenn als Nullniveau die Erdoberfläche gewählt wird? Welcher Zahlenwert ergibt sich
für die Höhe H?
b) Welche Näherung gilt, wenn die Höhe h klein gegenüber dem Erdradius
ist?
c) Welcher Zahlenwert folgt aus der Näherung für die Erdbeschleunigung
g in Bodennähe?
Zahlenwerte: γ = 6,673∙10-11m3/kgs2, M = 5,974∙1024kg, R = 6371km,
H = 10000km, m = 500kg
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(Ergebnis: EP(H) = 1,911∙107kJ, g = 9,821m/s2)
Aufgabe 8:
Ein Meteorit der Masse m fliegt auf gerader Bahn der Erde
(Masse M) entgegen. Im Abstand r0 vom Erdmittelpunkt hat
er die Geschwindigkeit v0.
m
Die Erdanziehungskraft ist eine konservative Kraft mit dem
Potenzial
P
E r= M m
 
1 1
−
R r
r
M
bezüglich der Erdoberfläche.
Berechnen Sie mit Hilfe des Energieerhaltungssatzes die Geschwindigkeit vE,
mit der der Meteorit auf der Erde aufschlägt, wenn Widerstandskräfte vernachlässigt werden.
Daten: Masse m = 5kg, Erdmasse M = 5,974 ∙1024kg, Erdradius R = 6371km,
Gravitationskonstante γ = 6,670∙10-11m3/kgs2, Anfangsposition r0 = 10000km,
Anfangsgeschwindigkeit v0 = 1000km/h
(Lösung: vE = 24270km/h)
Aufgabe 9:
Die Schwerkraft F, mit der die Erde (Masse M) auf einen
Massenpunkt der Masse m ausübt, ist eine konservative
Kraft, die zum Erdmittelpunkt hin zeigt. Sie hat den Betrag
F=
m
F
Mm
.
r2
r
a) Begründen Sie, dass die Schwerkraft keine Arbeit
verrichtet, wenn der Massenpunkt entlang eines Kreises um den Erdmittelpunkt verschoben wird.
M
b) Der Bezugspunkt P0 für das Potenzial der Schwerkraft wird auf die als
Kugel mit dem Radius R angenommene Erdoberfläche gelegt. Begründen Sie, dass der Wert des Potenzials unabhängig davon ist, wo auf
der Erdoberfläche der Bezugspunkt liegt.
c) Zeigen Sie, dass das Potenzial durch die Funktion
E P r= M m
 
1 1
−
R r
gegeben ist, wenn ein Bezugspunkt auf der Erdoberfläche gewählt wird.
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Aufgabe 10:
Der abgebildete Aufzug besteht aus einem Förderkorb und einem Ausgleichsgewicht. Die Masse
des Förderkorbes einschließlich der Ladung ist
mL. Die Masse des Gegengewichts ist mG. Das
Seil ist dehnstarr. Seil und Rollen sind masselos.
a) Bestimmen Sie mit Hilfe des Energieerhaltungssatzes den Zusammenhang zwischen
der Geschwindigkeit des Förderkorbes und
dem zurückgelegten Weg, wenn das System sich selbst überlassen wird.
mL
mG
b) Welche Geschwindigkeit v1 erreicht der Förderkorb nach Zurücklegen des Weges s1?
c) Welche Beschleunigung a erfährt der Förderkorb?
Zahlenwerte: mL = 5t, mG = 1t, s1 = 5m
(Ergebnis: v1 = 8,087m/s; a = 0,6667g)
Aufgabe 11:
Auf einen PKW der Masse m, der mit konstanter Geschwindigkeit v fährt, wirkt der
Rollwiderstand RR und der Luftwiderstand RL.
RL
Für den Rollwiderstand gilt: R R=r m g
Der Luftwiderstand berechnet sich zu
RR
1
R L= cW A  v2 .
2
Dabei ist cW der Luftwiderstandsbeiwert, A eine Bezugsfläche und ρ die Dichte der Luft.
Wie groß ist die benötigte Antriebsleistung für die Geschwindigkeiten v1, v2
und v3?
Zahlenwerte: μr = 0,014, m = 1500kg, cW = 0,26, A = 2,2m2, ρ = 1,21kg/m3,
v1 = 80km/h, v2 = 120km/h, v3 = 150km/h
(Lösung: P1 = 8,376kW, P2 = 19,68kW, P3 = 33,62kW)
Aufgabe 12:
Ein PKW der Masse m fährt eine Steigung von 3% hinauf. Neben der Gewichtskraft wirkt der Rollwiderstand RR und der Luftwiderstand RL.
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Für den Rollwiderstand gilt R R=r N , wobei
N die Normalkraft senkrecht zur Fahrbahn ist.
Der Luftwiderstand berechnet sich zu
1
R L= cW A  v2 .
2
RL
RR
N
G
Dabei ist cW der Luftwiderstandsbeiwert, A eine Bezugsfläche und ρ die Dichte der Luft.
Wie groß ist die maximal mögliche Geschwindigkeit v für die Motorleistung P
bei einem Wirkungsgrad η, der die Verluste in Getriebe, Antriebsstrang und
sonstigen Aggregaten berücksichtigt?
Zahlenwerte: μr = 0,014, m = 1500kg, cW = 0,26, A = 2,2m2, ρ = 1,21kg/m3,
P = 100kW, η = 80%
(Ergebnis: v = 185km/h)
Aufgabe 13:
Ein Segelflugzeug der Masse m fliegt in ruhiger Luft mit der konstanten Geschwindigkeit v. Dabei nimmt seine Höhe in der Zeit t um h ab. Wie groß ist
die Luftwiderstandskraft RL?
Zahlenwerte: m = 280kg, v = 100km/h, t = 5min, h = 220m
(Ergebnis: RL = 72,52N)
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