1 Seite 1 Kapitel 1 Die natürlichen und die ganze Zahlen Kapitel 1

Kapitel
Kapitel11
Die
Dienatürlichen
natürlichenund
unddie
dieganze
ganzeZahlen
Zahlen
Inhalt
Inhalt
1.1
1.1Vollständige
VollständigeInduktion
Induktion
z.B.
1+
2
+
3
z.B. 1+ 2 + 3++...
...++nn==n(n+1)/2
n(n+1)/2
1.2
1.2Die
DiePeano-Axiome
Peano-Axiome
Ein
EinAxiomensystem
Axiomensystemfür
fürdie
dienatürlichen
natürlichen Zahlen
Zahlen
1.3
1.3Die
Dieganzen
ganzenZahlen
Zahlen
ZZ=={{...,
-3,
..., -3,-2,
-2,-1,
-1,0,
0,1,
1,2,
2,3,
3,...
...},},Abzählbarkeit
Abzählbarkeit
1.4
1.4Eigenschaften
Eigenschaftender
derganzen
ganzenZahlen
Zahlen
Teiler,
Teiler,Division
Divisionmit
mitRest,
Rest,ggT,
ggT,...
...
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1
1.1
1.1Vollständige
Vollständige Induktion
Induktion
Prinzip
Prinzipder
dervollständigen
vollständigenInduktion.
Induktion.Sei
Sei AA eine
eineAussage
Aussageoder
odereine
eine
Eigenschaft,
die
von
einer
natürlichen
Zahl
n
abhängt.
Wir
Eigenschaft, die von einer natürlichen Zahl n abhängt. Wir
schreiben
schreibenauch
auch A(n).
A(n).
Wenn
Wenn wir
wir wissen,
wissen, daß
daßfolgendes
folgendesgilt:
gilt:
(1)
(1) Induktionsbasis
Induktionsbasis(Induktionsverankerung):
(Induktionsverankerung):Die
DieAussage
Aussage AA gilt
giltim
im
Fall
Fall nn==11 (das
(dasheißt,
heißt,es
esgilt
gilt A(1)),
A(1)),
(2)
(2) Induktionsschritt:
Induktionsschritt:Für
Fürjede
jedenatürliche
natürlicheZahl
Zahl nn≥≥11 folgt
folgtaus
aus A(n)
A(n)
die
dieAussage
Aussage A(n+1),
A(n+1),
dann
danngilt
giltdie
dieAussage
Aussage AA für
füralle
allenatürlichen
natürlichenZahlen
Zahlen ≥≥1.1.
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Erläuterung
Erläuterung
Bedeutung
Bedeutung der
der vollständigen
vollständigenInduktion:
Induktion:Um
Umeine
eineAussage
Aussagefür
füralle
alle
natürlichen
Zahlen
(also
über
unendlich
viele
Objekte!)
nachzuweisen,
natürlichen Zahlen (also über unendlich viele Objekte!) nachzuweisen,
muss
mussman
mannur
nurzwei
zweiAussagen
Aussagenbeweisen:
beweisen:
Induktionsbasis:
A(1)
Induktionsbasis: A(1)
Induktionsschritt:
Induktionsschritt:A(n)
A(n)⇒
⇒ A(n+1)
A(n+1)
Man
Mannennt
nennt A(n)
A(n) auch
auchdie
dieInduktionsvoraussetzung.
Induktionsvoraussetzung.
Die
Diehinter
hinterdiesem
diesemPrinzip
Prinzipstehende
stehende “Philosophie”
“Philosophie”ist
istdie,
die,dass
dassman
maninin
objektiv
objektivkontrollierbarer
kontrollierbarerWeise
Weise über
übereine
eineUnendlichkeit
Unendlichkeit(“alle”
(“alle”
natürlichen
natürlichenZahlen)
Zahlen)sprechen
sprechenkann.
kann.Die
DieBedeutung
Bedeutungdieses
diesesPrinzips,
Prinzips,
wurde
wurdezwischen
zwischen1860
1860und
und1920
1920u.a.
u.a.von
vonMoritz
MoritzPasch
Pasch(Professor
(Professorinin
Gießen)
Gießen)und
undGiuseppe
Giuseppe Peano
Peano(Professor
(Professor inin Turin)
Turin) entdeckt.
entdeckt.
