Raumfüllende Kurven - Institut für Mathematik

Julius-Maximilians-Universität Würzburg
Fakultät für Mathematik und Informatik
Institut für Mathematik
Bachelorarbeit
Raumfüllende Kurven
Autor:
Patrick
Betreuer:
Giron
Prof. Dr. Jörn
4. Dezember 2014
Steuding
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1
2 Grundlagen
1
2.1
Notationen und Denitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2.2
Georg Cantor
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Peano Kurve
8
3.1
Giuseppe Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2
Denition der Peano-Kurve
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
3.3
Geometrische Darstellung der Peano-Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
4 Hilbert Kurve
8
20
4.1
David Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2
Denition der Hilbert-Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
4.3
Arithmetische Darstellung der Hilbert Kurve . . . . . . . . . . . . . . . .
24
5 Sierpi«ski Kurve
20
33
5.1
Waclaw Sierpi«ski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
5.2
Denition der Sierpi«ski-Kurve
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
5.3
Geometrische Darstellung der Sierpi«ski Kurve . . . . . . . . . . . . . . .
35
6 Raumfüllende Kurven
38
Literatur
39
Erklärung
40
ii
The subject of space-lling curves has fascinated mathematicians for over a
century and has intrigued many generations of students of mathematics. Working
in this area is like skating on the edge of reason.
(Hans Sagan, 1993 [1])
1 Einleitung
Lässt sich eine Fläche (etwa ein Quadrat mit Einschluss der Begrenzung) eindeutig auf
eine Linie (etwa eine gerade Strecke mit Einschluss der Endpunkte) eindeutig beziehen,
so dass zu jedem Puncte der Fläche ein Punct der Linie und umgekehrt zu jedem Puncte
der Linie ein Punct der Fläche gehört?
Mit dieser Frage, die Cantor am 5. Januar 1874 in einem Brief an Dedekind [2, S.20] gestellt hat, gab er den Anstoÿ zur Beschäftigung mit raumfüllenden Kurven. Der Gedanke
war zu jener Zeit komplett neu und gegen jegliche Intuition. Man konnte sich nicht vorstellen, dass eine stetige Kurve existiert die das Einheitsquadrat vollständig überdeckt.
Als 1890 eine erste solche Zuordnung entdeckt wurde, sorgte das für Erstaunen in der
Fachwelt. Um die Jahrtausendwende 1900 beschäftigten sich viele bekannte Mathematiker mit diesen kuriosen Abbildungen. Hilbert, Peano, Sierpi«ski und Lebesgue lieferten
eigene Versionen solcher Kurven. [1, S. 1]
In dieser Arbeit geben wir einen Überblick über dieses kleine Gebiet der Mathematik.
Wir gehen dabei historisch vor und legen zu erst die Grundlagen, die uns Cantor zur
Verfügung gestellt hat (Kapitel 2). Danach betrachten wir die raumfüllenden Kurven
von Peano (1890) (Kapitel 3), Hilbert (1891) (Kapitel 4) und Sierpi«ski (1912) (Kapitel
5). Diese Forscher werden zu Beginn der jeweiligen Kapitel in Form kurzer Biograen vorgestellt. Jede der Kurven ist in ihrer ursprünglichen Denition angegeben, aber
auch weitere Versionen und andere Darstellungen werden erläutert und hergeleitet. Zum
Schluss fassen wir die gewonnen Erkenntnisse kurz zusammen (Kapitel 6).
2 Grundlagen
2.1 Notationen und Denitionen
2
Für das Einheitsintervall [0,1] schreiben wir kurz I , 2 für das Einheitsquadrat [0,1] , W
3
für den Einheitswürfel [0,1] , sowie T für das Dreieck mit Eckpunkten in (0, 0), (2, 0)
und
(1, 1).
Den
n-dimensionalen
euklidischen Raum bezeichnen wir mit
En .
Auÿerdem werden wir einige Denitionen und Beweise in anderen Zahlensystemen als
dem üblichen Dezimalsystem führen. Ist eine Zahl im Binärsystem aufgeführt so schreiben wir
1
02 , b1 b2 b3 ... = b1 /2 + b2 /22 + b3 /23 ... (bj ∈ {0, 1}),
eine ternäre Zahl wird notiert als
03 , t1 t2 t3 ... = t1 /3 + t2 /32 + t3 /33 ... (tj ∈ {0, 1, 2}).
Denition. Zwei Mengen A und B
sind gleichmächtig, wenn sie sich eineindeutig auf-
einander abbilden lassen, d.h. wenn eine Bijektion von der einen Menge auf die andere
existiert, und wir schreiben
|A| = |B|.
[3, S.119]
Denition. Sei f eine Funktion von einer Teilmenge des Em in den En , dann nennen wir
f∗ (A) = {f (x) ∈ R(f )|x ∈ A ∩ D(f )},A ∈ Em ,
das Bild von
A
unter
Wertemenge von
f . D(f )
bezeichnet die Denitionsmenge und
R(f )
steht für die
f.
Da wir im Folgenden besondere Kurven betrachten, legen wir zuerst den Begri der
Kurve fest.
Denition. Sei f : I → En
den Anfangspunkt und
Kurve
C = f∗ (I)
f (1)
stetig, dann heiÿt das Bild
f∗ (I)
Kurve. Wir nennen
f (0)
den Endpunkt der Kurve. Die Parameterdarstellung der
ist
x = f (t), t ∈ I .
Um sich nun mit raumfüllenden Kurven zu beschäftigen, müssen wir erst den Begri des
Inhalts einführen. Wir werden auf den Jordan-Inhalt zurückgreifen, welchen der Franzose Camille Jordan im Jahre 1893 in seinen Course d'analyse veröentlichte und mit
Hilfe von Arbeiten Peanos entwickelte. [4, S.519]
Denition.
δ ∈ R+ . Ein Q ⊆ R2
Q = [z1 δ, (z1 + 1)δ] × [z2 δ, (z2 + 1)δ].
Sei
heiÿt
δ -Quadrat,
falls
z1 , z2 ∈ Z
existieren mit
Denition. Sei P ⊆ R2 beschränkt. Wir setzen:
P
2
J+
2 (P ) = infδ>0 PQ ist ein δ−Quadrat,Q∩P 6=∅ δ .
2
J−
2 (P ) = supδ>0
Q ist ein δ−Quadrat,Q⊆P δ .
−
J+
2 (P ) und J2 (P ) heiÿen der äuÿere bzw. innere Jordan-Inhalt von P .
−
+
−
P heiÿt Jordan-meÿbar falls J+
2 (P ) = J2 (P ). Wir setzen dann J2 (P ) = J2 (P ) = J2 (P ),
und nennen J2 (P ) den Jordan-Inhalt von P.
Denition. Sei f : I → En , n = 2, stetig und Jn (f∗ (I)) > 0, dann heiÿt f∗ (I) raumfüllende Kurve.
2
2.2 Georg Cantor
Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor wurde am 3.
März 1845 als erster Sohn eines erfolgreichen Kaufmanns in Sankt Petersburg geboren und wuchs mit den
drei jüngeren Geschwistern Ludwig, Sophie und Constantin auf. Er besuchte zunächst die Elementarschule
in Petersburg, bis die Familie aufgrund eines Lungenleidens des Vaters 1856 nach Deutschland übersiedelte.
Dort besuchte er das Gymnasium in Wiesbaden, sowie Privatschulen in Frankfurt am Main, dem neuen
Wohnort der Cantors. Den Wunsch, ein Mathematikstudium zu ergreifen, äuÿerte Cantor schon in jungen
Jahren, doch sein Vater war damit nicht einverstanden.
Er zog es vor, dass sein Sohn ein Brotstudium in einem Ingenieursfach begann, und so bezog Cantor 1859
die Groÿherzogliche-Realschule Darmstadt und trat ein
Jahr später in den allgemeinen Kursus der Höheren
Abbildung 1: Georg Cantor
[1, S. 5]
Gewerbeschule (spätere technische Hochschule) über.
Adolf Fraenkel schreibt in [5, S.452f.]: Der Vater leitete die Erziehung von ungewöhnlich hohen Gesichtspunkten aus; Energie und Charakterfestigkeit sowie eine das ganze Leben durchdringende Religiosität schwebten ihm als
besonders wesentlich vor, ... und so kam es, dass die groÿe Zuneigung des Sohnes zur
Mathematik den Vater umstimmte und er in Georgs Wahl des Studienfaches einwilligte.
Im Herbst 1862 begann Cantor sein Studium in Zürich, allerdings nur für kurze Zeit,
denn 1863 verstarb sein Vater und die Familie zog nach Berlin. Ein Semester lang pausierte Cantor, bevor er sich im Herbst an der Friedrich-Wilhelm-Universität zu Berlin
immatrikulierte. Zu dieser Zeit lehrte unter anderem das Dreigestirn Kummer, Weierstraÿ und Kronecker. Das Sommersemester 1866 verbrachte Georg Cantor in Göttingen.
Groÿen Einuss auf seine wissenschaftliche Entwicklung schreibt man Karl Weierstraÿ,
welcher neben Kummer die Dissertation De aequationibus secundi gradus indeterminatis von Cantor 1867 betreute, zu. Im Frühjahr 1869 habilitierte Cantor und wurde in
Halle Privatdozent. Seine Dissertation, Habilitationsschrift und weitere kleine Noten, die
er zwischen 1868-72 veröentlichte, beschäftigten sich mit der Zahlentheorie. Angeregt
durch Eduard Heine, der Ordinarius in Halle war, wandte sich Cantor der Theorie der
trigonometrischen Reihe zu, welche ihn auf den Weg zur Theorie der Punktmengen und
zu den transniten Ordnungszahlen führte.
1872 war ein besonderes Jahr in Cantors Leben, er wurde zum Extraordinarius in Halle, freundete sich auf einer Reise in die Schweiz mit Richard Dedekind an, mit dem
ein intensiver Briefwechsel begann, und lernte seine Frau Vally Guttmann, welche er
am 9. August 1874 heiratete, kennen. Sechs Kinder gingen aus dieser Ehe hervor, vier
Töchter und zwei Söhne. Am 18. Juli 1877 reichte Cantor seine Arbeit Ein Beitrag zur
Mannigfaltigkeitslehre bei der Redaktion des Crelleschen Journals, dem damals wohl
wichtigsten Magazin im Bereich der Mathematik, ein. Darin nden sich unter anderem
3
der Äquivalenzbegri, eine Einführung der Mächtigkeit, sowie die Kontinuumshypothese,
die Cantor bis zu seinem Lebensende beschäftigte und von Hilbert auf dem Internationalen Mathematiker Kongress im Jahr 1900 in Paris als erstes der "Mathematischen
Probleme"genannt wurde. Allerdings erschien der Artikel 1878 erst nach groÿen Schwierigkeiten im Crelleschen Journal, denn Leopold Kronecker, der frühere Lehrer Cantors,
kritisierte dessen Ideen stark und wollte den Druck vermutlich verzögern, obwohl sich
mit Weierstraÿ und Dedekind zwei bekannte Mathematiker für Cantor einsetzten.
Der Beginn der achtziger Jahren des 19. Jahrhunderts ist Cantors wohl intensivste Zeit
des Schaens. Er publiziert die Abhandlung Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten, welche wegen ihrer Gedanken mit der damaligen Anschauung der Mathematik
im Widerspruch stand. Die darin enthaltenen Ideen mussten noch lange um Anerkennung kämpfen, denn es gab zwei groÿe Probleme: Das eine war das Ringen mit dem
Kontinuumsproblem und das andere die Zuspitzung des Gegensatzes zu Kronecker. Die
letzte Publikation dieser sechsteiligen Abhandlung wollte Cantor mit dem Beweis der
Kontinuumshypothese, welchen er mit immer neuen Methoden versuchte, krönen und
blieb erfolglos. Dies und der teils immense Widerstand, den er durch frühere Förderer
und andere Wissenschaftler erfuhr, zermürbten Cantor zusehends. Im Herbst 1884 nach
einem geistigen Zusammenbruch im Frühjahr und einem Sanatoriumsaufenthalt wegen
einer Depression fasste er sogar den Entschluss sich vollends von der Mathematik abzuwenden und in der Philosophie zu lehren. Aus dieser Zeit stammt die xe Idee Francis
Bacon wäre der Autor der Shakespeareschen Dramen - ein damals weitverbreiteter Gedanke. Er betrieb groÿen Aufwand und machte es sich zur Aufgabe nachzuweisen, dass
diese Idee wahr ist. Schon im Laufe des Jahres 1885 schien die Krise überwunden und
Cantor forschte wieder an rein mathematischen Fragestellungen. Die Enttäuschung über
die Aufnahme seiner Werke in der mathematischen und philosophischen Welt blieb weiterhin bestehen, sowie sein Wunsch nach Anerkennung unter den Fachkollegen. Dieser
konnte, wenn auch beschränkt, durch die Freundschaft mit dem schwedischen Mathematiker Mittag-Leer, erfüllt werden. Dieser veranlasste die Übersetzung von Cantors
Werken ins Französische und veröentlichte diese in den Acta Mathematica.
