Moderne Verfahren zur Messung von Kraft, Masse und daraus
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Moderne Verfahren zur Messung von Kraft, Masse und daraus abgeleiteten Größen - MKM (2) Dozent: Dr.-Ing. Klaus-Dieter Sommer Inhalt : • Darstellung von Kilogramm, Mol, Newton u.a Einheiten • Elektronische Waagen: physikalische Prinzipien, Eigenschaften, Anwendungen (Bereich: mg bis t), Kalibrierung; Massenormale • Elektrische Kraftaufnehmer und Wägezellen: Prinzipien (Kraftkompensation, DMS, optisch u. a.), Eigenschaften, Anwendung • Dynamische Kraftmess- und Wägetechnik Uni-Erlangen_SS2008 MKM_VE2.0 • Moderne Sensoren für Druck (klassisch und Mikrotechnologie) • Verfahren und Sensoren zur Messung von Massestrom, mechanischer Arbeit und Leistung (klassisch und für Mikrosystemtechnik) • Messung der Dichte von Festkörpern, Flüssigkeiten und Gasen, Prinzipien(Schwingerprinzip, Ultraschall u. a.), Anwendung • Einführung in die rechnergestützte Messunsicherheitsbewertung a. H. von Beispielen aus der Kraft-, Masse- und Druckmessung - VE 2 - Copyright © Klaus-DieterSommer2008 Coriolis - Massestrommesser (1) Bestimmung der trägen Masse r Auf einem Körper der sich mit der Geschwindigkeit v in einem r rotierenden System mit der Winkelgeschwindigkeit Coriolis − Kraft: ω bewegt, wirkt die r r r FC = 2 ⋅ m [ω × v ] Ein strömendes Medium übt auf eine Rohrwand (rotierendes oder r osr zillierendes Rohr, ω ) eine (entgegengerichtete) Trägheitskraft FC aus: m& = ρ ⋅ A ⋅ v ρ = Δm ⋅ ( A ⋅ Δl ) Uni-Erlangen_SS2008 MKM_VE2.0 −1 m& = ΔFC ⋅ 2ω Δl - VE 2 - Copyright © Klaus-DieterSommer2008 Coriolis - Massestrommesser (2) Coriolis-Drehmoment (je Längeneinheit): r r r r ΔM = ⎡ ri × Δl × ω ⎤ ⋅ 2 ⋅ m& ⎣ ⎦ ( ) M = l 2 ⋅ ω ⋅ m& Coriolis-Drehmoment mit periodisch schwingenden Rohren: Momentengleichgewicht: Nulldurchgänge: k ⋅ψ = 2 ⋅ FC ⋅ a FC = 2lω ⋅ m& 2 8 a ⋅l Δ t = 2 ⋅ Δ s ⋅ v −1 = ⋅ m& L⋅k Quelle:Fiedler Uni-Erlangen_SS2008 MKM_VE2.0 - VE 2 - Copyright © Klaus-DieterSommer2008 Coriolis - Massestrommesser (4) Moderne Ausführungsformen: Doppelrohr mit Zeitdifferenzmessung: Doppelrohr mit Phasendifferenzmessung: Quelle: Fiedler Rohrschw ingung ohne/m it Durchfluss 1 Reset 0,8 0,6 Flow 0,4 0,2 0 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8 -1 Quelle: Endress & Hauser Uni-Erlangen_SS2008 MKM_VE2.0 - VE 2 - Copyright © Klaus-DieterSommer2008 Coriolis - Massestrommesser (3) Doppelrohre mit Torsionsbewegung Aufnehmer tats. Massestrom wirksamer Rohrabschnitt Bewegungsrichtung Schwingarm gedachte Scheibe Torsionachse Erreger Schwingarme Rohrschleifen Quelle:Schwing Uni-Erlangen_SS2008 MKM_VE2.0 - VE 2 - Copyright © Klaus-DieterSommer2008 Coriolis - Massestrommesser (5) Einrohr - Torsionsschwinger Torsions schwingung Messrohr- und Pendelschwingung kompensieren sich Messstrecke Quelle: E&H Uni-Erlangen_SS2008 MKM_VE2.0 Pendel Quelle: E&H - VE 2 - Copyright © Klaus-DieterSommer2008 Coriolis - Massestrommesser (4) Erreichbare Daten: Nennweiten: 1 bis 250 mm Temperaturen: - 50°C bis + 250 °C Drücke: bis 800 bar Fehlergrenzen: 0,2% bis 1% Medien: kaum Einschränkungen Dichtemessung: über Resonanzfrequenz Durchflüsse: 0,1 g/min bis 900 t/h Probleme: mechanische Schwingungen, Spannungen, Quelle: Endress & Hauser hohe Viskositäten Uni-Erlangen_SS2008 MKM_VE2.0 - VE 2 - Copyright © Klaus-DieterSommer2008 Bestimmung der schweren Masse Massebestimmung nach dem Gravitationsgesetz FG H = (m W mN + m T ) 2 γ ⋅ cos ϕ r Vorteile: • Auftriebskräfte und örtliche Fallbeschleunigung gehen nicht in das Ergebnis ein Nachteile: • Schwerpunkte S Tara müssen bekannt sein • geringe Kräfte Beispiel: mN = 1 t mW = 1 kg FGH= 0,667μN mW mT SW FGH mN ϕ SN KA - Kraftaufnehmer S - Schwerpunkt KA Führung Uni-Erlangen_SS2008 MKM_VE2.0 - VE 2 - Copyright © Klaus-DieterSommer2008 Bestimmung der schweren Masse Massebestimmung nach dem Gewichtskraftgesetz (1) G = mg G - Gewicht g loc - Kraft, mit der ein relativ zur Erde ruhender Körper an einem vorgegebenen Messort an der Erdoberfläche auf seine Unterlage wirkt (3. Generalkonferenz für Maß und Gewicht) örtliche Fallschleunigung g loc Uni-Erlangen_SS2008 MKM_VE2.0 Überlagerung von Gravitationsbeschleunigung g G und Zentrifugalbeschleunigung g Z ⎡ 9, 80632 − 2, 586 ⋅ 10 −2 cos 2ϕ + ⎤ −2 m s ≈⎢ ⋅ ⎥ −5 −6 3 , 0 10 cos 4 ϕ 2 , 93 10 ⋅ − ⋅ ⋅h ⎦ ⎣ - VE 2 - Copyright © Klaus-DieterSommer2008 Bestimmung der schweren Masse Massebestimmung nach dem Gewichtskraftgesetz (2) Messung der Gewichtskraft durch: Momenten-/Kraftkompensation kraftabhängige Auslenkung/ Verformung r FMESS FACTIO δd/2 r FREF Luftdichte Volumen Nutzung von Stauchung l Dehnung, Biegung, Scherung, Torsion etc. örtliche Fallbeschleunigung r r FM ESS = FREF Anwendung: Laborwaagen Uni-Erlangen_SS2008 MKM_VE2.0 δl (Hookesches Gesetz) FREACTIO d Anwendung: hochlastige Wägezellen - VE 2 - Copyright © Klaus-DieterSommer2008 Bestimmung der schweren Masse Massebestimmung nach dem Gewichtskraftgesetz (2) Messung der Gewichtskraft durch: Momenten-/Kraftkompensation kraftabhängige Auslenkung/ Verformung r FMESS r FREF Luftdichte FACTIO δd/2 δl (Hookesches Gesetz) Volumen Nutzung von Stauchung Dehnung, Biegung, l Scherung, Torsion etc. örtliche Fallbeschleunigung r r FMESS = FREF Anwendung: Laborwaagen Uni-Erlangen_SS2008 MKM_VE2.0 FREACTIO d Anwendung: hochlastige Wägezellen - VE 2 - Copyright © Klaus-DieterSommer2008 Balkenwaagen Übersicht a) einfach gleicharmige Balkenwaage b) . . . mit Dämpfung und Nonius c) . . . mit Reitergewichten d) . . . mit Schaltgewichten e) Einschalenwaage mit Schaltgewichtseinrichtung f) Substitutionswaage mit Schaltgewichtseinrichtung Uni-Erlangen_SS2008 MKM_VE2.0 - VE 2 - Copyright © Klaus-DieterSommer2008 Mechanische gleicharmige Balkenwaage Grundlagen (1) Idealisierende Annahmen: • l1=l1=l • A, B, C liegen auf einer Linie Schwerpunkt • S liegt senkrecht zum Balken „unter C“ Auslenkung • Gehängemasse vernachlässigbar A, B, C - Schneiden, Lager • Luftauftrieb konstant und in FR, FT enthalten FT - Wägekraft, Prüfling FR - Wägekraft, Normal FB - Wägekraft, Waagebalken e - Abstand