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2
1.
1.Anwendung:
Anwendung:Summe
Summeder
derersten
erstennnZahlen
Zahlen
Problem
Problem(C.F.
(C.F.Gauß):
Gauß):1+2+3
1+2+3+...+
+...+100
100==???
???
1.1.1
1.1.1Satz.
Satz.Für
Fürjede
jedenat
natürliche
ürlicheZahl
Zahl nn≥≥11 gilt:
gilt:
1+2+...
1+2+...++nn==n(n+1)/2.
n(n+1)/2.
In
InWorten:
Worten:Die
DieSumme
Summeder
derersten
ersten nn positiven
positivenganzen
ganzenZahlen
Zahlenist
istgleich
gleich
(n+1)n/2.
(n+1)n/2.
Konsequenz:
Konsequenz:Man
Mankann
kanndie
dieSumme
Summe1+2+3+...+n
1+2+3+...+n ganz
ganzeinfach
einfach
ausrechnen,
und
es
passieren
kaum
Rechenfehler.
ausrechnen, und es passieren kaum Rechenfehler.
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Beweis
Beweisdurch
durchvollständige
vollständigeInduktion
Induktion
Beweis
Beweisdurch
durchInduktion
Induktionnach
nach n.
n.
Die
DieAussage
Aussage A(n)
A(n) sei
seidie
dieAussage
Aussagedes
desSatzes,
Satzes,also:
also:
A(n):
A(n):1+2+3
1+2+3+...+
+...+nn==n(n+1)/2.
n(n+1)/2.
Sowohl
Sowohlbei
beider
derInduktionsbasis
Induktionsbasisals
alsauch
auchbeim
beimInduktionsschritt
Induktionsschrittzeigen
zeigen
wir,
dass
in
der
entsprechenden
Gleichung
links
und
rechts
das
wir, dass in der entsprechenden Gleichung links und rechts das
Gleiche
Gleichesteht.
steht.
Induktionsbasis:
Induktionsbasis:Sei
Sei nn==1.
1.Dann
Dannsteht
stehtauf
aufder
derlinken
linkenSeite
Seitenur
nurder
der
Summand
1,
und
auf
der
rechten
Seite
steht
2⋅1/2,
also
ebenfalls
Summand 1, und auf der rechten Seite steht 2⋅1/2, also ebenfalls 1.
1.
Also
Alsogilt
giltA(1)
A(1)
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3
Induktionsschritt
Induktionsschritt
Induktionsschritt:
Induktionsschritt:Sei
Sei nn eine
einenatürliche
natürlicheZahl
Zahl ≥≥1,
1,und
undsei
seidie
die
Aussage
richtig
für
n.
Wir
müssen
A(n+1)
beweisen,
das
heißt,
Aussage richtig für n. Wir müssen A(n+1) beweisen, das heißt,die
die
Summe
Summe 1+2+3+...
1+2+3+...+(n–1)
+(n–1)++nn++(n+1)
(n+1) berechnen.
berechnen.
Wir
Wirspalten
spaltenwir
wirdiese
dieseSumme
Summeauf:
auf:
1+2+3+...
1+2+3+...+(n–1)
+(n–1)++nn++(n+1)
(n+1)
==[1+2+3+...
[1+2+3+...+(n–1)
+(n–1)++n]
n]++(n+1)
(n+1)
== n(n+1)/2
n(n+1)/2++(n+1)
(n+1) (nach
(nach Induktion)
Induktion)
==[n(n+1)
+
2(n+1)]/2
=
(n+2)(n+1)/2.
[n(n+1) + 2(n+1)]/2 = (n+2)(n+1)/2.
Insgesamt
Insgesamthaben
habenwir
wirdie
dieAussage
Aussage A(n+1)
A(n+1) bewiesen.
bewiesen.
Somit
gilt
der
Satz.
Somit gilt der Satz.
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2.
2.Anwendung:
Anwendung:Summe
Summeder
derungeraden
ungeradenZahlen
Zahlen
1.1.2
1.1.2Satz.