Auf Grund seines eigenen Schicksals trug Georg Cantor auch zur Gründung der Deutschen Mathematikervereinigung bei und war deren erster Vorsitzender (1890-1893). Fraenkel schreibt hierzu [5, S. 467]: Neben anderen Erwägungen hatte ihn vor allem sein
Konikt mit Kronecker zur Überzeugung gebracht, daÿ es zur Wahrung der Freiheit und
wissenschaftlichen Unabhängigkeit des einzelnen, namentlich des aufstrebenden jungen
Forschers, innerhalb der mathematischen Gesamtheit und zum Schutz gegen übermächtige Einüsse einzelner Gelehrter zweckmäÿig sei, einen Zusammenschluÿ der deutschen
Mathematiker herbeizuführen. Auch auf internationaler Ebene wollte Cantor eine solche
Vereinigung erreichen. Dieser Plan blieb unverwirklicht, aber er trug damit zur Einrichtung der Internationalen Mathematikerkongresse bei. Auf dem ersten Kongress, der 1897
in Zürich statt fand, kam ihm schlieÿlich die Anerkennung durch führende Forscher wie
Hilbert, Hurwitz und Minkowski, zugute. Mit einher kamen nun auch Ehrungen. Er
wurde Ehrenmitglied der London Mathematical Society und der Mathematischen Gesellschaft zu Charkow, Träger der Sylvester-Medaille, erhielt den Ehrendoktor an der
Universität St. Andrews, und einige Auszeichnung mehr. Nachdem sein geistiger Ge-
4
sundheitszustand sich im Jahr 1905 wieder verschlechterte wurde er von seinen amtlichen Verpichtungen entbunden. 1913 legte Cantor endgültig sein Lehramt nieder. Am
6. Januar 1918 starb er in der psychiatrischen Klinik in Halle. (vgl. [5, S. 453-483 ])
Nachdem wir uns mit Cantors Leben beschäftigt haben, verfolgen wir nun seine Ideen,
welche uns zu den raumfüllenden Kurven führen. Der erste Gedanke ist die Gleichmächtigkeit der Menge der rationalen Zahlen mit den natürlichen Zahlen, welchen er
gegenüber Dedekind in einem Brief äuÿert. [2, S. 13]
Satz. Die Menge Q der rationalen Zahlen und die Menge N der natürlichen Zahlen sind
gleichmächtig.
Wir folgen hierzu einem Beweis Cantors, seinem ersten Diagonalargument. (vgl. z.B. [6,
S.31 f.])
Beweis:
m
. Nun schreiben wir die
n
Brüche in folgendem Schema auf, wobei in der n-ten Zeile die Brüche mit Nenner n in
Sei
q ∈ Q+
dann gibt es
m, n ∈ N,
so dass
q =
aufsteigender Reihenfolge stehen.
Sodann können wir die Brüche den Pfeilen nach nummerieren, selbstverständlich werden
1
hierbei Zahlen die mehrfach auftreten (z.B.
= 22 = ...) nur beim ersten Mal gezählt.
1
1
2
1
3
1
2
1
Wir erhalten die Folge qn mit q1 = , q2 = , q3 = , q4 = , q5 = , q6 = , q7 = , q8 =
1
2
1
3
1
4
3
3
4
,
q
=
,
...
und sehen, dass diese nach gewissen Abschnitten fortschreitet.
9
2
1
Der erste solche Abschnitt enthält ϕ(2) = 1 viele , der zweite ϕ(3) = 2, der (n-1)-te
Abschnitt
ϕ(n)
Zahlen, wobei
ϕ(n)
für die eulersche
ϕ-Funktion
steht.
Diese Folge bildet die positiven rationalen Zahlen bijektiv auf die natürlichen Zahlen ab.
Betrachten wir nun die Folge
von
Q
nach
N,
d.h.
0, q1 , −q1 , q2 , −q2 , q3 , −q3 , ...,
|N| = |Q|.
so haben wir eine Bijektion
Das folgende Theorem, welches Cantor 1883 als Vermutung aufstellte, aber nicht beweisen konnte [7, S.73], benötigen wir um zu zeigen, dass das Einheitsintervall gleichmächtig
5
zu jedem beliebigen
In
ist.
Theorem.(Cantor-Bernstein-Schröder)
Seien
A, B
Mengen und es existiere eine injektive Abbildung von A nach B, sowie eine
injektive Abbildung von B nach A. Dann gilt
|A| = |B|.
Ein erster Beweis hierfür gelang Dedekind 1887. Er veröentlichte ihn nie teilte ihn auch
Cantor nicht mit. Ein Grund dafür könnte gewesen sein, dass zu dieser Zeit ein schwieriges Verhältnis zwischen den beiden Mathematikern herrschte, da Dedekind einen Ruf
an die Universität Halle, den Cantor eingeleitet hatte, nicht annahm. Schlieÿlich bewies
Bernstein 1897 unabhängig von Dedekind das Theorem in einem Seminar von Cantor
(vgl. [7, S.73], dort ndet man auch einen Beweis).
Nachdem Cantor gezeigt hatte, dass die rationalen Zahlen und die natürlichen Zahlen von
gleicher Mächtigkeit sind, beschäftigte er sich zunächst mit der Frage, ob die natürlichen
Zahlen und die reellen Zahlen gleichmächtig sind.
Er zeigte, dass dies nicht der Fall ist und mit Hilfe von Dedekind, der einen Beweis für die
Abzählbarkeit der reellen algebraischen Zahlen lieferte, zeigte er auch die Existenz von
transzendenten Zahlen. Nun aber kam er zu der für uns interessantesten Frage: Lässt
sich eine Fläche (etwa ein Quadrat mit Einschluss der Begrenzung) eindeutig auf eine
Linie (etwa eine gerade Strecke mit Einschluss der Endpunkte) eindeutig beziehen, so
dass zu jedem Puncte der Fläche ein Punct der Linie und umgekehrt zu jedem Puncte
der Linie ein Punct der Fläche gehört? , die Cantor am 5. Januar 1874 in einem Brief
an Dedekind [2, S.20] gestellt hat. Am 20. Juni 1877 schrieb er seinen Beweis hierfür an
Dedekind, welcher eine Ungenauigkeit in diesem entdeckte und Cantor in einem Brief
vom 22. Juni 1877 darauf hinwies, dass die Dezimaldarstellungen der Zahlen nicht eindeutig sind. Er konnte diesen Fehler jedoch leicht beheben [2, S.25.]. Wir folgen nun
Cantors Beweisidee und zeigen:
Satz. I
und
I n := [0, 1] × [0, 1] × ... × [0, 1]
{z
}
|
sind gleichmächtig für ein
n ∈ N.
n−mal
Beweis: Wir zeigen zunächst, dass eine injektive Abbildung ϕ : I n → I
existiert. Ge-
geben sei

 
x1
0, α1,1 α1,2 α1,3 · · · α1,v · · ·
 x2   0, α2,1 α2,2 α2,3 · · · α2,v · · ·

 
x =  ..  = 
.
.
 .  
.
xn
0, αn,1 αn,2 αn,3 · · · αn,v · · ·



 ∈ I n,

wobei wir uns darauf einigen, bei der Darstellung der Dezimalzahlen auÿer der Null keinen Nullerschweif zuzulassen, d.h. statt
1, 0
schreiben wir
Darstellung der Zahlen eindeutig.
6
0, 9
usw. und somit ist unsere
Für die Abbildung gilt
ϕ(x) = 0, α1,1 α2,1 α3,1 · · · αn,1 α1,2 α2,2 · · · αn,2 α1,3 · · · αn,3 · · · α1,v α2,v · · · αn,n
n
und infolgedessen ist jedem x ∈ I eindeutig ein Punkt in I zugeordnet. Allerdings gilt
ϕ(I n ) ⊂ I . Wir haben nun eine injektive Abbildung von I n nach I . Da gilt I ⊂ I n , ist
n
es leicht, eine injektive Abbildung von I nach I zu nden, denn es genügt die Identität.
n
Mit dem Theorem von Cantor-Bernstein-Schröder folgt nun |I| = |I |.
Im Jahre 1879 zeigte Eugen Netto, dass eine Funktion
f,
die eine raumfüllende Kurve
darstellt, nicht bijektiv sein kann [1, S.5].
Theorem.(Netto) Sei f
eine biijektive Abbildung von einer
zierbaren Mannigfaltigkeit
µn
und es gilt
m 6= n,
µm
dann ist
auf die
f
n-dimensionale
dieren-
dierenzierbare Mannigfaltigkeit
unstetig.
Wir beweisen hier nur den Fall einer Abbildung von
Beweis:
m-dimensionalen
I
auf
2, W
und
T.
eine stetige, bijektive Abbildung von I auf 2 (oder W , oder T ), dann
−1
existiert die Umkehrabbildung f
: 2 (oder W , oder T )→ I . Da I kompakt ist und
f
Sei
f
stetig und bijektiv ist, gilt für die Umkehrabbildung, dass diese stetig ist. Da jede
stetige Funktion zusammenhängende Mengen wieder auf zusammenhängende Mengen
−1
abbildet, gilt dies auch für f
. Sei nun ein t0 ∈ (0, 1) gegeben. Es gilt 2 \{f (t0 )}
−1
(oder W\{f (t0 )}, oder T \{f (t0 )}) ist zusammenhängend, aber f
(2 \{f (t0 )}) (oder
−1
−1
f (W\{f (t0 )}), oder f (T \{f (t0 )}))= I\{t0 } ist nicht zusammenhängend. Dies ist
ein Widerspruch und somit muss
f
unstetig sein.
7
3 Peano Kurve
3.1 Giuseppe Peano
Am 27. August 1858 erblickte Giuseppe Peano in Italien das Licht der Welt. Er wuchs etwas auÿerhalb des
Dorfes Spinetta 5 km von Cuneo entfernt auf, bis sich
seine Eltern dazu entschlossen, den eigenen Hof zu verpachten und in die Stadt zu ziehen, um den Kindern
den langen Schulweg zu ersparen. Das Paar tat viel für
die Ausbildung ihrer Kinder, was zu dieser Zeit keine
Selbstverständlichkeit war.
Im Alter von 12 oder 13 bot der Onkel Peanos, ein
Priester, an, ihn bei sich in Turin aufzunehmen. Dies
ermöglichte die weitere Ausbildung des Jungen. Er erhielt in Turin Privatunterricht und lernte im Selbststudium. 1873 bestand Guiseppe die Aufnahmeprüfung für
die Untersekunda am Lyzeum-Gymnasium Cavour, wo
er 1876 das Maturitätszeugnis erwarb. Aufgrund seiner
Abbildung 2: Guiseppe Peano
guten Leistungen gewann er ein Stipendium für Unter-
[1, S. 31]
kunft und Verpegung am Collegio delle Provincie. Ab
dem 2. Oktober 1876 war Peano an der Universität in
Turin immatrikuliert. Ursprünglich begann er mit dem Studium der Ingenieurswissenschaft, aber nach dem zweijährigen Propädeutikum entschloss er sich zu einem Studium
der Mathematik. Peano hörte die Vorlesung von Enrico D'Ovidio über Algebra und
analytische Geometrie und wurde von 1880 bis 1881 sein Assistent.
Dieser Posten sollte weichenstellend für seine weitere Karriere sein. Andere Vorlesungen, die er hörte, waren Ornamentales Zeichnen, projektive Geometrie und technisches
Zeichnen, Chemie, Zoologie, Mineralogie und Geologie, darstellende Geometrie, Geodäsie, Mechanik, höhere Geometrie, mathematische Physik sowie höhere Analysis bei
Angelo Genocchi. Jener prägte Peano wahrscheinlich was Gelehrsamkeit und Exaktheit
anging. Die Gebiete, auf denen Genocchi forschte, waren unendliche Reihen, die Integralrechnung und besonders die Zahlentheorie.
In einem Wettbewerb der naturwissenschaftlichen Fakultät errang Guiseppe Peano in
seinem zweiten Studienjahr den vierten Platz, nachdem er im ersten Jahr den neunten
Platz geholt hatte. Daraufhin wurden ihm die Semestergelder erlassen. Peanos Leistungen in seiner Abschlussprüfung am 16. Juli 1880 wurden mit maximaler Punktzahl
bewertet und er erhielt den Titel eines Doktors der Mathematik.
Die nächsten zehn Jahre verbrachte Peano als Assistent an der mathematischen Fakultät der Universität Turin, zuerst unter D'Ovidio, dann unter Genocchi. Im Frühjahr
1882 machte er bei einer Vorbereitung zu einer Vorlesung seine erste von vielen wichtigen Entdeckungen, welche groÿen Einuss auf die höhere Analysis hatten. Sein erstes
Werk Calacolo dierenziale erschien 1884, jedoch wurde zuerst Genocchi als Verfasser
genannt, da Peano als Grundlage auf dessen Vorlesung zur höheren Analysis zurückge-
8
grien hatte. Genocchi wies in verschiedenen mathematischen Zeitschriften daraufhin,
dass Peano der Verfasser und Urheber des Buches ist, denn er hatte nicht nur wichtige
Anmerkungen zu seiner Vorlesung gemacht, sondern sie verbessert. Einige wichtige Inhalte sind zum Beispiel Lehrsätze und Bemerkungen über die Grenzwerte unbestimmer
Ausdrücke, eine Verallgemeinerung des Mittelwertsatzes für Ableitungen und ein Lehrsatz über die gleichmäÿige Stetigkeit einer Funktion in mehreren Variablen. Weiterhin
verstand sich Peano hervorragend darauf, alte Irrtümer in der Dierential- und Integralrechnung aufzudecken und Unklarheiten in Lehrsätzen und Denitionen zu beseitigen.
Auch fand er stets überzeugende Gegenbeispiele.
Peanos zweites Buch Applicazioni geometriche del calcolo innitesimale wurde 1887
veröentlicht. Hierbei denierte er das Maÿ einer Punktmenge. Diese Idee hatte im gleichen Jahr auch Jordan, jedoch unabhängig von Peano. Ab dem Jahr 1886 unterrichtete
Peano auch als Professor an der Militärakademie. Ein Jahr später, am 21. Juli 1887,
heiratete er Carola Crosio, die Tochter eines anerkannten Genremalers. In Calcolo geometrico, secondo seinem dritten Buch, schreibt er zum erstenmal über mathematische
Logik, wenn auch nur im ersten Kapitel. 1889 in einer 36-seitigen Broschüre brachte Peano eine Menge sensationeller Erkenntnisse, denn darin ist seine erste Auseinandersetzung
mit den Axiomen für die natürlichen Zahlen, sowie die Einführung zweier unterschiedliche Symbole für eine Teilmengenbeziehung und das Element einer Menge.
