W. Kley: Computational Astrophysics
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Computational Astrophysics 1. Kapitel: Sonnensystem Wilhelm Kley Institut für Astronomie & Astrophysik Kepler Center for Astro and Particle Physics Sommersemester 2011 W. Kley: Computational Astrophysics 1. Zweikörperproblem Übersicht 1. Zweikörperproblem - Keplergesetze - Bewegungsgleichungen - Planetenbahnen - Keplergleichung - Nullstellensuche - Fixpunkt-Iteration W. Kley: Computational Astrophysics 1 1. Zweikörperproblem Übersicht 1.1 Zweikörperproblem - Keplergesetze - Bewegungsgleichungen - Planetenbahnen - Keplergleichung - Nullstellensuche - Fixpunkt-Iteration W. Kley: Computational Astrophysics 2 1. Zweikörperproblem Keplergesetze 1) Die Planeten bewegen sich auf elliptischen Bahnen, wobei die Sonne sich in einem Brennpunkt der Ellipse befindet (1609) 2) Die Verbindungslinie Sonne-Planet überstreicht gleiche Flächen in gleichen Zeiten (Astronomia Nova, 1609) 3) Das Quadrat der Bahnperiode (P ) ist proportional zum Kubus des mittleren Abstandes (Große Halbachse a) von der Sonne (Harmonices Mundi, 1619) W. Kley: Computational Astrophysics 3 Relativkoordinaten 1. Zweikörperproblem P r S rp r s O O: Koordinatenursprung S: Sonne, ~r s Radiusvektor zur Sonne P: Planet, ~r p Radiusvektor zum Planeten ~r = ~r p − ~r s Vektor von Sonne zum Planeten W. Kley: Computational Astrophysics 4 Bewegungsgleichungen 1. Zweikörperproblem Für die Sonne ~r GMsmp(~r p − ~r s) ¨ Ms ~r s = Ms ~as = = GMsmp 3 3 |~r p − ~r p| r (1) Für den Planeten ~r GMsmp(~r p − ~r s) ¨ = − GMsmp 3 mp~r p = mp~ap = − 3 |~r p − ~r s| r (2) Subtraktion Ms× (2) - mp× (1) und teilen durch Ms + mp ⇒ Gleichung für die Relativbewegung ~r ¨ µ~r = µ~a = − GM µ 3 r (3) Mit: µ = Msmp/(Ms + mp) M = Ms + mp W. Kley: Computational Astrophysics 5 1. Zweikörperproblem Äquivalentes Einkörperproblem Das Zweikörperproblem kann auf ein äquivalentes Einkörperproblem für die Relativbewegung reduziert werden ~r ¨ µ~r = − GM µ 3 r (4) Der Planet bewegt sich wie ein Körper der reduzierten Masse µ = Msmp/(Ms + mp) im Feld der Zentralmasse M = Ms + mp. ~r ist der Relativvektor (von Sonne zum Planeten). Erhaltungsgrößen : Energie 1 2 Mµ E = µv − G 2 r (5) ~ = µ~r × ~v L (6) Drehimpuls W. Kley: Computational Astrophysics 6 1. Zweikörperproblem Bewegungsgleichungen ~ (Drehimpuls/Masse) Spezifischer Drehimpuls h ~ ~ ≡ µh L ~ ⊥ ~r , d.h. Bewegung in Ebene senkrecht zu L. ~ Es gilt h ~ also h = Lz /µ Wähle KO-System mit z-Achse parallel zu L, x = r cos φ, y = r sin φ Die Bewegungsgleichung (4) lautet nun r2φ̇ = h r̈ − rφ̇ 2 k = − 2 r (7) (8) mit k = G M . W. Kley: Computational Astrophysics 7 Flächensatz 1. Zweikörperproblem 1111111111111111 0000000000000000 