Satz.Für
Fürjede
jedenat
natürliche
ürlicheZahl
Zahl nn≥≥11 gilt:
gilt:
22. In Worten: Die Summe der ersten n
1+3+5
+
...
+
(2n–1)
=
n
1+3+5 + ... + (2n–1) = n . In Worten: Die Summe der ersten n
ungeraden
ungeradenZahlen
Zahlenist
istgleich
gleichder
der n-ten
n-tenQuadratzahl.
Quadratzahl.
Beispiele:
Beispiele:
(a)
(a)11++33++55==99
(b)
(b)11++33++55++...
...++1999
1999==1.000.000
1.000.000
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4
Beweis
Beweismit
mitvollständiger
vollständigerInduktion
Induktion
Beweis
Beweisdurch
durchInduktion
Induktionnach
nach n.
n.
Induktionsbasis:
Sei
n
=
1.
Dann
Induktionsbasis: Sei n = 1. Dann steht
stehtauf
aufder
derlinken
linkenSeite
Seitenur
nurder
der
2
Summand
1,
und
auf
der
rechten
Seite
steht
1
2
=
1.
Somit
gilt
A(1).
Summand 1, und auf der rechten Seite steht 1 = 1. Somit gilt A(1).
Induktionsschritt:
Induktionsschritt:Sei
Sei nn eine
einenatürliche
natürlicheZahl
Zahlmit
mit nn ≥≥1,
1,und
undes
esgelte
gelte
A(n).
Wir
müssen
A(n+1)
nachweisen.
A(n). Wir müssen A(n+1) nachweisen.
Wir
Wirbeginnen
beginnenmit
mitder
derlinken
linkenSeite
Seitevon
von A(n+1)
A(n+1) und
undformen
formendiese
diese so
so
lange
um,
bis
wir
die
rechte
Seite
von
A(n+1)
erhalten:
lange um, bis wir die rechte Seite von A(n+1) erhalten:
1+3+5+
1+3+5+...
...++(2n–1)
(2n–1)++(2n+1)
(2n+1)==[1+3+5+
[1+3+5+...
...++(2n–1)]
(2n–1)]++(2n+1)
(2n+1)
== nn22++(2n+1)
(nach
Induktion)
(2n+1)
(nach Induktion)
2
== nn22++2n
2n++11==(n+1)
(n+1)2..
Somit
Somitgilt
gilt A(n+1),
A(n+1),und
unddamit
damitist
istdie
dieAussage
Aussagebewiesen.
bewiesen.
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1.2
1.2Die
DiePeano-Axiome
Peano-Axiome
Erinnerung:
Erinnerung:Die
Dienatürlichen
natürlichen Zahlen
Zahlensind
sinddie
dieZahlen
Zahlen 0,
0,1,
1,2,
2,...;
...;
die
Menge
der
natürlichen
Zahlen
wird
mit
N
bezeichnet.
die Menge der natürlichen Zahlen wird mit N bezeichnet.
Zur
ZurBedeutung
Bedeutungder
dernatürlichen
natürlichen Zahlen
Zahlen schreibt
schreibt L.
L.Kronecker
Kronecker(1823
(1823-1891):
1891):„Die
„Dieganzen
ganzenZahlen
Zahlen(in
(inunserem
unseremSprachgebrauch:
Sprachgebrauch:die
die
natürlichen
natürlichenZahlen)
Zahlen)hat
hatder
derliebe
liebeGott
Gottgemacht,
gemacht,alles
allesandere
andereist
ist
Menschenwerk.“
Menschenwerk.“
Giuseppe
GiuseppePeano
Peano(1858
(1858--1939)
1939)hat
hatdie
dienatürlichen
natürlichenZahlen
Zahlenzum
zumerstem
erstem
Mal
mathematisch
präzise
beschrieben.
Er
hat
ein
System
von
fünf
Mal mathematisch präzise beschrieben. Er hat ein System von fünf
Axiomen
Axiomen(Grundsätzen)
(Grundsätzen)aufgestellt,
aufgestellt,um
umdie
dienatürlichen
natürlichenZahlen
Zahlenzu
zu
charakterisieren.
charakterisieren.