Als Angelo Genocchi im Frühjahr 1889 verstarb, dauerte es über ein Jahr bis Peano zu
seinem Nachfolger ernannt wurde. Am 1. Dezember 1890 konnte er die Stelle des Extraordinarius für Dierential- und Integralrechnung antreten. Er brachte im darauolgenden
Jahr seine erste eigene Fachzeitschrift, die Rivista di Mathematica, heraus. Aus einem
Formelsammlungprojekt, der Formulaire, welche als Beilage zur Rivista gedacht war,
wurde bald eine wichtigere Reihe als jene. Beim ersten Internationalen Mathematikerkongress war er einer der vier Hauptredner neben Poincaré (dessen Vortrag in seiner
Abwesenheit von Franel gelesen wurde), Hurwitz und Felix Klein, doch statt einen traditionellen Vortrag zuhalten, verteilte er Auszüge aus dem zweiten Band der Formulaire
und referierte darüber. Neben seiner Lehrtätigkeit half er auch bei der Verbesserung des
Mathematikunterrichts an höheren Schulen.
Im August des Jahres 1900 besuchte Peano den Ersten Internationalen Philosophischen
Kongress und hatte dort mit seinen Anhängern einen groÿen Anteil an der Diskussion über die Philosophie der Naturwissenschaften. Auch am Zweiten Internationalen
Mathematikerkongress nahm er teil, diesmal allerdings nicht als Referent. Beide Veranstaltungen fanden in Paris, der Stadt der Weltausstellung 1900, statt. Nach 15-jähriger
Lehrtätigkeit an der Militärakademie schied Peano freiwillig aus dieser aus. Zuvor wurde
die Kritik an seinen Vorlesungen immer lauter. Zwar war er zu Beginn seiner Lehrtätigkeit ein ausgezeichneter Lehrer, aber später rückte das Formulaireprojekt immer mehr in
den Vordergrund. Kollegen baten ihn um die Rückkehr zu seinen alten Lehrmethoden,
aber vergeblich. Normalerweise wurden die Vorlesungen der Mathematik für die Studenten des Polytechnikums und der naturwissenschaftlichen Fakultät in den ersten beiden
Studienjahren zusammengelegt. Um die Studenten Peanos Einuss zu entziehen, trennte das Polytechnikum die Gruppen. Erst 1925 tauschte Peano seine Vorlesung und hielt
von nun an den Kurs in ergänzender Mathematik. Bis 1903 reifte in Peano die Idee ei-
9
ner universellen Sprache der Wissenschaft, welche ihn bis an sein Lebensende begleitete.
Schon auf den beiden Kongressen in Paris wurde über eine Hilfsprache zur internationalen Verständigung diskutiert. Peano entwickelte ein grammatikfreies Latein, Latino sin
exione, erhob aber nie Anspruch selbst auf die Idee gekommen zu sein, sondern schrieb
den Verdienst Leibniz zu. Am Dritten Internationalen Mathematikerkongress nahm er
nicht teil, hingegen folgte er einer Einladung zum Zweiten Internationalen Philosophischen Kongress als vom ersten Kongress gewähltes Mitglied der ständigen internationalen
Kommission.
In einem Artikel des Jahres 1906 bekannte Peano sich als Nichtformalist und widerlegte fälschlicherweise Zermelos Auswahlaxiom, aber trotz der Meinungsverschiedenheit
darüber kam es zu einem freundschaftlichen Treen der beiden auf dem Vierten Internationalen Mathematikerkongress in Rom 1908. Bis zum Jahr 1908 betrieb Peano
weiterhin mathematische Grundlagenforschung, so entdeckte er unter anderem einen
weiteren Beweis des Satzes von Cantor-Bernstein, aber mit der Ernennung zum Präsidenten der Volapük-Akademie in Turin (Volapük ist eine künstliche Sprache, welche
allerdings schon zu Peanos Zeiten ihren Zenit überschritten hatte) wandte er sich immer
mehr der Interlinguistik zu. Er richtete die Akademie neu aus, lieÿ sie in Academia pro
Interlingua umbenennen, und blieb bis zu seinem Tod ihr Direktor. Am fünften Mathematikerkongress hielt Peano ein kurzes Referat von geringer mathematischer Relevanz.
Vielmehr wollte er die Gelegenheit nutzen die Interlingua vorzuführen, was ihm aber
aufgrund der Tagesordnung, die nur vier Sprachen (Deutsch, Englisch, Französisch und
Italienisch) vorsah, verwehrt blieb. Nachdem vergeblichen Versuch die Hilfsprache an
der Akademie der Wissenschaften in Turin zu fördern, schrieb er im Herbst 1912 eine
wichtige Arbeit zu der Beziehung zwischen Ableitungen und Dierentialen.
Während der Zeit des ersten Weltkrieges von 1914 bis 1918 war es schwierig die internationalen Verbindungen aufrechtzuerhalten und die Academia pro Interlingua konnte
erst 1922 wieder geönet werden. In zwei kurzen Aufsätzen 1915 und 1916 äuÿerte Peano seine Gedanken zum Krieg und machte vor allem die Sprachgrenzen und den daraus
entstehenden Patriotismus als kriegsauslösende Motive aus. In seinem zweiten Aufsatz
zeigte er die mehrsprachige Schweiz als Vorbild für eine hervorragend funktionierende
Demokratie und rief England, Frankreich, Italien und Russland dazu auf, sich enger
zusammenzuschlieÿen um ein rasches Kriegsende herbeizuführen. Der nächste Mathematikerkongress, der in Stockholm vorgesehen war, wurde wegen des Krieges abgesagt
und fand erst 1920 in Straÿburg statt. Peano blieb diesem fern. Auf dem Kongress 1924
in Toronto hielt er wieder ein Referat, diesmal komplett in seinem Latino sine exione.
Am Morgen des 20. April 1932 verstarb Peano plötzlich. Er hatte am Vortag noch unterrichtet. Schon zu Lebzeiten wurde er mit vielen Auszeichnung geehrt. Die italienische
Regierung verlieh ihm 1895 den Orden des Ritters des Königreichs Italien, 1917 wurde er
sogar zum Uciale (Ritter des höheren Grades) ernannt. 1901 wurde Peano zum Ritter
des Ordens der Heiligen Maurizio und Lazzaro geschlagen. Eine der höchsten Auszeichnungen für einen italienischen Wissenschaftler erhielt Peano 1905, als er zum Mitglied
der Accademia dei Lincei ernannt wurde.(vgl. [8])
10
3.2 Denition der Peano-Kurve
Wie schon erwähnt, neigte Peano dazu Irrtümer in der Mathematik aufzuspüren und
überzeugende Gegenbeispiele zu nden. Eines der wichtigesten ist seine raumfüllende
Kurve. Bis zum Jahre 1890 nahm man an, dass eine stetige Kurve mit parametrischer
Funktion einer einzigen Variablen
x = ϕ(t)
und
y = ψ(t)
das Einheitsintervall nicht
surjektiv auf das Einheitsquadrat abbilden könnte. Grund hierfür war das Theorem von
Eugen Netto, der gezeigte hatte dass eine Bijektion, die dies erfüllt, unstetig sein muss.
Peano jedoch fand eine stetige Funktion
fp ,
so dass
fp (I) = 2 .
Denition.(Peano-Kurve) Die Abbildung fp : I → 2
fp (03 , t1 t2 t3 t4 · · · ) =
und dem Operator
[8, S. 17]
mit
03 , t1 (k t2 t3 )(k t2 +t4 t5 ) · · ·
03 , (k t1 t2 )(k t1 +t3 t4 ) · · ·
ktj = 2 − tj (tj = 0, 1, 2),
wobei
kv
für die
v -te
,
Iteration von
k
steht,
nennen wir die Peano-Kurve.
Da jede endliche ternäre Zahl auch als unendliche ternäre Zahl mit Zweierschweif dargestellt werden kann, anschaulich
03 , t1 t2 t3 · · · tn t = 03 , t1 t2 t3 · · · tn (t − 1)2, t = 1, 2,
müssen wir zeigen, dass der Wert von
fp
nicht davon abhängt wie die Zahl dargestellt
wird.
Proposition. Die Peano-Kurve ist unabhängig von der Darstellung der ternären Zahl.
Beweis: Zuerst betrachten wir den Fall n = 2m und nur die erste Komponente ϕp
2
von
fp . Es ist klar, dass der Operator k zu sich selbst invers ist, denn k t = k(2 − t) =
2 − (2 − t) = t, d.h. k v t = t, wenn v gerade ist. Wir benutzen die abkürzende Notation
τ = t2 + t4 + · · · + t2m .
Es gilt
ϕ(03 , t1 t2 t3 · · · t2m t) = 03 , t1 (k t2 t3 )(k t2 +t4 t5 ) · · · (k τ t)(k τ +t2m+2 0) · · · =
= 03 , t1 (k t2 t3 )(k t2 +t4 t5 ) · · · (k τ t)(k τ 0), da ti = 0, wenn i > 2m,
(
03 , t1 (k t2 t3 )(k t2 +t4 t5 ) · · · t, wenn τ gerade ist
=
03 , t1 (k t2 t3 )(k t2 +t4 t5 ) · · · (2 − t)(2 − 0) = 03 , t1 (k t2 t3 )(k t2 +t4 t5 ) · · · (3 − t),
11
sonst.
und für
ϕ(03 , t1 t2 t3 · · · t2m (t − 1)2) = 03 , t1 (k t2 t3 ) · · · (k τ (t − 1))(k τ +2 2)(k τ +4 2) · · ·
(
03 , t1 (k t2 t3 )(k t2 +t4 t5 ) · · · (t − 1)2 = 03 , t1 (k t2 t3 )(k t2 +t4 t5 ) · · · t, wenn τ gerade ist
=
03 , t1 (k t2 t3 )(k t2 +t4 t5 ) · · · (2 − (t − 1)) = 03 , t1 (k t2 t3 )(k t2 +t4 t5 ) · · · (3 − t), sonst.
D.h. für
n = 2m
ist
ϕp
von der Darstellung unabhängig. Nun zu dem Fall, dass
n
unge-
rade ist.
Es sei
n = 2m + 1,
dann gilt
ϕ(03 , t1 t2 t3 · · · t2m+1 t) = 03 , t1 (k t2 t3 )(k t2 +t4 t5 ) · · · (k τ t2m+1 )(k τ +t 0) · · · =
(
03 , t1 (k t2 t3 )(k t2 +t4 t5 ) · · · (t2m+1 )(k t 0), wenn τ gerade ist
=
03 , t1 (k t2 t3 )(k t2 +t4 t5 ) · · · (2 − t2m+1 )(k t 0), sonst.
ϕ(03 , t1 t2 t3 · · · t2m+1 (t − 1)2) = 03 , t1 (k t2 t3 )(k t2 +t4 t5 ) · · · (k τ t2m+1 )(k τ +(t−1) 2) =
= 03 , t1 (k t2 t3 )(k t2 +t4 t5 ) · · · (k τ t2m+1 )(k τ +t 0) =
(
03 , t1 (k t2 t3 )(k t2 +t4 t5 ) · · · (t2m+1 )(k t 0), wenn τ gerade
=
03 , t1 (k t2 t3 )(k t2 +t4 t5 ) · · · (2 − t2m+1 )(k t 0), sonst.
somit ist
ϕp
auch im Fall eines ungeraden
ist
n nicht von der Darstellung abhängig. Für die
zweite Komponente verläuft der Beweis analog.
Nun überprüfen wir ob diese Zuordnung alle Bedingungen erfüllt, die wir an eine raumfüllende Kurve stellen.
Satz. Die Peano-Kurve ist surjektiv.
Beweis:
t∈I
(03 , β1 β2 β3 β4 · · · ; 03 , γ1 γ2 γ3 γ4 · · · ) ∈ 2
03 , β1 β2 β3 β4 · · ·
.
03 , γ1 γ2 γ3 γ4 · · ·
Wir zeigen, dass für jedes Tupel
existiert mit
fp (t) =
t0 = 0, dann gilt
βn = k t0 +t2 +t4 +···+t2n−2 t2n−1
ein
Es sei
und
γn = k t1 +t3 +t5 +···+t2n−1 t2n
(siehe Denition). Da
k
invers
zu sich selbst ist, folgt
t2n−1 = k t0 +t2 +t4 +···+t2n−2 βn und
nen wir nun sukzessive lösen
surjektiv.
t2n = k t1 +t3 +t5 +···+t2n−1 γn . Dieses Gleichungssystem könβ
beginnend mit t1 = β1 , t2 = k 1 γ1 , usw. Somit ist fp
Satz. Die Peano-Kurve ist stetig.
Beweis:
fp ,
ϕp , die erste Komponente
t0 = 03 , t1 t2 t3 · · · t2n t2n+1 · · ·
(Federico Prat-Villar) Wir zeigen zuerst, dass
rechtsseitig stetig ist für alle
t ∈ [0; 1).
12
Es sei
von
die
t0 , die keine Zweierperiode am Ende hat und es sei δ = (1/3)2n −
03 , 0 · · · 0t2n+1 t2n+2 · · ·
2n
Da t0 + δ = 03 , t1 t2 t3 · · · + (1/3)
− 03 , 0 · · · 0t2n+1 t2n+2 · · · = 03 , t1 t2 · · · (t2n + 1) =
03 , t1 t2 · · · t2n 2 ist, muss jedes t ∈ [t0 , t0 + δ) in den ersten 2n Nachkommastellen mit t0
Darstellung von
übereinstimmen.