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 dr Fläche dS des schraffierten Dreiecks xx r O 1 ~ dS = |~r × dr| 2 teile durch dt 1 Ṡ = |~r × ~v | 2 mit (7) 1 Ṡ = h 2 (9) d.h. Drehimpulserhaltung ⇒ Zweites Keplersches Gesetz W. Kley: Computational Astrophysics 8 1. Zweikörperproblem Radial-Gleichung Einsetzen der Drehimpulsgleichung ergibt (k = GM ) h2 k r̈ + 2 − 3 = 0 r r (10) Multiplikation mit ṙ und Integration über die Zeit t liefert 1 2 k h2 ṙ − + 2 = 2 r 2r (11) = E/µ spezifische Energie (Energie/Masse) des Planeten Definiere effektives Potential h2 k Veff (r) = − + 2 r 2r (12) ṙ2 + 2Veff (r) = 2 (13) W. Kley: Computational Astrophysics 9 1. Zweikörperproblem Effektives Potential Veff (r) ε3 r O ε2 ε1 Kreisbahn Ellipse Parabel Hyperbel Zentrifugalpotential: für r → 0 abstoßend. ε0 r0 = 0 < 1 < 0 = 2 = 0 = 3 > 0 k h2 Veff (r) = − + 2 r 2r (gebunden) (gebunden) (marginal gebunden) (ungebunden) W. Kley: Computational Astrophysics 10 Die Form der Bahn 1. Zweikörperproblem dr dφ 1 Mit ṙ = und u = dφ dt r 2 du 2ku 2 2 ⇒ +u − 2 = 2 dφ h h nochmal ableiten: ⇒ Binet’s Gleichung: d2u k +u= 2 2 dφ h (14) inhomogene Oszillatorgleichung p r= 1 + e cos(φ − φ0) Die Lösung lautet (15) Gleichung für Kegelschnitt = 1. Keplersches Gesetz in Gl.14 ⇒ e= 2 2h 1+ 2 k W. Kley: Computational Astrophysics 1/2 h2 ,p= ≡ a(1 − e2) k (16) 11 Die Ellipse 1. Zweikörperproblem F Fokus (Sonne) P Planet semi lactus rectum p = a ( 1 − e 2 ) r (Abstand: F-P) a große Halbachse b kleine (b ≤ a) P b r E Aphel a O φ F Perihel Exzentrizität e = (1 − b2/a2)1/2 q = a(1 − e) (Perihel) Q = a(1 + e) (Aphel) φ wahre Anomalie q=a(1−e) ( Winkel: Perihel - Planet) E: exzentrische Anomalie W. Kley: Computational Astrophysics 12 1. Zweikörperproblem Energie und Drehimpuls Im Perihel rp und Aphel ra ist v ⊥ r, also gilt L = µrpvp = µrava 1 2 GM µ 1 2 GM µ E = µvp − = µva − 2 rp 2 ra mit rp = a(1 − e) und ra = a(1 + e) folgt (NOTE: L = µh, E = µ) p L = µ GM a(1 − e2), GM µ E=− 2a (17) Integriere Flächensatz (9) über ganze Periode P : πab/P = h/2 p mit b = a (1 − e2) 2 3 4π a 2 P = GM d.h. Das Dritte Keplersche Gesetz W. Kley: Computational Astrophysics (18) 13 1. Zweikörperproblem Der Planet in der Bahn I Die radiale Bewegungsgleichung lautete (11) 2B C + 2 ṙ = A + r r 2 mit A = 2, allg. Lsg. (19) C = −h2 Zr Zt dr q = dt 2B C A + + r0 t0 r r2 B = k, B Substitution: r = a (1 − e cos E) ; a = − ; A Lsg.: (mit Perihel bei t = t0) Kepler Gleichung (20) (21) 1/2 AC e= 1− 2 B 2π M = (t − t0) = E − e sin E P (22) M mittl. Anomalie, P Periode., E = 0 Perihel, E = π Aphel. W. Kley: Computational Astrophysics 14 Der Planet in der Bahn II 1. Zweikörperproblem Kepler-Gleichung ist transzendente Gleichung, Lösung iterativ starte zu einer festen Zeit (eg. t = P/4) mit