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Seite 10
5
Das
DasAxiomensystem
Axiomensystemvon
vonPeano
Peano
Die
DiePeano-Axiome
Peano-Axiomefür
fürdie
dienatürlichen
natürlichen Zahlen
Zahlen lauten:
lauten:
(P1)
(P1)00ist
isteine
einenatürliche
natürliche Zahl.
Zahl.
(P2)
(P2)Zu
Zujeder
jedernatürlichen
natürlichenZahl
Zahlnngibt
gibtes
eseinen
eineneindeutig
eindeutigbestimmten
bestimmten
Nachfolger
n‘
.
Nachfolger n‘ .
(P3)
(P3)00ist
istkein
keinNachfolger.
Nachfolger.
(P4)
(P4) Verschiedene
Verschiedene natürliche
natürliche Zahlen
Zahlen haben
haben verschiedene
verschiedene Nachfolger.
Nachfolger.
(P5)
(P5) Induktionsaxiom:
Induktionsaxiom:Wenn
WennM
Meine
eineTeilmenge
Teilmengeder
dernat
natürlichen
ürlichenZahlen
Zahlen
ist,
ist,die
die00enthält
enthältund
undmit
mitjeder
jedernat
natürlichen
ürlichenZahl
Zahlnnauch
auchihren
ihrenNachfolger
Nachfolger
n‘n‘enthält,
enthält,dann
dannist
istM
M==N.
N.
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Definition
Definitionder
dernatürlichen
natürlichen Zahlen
Zahlen
Mit
Mitden
den Peano-Axiomen
Peano-Axiomenkann
kannman
mandie
die nat
natürlichen
ürlichen Zahlen
Zahlen definieren:
definieren:
11:=
:=0‘0‘
22:=
:=1‘1‘
(=
(=Nachfolger
Nachfolgervon
von0)
0)
(=
0‘‘)
(= 0‘‘)
33:=
:=2‘2‘ (=
(=1‘‘
1‘‘== 0‘‘‘)
0‘‘‘)
...
...
Auch
Auchdie
die Operation
Operation„+“
„+“kann
kannman
mandefinieren,
definieren,z.B.:
z.B.:
nn++11:=
:=n‘n‘
nn++22:=
:=n‘‘
n‘‘
...
...
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Seite 12
6
1.3
1.3Die
Dieganzen
ganzenZahlen
Zahlen
Die
Dienatürlichen
natürlichenZahlen
Zahlen NNsind
sindabgeschlossen
abgeschlossenbzgl.
bzgl.Summenbildung.
Summenbildung.
D.h.
für
je
zwei
natürliche
Zahlen
n,
m
ist
auch
die
Summe
D.h. für je zwei natürliche Zahlen n, m ist auch die Summe nn++m
m
immer
immereine
einenat
natürliche
ürliche Zahl.
Zahl.
Die
DieDifferenz
Differenzzweier
zweiernatürlicher
natürlicher Zahlen
Zahlen muß
muß jedoch
jedochkeine
keinenatürliche
natürliche
Zahl
sein
(z.B.
3
5
∉
N).
Um
eine
Menge
zu
erhalten,
die
Zahl sein (z.B. 3 - 5 ∉ N). Um eine Menge zu erhalten, dieauch
auchbzgl.
bzgl.
Differenzbildung
Differenzbildung abgeschlossen
abgeschlossen ist,
ist, müssen
müssenwir
wir NNerweitern.
erweitern.
Wir
Wirdefinieren
definierendie
dieMenge
Mengeder
der ganzen
ganzenZahlen
Zahlenwie
wiefolgt:
folgt:
ZZ:=
:= NN∪∪{{-n
-n| |nn ∈∈NN}.}.
Dabei
Dabeiist
ist-n
-ndas
dasbzgl.
bzgl.der
derAddition
Additioninverse
inverseElement
Element(„negatives
(„negatives
Element“)
von
n,
d.h.
es
gilt
-n
+
n
=
0.
Element“) von n, d.h. es gilt -n + n = 0.
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Rechengesetze
Rechengesetzein
inZZ
Um
Ummit
mitden
denganzen
ganzenZahlen
Zahlenrechnen
rechnenzu
zukönnen,
können,müssen
müssenwir
wirauf
aufder
der
Menge
Z
noch
Rechenregeln
definieren.