C-S Uni-Erlangen_SS2008 MKM_VE2.0 Gleichgewichtszustand: - VE 2 - lFT cosα − lFR cosα − eFB sinα = 0 Copyright © Klaus-DieterSommer2008 Mechanische gleicharmige Balkenwaage Grundlagen (2) Bestimmung der Masse aus mT = m R + e ⋅ mB ⋅ tan α l F = m⋅g : (für kleine α : tan α ≈ α ) In praxi wird anstelle des Winkels α eine Anzeigeänderung ΔI W gemessen, mit ΔIW =α⋅cW ( cW - Proportionalitätsfaktor): em B mT = mR + ⋅ ΔI W lc W Empfindlichkeit der Waage: l ⋅ cW s= e ⋅ mB Uni-Erlangen_SS2008 MKM_VE2.0 Hohe Empfindlichkeit - VE 2 - • lange Arme l • großer Proportionalitätsfaktor cw • kleines Balkengewicht mB • hoher Schwerpunkt (kleines e) Copyright © Klaus-DieterSommer2008 Mechanische gleicharmige Balkenwaage Grundlagen (3) Minimierung systematischer Messabweichungen: ΔI W ( ) s ρ a - Luftdichte; V T,V R - Volumina der Lasten; ΔI W - Anzeigedifferenz • Berücksichtigung des Luftauftriebs: mT = mR + ρa VT − VR + • Empfindlichkeitsprüfung mit Zusatzgewicht: s= ΔIS m Z − ρ aZV Z • Vermeidung großer Auslenkungen ΔI W : Gewährleistung der Operation im linearen Bereich, ggf. unter Verwendung von Reitergewichten • Verwendung der Substitutionsmethode: Eliminierung von Abweichungen aufgrund unterschiedlicher Armlängen Uni-Erlangen_SS2008 MKM_VE2.0 - VE 2 - Copyright © Klaus-DieterSommer2008 Mechanische Balkenwaage Last-(Kraft-) Einleitung (1) Mechanische Balkenwaage als Zweischneidenwaage Gleicharmige Balkenwaage als sog. Dreischneidenwaage (Substitutionswaage) l1 l2 Quelle: Mettler GX Gb Ziel: Senkrechte Krafteinleitung Uni-Erlangen_SS2008 MKM_VE2.0 1 -Waagenbalken, 2 -Gehänge, 3 -Schneidenlager, 5 -Gewichtsschaltmechanismus, 6 -Dämpfung, 8 -Empfindlichkeit, 9 -Nullpunkt, 10 Strichplatte - VE 2 - Copyright © Klaus-DieterSommer2008 Mechanische Balkenwaage Substitutionsprinzip l2 l1 Gk Gb Gleichgewichte: Gb GX Belastung: GX = Gk Nullpunkt: Gb = Gk Quelle: Mettler Ziel : Lösung: Uni-Erlangen_SS2008 MKM_VE2.0 Waagenbalken möglichst nicht auslenken • Substitution der Last GX durch Belastung Gb • Substitutionsgewichte bilden interne Normale • Wägemechanismus wirkt Komparator - VE 2 - Copyright © Klaus-DieterSommer2008 Oberschalige Balkenwaage Last-(Kraft-) Einleitung (2) Parallelführung (Parallellenker) Pendelsystem mit Zusatzlastschale Arretierung Quelle: Mettler Uni-Erlangen_SS2008 MKM_VE2.0 Quelle: Mettler - VE 2 - Copyright © Klaus-DieterSommer2008 Übungsaufgabe Mechanische Balkenwaagen gelten als „gloc-unabhängig“ (gloc - lokale Erdbeschleunigung) Weisen Sie am Beispiel der Substitutionswaage nach, dass dies tatsächlich der Fall ist ! l1 mb l2 Momentengleichgewicht: mk Belastung: mk ⋅ l2 ⋅ g loc = m?x ⋅ l1 ⋅ g loc Nullpunkt: mk ⋅ l?2 ⋅ gloc = m?b ⋅ l1 ⋅ g loc Ergebnis mx =? mb (einstellbar) mx Uni-Erlangen_SS2008 MKM_VE2.0 - VE 2 - Copyright © Klaus-DieterSommer2008 Wägesysteme mit elektromagnetischer Kraftkompensation (1) Prinzip: mIND = k ⋅ I FE = B ⋅ I ⋅ n ⋅ 2π r Kompensationskraft: Momenten-Gleichgewicht Uni-Erlangen_SS2008 MKM_VE2.0 FW ⋅ l1 = FE ⋅ l2 - VE 2 - Copyright © Klaus-DieterSommer2008 