Anfangswert E0 (eg. π/2), und iteriere Ek+1 = M + e sin Ek (23) Berechne wahre Anomalie φ mit r φ 1+e E tan = tan 2 1−e 2 (24) und Abstand r nach (15) p r= 1 + e cos(φ − φ0) W. Kley: Computational Astrophysics 15 Planetenbewegung 1. Zweikörperproblem Umlaufzeiten: siderische: Wahre Umlaufzeit P eines Planeten um die Sonne synodische: Umlauf relativ zur Sonne, Psyn Zeit zwischen 2 Konjunktionen Mittlere Bahngeschwindigkeiten: Relativgeschwindigkeit: nerde, nplanet nerde − nplanet = 2π/Psyn Für äußere Planeten (nerde > nplanet ) 1 1 1 = − Psyn Perde Pplanet Beispiel Mars Psyn = 2.14 Jahre W. Kley: Computational Astrophysics 16 1. Zweikörperproblem Bahnelemente I Vollständige Beschreibung der Bahn durch: - 2 Bahnelemente a, e (Große Halbachse, Exzentrizität) - 3 Winkel, welche die Orientierung der Bahn angeben - 1 Zeitursprung TP, z.B. der Durchgang durch Perihel Referenzkoordinatensystem: Kartesisches System: Im Ursprung die Sonne x − y Ebene = Ekliptikebene = Ebene der Erdbahn z-Achse in Richtung des Drehimpulse der Erdbahn x-Achse in Richtung des aufsteigenden Knotens der Erdbahn, (Frühlingspunkt (-Äquinoktium, Tag- und Nachtgleiche), Widderpunkt) W. Kley: Computational Astrophysics 17 1. Zweikörperproblem Bahnelemente II a,e Frühlingspunkt Knoten : aufsteigender absteigender i Inklination ∠ Erdbahn-Eklipt. Ω Länge des aufsteig. Knotens in Ekliptik ω Länge des Perihels vom in Bahnebene TP Periheldurchgang W. Kley: Computational Astrophysics 18 1. Zweikörperproblem Bahnelemente III Mit allen 6 Größen a, e, i, Ω, ω, TP ist eindeutige Bestimmung des Position des Planeten möglich Damit können z.B. die Orte ~r und die Geschwindigkeiten ~v des Planeten eindeutig angegeben werden. Bewegungsgleichungen (9 Körper, Sonne + 8 Planeten) ~ri ¨ ~i, i = 1, ..., 9 ~ri = −GMi + F |~ri|3 (25) F~i Störungen der anderen Körper auf i-ten Planeten (Masse mi) Mi = (M + mi) Gl. nicht exakt lösbar, näherungweise Ellipsen plus Störungen ⇒ Variation der Bahnelemente z.B. variiert e♁ zwischen 0 und 0.06, heute 0.0167 W. Kley: Computational Astrophysics 19 1. Zweikörperproblem Überblick: Sonnensystem W. Kley: Computational Astrophysics 20 1. Zweikörperproblem Bahnelemente der Planeten Momentane Bahnelemente der Planeten Name Symb. Gr. Halbachse a [AU] Merkur ' 0.3871 Venus ♀ 0.7233 Erde 1.0000 ♁ Mars 1.5237 ♂ Ceres 2.766 Jupiter X 5.2026 Saturn Y 9.5549 Uranus Z 19.2184 Neptun [ 30.1104 Pluto \ 39.5447 Exzent. e 0.2056 0.0068 0.0167 0.0934 0.077 0.0488 0.0555 0.0463 0.0090 0.2490 Inklin. Grad 7o000 3o240 1o510 10o400 1o180 2o290 0o460 1o460 17o090 Periode [Jahre] 0.241 0.615 1.00 1.88 4.601 11.9 29.5 84.0 165 248 Die Bahnelemente variieren (oskulieren) aufgrund der Wechselwirkungen untereinander W. Kley: Computational Astrophysics 21