Menge Z noch Rechenregeln definieren.
Wir
Wirdefinieren
definieren(wie
(wie üblich)
üblich) für
fürn,
n,m
m∈∈N:
N:
(-n)
+
(-m)
=
(n
+
m)
(-n) + (-m) = - (n + m)
(-n)
(-n)⋅ ⋅(-m)
(-m)==nn ⋅ ⋅m
m
usw.
usw.
Warum
Warumdefinieren
definierenwir
wirdie
dieRechenregeln
Rechenregelngerade
geradeso?
so?
Mit
Mitdiesen
diesenRegeln
Regelngelten
geltendie
die üblichen
üblichenGesetze
Gesetze(Beweis
(Beweisals
alsÜbung):
Übung):
Kommutativgesetz,
Kommutativgesetz,Assoziativgesetz,
Assoziativgesetz,Distributivgesetz,
Distributivgesetz,...
...
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Seite 14
7
Wie
Wieviele
vieleganze
ganzeZahlen
Zahlengibt
gibtes?
es?
Klar:
Klar:Es
Esgibt
gibtunendlich
unendlich viele
vieleganze
ganzeZahlen.
Zahlen.Denn
Dennschon
schon NNenthält
enthält
unendliche
viele
Zahlen.
unendliche viele Zahlen.
Nicht
Nichtganz
ganzso
soklar:
klar:Gibt
Gibtes
es„mehr“
„mehr“ganze
ganzeals
alsnatürliche
natürliche Zahlen?
Zahlen?
1.
1.Antwort:
Antwort:Ja,
Ja,denn
denn NNist
isteine
eineechte
echteTeilmenge
Teilmengevon
von Z.
Z.
2.
2.Antwort:
Antwort:Nein,
Nein,denn
denndie
dieMengen
MengenNN und
und ZZsind
sind„gleichmächtig“.
„gleichmächtig“.
Definition.
Definition.Zwei
ZweiMengen
MengenAAund
undBBheißen
heißengleichmächtig,
gleichmächtig,wenn
wennes
es
eine
bijektive
Abbildung
von
A
nach
B
gibt.
eine bijektive Abbildung von A nach B gibt.
Wie
Wiekönnte
könntediese
diesebijektive
bijektiveAbbildung
Abbildungvon
von NNnach
nach ZZaussehen?
aussehen?
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Seite 15
NNund
undZZsind
sindgleichmächtig
gleichmächtig
1.3.1
1.3.1Satz.
Satz.Die
DieMengen
Mengen NNund
und ZZsind
sindgleichmächtig.
gleichmächtig.
Beweis.
Beweis. Wir
Wirdefinieren
definiereneine
eineAbbildung
Abbildungffvon
von NNnach
nach ZZwie
wiefolgt:
folgt:
f(0)
f(0)==0,
0,f(1)
f(1)==1,
1,f(2)
f(2)==-1,
-1,f(3)
f(3)==2,
2,f(4)
f(4)==-2,
-2,f(5)
f(5)==3,
3,f(6)
f(6)==-3,
-3,...
...
Damit
Damitwir
wirjeder
jedernat
natürlichen
ürlichenZahl
Zahlgenau
genaueine
eineganze
ganzeZahl
Zahlzugeordnet.
zugeordnet.
Umgekehrt
Umgekehrtwird
wirdauch
auchjeder
jederganzen
ganzenZahl
Zahlzzgenau
genaueine
einenatürliche
natürliche
zugeordnet:
zugeordnet:Der
Derganzen
ganzenZahl
Zahlz>0
z>0wird
wird2z-1
2z-1∈∈NNzugeordnet,
zugeordnet,z<0
z<0wird
wird
-2z
∈
N
zugeordnet,
und
z
=
0
wird
0
zugeordnet.
Also
ist
f
surjektiv.
-2z ∈ N zugeordnet, und z = 0 wird 0 zugeordnet. Also ist f surjektiv.
Da
Daaus
ausf(n)
f(n)==f(m)
f(m)offensichtlich
offensichtlichnn==m
mfolgt,
folgt,ist
istffauch
auchinjektiv.
injektiv.
