Das Pascalsche Dreieck

was ist das Pascalsche Dreieck?
Anwendung
Erweiterungen
Fazit
Das Pascalsche Dreieck
Mathematisches Proseminar:
Implementierung mathematischer Algorithmen
Laura Heß
09.01.2014
Quellen
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Anwendung
Erweiterungen
Gliederung
1
2
3
4
5
was ist das Pascalsche Dreieck?
Allgemein
Folgen
Muster
Anwendung
Binomischer Lehrsatz
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Abzählbarkeit
Anzahl von Elementen von Polytopen
Erweiterungen
Trinomial Triangle
Pascalsche Pyramide
Trinomialkoeffizienten
Multinomialkoeffizienten
Matrixexponential
Negative n
Fazit
Quellen
Fazit
Quellen
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Fazit
Was ist das Pascalsche Dreieck?
Allgemein
Name geht auf Blaise Pascal zurück
Abhandlungen über das arithmetische Dreieck 1655
hauptsächlich Wahrscheinlichkeitstheorie
frühste Darstellung 10. Jahrhundert
[2]
Abbildung : Blaise Pascal, 19.06.1623 - 19.08.1662
Quellen
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Fazit
Quellen
Was ist das Pascalsche Dreieck?
Allgemein
[3]
Abbildung : Pascalsches Dreieck
Darstellung der Summe von 2 benachbarten Zahlen
n+1
n
n
=
+
k +1
k
k +1
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Was ist das Pascalsche Dreieck?
Allgemein
[4]
Abbildung : Pascalsches Dreieck
grafische Darstellung der Binomialkoeffizienten
Quellen
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Quellen
Was ist das Pascalsche Dreieck?
Allgemein- Programmcode Fakultät
long double f a k u l t a e t ( long double n , i n t ∗ z a e h l e r )
{
i f ( n==0)
{ ( ∗ z a e h l e r ) ++;
return 1;}
e l s e i f ( n==1)
{ ( ∗ z a e h l e r )++;
return 1; }
else
{ ( ∗ z a e h l e r )++;
r e t u r n n∗ f a k u l t a e t ( n −1, z a e h l e r ) ; }
}
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Was ist das Pascalsche Dreieck?
Allgemein- Programmcode Ausgabe
f o r ( i n t i =0; i <=n ; i ++)
{
f o r ( i n t j =0; j <=i ; j ++)
{
b i n k o e f f=f a k u l t a e t ( i , z e i g e r z a h l ) /
( f a k u l t a e t ( i −j , z e i g e r z a h l ) ∗
f a k u l t a e t ( j , z e i g e r z a h l ) ) ; cout <<b i n k o e f f <<”
”;
}
cout <<e n d l ;
cout <<e n d l ; }
Quellen
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Was ist das Pascalsche Dreieck?
Allgemein
Abbildung : Anzeige
Fazit
Quellen
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Was ist das Pascalsche Dreieck?
Allgemein
Entdeckung der Binomialkoeffizienten im Pascalschen Dreieck:
Z.B. Zeile 6: 1 6 15 20 15 6 1
Mit welcher Zahl multiplizieren, um die nächste zu erhalten?
Beispiel: 15: 6. Zeile,
2. Zahl
6
5
6!
6∗5
6
1 ∗ 2 = 15 = 2 = 4!∗2! = 2∗1
Quellen
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Fazit
Was ist das Pascalsche Dreieck?
Folgen-Diagonalen
Diagonale rechts-oben nach links unten analog zu links-oben
nach rechts-unten
1. Diagonale: nur 1
n
0
bzw.
n
n
2. Diagonale: natürliche Zahlen
n
1
Quellen
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Was ist das Pascalsche Dreieck?
Folgen-Diagonalen
3. Diagonale: Dreieckszahlen
Summe der Zahlen von 1 bis n
[5]
Abbildung : Dreieckszahlen
Fazit
Quellen
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Was ist das Pascalsche Dreieck?
Folgen-Diagonalen
4. Diagonale: Tetraederzahlen
Bildung eines Tetraeders anstatt eines Dreiecks
Formel
n ∗ (n + 1) ∗ (n + 2)
6
...
n-te Diagonale: n-te figurierte Zahlen
weitere Auffälligkeiten:
Jede Diagonale enthält die Folge der Partialsummen zu der
Folge in der darüberliegenden Diagonalen
Quellen
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Fazit
Was ist das Pascalsche Dreieck?