Waagen mit elektromagnetischer Kraftkompensation (2) Waage mit eingebauter Schaltgewichtsvorrichtung 1 - Waagebalken 2 - Gehänge 5 - Schaltgewichtsvorrichtung 6 - EMFC 7 - Gegengewicht, konstant 8 - Feinjustierung 9 - Sperre 10 - Wechselvorrichtung (Waage der späten 70er / frühen 80er Jahre) Uni-Erlangen_SS2008 MKM_VE2.0 - VE 2 - Copyright © Klaus-DieterSommer2008 Übertragungscharakteristik einer Schaltgewichtswaage m´ - Last mw - Anzeige δmw - Linearitätsabweichung Δmj - elektrisch kompensierter Bereich für eine selektrierte Belastungsstufe Uni-Erlangen_SS2008 MKM_VE2.0 - VE 2 - Copyright © Klaus-DieterSommer2008 Waagen mit elektromagnetischer Kraftkompensation (3) Schematischer Aufbau einer Waage der späten 80er Jahre: 1 - Systemträger; 2 - Lastaufnehmer; 3 - Waagschale; 4 - oberer Lenker; 5 - unterer Lenker; 6 - Gelenkstellen; 7 - Übersetzungshebel; 8 - Drehgelenk; 9 - Koppelelement; 10, 11 - Dünnstellen; 12 - Permanentmagnet; 13 - Spule; 14 - Regelverstärker; 15 - Messwiderstand; 16 - Lagesensor; 17, 18, 19 - Auswertung, Anzeige Uni-Erlangen_SS2008 MKM_VE2.0 - VE 2 - Copyright © Klaus-DieterSommer2008 Elektromagnetisch-kraftkompensierte Wägezellen Verschraubte Monoblock-Systeme (1) Material: Alu - Druckguss 1 - Systemträger 2,20 - Krafteinleitung 4,5 - Parallelführung 6 - Gelenkstellen 7,9 - Kraftuntersetzung 12 Uni-Erlangen_SS2008 MKM_VE2.0 - VE 2 - - Topfmagnetsystem Copyright © Klaus-DieterSommer2008 Elektromagnetisch-kraftkompensierte Wägezellen Monoblock-Systeme (2) 1 - Systemträger 2,3 - Lastaufnehmer 4,5 - oberer/unterer Lenker Uni-Erlangen_SS2008 MKM_VE2.0 - VE 2 - 6 - Gelenkstellen 7 - Magnetaufnahme 8 - Aufnahme Lagersensor Copyright © Klaus-DieterSommer2008 Elektromagnetisch-kraftkompensierte Wägezellen Monoblock-Systeme (3) Älteres „feinmechanisches“ System Uni-Erlangen_SS2008 MKM_VE2.0 - VE 2 - Monoblock-System für kleine Lasten Copyright © Klaus-DieterSommer2008 Elektrodynamisch-kraftkompensierte Wägezellen Monoblock-Systeme (4) FEM-Analyse: Uni-Erlangen_SS2008 MKM_VE2.0 - VE 2 - Copyright © Klaus-DieterSommer2008 Elektrodynamisch-kraftkompensierte Wägezellen Monoblock-Systeme (5) Schnittdarstellung: Fw FE l1 l2 Fw ⋅ l1 = Uni-Erlangen_SS2008 MKM_VE2.0 Hebelverhältnis l1/l2 << 1 ermöglicht geringe Kräfte FE und kleine Dissipationsleistungen: Pdiss ≈ I²MESS FE ⋅ l2 - VE 2 - Copyright © Klaus-DieterSommer2008 Moderne Laborwaagen Foto: Sartorius Uni-Erlangen_SS2008 MKM_VE2.0 - VE 2 - Copyright © Klaus-DieterSommer2008 Laborwaagen im gesetzlichen Messwesen Kl. Bezeichnung Eichwerte 1mg ≤ e Anzahl Eichwerte ≥ 50000 I Feinwaagen II Präzisionswaagen 1mg ≤ e ≤ 50mg 100 bis 100000 5000 bis 100000 0,1g ≤ e III Handelswaagen 0,1g ≤ e ≤ 2g 5g ≤ e 100 bis 10000 500 bis 10000 IV Grobwaagen 5g ≤ e 100 bis 1000 Sartorius-Halbmikrowaage Uni-Erlangen_SS2008 MKM_VE2.0 - VE 2 - Copyright © Klaus-DieterSommer2008 Übungsaufgabe Elektromagnetisch kraftkompensierte Waagen gelten als „gloc-abhängig“ (gloc - lokale Erdbeschleunigung) Weisen Sie nach, dass dies tatsächlich der Fall ist ! l1 mx ⋅ gloc l2 FE mb Tauchspule I mIND = k2 ⋅ I Anzeige Gleichgewicht: mx ⋅ g loc ⋅ l1 Uni-Erlangen_SS2008 MKM_VE2.0 FE = k1 ⋅ I = FE?