Also
Alsoist
istffbijektiv,
bijektiv,also
alsosind
sindNNund
undZZgleichmächtig.
gleichmächtig.
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Seite 16
8
Abzählbarkeit
Abzählbarkeit
Definition.
Definition.Eine
EineMenge,
Menge,die
die gleichmächtig
gleichmächtigzu
zu NNist,
ist,heißt
heißtabzählbar.
abzählbar.
Mit
Mitanderen
anderenWorten:
Worten:Abzählbare
AbzählbareMengen
Mengenkann
kannman
manmit
mitden
dennatürlichen
natürlichen
Zahlen
numerieren.
Zahlen numerieren.
Satz
Satz1.3.1
1.3.1kann
kannman
mandann
dannauch
auchwie
wiefolgt
folgtausdrücken:
ausdrücken:
1.3.2
1.3.2Folgerung.
Folgerung.Die
DieMenge
Menge ZZder
derganzen
ganzenZahlen
Zahlenist
istabzählbar.
abzählbar.
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Seite 17
1.4
1.4Eigenschaften
Eigenschaftender
derganzen
ganzenZahlen
Zahlen
Wir
Wirwiederholen
wiederholeneinige
einigeEigenschaften
Eigenschaftender
derganzen
ganzenZahlen.
Zahlen.
Seien
Seien aa und
und bb ganze
ganzeZahlen.
Zahlen.
Wir
Wirsagen
sagen “a
“a teilt
teilt b”
b” (geschrieben
(geschrieben aa b),
b),falls
fallses
eseine
eineganze
ganzeZahl
Zahl zz
gibt
gibtmit
mit bb==z⋅a.
z⋅a.
Man
Mannennt
nennt aa einen
einen Teiler
Teilervon
von b,
b,und
und bb ein
ein Vielfaches
Vielfachesvon
von a.a.
Beispiele.
Beispiele. Es
Esgelten
geltendie
diefolgenden
folgendenAussagen:
Aussagen:
2210,
10, –3
–321,
21, 88 –16,
–16, –15
–15–135,
–135, 2000
2000 0.0.
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Seite 18
9
Division
Divisionmit
mitRest
Rest
1.4.1
1.4.1Division
Divisionmit
mitRest.
Rest. Seien
Seien aa und
und bb ganze
ganzeZahlen
Zahlen (b
(b≠≠ 0).
0).
Dann
gibt
es
eindeutig
bestimmte
ganze
Zahlen
q
und
r
mit
Dann gibt es eindeutig bestimmte ganze Zahlen q und r mit
aa==bq
bq++rr und
und 00≤≤rr≤≤b–1.
b–1.
Beispiele.
Beispiele.
aa==13,
13,bb==44 ⇒
⇒13
13==4⋅3
4⋅3++11 (q
(q==3,
3,rr==1)
1)
aa==–13,
b
=
4
⇒
–13
=
4⋅
–4
+
3
(q
=
–4,
–13, b = 4 ⇒ –13 = 4⋅ –4 + 3 (q = –4,rr==3)
3)
aa==13,
13,bb==–4
–4 ⇒
⇒13
13==–4⋅
–4⋅–3
–3++11 (q
(q==–3,
–3,rr==1)
1)
aa==–13,
–13,bb==–4
–4 ⇒
⇒–13
–13==–4⋅4
–4⋅4++33 (q
(q==4,
4,rr==3).
3).
Bemerkung:
Bemerkung: Die
DieEindeutigkeit
Eindeutigkeitkommt
kommterst
erstdurch
durch beide
beideEigenschaften
Eigenschaften
(a
(a==bq
bq++rr und
und 00≤≤ rr≤≤b–1)
b–1)zustande.
zustande.
Kapitel 1: Die natürlichen und die ganzen Zahlen
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Gemeinsame
GemeinsameTeiler
Teiler
Seien
Seien aa und
und bb ganze
ganzeZahlen.
Zahlen.
Eine
Einenatürliche
natürlicheZahl
Zahl dd heißt
heißtgemeinsamer
gemeinsamerTeiler
Teilervon
von aa und
und b,
b,falls
falls
sowohl
sowohl dd aa als
alsauch
auch dd bb gilt.
gilt.