Sei
t = 03 , t1 t2 t3 · · · t2n τ2n+1 τ2n+2 · · ·
mit
= t2 + t4 + t6 + · · · + t2n ,
dann gilt
|ϕp (t) − ϕp (t0 )| = |03 , t1 (k t2 t3 ) · · · (k τ2n+1 ) · · · − 03 , t1 (k t2 t3 ) · · · (k t2n+1 ) · · · | =
= |03 , 0 · · · 0(k τ2n+1 ) · · · − 03 , 0 · · · 0(k t2n+1 ) · · · |
5 |k τ2n+1 − k t2n+1 |/3n+1 + |k +τ2n+2 τ2n+3 − k +t2n+2 t2n+3 |/3n+2 + · · ·
∞
X
2/3n+1
n+1
n+1
5 (2/3 )(1 + 1/3 + 1/9 + · · · ) = (2/3 )
1/3i =
= 2/3n → 0 für n → ∞.
2/3
i=0
Somit ist
ϕp
rechtsseitig stetig.
= 03 , t1 t2 t3 · · · t2n t2n+1 · · · die nicht-endliche Darstelt0 . Es sei δ = 03 , 0 · · · 0t2n+1 t2n+2 · · · , dann ist t0 − δ = 03 , t1 t2 t3 · · · t2n und wir
sehen, dass t ∈ (t0 − δ, t0 ] in den ersten 2n Nachkommastellen mit t0 übereinstimmt. Mit
dem selben Argument wie oben folgt nun die linksseitige Stetigkeit von ϕp und somit
die Stetigkeit auf ganz I .
Die Stetigkeit der zweiten Komponente ψp von fp folgt mittels der Eigenschaft, dass
ψp (t) = 3ϕp (t/3) ist.
3ϕp (t/3) = 3ϕp (03 , 0t1 t2 t3 · · · ) = 3 · 03 , 0(k t1 t2 )(k t1 +t3 t4 ) · · · = 03 , (k t1 t2 )(k t1 +t3 t4 ) · · · =
ψp (t). Da ϕp stetig auf I ist, ist 3ϕp stetig auf I , somit auch ψp und letztlich ist fp stetig
auf I .
Nun zur Stetigkeit von links. Sei t0
lung von
Und da
fp (I) = 2 ,
gilt
J2 (fp (I )) > 0
und es folgt:
Korollar. Die Peano-Kurve ist eine raumfüllende Kurve.
Es handelt sich hierbei um eine Funktion die nirgends dierenzierbar ist. Peano selbst
bewies dies nicht, aber Moore gab in [9] einen ersten Nachweis dieser Eigenschaft. Wir
folgen einer Idee Sagans.[1, S. 34]
Satz. Die Peano-Kurve ist nirgends dierenzierbar.
Beweis: Für jedes t = 03 , t1 t2 t3 · · · t2n t2n+1 t2n+2 · · · ∈ I
denieren wir
tn = 03 , t1 t2 t3 · · · t2n τ2n+1 t2n+2 · · · , wobei τ2n+1 = t2n+1 + 1(mod2).
Dann ist |t − tn | = |03 , t1 t2 t3 · · · t2n t2n+1 t2n+2 · · · − 03 , t1 t2 t3 · · · t2n τ2n+1 t2n+2 · · · | =
= |03 , 0 · · · 0t2n+1 0 · · · − 03 , 0 · · · 0τ2n+1 0 · · · = 03 , 0 · · · 01 = 1/32n+1 .
Nach Denition der Peano-Kurve unterscheiden sich ϕp (t) und ϕp (tn ) nur in der (n+1)ten Stelle (in der ternär Darstellung) und es folgt
|ϕp (t) − ϕp (tn )| = |k t2 +···+t2n t2n+1 − k t2 +···+t2n τ2n+1 |/3n+1 = 1/3n+1 .
n
Also ist |ϕp (t) − ϕp (tn )|/|t − tn | = 3 → ∞ für n → ∞, d.h. ϕp ist nirgends dierenzierbar.
13
Die Nirgends-Dierenzierbarkeit von
ψp ,
folgt wieder mittels
ψp (t) = 3ϕp (t/3)
und es
gilt, dass die Peano-Kurve nirgends dierenzierbar ist.
3.3 Geometrische Darstellung der Peano-Kurve
Auch wenn in Peanos Schriften keine geometrische Interpretation seiner raumfüllenden
Kurve zu nden ist, liegt es nahe, eine solche anzugeben. Hilbert stieÿ wahrscheinlich
durch die folgende Überlegung auf sein Generierungsprinzip für raumfüllende Kurven [1,
S.34]:
Abbildung 3: Peanos Abbildung (vgl. [1, S. 35])
Nach Denition der Peano-Kurve gilt
fp (03 , 00t3 t4 t5 · · · ) =
03 , 0ξ2 ξ3 ξ4 · · ·
03 , 0η2 η3 η4 · · ·
,
[0, 91 ] auf das Teilquadrat 1 in Abbildung 3 abgebildet wird. Mit dem
1 2
folgt für t ∈ [ , ]
9 9
03 , 0ξ20 ξ30 ξ40 · · ·
fp (t) = fp (03 , 01t3 t4 t5 · · · ) =
,
03 , 1η20 η30 η40 · · ·
womit das Intervall
selben Argument
dass das Bild in Teilquadrat 2 liegt. Man kann dies nun fortführen und sieht, dass das
j−1 j
Intervall [
, 9 ] auf das Quadrat j abgebildet wird. Dieser Sachverhalt legt nahe, dass
9
2n
wir Peanos Kurve erhalten, wenn wir I in 3
kongruente Teilintervalle zerlegen und diese
2n
für n = 1, 2, 3, ... auf 3
kongruente Teilquadrate abbilden, wie in Abbildung 4 für die
ersten drei Schritte. Dass uns dies eine raumfüllende Kurve liefert sowie die Surjektivität
und Stetigkeit dieser Abbildung, sehen wir im nächsten Kapitel. Wir zeigen nun, dass es
sich bei der geometrischen Peano-Kurve um die von uns denierte Peano-Kurve handelt.
14
Abbildung 4: Geometrische Generierung der Peano-Kurve (vgl. [1, S. 35])
Hierzu nehmen wir an, dass die raumfüllende Kurve
Generierungsprinzip erhalten, in dem Punkt
(1, 1)
(0, 0)
gp∗ ,
die wir durch das geometrische
startet und diagonal gegenüber in
endet. Dabei müssen die Teilquadrate derart orientiert sein, dass der Endpunkt
eines Quadrates mit dem Anfangspunkt des folgenden übereinstimmt. Wir haben dies
in Abbildung 5 illustriert. Der Pfeil zeigt die Richtung vom Anfangspunkt zum Endpunkt. Wir nutzen nun die komplexe Darstellung der nötigen Transformationen, um
eine algebraische zu erhalten. Man sieht leicht, dass sich die Teilquadrate 1,3,7 und 9 ergeben, indem man
2
im Verhältnis 3:1 zum Ursprung verkürzt, und diese nun verschiebt:
(Hierbei benennen wir die Transformationen so, dass ihr Index mit der ersten Stelle von
t
in triadischer Darstellung übereinstimmt anstatt mit der Nummer des Teilquadrates.)
Abbildung 5: Zuordnung des Quadrates (vgl. [1, S. 36])
15
1
2i
1
2
1
2 2i
1
P0 z = z, P2 z = z + , P6 z = z + , P8 z = z + + .
3
3
3
3
3
3
3
3
Um das Teilquadrat 2 zu erhalten, müssen wir Teilquadrat 1 an der imaginären Achse
spiegeln und verschieben:
1
1 i
P1 z = − z̄ + + .
3
3 3
Teilquadrat 4 entspricht Teilquadrat 1, gespiegelt an der reellen Achse und verschoben:
1
1
P3 z = z̄ + i + .
3
3
Wir erhalten Teilquadrat 5, wenn wir Teilquadrat 1 um
180◦
drehen und verschieben:
1
2 2i
P4 z = − z + + .
3
3
3
Die Teilquadrate 6 und 8 erhält man wie die Teilquadrate 4 und 2, abgesehen von der
Verschiebung:
1
1 i
1
i
P5 z = z̄ + + , P7 z = − z̄ + 1 + .
3
3 3
3
3
Teilt man die Transformationen nun in Realteil und Imaginärteil auf, ergeben sich folgende Transformationen:
1 0
1
1
1 1 0
ξ
+
=: P0 x + p0
P0
=
η
3 0 1
3 0
3
3
1
1 −1 0
1 1
1
ξ
ξ
P1
=
+
=: P1 x + p1
η
0
1
η
1
3
3
3
3
1 1 0
1 0
1
1
ξ
ξ
P2
=
+
=: P2 x + p2
η
η
3 0 1
3 2
3
3
1 1 0
1 1
1
1
ξ
ξ
P3
=
+
=: P3 x + p3
η
η
3 0 −1
3 3
3
3
1 −1 0
1 2
1
1
ξ
ξ
P4
=
=: P4 x + p4
+
η
η
3 0 −1
3 2
3
3
1 1 0
1 1
1
1
ξ
ξ
P5
=
+
=: P5 x + p5
η
η
3 0 −1
3 1
3
3
1 1 0
1 2
1
1
ξ
ξ
P6
=
+
=: P6 x + p6
η
η
3 0 1
3 0
3
3
1 −1 0
1 3
1
1
ξ
ξ
P7
=
+
=: P7 x + p7
0
1
η
1
η
3
3
3
3
ξ
η
16
P8
ξ
η
1
=
3
1 0
0 1
ξ
η
1
+
3
2
2
1
1
=: P8 x + p8
3
3
Wir werden diese Transformationen benutzen, um zu zeigen:
Theorem. Die algebraische Peano-Kurve fp und die geometrische Peano-Kurve gp sind
identisch für alle
Beweis:
t ∈ [0, 1].
gp (t) = fp (t) für alle t ∈ D, wobei D =
{03 , t1 t2 t3 ...t2n |tj = 0, 1 oder 2, n = 1, 2, 3, ...} dicht in I liegt und es wird uns dann
möglich sein darauf zu schlieÿen, dass fp (t) = gp (t) für alle t ∈ I .
Zuerst werden wir zeigen, dass
Wir notieren, dass
t2
t3
t2n−1
t2n
t1
+ 2 + 3 + · · · + 2n−1 + 2n + · · · =
3
3
3
3
3
3t2n−1 + t2n
3t1 + t2 3t3 + t4
+
+ ··· +
+ · · · = 09 , (3t1 + t2 )(3t3 + t4 )...(3t2n−1 + t2n )
=
9
92
92n
03 , t1 t2 t3 ...t2n−1 t2n ... =
t liegt
(3t1 + t2 )-
und können nun die Natur von Hilberts Generieungsprozess nutzen. Die Variable
im
(3t1 + t2 )-ten
Teilintervall der ersten Partition von
I,
und wird auf das
2 in neun Teilquadrate, abgebildet, das heiÿt
gp (t) ∈ P3t1 +t2 2 . Weiterhin liegt es im (3t3 +t4 )-ten Teilquadrat der zweiten Partition, in
dem (3t1 + t2 )-ten Teilquadrat P3t1 +t2 der ersten Partition, also gp (t) ∈ P3t1 +t2 P3t3 +t4 2 .
te Teilquadrat der ersten Partition von
Wir führen dieses Argument ad innitum und erhalten so
gp (t) = lim P3t1 +t2 P3t3 +t4 ...P3t2n−1 +t2n 2 ,
n→∞
wobei das Inklusionsymbol durch ein Gleichheitszeichen ersetzt wurde, da die schrumpfenden Teilquadrate zu Punkten degenerieren.
Insbesondere gilt
gp (03 , t1 t2 t3 ...t2n−1 t2n ) = P3t1 +t2 P3t3 +t4 ...P3t2n−1 +t2n (0),
da
03 , t1 t2 t3 ...t2n−1 t2n = 03 , t1 t2 t3 ...t2n−1 t2n 000....
und
1
z = 0.
n→∞ 3n
P0 P0 P0 ...z = lim Pn0 z = lim
n→∞
Mit Hilfe der Induktion nach
n
zeigen wir nun
fp (03 , t1 t2 t3 ...t2n−1 t2n ) = gp (03 , t1 t2 t3 ...t2n−1 t2n )
für alle
n ∈ N.
17
(I )
Um nachzuweisen, dass dies für
0, 1, 2, 3, ..., 8
n = 1 gilt, müssen wir alle neun Möglichkeiten 3t1 +t2 =
überprüfen.
t = 03 , 00,
0
0
03 , 0(k 0 0)(k 0 0)...
gp (03 , 00) = P0
=
=
= fp (03 , 00).
0
0
03 , (k 0 0)(k 0 0)...
Zuerst, betrachten wir
Nun sei
t = 03 , 01,
gp (03 , 01) = P1
Für
t = 03 , 02
0
0
=
1
3
1
3
=
03 , 02̄
03 , 10
03 , 0(k 2 0)(k 2 0)...
03 , (k 0 2)(k 0 0)...
=
03 , 0(k 1 0)(k 1 0)...
03 , (k 0 1)(k 0 0)...
= fp (03 , 01).
gilt
gp (03 , 02) = P2
Wir zeigen noch den Fall
gp (03 , 12) = P5
0
0
0
0
=
0
2
3
=
= fp (03 , 02).
t = 03 , 12,
=
1
3
1
3
=
03 , 10
03 , 02̄
=
03 , 1(k 0 0)(k 2 0)...