Folgen-Fibonacci-Zahlen
Die Fibonacci-Zahlen
[6]
Abbildung : Fibonacci-Zahlen
Summen der flachen Diagonalen
bei dem symmetrischen Dreieck lassen sich die Diagonalen
manchmal nicht bis zum Ende durchziehen - unwichtig
Quellen
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Folgen-Zeilen
Zeilen:
Zeilensumme
1
der Einträge ist immer 2n
folgt aus
n X
n
k=0
k
= 2n
Aneinanderreihen der Ziffern Zeile 0-4 : 1, 11, 121, 1331,
14641
Potenzen von 11 (110 , 111 ,...)
ab Zeile 5: 1 5 10 10 5 1 folgt:
1 + 5 ∗ 10 + 10 ∗ 100 + 10 ∗ 1000 + 5 ∗ 10000 + 1 ∗ 100000 = 115
1
man beginnt Zeilennummerierung mit 0
Quellen
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Was ist das Pascalsche Dreieck?
Folgen-Zeilen
Pn
n
k=0 k
· x k · y (n−k ) = (x + y )n
folgt beides aus dem Binomischen Lehrsatz mit y=1 und x=1
bzw. x=10
Zeilen, die eine Primzahl nach der 1 haben : Alle Elemente
durch die Primzahl teilbar
Bildung der 11. Zeile: 11 ∗ 10 ∗ 9 ∗ 8 ∗ .../1 ∗ 2 ∗ 3 ∗ ...
11 nicht kürzbar und somit in allen Zahlen vorhanden
Quellen
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Was ist das Pascalsche Dreieck?
Folgen-Zeilen
Produkt der Zeilenelemente sn =
Zeilenverhältnis:
sn+1
sn
=
Qn
n
k=0 k
(n+1)n
n!
Verhältnis
von 2 Zeilenverhältnissen:
sn +1
(sn+1 )∗(sn−1 )
sn
n
=
= ( n+1
sn
n )
(sn )2
sn −1
für n → ∞ gegen e
=
Qn
n!
k=0 (n−k)!∗k!
Quellen
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Fazit
Was ist das Pascalsche Dreieck?
Muster
Muster:
[7]
Abbildung : Pascalsches Dreieck
modulo p
p=2 : malt alle durch 2 teilbaren Zahlenkästchen aus
Quellen
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Was ist das Pascalsche Dreieck?
Muster
erzeugtes Muster : Sierpinski-Dreieck
[8]
Abbildung : Sierpinski Dreieck
ähnliche Muster durch anderes p
Fazit
Quellen
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Was ist das Pascalsche Dreieck?
Muster
Quadratringe:
[7]
Abbildung : Quadratringe
Produkt aller Zahlen im Ring ergibt eine Quadratzahl
Produkt der schwarzen Quadrate gleich Produkt der
Orangenen
Quellen
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Fazit
Was ist das Pascalsche Dreieck?
Allgemein
Programme: Ausrechnen der Werte des Pascalschen Dreiecks
Vergleich der Programme
Berechnung durch Binomialkoeffizienten
Berechnung durch Binomialkoeff. und Dreieckszahlen,...
Berechnung mithilfe von Summen
Quellen
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Anwendungen
Binomischer Lehrsatz
1. Binomischer Lehrsatz
k (n−k )
Pn
n
= (x + y )n
k=0 k · x · y
schnell beliebige Potenzen von Binomen ausmultiplizieren ,
z.B. (a + b)3
auch für (a − b)n
Minuszeichen immer bei ungeraden Potenzen von b
für große n unbrauchbar
Quellen
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Anwendungen
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Anwendung in Kombinatorik
zum Beispiel Ziehen ohne Zurücklegen, Lotto 49
6
Galtonbrett
zeigt Anzahl der Möglichkeiten , diesen Punkt zu erreichen
[11]
Abbildung : Galtonbrett
Quellen
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Quellen
Anwendungen
Abzählbarkeit
Abzählbarkeit der rationalen Zahlen:
Betrachtung 2. und 3. Diagonale:
rechte Zahl entsteht aus der linken mit Multiplikation von: 1,
3
5
2 , 2 , 2 , 3, ...
Betrachtung 3. und 4. Diagonale:
rechte Zahl entsteht durch Multiplikation mit: 1,
4
3
, 53 , 63 , ...