Beispiele:
Beispiele: (a)
(a)Gemeinsame
GemeinsameTeiler
Teilervon
von 66und
und10:
10:11und
und 2.
2.
(b)
Gemeinsame
Teiler
von
–24
und
42:
1,
2,
3
und
6.
(b) Gemeinsame Teiler von –24 und 42: 1, 2, 3 und 6.
(c)
(c)Gemeinsame
GemeinsameTeiler
Teilervon
von 00 und
und 20:
20: 1,
1,2,
2,4,
4,5,
5,10,
10,20.
20.
Bemerkungen.
Bemerkungen.
(a)
(a)Gemeinsame
GemeinsameTeiler
Teilersind
sindimmer
immerpositiv.
positiv.
(b)
(b)Im
Imallgemeinen
allgemeinengibt
gibtes
esmehr
mehrals
alseinen
einengemeinsamen
gemeinsamenTeiler.
Teiler.
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Seite 20
10
Teilerfremde
TeilerfremdeZahlen
Zahlen
Beobachtung:
Beobachtung:Je
Jezwei
zweiganze
ganzeZahlen
Zahlenhaben
habenmindestens
mindestenseinen
einen
gemeinsamen
gemeinsamen Teiler,
Teiler, nämlich
nämlichdie
dieZahl
Zahl 1.
1.
Wir
Wirnennen
nennenzwei
zweiganze
ganzeZahlen
Zahlen teilerfremd,
teilerfremd,wenn
wennsie
sienur
nureinen
einen
gemeinsamen
gemeinsamen Teiler
Teiler haben.
haben.
M.a.W.:
M.a.W.:Zwei
ZweiZahlen
Zahlensind
sindteilerfremd,
teilerfremd,wenn
wennihr
ihreinziger
einziger gemeingemeinsamer
Teiler
die
Zahl
1
ist.
samer Teiler die Zahl 1 ist.
Achtung:
Achtung:“Teilerfremd”
“Teilerfremd”bedeutet
bedeutetnicht,
nicht,dass
dassdie
dieZahlen
Zahlenkeinen
keinen
gemeinsamen
Teiler
haben!
gemeinsamen Teiler haben!
Beispiele:
Beispiele: 11
11und
und13,
13,5000
5000und
und333,
333,1999
1999und
und2000
2000 sind
sind
teilerfremd.
teilerfremd.
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Größter
Größtergemeinsamer
gemeinsamerTeiler
Teiler
Seien
Seien aa und
und bb ganze
ganzeZahlen,
Zahlen,die
dienicht
nichtbeide
beidegleich
gleichNull
Nullsind.
sind.
Der
größte
gemeinsame
Teiler
von
a
und
b
ist
die
größte
Der größte gemeinsame Teiler von a und b ist die größteganze
ganze
Zahl
Zahlunter
unterden
dengemeinsamen
gemeinsamenTeilern
Teilernvon
von aa und
und b.
b.
Beispiele.
Beispiele.
(a)
(a)66ist
istgrößter
größtergemeinsamer
gemeinsamerTeiler
Teilervon
von 12
12 und
und 18,
18,
denn
die
gemeinsamen
Teiler
sind
1,
2,
3,
6;
denn die gemeinsamen Teiler sind 1, 2, 3, 6;
unter
unterdiesen
diesenist
ist 66 ist
istgrößte
größteZahl.
Zahl.
(b)
Zwei
Zahlen
a
und
b
sind
(b) Zwei Zahlen a und b sindteilerfremd,
teilerfremd,
falls
fallsihr
ihrgrößter
größtergemeinsamer
gemeinsamerTeiler
Teilergleich
gleich 11 ist.
ist.
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11
Der
Der ggT
ggT
Tatsache/Definition:
Tatsache/Definition:Zu
Zujejezwei
zweiganzen
ganzenZahlen
Zahlen aa und
und b,
b,die
dienicht
nicht
beide
gleich
Null
sind,
existiert
stets
ein
größter
gemeinsamer
beide gleich Null sind, existiert stets ein größter gemeinsamerTeiler;
Teiler;
dieser
dieserist
isteindeutig
eindeutigbestimmt.
bestimmt.Er
Erwird
wirdmit
mit ggT(a,
ggT(a,b)
b) bezeichnet.
bezeichnet.