03 , (k 1 2)(k 1 0)...
= fp (03 , 12).
Die restlichen Fälle folgen analog.
Unsere Induktionsannahme lautet:
fp (03 , t3 t4 t5 ...t2n−1 t2n ) = gp (03 , t3 t4 t5 ...t2n−1 t2n ).
Sei
fp (03 , t3 t4 t5 ...t2n ) =
03 , ξ2 ξ3 ξ4 ...
03 , η2 η3 η4 ...
,
(II )
mit
ξ2 = t3 , ξ3 = k t4 t5 , ξ4 = k t4 +t6 t7 , ...
und
η2 = k t3 t4 , η3 = k t3 +t5 t6 , η4 = k t3 +t5 +t7 t8 , ...
Wir zeigen nun, dass
Fälle für
3t1 + t2
Zuerst sei
(I)
wahr ist, ausgehend von
(II).
.
Man muss nun wieder alle neun
überprüfen, wir beschränken uns allerdings auf drei dieser:
t = 03 , 02,
dann gilt
3t1 + t2 = 2.
In Anbetracht von
(I)
und
(II),
erhalten
wir
03 , ξ2 ξ3 ξ4 ...
03 , 0ξ2 ξ3 ξ4 ...
0
gp (03 , 02t3 t4 ...t2n ) = P2
=
+
03 , η2 η3 η4 ...
03 , 0η2 η3 η4 ...
03 , 2
.
2
2+t4
03 , 0ξ2 ξ3 ξ4 ...
03 , 0(k t3 )(k
t5 )...
=
=
= fp (03 , 02t3 t4 ...t2n )
03 , 2η2 η3 η4 ...
03 , (k 0 2)((k 0+t3 t4 )...
18
3t1 + t2 = 7. Wir haben
03 , ξ2 ξ3 ξ4 ...
−03 , 0ξ2 ξ3 ξ4 ...
1
gp (03 , 21t3 t4 ...t2n ) = P7
=
+ 1
03 , η2 η3 η4 ...
03 , 0η2 η3 η4 ...
3
03 , 2̄ − 03 , 0ξ2 ξ3 ξ4 ...
03 , 2(2 − ξ2 )(2 − ξ3 )(2 − ξ4 )...
=
=
03 , 1η2 η3 η4 ...
03 , 1η2 η3 η4 ...
03 , 2(kξ2 )(kξ3 )(kξ4 )...
=
.
03 , 1η2 η3 η4 ...
Dann sei
t = 03 , 21
mit
Auf der anderen Seite gilt
fp (03 , 21t3 t4 t5 ...t2n ) =
03 , 2(k 1 t3 )(k 1+t4 t5 )...
03 , (k 2 1)(k 2+t3 t4 ...
=
03 , 2(kξ2 )(kξ3 )(kξ4 )...
03 , 1η2 η3 η4 ...
.
t = 03 , 11, also 3t1 + t2 = 4, und es ergibt
03 , ξ2 ξ3 ξ4 ...
−03 , 0ξ2 ξ3 ξ4 ...
03 , 2
gp (03 , 11t3 t4 t5 ...t2n ) = P4
=
+
03 , η2 η3 η4 ...
−03 , 0η2 η3 η4 ...
03 , 2
03 , 1(kξ2 )(kξ3 )...
03 , 1(kt3 )(k 1+t4 t5 )...
=
=
= fp (03 , 11t3 t4 t5 ...t2n ).
03 , 1(kη2 )...
03 , (k1)(k 1+t3 t4 )...
Schlieÿlich betrachten wir noch den Fall
sich
Wir überlassen die verbleibenden sechs Fälle dem geneigten Leser und betrachten
(I)
(0, 0) und dem
(1, 1) bildet eine Folge von stetigen Kurven, welche auf I gleichmäÿig gegen
gp konvergieren. Folglich ist gp stetig auf I . Wir wissen bereits, dass fp stetig auf I ist
als bewiesen. Der Polygonzug aus Abbildung 4 mit dem Anfangspunkt in
Endpunkt in
und haben gesehen, dass
h(t) = fp (t) − gp (t) = 0
Sei
von
für alle
t ∈ D.
t ∈ I\D. Dann existiert eine Folge (tk )k∈N → t mit tk ∈ D und wegen
h folgt h(t) = lim h(tk ) = lim 0 = 0, fp (t) = gp (t) für alle t ∈ I .
k→∞
k→∞
der Stetigkeit
Erwähnenswert ist, dass sich zwar in Peanos Aufzeichnung keine geometrische Interpretation der Peano-Kurve nden lässt, er sich allerdings auf der Terrasse seines im Sommer
1889 gekauften Hauses eine der Kurven dieser Folge mit schwarzen Flieÿen auf weiÿem
Grund anbringen lieÿ. [8, S. 17]
19
4 Hilbert Kurve
4.1 David Hilbert
David Hilbert kam am 23. Januar 1862 in Königsberg,
dem heutigen Kaliningrad und damaligen Hauptstadt
der Provinz Ostpreuÿen innerhalb des Deutschen Bundes, zur Welt. Ab 1870 besuchte er das Friedrichskolleg,
fühlte sich dort nicht glücklich, und wechselte zum letzten Schuljahr an das Wilhelms-Gymnasium, wo er 1880
das Abitur bestand. Danach studierte er bis auf das
zweite Semester, welches er in Heidelberg verbrachte, an
der Universität in Königsberg. Den gröÿten Einuss auf
den heranwachsenden Forscher hatten Ferdinand von
Lindemann, der zuvor die Transzendenz von
π
bewie-
sen hatte und auf der Höhe seines Ruhms stand, Adolf
Hurwitz und sein zwei Jahre jüngerer Studienkollege
Hermann Minkowski, der schon 1883 den groÿen Preis
der Pariser Akademie gewann. 1884 promovierte Hilbert
unter Lindemann. In seiner Dissertation beschäftigte er
sich mit der Invariantentheorie und bis 1892 drehten
Abbildung 6: David Hilbert [1,
S. 9]
sich die meisten seiner Werke um dieses Gebiet.
Im Mai 1885 bestand er zudem das Staatsexamen in
Mathematik und Physik. Eine Studienreise von 1885
bis 1886 führte ihn zuerst nach Leipzig zu Felix Klein, dem Lehrer Hurwitz'. Auf dessen
Rat reiste er weiter nach Paris, wo er auf Charles Hermite traf. Hilberts Habilitation
erfolgte 1886 in Königsberg und bis 1892 lehrte er dort als Privatdozent. Diese Zeit war
geprägt von seiner ausgedehnte Arbeit. Er beschäftigte sich auch mit kleinen Fragen,
welche auÿerhalb des Gebietes seiner groÿen Untersuchungen lagen. Die Vorlesungstätigkeit spielte eine groÿe Rolle für ihn, denn mit gut vorbereiteten Vorlesungen über
viele wichtige Themen legte er den Grundstein für sein groÿes Wissen, welches ihm die
Studienzeit nicht vermittelt hatte.
1892 beschloss Hilbert sich von der Invariantentheorie, in der er beachtenswerte Erfolge
erzielt hatte, abzuwenden. Er hielt hierzu lediglich drei weitere Vorlesungen. Die letzte
davon vor seinem Ruhestand. Sein Interesse galt nun der Zahlentheorie. Im selben Jahr
starb Leopold Kronecker und Karl Weierstraÿ trat von der Lehrtätigkeit zurück. Es wurde eine gröÿere Anzahl an Berufungen nötig und so kam es, dass Hurwitz einem Ruf an
das Polytechnikum in Zürich folgte. Hilbert wurde sein Nachfolger als Extraordinarius in Königsberg. Er heiratete am 12. Oktober 1892 Käthe Jerosch, die Tochter eines
Kaufmanns und seine langjährige Freundin. Schon im darauolgendem Jahr folgte seine Ernennung zum Ordinarius, da Lindemann nach München gegangen war. Es gelang
ihm, Minkwoski als Extraordinarius für die Universität Königsberg zu gewinnen. Hilbert war ein Gründungsmitglied der Deutschen Mathematikervereinigung. 1894 sollten
er und Minkowski ein Referat über Zahlentheorie für den Jahresbericht 1896 vorbereiten.
20
Minkowski musste allerdings von diesem zurücktreten und an Stelle des Referats trat
Hilberts bedeutsamer Bericht Die Theorie der algebraischen Zahlkörper. Einem durch
Felix Klein initiierten Ruf nach Göttingen folgte Hilbert 1895.
Anders als die meisten Professoren zu jener Zeit war Hilbert nahbar und veranstaltete sogar mathematische Spaziergänge, wie er sie selbst mit Minkowski und Hurwitz
erlebt hat. 1902 wurde Hilbert in die Hauptredaktion der Mathematischen Annalen
aufgenommen, wo er mit Klein zusammenarbeitete. Nach dessen Rückzug als Haupt der
Redaktion übernahm Hilbert diese Postion, aber überlieÿ das Geschäftliche und Organisatorische in den Händen seines Vorgängers.
Um 1900 begann die glanzvollste Zeit in seinem Leben. Er war Präsident der Deutschen
Mathematikervereinigung und sprach als einer der Hauptredner auf dem Ersten Internationalen Mathematikerkongress, wo er seine dreiundzwanzig Mathematischen Probleme
vorstellte. Die meisten dieser Probleme sind heute gelöst, aber es gibt noch ungelöste
und unvollständig gelöste unter ihnen.
Mehrere Rufe an anderer Universitäten lehnte Hilbert ohne langes Überlegen ab, denn
er hatte eine Idee: 1902 überzeugte er den Ministerialdirektor, eine Zentrale der Mathematik in Göttingen zu schaen. Den Weg hierzu sah er in der Berufung Minkowskis, der
damals in Zürich lehrte. Noch im Sommersemester wurde Hilberts Plan verwirklicht und
sechs Jahre intensiver Zusammenarbeit mit seinem früheren Kommilitonen begannen.
Spätestens 1904, mit dem Amtsantritt von Carl Runge als Vertreter für angewandte
Mathematik, wurde Göttingen die Hochburg der Mathematik. Zwischen 1901 und 1914
entstanden unter Hilbert über 40 Dissertationen. Weitere Rufe, unter anderem nach
Bern, wo man einen Lehrstuhl eigens für Hilbert geschaen hätte, lehnte er ebenso ab.
Die Zusammenarbeit von Hilbert und Minkowski endete mit groÿen Erfolgen. Minkowski
entdeckte das Relativitätsprinzip und Hilbert löste das Waringsche Problem, woran viele
Mathematiker dieser Zeit gescheitert waren. Er wollte den Beweis in einem Seminar mit
Minkowski vortragen, aber dieser verstarb am 12. Januar 1909 im Alter von 44 Jahren
wegen eines Blinddarmdurchbruchs. Dieses Ereignis war ein Einschnitt in Hilberts Leben.
Er verlor einen guten Freund und Berater.
Die mathematischen Gespräche fehlten ihm und seine Produktivität nahm deutlich ab.
Er versuchte sich nun ohne Minkowski an die Axiomatisierung der Physik, eines der
dreiundzwanzig mathematischen Probleme. Die Beiden hatten zuvor schon mit dem
gemeinsamen Buchstudium begonnen und sich so die klassische theoretische Physik angeeignet. Die damals aufkommende neue Physik der Quantenmechanik und Relativität
begeisterten Hilbert und in ihre Entwicklung gri er selbst ein. Er veranstaltete 1913
die Göttinger Gaswoche, auf der Max Planck, Arnold Sommerfeld, Hendrik Antoon
Lorentz und andere bekannte Physiker über die Fragen der Quanten- und Gastheorie
referierten und debattierten. In den Nachkriegsjahren behandelten Hilberts Vorlesungen ausschlieÿlich Themen, die ihn beschäftigten. Es handelte sich dabei vor allem um
Fragen der neuesten Physik und Grundlagen der Mathematik. Ihm war seine Lehrtätigkeit sehr wichtig und sogar während seiner schweren Krankheit lieÿ er sich nicht davon
abbringen Vorlesungen zu halten. Kurzerhand wurde sein Esszimmer zu einem Hörsaal
umgestaltet.
Als er 1930 emeritierte änderte dies nichts, denn er setzte seine Vorlesungen bis Ostern
21
1934 fort. Am 14. Februar 1943 verstarb Hilbert in Göttingen.(vgl. [10] und [11])
4.2 Denition der Hilbert-Kurve
Zwar war es Peano, der die erste raumfüllende Kurve entdeckte, aber David Hilbert gelang es, eine anschaulichere Version einer solchen Kurve zu nden. [12, S. 1 f.] Er hatte
einen konstruktiven Ansatz. Wenn das Einheitsintervall stetig auf das Einheitsquadrat
abgebildet werden kann, dann können auch Teilintervalle stetig auf Teilquadrate abgebildet werden. Im ersten Schritt teilte Hilbert das Einheitsintervall in vier Intervalle
gleicher Länge, sowie das Quadrat in vier gleich groÿe Quadrate, wobei jedes Teilintervall
auf eines der Teilquadrate abgebildet wird. Die Teilintervalle und -quadrate werden nun
wieder in vier gleich groÿe Teile zerlegt, die aufeinander abgebildet werden. Führt man
2n
dies ad innitum weiter, werden I und 2 in 2
für n = 1, 2, 3, ... kongruente Teile zerlegt. Hilbert zeigte, dass die benachbarten Teilquadrate so angeordnet werden können,
dass benachbarte Teilintervalle auf Quadrate mit einer gemeinsamen Kante abgebildet
werden und die Inklusionsbeziehung erhalten bleibt. Beispielsweise wenn ein Intervall
auf ein Quadrat abgebildet wird, dann werden die Teilintervall auf Teilquadrate des
Quadrates abgebildet [1, S. 10].