Muster geht nach rechts unten mit 4tel, 5tel, ... weiter
Fortsetzung des Musters schräg nach oben enthält man alle
kleiner 1
alle Bruchzahlen sind im Pascalschen Dreieck enthalten
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Anwendung
Anzahl von Elementen von Polytopen
z.B. Anzahl von Ecken und Kanten im Dreieck : 3. Zeile: 1 3
31
1 2-dim. Element: sich selbst
3 1-dim. Elemente: Kanten
3 0-dim. Elemente: Ecken
1 : nächster Eckpunkt
Quellen
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Anwendung
Anzahl von Elementen von Polytopen
vom Dreieck zum Tetraeder (4.Zeile) :
3-dim. Elemente: Dreieck: 0, Tetraeder: 1 daraus folgt
0+1=1
2-dim. Elemente: Dreieck: 1, Tetraeder: 3 (neue Flächen)
daraus folgt 1 + 3 = 4
1-dim. Elemente: Dreieck: 3, Tetraeder: 3 daraus folgt
3+3=6
0-dim .Elemente: Dreieck: 3, Tetraeder: 1 daraus folgt
3+1=4
letzte 1 hinzufügen für den nächsten Eckpunkt
Quellen
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Anwendungen
Trinomial Triangle
Trinomial Triangle
Abwandlung des Pascalschen Dreiecks
Summe von drei darüberstehenden Einträgen
kaum mathematische Relevanz
[9]
Abbildung : Trinomial Triangle
Quellen
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Anwendungen
Pascalsche Pyramide
Pascalsche Pyramide
dreidimensionale Verallgemeinerung
Eigenschaften des Pascalschen Dreiecks lassen sich sinngemäß
übertragen
Spitze der Pyramide einzelne 1
Quellen
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Anwendungen
Pascalsche Pyramide
Bildung der einzelnen Ebenen (der n-ten):
Außenkanten: entsprechen der n-ten Zeile2 des Pascalschen
Dreiecks
füllen der m-ten Zeile der Ebene mit den Einträgen aus der
m-ten Zeile des Pascalschen Dreiecks, multipliziert mit den an
den Seiten bereits eingetragener Zahl
2
Nummerierung beginnt bei 0
Quellen
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Anwendungen
Pascalsche Pyramide
Ebenenschnitte der Pyramide
1. Ebene eine 1
2. Ebene:
1
1
1
1
2
3. Ebene:
1
2
2
1
Fazit
Quellen
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Anwendungen
Pascalsche Pyramide
1
3
4. Ebene:
3
1
3
6
3
analoge Fortsetzung
3
3
1
Fazit
Quellen
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Erweiterungen
Trinomialkoeffizienten
in Pascalscher Pyramide
zu berechnen durch
(i+j+k)!
i!j!k!
mit i + j + k = n
Bildung der Pyramide darauf zurückführen
(i+j+k)!
i!j!k!
(i+j+k)!
= (i+j)!∗k!
∗ (i+j)!
i!j!
Eintrag aus der m-ten Zeile des Pascalschen Dreiecks * an der
Seite eingetragener Faktor
Quellen
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Erweiterungen
Multinomialkoeffizienten
Verallgemeinerung der Binomialkoffizienten
n
n!
k1 ,...,kr = k1 !∗...∗kr !
Multinomialsatz (Verallgemeinerung des Binomischen
Lehrsatzes)
k
P
n
∗ x1 1 ∗... ∗ xrk r
(x1 + ... + xr )n = k1 +...+kr =n k1 ,...,k
r
Anzahl der Möglichkeiten n Objekte in r Schachteln zu legen
Quellen
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Erweiterungen
Multinomialkoeffizienten
Beispiel: Wie viele Möglichkeiten gibt es, die 32 Karten eines
Skartspiels zu je 10 Karten auf 3 Spieler und 2 Restkarten zu
verteilen?
Objekte: n=32;
Schachtel1 =Schachtel2 =Schachtel3 =10;Schachtel4 =2
32
32!
10,10,10,2 = 10!·10!·10!·2!
Quellen
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Erweiterungen
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Erweiterungen
Matrixexponential
Matrixexponential der Matrix mit Einträgen der natürlichen
Zahlen unter der Hauptdiagonalen
[10]
Abbildung : Matrixexponential
enthält Matrix mit Pascalschem Dreieck
Quellen
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Quellen
Erweiterungen
negative n
1. Möglichkeit: negative Zeilennummer
Schritt 1: ganz normal hinschreiben
m=0 m=1 m=2 m=3
n=0
1
0
0
0
n=1
1
1
0
0
n=2
1
2
1
0
n=3
1
3
3
1
n=4
1
4
6
4
m=4
0
0
0
0
1
m=5
0
0
0
0
0
...