Beispiele.
Beispiele. (a)
(a)ggT(12,
ggT(12,18)
18)==6.
6.
(b)
ggT(1001,
2001)
=
1.
(b) ggT(1001, 2001) = 1.
(Denn:
(Denn:Jeder
Jedergemeinsame
gemeinsameTeiler
Teiler tt von
von 1001
1001 und
und 2001
2001 teilt
teilt
auch
auch 2001
2001 ––1001
1001==1000.
1000.Also
Alsoteilt
teilt tt auch
auch 1001
1001 ––1000
1000==1.)
1.)
(c)
(c)ggT(–15,
ggT(–15,–21)
–21)==3.
3.
(d)
Für
jede
natürliche
(d) Für jede natürlicheZahl
Zahl aa gilt:
gilt:ggT(a,
ggT(a,0)
0)==a.
a.(Klar:
(Klar:aa ist
istder
der
größte
Teiler
von
a.
Da
a
auch
die
Zahl
0
teilt,
ist
a
=
ggT(a,
größte Teiler von a. Da a auch die Zahl 0 teilt, ist a = ggT(a, 0).)
0).)
Kapitel 1: Die natürlichen und die ganzen Zahlen
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Berechnung
Berechnungdes
desggT
ggT
1.4.2
1.4.2Satz.
Satz.Seien
Seien aa und
und bb ganze
ganzeZahlen
Zahlenmit
mit 00<<bb<<a.
a.Seien
Seien qq
und
und rr diejenigen
diejenigenganzen
ganzenZahlen
Zahlenmit
mit
aa==q⋅b
q⋅b++rr und
und 00≤≤rr<<b.
b.
Dann
gilt
ggT(a,
b)
=
ggT(b,
r).
Dann gilt ggT(a, b) = ggT(b, r).
Ist
Istdies
diesein
einguter
guterSatz?
Satz?Ja,
Ja,denn
denner
erführt
führtdie
dieBerechnung
Berechnungdes
desggT
ggT
großer
großerZahlen
Zahlen(a,
(a,b)
b) auf
aufdie
dieBerechnung
Berechnungdes
des ggT
ggT kleinerer
kleinererZahlen
Zahlen
(b,
(b,r)r)zurück.
zurück.Eventuell
Eventuellmuss
mussman
manden
denProzess
Prozesswiederholen.
wiederholen.
Beispiel:
Beispiel:ggT(2001,
ggT(2001,1001)
1001)==??
2001
2001==1⋅1001
1⋅1001++1000,
1000,1001
1001==11 ⋅1000
⋅1000++1;
1;
also
also ggT(2001,
ggT(2001,1001)
1001)==ggT(1001,
ggT(1001,1000)
1000)==ggT(1000,
ggT(1000,1)
1)==1.
1.
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12
Beispiel
Beispiel
ggT(4711,
ggT(4711,1024)
1024)==??
4711
4711==44 ⋅1024
⋅1024++615
615
ggT(4711,
ggT(4711,1024)
1024)==ggT(1024,
ggT(1024,615)
615)
1024
1024==11 ⋅ ⋅615
615++409
409
...
...==ggT(1024,
ggT(1024,615)
615)==ggT(615,
ggT(615,409)
409)
615
615==11 ⋅ ⋅409
409++206
206
...
...ggT(615,
ggT(615,409)
409)==ggT(409,
ggT(409,206)
206)
409
409==11 ⋅ ⋅206
206++203
203
...
...ggT(409,
ggT(409,206)
206)==ggT(206,
ggT(206,203)
203)
206
206==11 ⋅ ⋅203
203++33
...
...ggT(206,
ggT(206,203)
203)==ggT(203,
ggT(203,3)
3)
203
203==67
67 ⋅ ⋅33++22
...
...ggT(203,
ggT(203,3)
3)==ggT(3,
ggT(3,2)
2)
33==11 ⋅ ⋅22++11
...
...ggT(3,
ggT(3,2)
2)==ggT(2,
ggT(2,1)
1) == 1.1.
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