In Abbildung 7, eine originale Zeichnung aus [12, S. 1], sehen wir die ersten drei Schritte
wie die Quadrate durchlaufen werden müssen, um unsere Bedingungen zu erfüllen.
Abbildung 7: Generierung der Hilbert-Kurve [12, S. 1]
Wir kommen nun zur Denition der Abbildung von
I
in
2.
Denition.(Hilbert-Kurve) Wir zerlegen das Einheitsintervall I in Teilintervalle In(k) :=
1
2n
[ k−1
, k ] der Länge 22n
(n ∈ N, k = 1, 2, 3, ..., 2 ). Genauso zerlegen wir das Einheits22n 22n
(k)
n
quadrat 2 in kongruente Teilquadrate Qn mit Seitenlänge 2 . Unter der Bedingung,
dass benachbarte Teilintervalle auf benachbarte Teilquadrate abgebildet werden sollen,
wobei das an den Nullpunkt grenzende Quadrat stets das erste sowie das an den Punkt
(1, 0) grenzende stets das letzte sein soll, verbinden wir die Diagonalenschnittpunkte und
22
erhalten durch die vorgegebene Reihenfolge eindeutige Kurven
Grenzkurve
Ch = lim Cn = fh∗ (I)
fh : I → 2 .
n→∞
Cn
(siehe Abb. 7). Die
nennen wir Hilbert-Kurve, das Bild der Zuordnung
Wie wir im vorigen Kapitel gesehen haben, kann man auf diese Weise geometrische Darstellungen anderer raumfüllender Kurven gewinnen und wir denieren nun das schon
erwähnte Generierungsprinzip.
Denition.(Hilberts geometrisches Generierungsprinzip) Jedes t ∈ I
ist eindeutig be-
stimmt durch eine Folge geschlossener Intervallschachtelungen, deren Länge gegen 0
strebt. Jeder dieser Folgen ist eine eindeutige Schachtelung geschlossener Quadrate zugeordnet, deren Diagonalen gegen einen Punkt konvergieren, der einem eindeutigen Punkt
in
2
entspricht.
Wir zeigen nun, dass es sich bei der Hilbert-Kurve um eine raumfüllende Kurve handelt.
Satz. Die Hilbert-Kurve ist surjektiv.
Beweis: Zu jedem Punkt (ξ0 , η0 ) ∈ 2
lässt sich eine Schachtelung von Quadraten kon-
struieren, so dass die Diagonale gegen
(ξ0 , η0 )
strebt. Nach Denition ist jeder dieser
Schachtelungen einer
Intervallschachtelung in
eindeutigen
t0 ∈ I
mit
fh (t0 ) =
ξ0
η0
I
zugeordnet und es gibt ein
. Somit ist die Hilbert-Kurve surjektiv.
Selbstverständlich ist diese Abbildung nicht injektiv. Zum Beispiel gehört ein Punkt, der
in der Ecke eines Quadrates liegt, zu mindestens zwei Intervallen, die nicht zusammenhängen. Aber schon Nettos Theorem lässt darauf schlieÿen, dass die Hilbertkurve nicht
injektiv sein kann.
Satz. Die Hilbert-Kurve ist stetig.
Beweis:
2n
Nach der n-ten Iteration der Intervallschachtelung ist I in 2
Teilintervalle
2n
2n
der Länge 1/2
zerlegt. Gegeben seien t1 , t2 ∈ I mit |t1 − t2 | < 1/2 , dann liegt das
[t1 , t2 ] in höchstens zwei benachbarten Teilintervallen und das Bild von [t1 , t2 ] in
2n
höchsten zwei benachbarten Teilquadraten mit Kantenlänge 1/2 , welche ein Rechteck
√ n
5/2 bilden.
mit Diagonale
√ n
Daraus folgt, dass kfh (t1 ) − fh (t2 )k 5
5/2 gegen Null strebt, wenn n gegen ∞ geht.
Intervall
Korollar. Die Hilbert-Kurve ist eine raumfüllende Kurve.
Auÿerdem sagte Hilbert in [12, S.2], dass die von ihm gefundene Funktion ein Beispiel
für eine überall stetige, aber nirgends dierenzierbare Funktion ist. Er lieferte allerdings
keine Begründung für seine Aussage. Erst Sagan veröentlichte in [1, S. 12] einen Beweis,
welchem wir nun folgen wollen .
23
Satz. Die Hilbert-Kurve ist eine nirgends dierenzierbare Funktion.
Beweis:
t ∈ I wählen wir ein tn ∈ I , so dass |t − tn | ≤ 10/22n
und die Koordinaten ϕh (tn ), ψh (tn ) des Bildes von tn getrennt sind durch mindestens ein
n
Quadrat der Seitenlänge 1/2 . Das ist immer möglich (siehe Abbildung 7). Dann gilt
Sei
n ≥ 3.
Für jedes
22n
n
10·2
n→∞
lim |ϕh (t) − ϕh (tn )| ≥ lim
n→∞
Analog argumentieren wir für
ψh .
Und somit ist
= lim 2n /10 = ∞.
n→∞
fh
nirgends dierenzierbar.
4.3 Arithmetische Darstellung der Hilbert Kurve
In dem Artikel On certain crinkly curves aus dem Jahr 1899 zeigte Eliakam Hastings
Moore (1862-1932) eine andere Version von Hilberts raumfüllender Kurve [9, S. 72].
1
Seine Abbildung beginnt im Punkt ( , 0) und endet dort. So entsteht eine neue Durch2
laufrichtung und folglich andere Iterationsschritte. Die ersten Schritte sind in Abb. 8
veranschaulicht. Die wichtigere Erkenntnis in Moores Arbeit ist eine arithmetische Um-
Abbildung 8: Moores Version der Hilbert-Kurve [9, S. 75]
setzung von Hilberts
geometrischen Generierungsprinzip. Er fand eine stetige Funktion
f (t) =
in
ω2
ϕ(t)
ψ(t)
, welche
I
surjektiv auf
2
abbildet, für eine Zerlegung des Intervalls
Teile, jedoch unter der Einschränkung, dass
ω
ungerade ist [9, S. 76]. Adolf Hess
gelang es in seiner Dissertation Stetige Abbildung einer Linie auf ein Quadrat von
1905, die Formel für die Verwendung eines bliebigen
ω
zu verallgemeinern. Sein Dok-
torvater Adolf Hurwitz (1859-1919) stellte das Thema und erwartete eine arithmetische
Darstellung der Hilbert-Kurve. Ein von ihm vorgeschlagenes Mittel war die Verwendung
der Lürothschen Darstellung der Zahlen, aber Hess fand einen anderen Weg. [13, S. 114]
24
Wir folgen Hess mit seiner Idee. Er orientierte sich an Hilberts Arbeit und Moores Artikel.
Zunächst übernehmen wir die Bezeichnung von der Denition der Hilbert-Kurve, das
(k)
(k)
heiÿt die Teilintervalle der n-ten Iteration werden mit In , die Teilquadrate mit Qn
und die Näherungskurven mit
Cn
abgekürzt. Hierbei sollen die Näherungskurven
Cn
wieder den Polygonzug der zutreenden Reihenfolge der Abbildung darstellen und die
Mittelpunkte der Quadrate verbinden.
Wir wählen ein
ω ∈ N,
ein
t∈I
und bringen es in die Form
t=
mit geeigneten
a2
a1
an
+ 2 + ... + n + ...
ω
ω
ω
ai = 0, 1, 2, ..., ω −1 (i = 1, 2, 3, ...). Wir können auch t = 0ω , a1 a2 a3 ...an ...
schreiben.
Abbildung 9: Näherungskurve
Die Näherungskurven
Cn
C1
für
ω=4
[14, S. 46]
beschreiben wir durch die Funktionen
x = ϕn (t)
und
y = ψn (t).
Pn (t0 ) = (ϕ(t0 ), ψ(t0 )) sind für einen Parameter t0 gleichmäÿig über die
Cn durch die ω 2 Quadrate Qn hindurchgeht und so
−n
in jedem Qn ein Abschnitt von Cn der Länge ω
liegt, benden sich die Pn (t0 ) für
(k)
k
2
t0 = ω2 (k = 0, 1, ..., ω ) auf der Begrenzungslinie der benachbarten Teilquadrate Qn
(k)
und Qn . Nach unserer Vorgabe benden sie sich sogar genau in deren Mitte. In den
Kurven Cn+1 , Cn+2 , Cn+3 ... verbleiben die Punkte Pn+1 (t0 ), Pn+2 (t0 ), Pn+3 (t0 ) auf der
(k)
Begrenzungslinie, rücken allerdings für n → ∞ in einen der Eckpunkte von Qn . Da
Die Punkte
Kurve
Cn
verteilt. Da die Kurve
25
t0 = 0 und t0 = 1 stets auf das erste respektive letzte Quadrat abgebildet werden, gilt für
lim Pn (0) = (0, 0) respektive lim Pn (1) = (1, 0). Der Abstand der aufeinanderfolgenden
n→∞
n→∞
k
k+1
−1
und t2 = 2n hat den Betrag ω
.
ω 2n
ω
Wir verändern nun unsere Näherungskurven C1 , indem wir statt die Mittelpunkte der
Punkte
Pn (t1 )
Q1
Quadrate
und
Pn (t2 )
mit
t1 =
zu verbinden, im Nullpunkt beginnend je eine Seite der Quadrate über-
decken und im Punkt (1,0) ankommen. Dies hat den Vorteil, dass bei der Darstellung
C1
der Kurve
die Punkte
Pn (t)
für
t = 0ω , a1 a2
schon mit den Punkten der Grenzkurve
übereinstimmen (vgl. Abbildung 9).
Wir halten nun die Punkte von
C1 ,
die sich in einer Ecke der Quadrate benden, fest,
2
verlängern die dazwischen liegenden Strecken um den Faktor ω und überdecken die ω
in jedem Quadrat Q1 in der vorgegeben Reihenfolge, usw. Wir nennen die
(k)
(k)
in einer Ecke der Quadrate Qn liegenden Punkte Knoten Kn .
Quadrate
Für
Q2
t = 0ω , a1 a2 ...a2n−1 a2n
liegen die Punkte
Pn (t) der Kurve Cn
in ihren Grenzpunkten
und es folgt
x = ϕn (t) = ϕn+1 (t) = ... = ϕ(t)
y = ψn (t) = ψn+1 (t) = ... = ψ(t).
Wir entnehmen nun die Koordinaten der Knoten
K1 für ein ω = 6
x1 , y1 gilt:
und
t = 0ω , a1 a2
der
Tabelle Abb. 10 aus [14, S. 17]. Wir sehen, dass für
x1 = 0ω , b1 = b1 ω −1
mit
Wäre
(
a1 , wenn a1 gerade ist oder a1 ungerade ist
b1 =
a1 + 1, wenn a1 ungerade ist und a2 6= 0.
a2 6= 0,
würde
b1
und
a2 = 0,
sich einfach in der Form
1
b1 = a1 + {1 − (−1)a1 }
2
darstellen lassen. Um den Fall
a2 = 0
zu berücksichtigen, muss der zweite Term mit
einem Faktor multipliziert werden, der für
a2 = 0
zu
0
wird und sonst den Wert
+1
annimmt. Diesen liefert uns die Gauÿklammer, die jede Zahl auf die nächste Ganzzahl
abrundet. Es gilt
ω − 1 + a2
b
c=
ω
Somit ist
b1
(
0
1
für
für
a2 = 0,
a2 = 1, 2, ..., ω − 1.
gegeben durch
ω − 1 + a2
1
b1 = a1 + {1 − (−1)a1 }b
c.
2
ω
Ferner gilt
1
ω − 1 + a2 −1
x1 = ϕ̃(0ω , a1 a2 ) = a1 + {1 − (−1)a1 }b
cω .
2
ω
26
27
Abbildung 10: Tabelle aus Hess' Dissertation [14, S. 17]
Analog folgt
ω − 1 + a2 1
1
c1 = a2 · {1 + (−1)a1 } + {ω − a2 − 1 + b
c} {1 − (−1)a1 }
2
ω
2
und
1
ω − 1 + a2 1
y1 = ψ̃(0ω , a1 a2 ) = a2 · {1 + (−1)a1 } + {ω − a2 − 1 + b
c} {1 − (−1)a1 }ω −1 .
2
ω
2
Wir denieren nun zwei Formeln, die durch Vergröÿerung der Indizes um
2n hervorgehen:
1
ω − 1 + a2n+2 −1
ϕ̃(0ω , a2n+1 a2n+2 ) = a2n+1 + {1 − (−1)a2n+1 }b
cω
2
ω
(1)
ψ̃(0ω , a2n+1 a2n+2 ) =
ω − 1 + a2n+2 1
1
a2n+2 · {1 + (−1)a2n+1 } + {ω − a2n+2 − 1 + b
c} {1 − (−1)a2n+1 }ω −1 .
2
ω
2
(2)
Bevor wir die Koordinaten der Knoten
K1 , K2 , K3 , ...
bestimmen, betrachten wir die
(k)
Abszissen- und Ordinaten-Abstände von je zwei aufeinanderfolgenden Knoten Kn und
(k+1)
Kn
. Diese Gröÿen sind entweder gleich 0 oder gleich der Seitenlänge eines Quadrates
Qn .
Wir setzen
xn,k+1 − xn,k
ω
yn,k+1 − yn,k
η(n,k) := ηn (t) :=
ω
= 0, a1 a2 ...a2n−1 a2n und k = 0, 1, 2, ..., ω 2n − 1.