...
...
...
...
...
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Erweiterungen
negative n
Schritt 2:
m=0
n=-4
1
n=-3
1
n=-2
1
n=-1
1
n=0
1
n=1
1
n=2
1
m=1
m=2
m=3
m=4
m=5
...
0
1
2
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
...
...
...
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Quellen
Erweiterungen
negative n
n
n−1
Schritt 3: Regel: m
= m−1
+ n−1
m
n
n−1
umstellen: n−1
=
−
m
m
m−1
m=0 m=1 m=2 m=3 m=4
n=-4
1
-4
10
-20
35
n=-3
1
-3
6
-10
15
n=-2
1
-2
3
-4
5
n=-1
1
-1
1
-1
1
n=0
1
0
0
0
0
n=1
1
1
0
0
0
n=2
1
2
1
0
0
m=5...
-56
-21
-6
-1
0
0
0
...
...
...
...
...
...
...
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Fazit
Erweiterungen
negative Zeilen und Spalten
Möglichkeit für negative Zeilen und Spalten mit
Matrixexponential
[10]
Abbildung : Erweiterung
Quellen
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Erweiterungen
Fazit
Fazit
sehr einfache Bildung
erstaunlich, was man alles darin finden kann
viele Folgen, Muster, Abzählbarkeit,
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Geometrie
gibt bei Verallgemeinerungen noch viele Zusammenhänge zu
entdecken
z.B. Pascalsches Dreieck und Sierpinski Dreieck
Verallgemeinerung Pascalsche Pyramide und Sierpinski
Pyramide
Quellen
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Anwendung
Erweiterungen
Fragen?
Fazit
Quellen
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Erweiterungen
Fazit
[1]
Hans Magnus Enzensberger. Der Zahlenteufel. dtv.
Deutscher Taschenbuch Verlag, 01.11.1999,
München, 1999.
[2]
http://de.wikipedia.org/wiki/Blaise_Pascal
[3]
http://www.automatisierungstechnik-koeln.
de/ma/pascal_dreieck.gif
[4]
http:
//gfs.khmeyberg.de/0809/0809Kurs12Ma1e/
0809UnterrichtMathematik12MA1eStochastik.
html
[5]
http:
//de.wikipedia.org/wiki/Dreieckszahlen
[6]
http://www.michael-holzapfel.de/themen/
pascaldreieck/pascal9.gif
[7]
http://www.serlo.org/uploads/1563.png
Quellen
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Erweiterungen
Fazit
[8]
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:
Sierpinski-Trigon-7.svg
[9]
http:
//de.wikipedia.org/wiki/Trinomial_Triangle
[10]
http:
//en.wikipedia.org/wiki/Pascals_Triangle
[11]
http://www.google.de/imgres?sa=X&rlz=
1C1OPRA_enDE570DE570&espvd=210&es_sm=
93&biw=1280&bih=699&tbm=isch&tbnid=
xUtvkTVrWhnEqM%3A&imgrefurl=http%3A%2F%
2Fde.wikibooks.org%2Fwiki%2FZufall&docid=
NXEm7lxxljjY1M&imgurl=http%3A%2F%2Fupload.
wikimedia.org%2Fwikipedia%2Fcommons%
2Fthumb%2F7%2F78%2FGalton_Box.svg%
2F300px-Galton_Box.svg.png&w=300&h=355&ei=
wh8GU_jLK4altAaux4GgBw&zoom=1&iact=rc&dur=
Quellen
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Fazit
2726&page=1&start=0&ndsp=21&ved=
0CI4BEK0DMBE
[12]
http://de.wikipedia.org/wiki/Pascalsches_
Dreieck
[13]
http:
//www.google.de/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=
s&frm=1&source=web&cd=1&ved=0CC8QFjAA&url=
http%3A%2F%2Fwww.mathematik.tu-dortmund.
de%2Fieem%2Fcms%2Fmedia%2FBzMU%2FBzMU2010%
2FBzMU10_BICKER_Ursula_Pascal-dreieck.
pdf&ei=VI7FUsaWOc3BtAbMnIHYDA&usg=
AFQjCNESEOVXt45M-quDegJVCLv41kmW4g&bvm=bv.
58187178,d.Yms, Ursula Bicker, Produktives Üben
und Argumentieren mit dem Pascalschen-Dreieck
Quellen