ε(n,k) := εn (t) :=
mit
t = kω −2n
Für die beiden Gröÿen
ergeben sich folgende Werte:
εn,k
ηn,k


+1, wenn der (k + 1)-te Knoten rechts des k -ten liegt,
= −1, wenn der (k + 1)-te Knoten links des k -ten liegt,


0, wenn der (k + 1)-te Knoten über oder unter dem k -ten
liegt,


+1, wenn der (k + 1)-te Knoten über dem k -ten liegt,
= −1, wenn der (k + 1)-te Knoten unter dem k -ten liegt,


0, wenn der (k + 1)-te Knoten links oder rechts des k -ten
liegt.
Da die Verbindungslinie zweier aufeinanderfolgender Knoten immer horizontal oder vertikal verläuft, ist einer der Werte notwendigerweise
0.
Mittels der Tabelle aus Abbildung 10 bestimmen wir nun
(
ε1 (t) = 0,
I.
ε1 (t) = 1,
wenn
wenn
a1
a1
gerade ist und
gerade ist und
28
ε1 (t)
mit
t = 0ω , a1 a2 :
0 ≤ a2 ≤ ω − 2,
a2 = ω − 1,
(
ε1 (t) = 0,
II.
ε1 (t) = 1,
wenn
wenn
a1
a1
ungerade ist und
ungerade ist und
1 ≤ a2 ≤ ω − 1,
a2 = 0.
Wir benötigen nun passende Faktoren, um eine Funktion für
ε1 (t)
zu ermitteln. Diese
bilden wir wieder mit der Gauÿklammer, denn es gilt
a2
c=
b
ω−1
(
0,
1,
ω − 1 + a2
1−b
c=
ω
0 ≤ a2 ≤ ω − 2,
a2 = ω − 1,
wenn
wenn
(
0,
1,
wenn
wenn
1 ≤ a2 ≤ ω − 1,
a2 = 0,
und wir erhalten
a2
1
ω − 1 + a2
1
c + {1 − (−1)a1 }{1 − b
c}.
ε1 (t) = {1 + (−1)a1 }b
2
ω−1
2
ω
Die Formel für
η1 (t)
folgt analog:
1
1
ω − 1 + a2
a2
η1 (t) = {1 + (−1)a1 }{1 − b
c} − {1 − (−1)a1 }b
c.
2
ω
2
ω−1
Für die Herleitung der Funktionen
εn (t), ηn (t)
siehe [14, S. 22-26]. Wir nutzen Hess'
Ergebnisse und erhalten
0
εn (t) = ε1 (t)ε0n−1 (t) + η1 (t)ηn−1
(t)
0
0
ηn (t) = ε1 (t)ηn−1 (t) + η1 (t)εn−1 (t)
(3)
0
(0ω , a1 a2 a3 ...) =
n = 1, 2, 3, ... und ε0n−1 (0ω , a1 a2 a3 ...) = εn−1 (0ω , a3 a4 a5 ...) bzw. ηn−1
0
ηn−1 (0ω , a3 a4 a5 ...). Um εn (t) zu bestimmen, muss man erst ε1 (t), ε1 (t), ε2 (t), ε02 (t), ..., ε0n−1
für
sukzessive berechnen.
Mit den Formeln (1),(2) und (3) lässt sich schlieÿlich eine Funktion bilden, die für jedes
t∈I
die zugehörigen Koordinaten der Knoten berechnet.
Kn auf der Kurve Cn gehören zu den Parametern t = 0ω , a1 a2 ...a2n−1 a2n =
1. Wir betrachten nun den Fall t 6= 1 (folglich ist k = 0, 1, 2..., ω 2n − 1) und
(k)
legen den Ursprung unseres Koordinatensystems in den Knoten Kn . Da Cn+1 zwischen
(k)
(k+1)
Kn und Kn
mit C1 verkleinert im Verhältnis 1 : ω übereinstimmt, gibt es nun vier
Möglichkeiten (siehe Abbildung 11) für die Lage des zu t = 0ω , a1 a2 ...a2n a2n+1 a2n+2 gehörigen Knotens Kn+1 . In dem Quadrat Qn hängt diese nur von den Werten a2n+1 , a2n+2
ab. Um die Koordinaten (xn+1 , yn+1 ) des Knotens zu berechnen, betrachten wir die FiDie Knoten
k
und t =
ω 2n
guren in Abbildung 11 und erhalten:
xn+1 = ϕ̃(0ω , a2n+1 a2n+2 )ω −1 ,
wenn
xn+1 = −ϕ̃(0ω , a2n+1 a2n+2 )ω −1 ,
29
εn (t) = +1, (Figur
wenn
10)
εn (t) = −1, (Figur
11)
xn+1 = ψ̃(0ω , a2n+1 a2n+2 )ω −1 ,
wenn
xn+1 = −ψ̃(0ω , a2n+1 a2n+2 )ω −1 ,
ηn (t) = +1, (Figure
wenn
12)
ηn (t) = −1, (Figure
13)
entsprechend gilt
yn+1 = ±ψ̃(0ω , a2n+1 a2n+2 )ω −1 ,
wenn
εn (t) = ±1,
yn+1 = ±ϕ̃(0ω , a2n+1 a2n+2 )ω −1 ,
wenn
ηn (t) = ±1.
Abbildung 11: Grundguren der Kurve
Für die Koordinaten des Knoten
Kn+1
Cn+1
zwischen zwei Knoten [14, S. 48]
im transformierten Koordinatensystem ergeben
sich folglich
xn+1 = ϕ̃(0ω , a2n+1 a2n+2 ) · εn (t) · ω −1 + ψ̃(0ω , a2n+1 a2n+2 ) · ηn (t) · ω −1 ,
yn+1 = ϕ̃(0ω , a2n+1 a2n+2 ) · ηn (t) · ω −1 + ψ̃(0ω , a2n+1 a2n+2 ) · εn (t) · ω −1 .
Seien nun
x = αn
und
y = βn
Koordinatensystem. Dann gilt für den Knoten
Kn+1
αn+1 = αn + xn+1 , βn+1 = βn + yn+1 ,
oder da
α1 = x1 , β1 = y1 ,
usw.
αn+1 = x1 + x2 + ... + xn + xn+1 ,
βn+1 = y1 + y2 + ... + yn + yn+1 .
30
(k)
Kn
= (αn+1 , βn+1 )
die Koordinaten des Knoten
im ursprünglichen
Dadurch erhalten wir
αn+1 =
n
X
ϕ̃(0ω , a2j+1 a2j+2 ) · εj (t) · ω
−1
+
j=0
n
X
ψ̃(0ω , a2j+1 a2j+2 ) · ηj (t) · ω −1
j=1
und
βn+1 =
n
X
ϕ̃(0ω , a2j+1 a2j+2 ) · ηj (t) · ω
−1
+
j=1
n
X
ψ̃(0ω , a2j+1 a2j+2 ) · εj (t) · ω −1
j=0
ε0 (t) = 1, η0 (t) = 1.
mit
k
∈ Q lässt sich auf zwei Arten durch einen systematischen Bruch ausω 2n
drücken. Wir können schreiben t = 0ω , a1a2...a2n 0... mit lauter Nullen am Ende, oder
Jedes
t =
t = 0ω , a1 a2 ...a2n−1 (a2n − 1)(ω − 1)(ω − 1)...
ist es uns möglich in den Summen von
zu
∞
überzugehen.
t entspricht. Zu
P (t) =: P 0 mit beliebiger
0
Genauigkeit bestimmen. Die Knoten K1 , K2 , K3 , ..., die dem Punkt P auf C unmittel0
0
bar vorangehen, besitzen die Häufungsstelle P . Es erscheint P = lim Kn und für die
Ist
t
n
(ω − 1). Da wir die zweite
ϕ̃(0ω , 00) = ψ̃(ω , 00) = 0 gilt,
mit endlos vielen
Darstellung immer in die erste überführen können und für
dagegen irrational, gibt es nur einen systematischen Bruch, der
einem solchen
t
gehört kein Knoten, dennoch können wir
n→∞
Koordinaten folgt
x = lim αn , y = lim βn .
n→∞
n→∞
Unter der Berücksichtigung, dass auch der Punkt (1, 0) Häufungsstelle gewisser Knoten
(ω 2n −1)
Kn
ist, erhalten wir die analytische Darstellung der Kurve C :
x = ϕ(t) =
∞
X
ϕ̃(0ω , a2j+1 a2j+2 ) · εj (t) · ω
−1
+
j=0
y = ψ(t) =
∞
X
ψ̃(0ω , a2j+1 a2j+2 ) · ηj (t) · ω −1 ,
j=1
ϕ̃(0ω , a2j+1 a2j+2 ) · ηj (t) · ω
−1
j=1
mit
∞
X
+
∞
X
ψ̃(0ω , a2j+1 a2j+2 ) · εj (t) · ω −1 ,
j=0
ε0 (t) = 1, η0 (t) = 1.
Dies ist ein arithmetische Ausdruck für eine raumfüllenden Kurve, die in dem Punkt
(0, 0) startet, bei (1, 0) endet und durch die Zerlegung des Einheitsquadrates in ω 2 Quadrate entsteht. Freilich sind diese Funktionen zur genauen Berechnung der Koordinaten
nicht von Vorteil.
Wir untersuchen die gewonnene Darstellung für
Es gilt
t = 02 , b1 b2 b3 ...
mit
bj = 0
ω = 2,
Hilberts Aufteilung.
oder 1. Wir können nun die einzelnen Formeln
b2
2
c = b 2−1
c = b2 . Somit ergibt sich für ϕ̃
b 2−1+b
2
vereinfachen. Zunächst sehen wir, dass
und
ψ̃ :
1
ϕ̃(02 , b1 b2 ) = {b1 + {1 − (−1)b1 }b2 }ω −1 ,
2
31
Bedeutend
1
ψ̃(02 , b1 b2 ) = {b2 + 1 + (b2 − 1)(−1)b1 }ω −1 .
2
vereinfacht werden die Funktionen εn (t) und ηn (t):
1
1
ε1 (t) = [1 + (−1)a1 ]a2 + [1 − (−1)a1 ][1 − a2 ]
2
2
1
= a2 (−1)a1 + [1 − (−1)a1 ]
2
Die Werte für
t = 02 , a1 a2
sind:
ε1 (02 , 00) = 0, ε1 (02 , 01) = 1, ε1 (02 , 10) = 1, ε1 (02 , 11) = 0.
Wir ersetzen
ε1
durch eine Funktion, die für
t
dieselben Werte annimmt:
1
ε1 (t) = (−1)a1 a2 {1 + (−1)1+a1 +a2 }.
2
Analog folgt
Wir können nun
1
η1 (t) = (−1)a1 a2 {1 − (−1)1+a1 +a2 }.
2
induktiv auf εn (t) und ηn (t) schlieÿen:
Pn
a2j−1 a2j
P2n
1
{1 + (−1)n+ i=1 ai },
2
Pn
a2j−1 a2j
P2n
1
{1 − (−1)n+ i=1 ai }.
2
εn (t) = (−1)
j=1
ηn (t) = (−1)
j=1
Den Beweis hierfür ndet man in [14, S. 37]. Mit diesen Formeln ist es möglich die
Koordinaten der Hilbert-Kurve für
t
numerisch zu berechnen. Einige Zahlenbeispiele
ndet man in [14, S. 38 f.].
32
5 Sierpi«ski Kurve
5.1 Waclaw Sierpi«ski
Waclaw Sierpi«ski wurde am 14. März 1882 in Warschau geboren. Die Stadt war zu jener Zeit unter russischer Herrschaft. Ab 1899 besuchte er die Universität
Warschau, wo er 1904 einen akademischen Abschluss
erlangte. Danach unterrichtete er an der Oberschule
und nahm am Groÿen Schulstreik, der mit der Russischen Revolution 1905 zusammenhing, teil. Sierpi«ski
zog nach Krakau, und erhielt dort 1906 seine Doktorwürde.
Er unterrichtete weiterhin an einer Oberschule, bis er
1908 Dozent an der Universität in Lemberg (dem heutigen Liwi/Ukraine) wurde. 1910 ernannte man ihn zum
Professor und er änderte den Fokus seiner Forschung auf
die Topologie, nachdem er sich zuvor mit der Zahlentheorie beschäftigt hatte. Ab 1950 wand er sich dieser
wieder zu, und in den letzten zwanzig Jahren seines Lebens war Zahlentheorie das vorherrschende Gebiet sei-
Abbildung 12: Waclaw Sierpi«ski
[1, S. 49]
ner Publikationen. Er war einer der produktivsten Mathematiker: Von seinen über 700 Artikeln und Büchern behandelten circa 600 Topologie.
Die Zarenregierung internierte ihn 1914. In Moskau freundete er sich mit Egorov und
Lusin an. Es begann eine lange Periode der Zusammenarbeit mit Lusin. 1918 war es
Sierpi«ski möglich nach Lemberg, das nun zu dem wieder unabhängigen Polen gehörte
und Lwów hieÿ, zurückzukehren. Er wurde Professor an der polnischen Universität Warschau und begründete zusammen mit Mazurkiewiez und Janiszewski die Neue Polnische
Schule der Mathematik.
Sie konzentrierten sich auf Grundlagen, Mengenlehre und Anwendungen. Die Fundamenta Mathematicae entstand zur selben Zeit. Nach dem Tod Janiszewskis 1920, der
an den Folgen einer Grippe gestorben ist, übernahmen Sierpi«ski und Mazurkiewicz
die Hauptredaktion. Unter Sierpi«skis wurde die Acta Arithmetica wieder ins Leben
gerufen. Während der deutschen Besetzung Warschaus wurden alle höheren Bildungseinrichtungen geschlossen. Sierpi«skis unterrichtete heimlich in seinem Appartement und
ging ein groÿes persönliches Risiko ein.
Nach dem Zweiten Weltkrieg half er, das mathematische Institut der Polnischen Akademie der Wissenschaft zu organisieren und war fast bis an sein Lebensende in dessen
Präsidium. Ihm wurden zu Lebzeiten viele Auszeichnungen verliehen. Nach seinem Tod
am 21. Oktober 1969 benannte man den Haupthörsaal des mathematischen Instituts der
Polnischen Akadamie der Wissenschaft nach ihm, auch ein Preis und einer der Mondkrater tragen nun seinen Namen. [1, S. 49 f.]
33
5.2 Denition der Sierpi«ski-Kurve
Im Jahr 1912 entdeckte Waclaw Sierpi«ski eine weitere raumfüllende Kurve. Er zeigte,
dass eine beschränkte, stetige und gerade Funktion
f
einer reellen Variablen
t
existiert,
welche die folgenden Bedingungen erfüllt:
f (t) + f (t + 1/2) = 0
für alle
t∈R
2f (t/4) + f (t + 1/8) = 1
für alle
t ∈ [0, 1]
und
und, dass
x = f (t)
y = f (t − 1/4)
)
0≤t≤1
[−1, 1]2 durchläuft. Mit Hilfe eines sehr mühseligen BeweiFunktion f alle Bedingungen erfüllt, fand Sierpi«ski eine mögliche
jeden Punkt des Quadrates
ses dafür, dass die
Darstellung für diese:
Θ(t) θ(t)θ(τ1 (t)) θ(t)θ(τ1 (t))θ(τ2 (t))
P
f (t) =
−
+
+ ··· = ∞
j=1
2
4
8
Qj−1
i=0
θ(τi (t))
,
2j
θ, τk deniert sind durch
(
−1 wenn t ∈ [1/4, 3/4),
θ(t) =
1 wenn t ∈ [0, 1/4) oder t ∈ [3/4, 1),
wobei die 1-periodischen Funktionen
und
τ0 = t für jedes t ∈ [0, 1],
(
1/8 + 4t wenn t ∈ [0, 1/4) oder t ∈ [1/2, 3/4),
τk =
1/8 − 4t wenn t ∈ [1/4, 1/2) oder t ∈ [3/4, 1),
mit
τk+1 (t) = τk (τ1 (t)),
und
k = 1, 2, 3, ...
.
Er lieferte den Beweis, dass diese Kurve die Grenzkurve einer gleichmäÿig konvergierenden Folge von Polygonen ist. In einem Artikel von 1913 wies George Pólya darauf hin,
dass die Hälfte der Sierpi«ski Kurve in einem der rechtwinkligen Dreiecke liegt, welches
entsteht, wenn man das Quadrat [-1,1] durch seine Diagonale halbiert, während die andere Hälfte in dem anderen Dreieck liegt. Wir betrachten die Sierpi«ski Kurve nun als
eine Abbildung von
I
in
T
und erhalten so eine Darstellung, welche simpler als das
Orginal ist. [1, S. 50 f.]
34
5.3 Geometrische Darstellung der Sierpi«ski Kurve
Wir denieren nun eine Abbildung
fs : I → T
und werden uns dabei an Hilberts
geometrisches Generierungsprinzip aus dem vierten Kapitel halten. Wir zerlegen
2n kongruente Teilintervalle und das Dreieck T in 2n kongruente Dreiecke, wobei
1, 2, 3, ...
I in
n=
ist.
In Abbildung 13 zeigen wir die ersten sechs Schritte, in denen die Teildreiecke durchlaufen
werden, um die Bedingungen zu erfüllen, dass benachbarte Teilintervalle auf benachbarte
Dreiecke mit einer gemeinsamen Ecke abgebildet werden. Wir denieren die Abbildung
fs
wie
fh
im vierten Kapitel, um eine raumfüllende Kurve zu erhalten. Die Stetigkeit
kann gezeigt werden wie bei der Hilbert-Kurve. Haben zwei Punkte in I höchstens den
n
Abstand 1/2 , dann liegen sie im schlimmsten Fall in zwei benachbarten Teilintervallen
der
n-ten
Partition und ihre Bilder liegen im schlimmsten Fall in zwei benachbarten
Teildreiecken.
Abbildung 13: Generierung der Sierpi«ski Kurve [15, S. 78]
Die Kurve beginnt in
(0, 0)
und endet bei
(2, 0),
da die Teildreiecke für
n → ∞
zu
Punkten zusammenschrumpfen. Die Bedingung, dass der Ausgangspunkt jedes Dreiecks
mit dem Anfangspunkt des folgenden Dreiecks übereinstimmen muss, induziert eine
Orientierung in jedem Teildreieck, welche wir durch Pfeile in Abbildung 14 für die ersten
drei Schritte anzeigen.
Wir sehen in Abbildung 14, dass die Teildreiecke der
ecke) entstehen, in dem man
Ähnlichkeitstransformationen
T~ ,
K0
n-ten
Partition (in
2n
Teildrei-
(n − 1)-te Partition übertragend, mittels
~11 und auf T~21 abbildet. Um T~11
und K1 auf T
die
35
zweier
von
T~
Abbildung 14: Abbilden von
T~
auf seine kongruenten Teile[1, S. 53]
~ an der imaginären Achse,
zu erhalten, nutzen wir die komplexe Darstellung, spiegeln T
−3πi
0
0
◦
00
z = −z̄ , drehen es −135 um √
den Ursprung, z = e 4 z , und verkleinern es gleichmäÿig
√
zum Ursprung im Verhältnis
2 : 1, z 000 = (1/ 2z 00 ), so erhalten wir
√ −3πi
1
1
K0 z = −(1/ 2)e 4 z̄ =: K0 z + k0 ,
2
2
wobei k0 = 0 + i0 ist.
~21 ergibt sich, wenn wir T~ an der reellen Achse spiegeln, z 0 = z̄ , es um
Das Dreieck T
− πi 0
00
−45◦ um den
√ Ursprung drehen,000 z = e√ 4 z00 , es dabei gleichmäÿig zum Ursprung im
Verhältnis
2 : 1 verkleinern, z = (1/ 2z ), und es schlieÿlich um eine Einheit nach
oben und eine Einheit nach rechts verschieben:
√
√ πi
πi
1
1
K1 z = (1/ 2)e− 4 z̄ + 2e 4 =: K1 z + k1 .
2
2
36
Wie in Kapitel
3.3
gilt nun, dass
fs (02 , b1 b2 b3 ...) = lim Kb1 Kb2 Kb3 ...Kbn T
n→∞
und insbesondere
fs (02 , b1 b2 b3 ...bn ) = Kb1 Kb2 Kb3 ...Kbn (0),
da
02 , b1 b2 b3 ...bn = 02 , b1 b2 b3 ...bn 000...
und
K0 K0 K0 ...z = lim Kn0 z =
n→∞
lim ( √12 e
−3πi
4
)n z,
wenn
n
gerade


 − lim ( √1 e
2
−3πi
4
)n z̄,
wenn
n
ungerade



n→∞
n→∞
= 0.
Somit ergibt sich
n
X
1
fs (02 , b1 b2 b3 ...bn ) =
Kb Kb Kb ...Kbj−1 kbj ,
2j 0 1 2
j=1
wobei
Kb0 = 1,
und aufgrund der Stetigkeit von
fs
∞
X
1
Kb Kb Kb ...Kbj−1 kbj
fs (02 , b1 b2 b3 ...) =
2j 0 1 2
j=1
mit
Kbj z =
bj
2e(−1)
iπ/4
√
z̄, k0 = 0, k1 = 2 2eiπ/4 .
bj = 1. Um den
j -ten Term der Summe zu bilden, nehmen wir das Komplex-Konjugierte von kbj genau
(j − 1) mal, das komplex Konjugierte von Kbj−1 kbj genau (j − 2) mal, ..., und das von
Kb2 Kb3 ...Kbj−1 kbj einmal, und erhalten
Da
k0 = 0,
√
sind nur die Terme in der Summe enthalten für die gilt
√
1
( 2)j
Kb Kb Kb ...Kbj−1 kbj = j−1 exp{[(−1)b1 − (−1)b2
2j 0 1 2
2
+ (−1)b3 − ... + (−1)j−1 (−1)bj−2 + (−1)j−2 (−1)bj−1 + (−1)j−1 ]
iπ
}.
4
Mithin,
ϕs (02 , b1 b2 b3 ...) + iψs (02 , b1 b2 b3 ...)
∞
X
√
b
iπ/4
√ j ×
= 2b1 e
+
( 2)j−1
j=2
b
b
b
× e[(−1) 1 −(−1) 2 +(−1) 3 −...+(−1)
j−1 (−1)bj−2 +(−1)j−2 (−1)bj−1 +(−1)j−1 ] iπ
4
37
.
Diese Formel wurde 1917 von Konrad Knopp (1881-1957) entdeckt und als Sonderfall
einer allgemeineren Formel in einem Artikel über eine vereinheitlichte Generierung der
Kurven von Koch, Osgood und von raumfüllenden Kurven veröentlicht. [1, S. 54]
Unsere Version unterscheidet sich von Knopps Original in einigen Punkten. Zum einen
verwendet er ein Dreieck mit einer Basislänge 1, nicht wie wir eines der Länge 2. Und
j−1
statt −(−1)
(−1)bj schreiben wir +(−1)j−1 , da nur Terme mit bj = 1 in der Formel
vertreten sind.
6 Raumfüllende Kurven
Wir haben nun drei raumfüllende Kurven kennen gelernt. Sie lieferten eine Abbildung
des Einheitsintervalls auf eine Fläche. Alle waren sie stetig, jedoch nirgends dierenzierbar. Die Mathematiker des späten 19. Jahrhunderts gaben solchen Kurven den Namen
Monster, da sie sich seltsam verhalten hatten.[1, S. 146]
Die von uns behandelten raumfüllenden Kurven entstehen dadurch, dass wir eine Anfangsstrecke mittels einer Transformation durch eine Kurve ersetzen. Diese teilen wir nun
wiederum in Strecken auf und wenden auf jene ähnliche Transformationen an. So entstehen weitere neue Strecken, die wir mithilfe von Ähnlichkeitstransformationen durch
weitere ähnliche Kurven ersetzen. Dies führen wir ad innitum durch und erhalten so
unsere Grenzkurven, die ein Sonderfall der selbstähnlichen Fraktale sind.
Fraktale sind Gebilde, die wie oben beschrieben entstehen. Sie weisen eine hohe Selbstähnlichkeit auf und ihre Dimension lässt sich nicht einfach bestimmen. Dies führte zu
einer Diskussion über den Dimensions-Begri und einem neuen Gebiet der Mathematik,
der fraktalen Geometrie. Und so trugen die für Kuriositäten gehaltenen raumfüllenden
Kurven noch zu gröÿeren Erkenntnissen in der Mathematik bei. [1, Kapitel 9]
Abbildung 15: Peanos, Hilberts und Sierpi«skis Kurve in der dritten, sechsten und vierten Iteration [1, S. 35, S. 11, S. 51]
38
Literatur
[1] Hans Sagan. Space-Filling Curves. Springer-Verlag, 1994.
[2] Emmy Noether und Jean Cavaillès.
Briefwechsel Cantor-Dedekind.
Hermann &
Cie, Éditeurs, 1937.
[3] Georg Cantor.
Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen
Inhalts. Georg Olms, 1962.
[4] Thomas Sonar. 3000 Jahre Analysis. Springer-Verlag, 2011.
[5] Adolf Fraenkel. Das Leben des Georg Cantors. In Georg Cantors: Gesammelte Ab-
handlungen mathematischen und philosophischen Inhalts, S. 452-483. Georg Olms,
1962.
[6] Rudolf Lipschitz. Briefwechsel mit Cantor, Dedekind, Helmholtz, Kronecker, Wei-
erstrass. Deutsche Mathematiker-Vereinigung, 1986.
[7] Oliver Deiser. Reele Zahlen. Das klassische Kontinuum und die natürlichen Folgen.
Springer-Verlag, 2007.
[8] Hubert Kennedy.
Guiseppe Peano, Deutsche Übersetzung von Ruth Amsler, Ele-
mente der Mathematik, Beiheft 14. Birkhäuser Verlag, 1974.
[9] Eliakam Hastings Moore. On certain crinkly curves, American M. S. Trans., S.72-
90.
[10] Otto Blumenthal. Lebensgeschichte. In David Hilbert: Gesammelte Abhandlungen,
Dritter Band, S. 386-429. Springer-Verlag, 1935.
[11] Hans Freudenthal. Hilbert, David, Neue Deutsche Biographie, Band 9, S. 115-117.
1972.
[12] David Hilbert. Gesammelte Abhandlungen. Dritter Band. Verlag von Julius Springer, 1935.
[13] Adolf Hurwitz.
Die mathematischen Tagebücher und der übrige handschriftliche
Nachlass von Adolf Hurwitz, Handschriften und Autographen der ETH-Bibliothek
53, Hs 582: 19. Verfügbar unter http://www.e-manuscripta.ch.
[14] Adolf Hess. Stetige Abbildung einer Linie auf ein Quadrat. 1905.
[15] Michael Bader. Space-lling Curves. Springer-Verlag, 2013.
39
Erklärung
Hiermit erkläre ich, dass ich die vorliegende Arbeit selbständig verfasst und keine anderen als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel verwendet und die Arbeit keiner anderen
Prüfungsbehörde unter Erlangung eines akademischen Grades vorgelegt habe.
Ort, Datum
Unterschrift
40