⋅ l2 mIND −1 = k2 ⋅ ( F? ⋅ k E 1 ) mIND = mx ⋅ - VE 2 - g? loc ⋅ l1 ⋅ k 2 ?l2 ⋅ k1 Copyright © Klaus-DieterSommer2008 Nationale Regelungen für Gravitationszonen Europäische Länder mit nationalen Gravitationszonenregelungen: Warum Graviationszonen? zur Sicherung der Richtigkeit der Massebestimmungen Deutsche Gravitationszoneneinteilung: (Grundlage: verwaltungstechnische Grenzen) Kriterium: δg mpe ≤ g n⋅e (Werte: 1·10-4 ... 5·10-4) mpe - maximum permissible error (Fehlergrenzen) e - Eichwert der Waage (entspricht meist der Auflösung) n - Höchstlast geteilt durch e Uni-Erlangen_SS2008 MKM_VE2.0 - VE 2 - Copyright © Klaus-DieterSommer2008 Vollständiges WELMEC-Verfahren zur Festlegung von Gravitationszonen (A) Festlegung geeigneter Zonenbegrenzungen: ϕ1 , ϕ 2 Geographische Breiten der Zonenbegrenzungen, als Vielfache von 1° (0,5°) Höhen über dem Meeresspiegel, h1 , h2 als Vielfache von 100 m (B) Berechnung der maximalen Fallbeschleunigungsänderung in der festgelegten Zone: ϕ m = 1/ 2 (ϕ1 + ϕ 2 ) Mittelwert der geographischen Breite ϕ Mittelwert der Höhe h h = 1/ 2 ( h1 + h2 ) Bezugswert der Fallbescheinigung in der Zone g R = g (ϕ m , hm ) Δgϕ =1/2 g(ϕ1, hm ) − g (ϕ2 , hm ) Maximale Änderung aufgrund Variation von ϕ Δgh =1/2 g(ϕm, h1 ) − g (ϕm, h2 ) Maximale Änderung aufgrund Variation von h (C) Überprüfung unter Verwendung von Gl. (3), ob die höchstzulässige relative Änderung ( Δgϕ +Δgh ) / gR eingehalten wird. Uni-Erlangen_SS2008 MKM_VE2.0 - VE 2 - Copyright © Klaus-DieterSommer2008 Bestimmung der schweren Masse Massebestimmung nach dem Gewichtskraftgesetz Messung der Gewichtskraft durch: Momenten-/Kraftkompensation kraftabhängige Auslenkung/ Verformung r FMESS FACTIO r FREF Luftdichte δd/2 δl (Hookesches Gesetz) Volumen Nutzung von Stauchung Dehnung, Biegung, l Scherung, Torsion etc. örtliche Fallbeschleunigung r r FM ESS = FR EF Anwendung: Laborwaagen Uni-Erlangen_SS2008 MKM_VE2.0 FREACTIO d Anwendung: hochlastige Wägezellen - VE 2 - Copyright © Klaus-DieterSommer2008 Mechanik deformierter Körper Mechanische Spannung Spannungsvektor: r r S = Δ F ⋅ Δ A −1 Einheit N ⋅ m −2 Normalspannungsvektor: r σ = ΔFN ⋅ ΔA−1 r ΔA r ΔFr ΔFN r ΔFt N ⋅ m −2 - Flächenelement Schubspannungsvektor: r τ = ΔFt ⋅ ΔA−1 - wirkende Kraft r - Normalkomponente N ⋅ m −2 - Tangentialkomponente Uni-Erlangen_SS2008 MKM_VE2.0 - VE 2 - Copyright © Klaus-DieterSommer2008 Mechanik deformierter Körper Längsdehnung Querdehnung Kompression Scherung Biegung Uni-Erlangen_SS2008 MKM_VE2.0 - VE 2 - Copyright © Klaus-DieterSommer2008 Spannungs - Dehnungs - Diagramm Elastischer Bereich = Geltungsbereich des Hookeschen Gesetzes Uni-Erlangen_SS2008 MKM_VE2.0 - VE 2 - Copyright © Klaus-DieterSommer2008 Übungsaufgabe Dehnung und Querdehnung Welche Spannung verursacht ein 1kg Gewicht in einem Draht mit dem Durchmesser d = 1 mm?: Draht d =1 mm σ 1 kg ur ur ? F m ? ⋅ g? ⋅ 4 = σ = π? ⋅ d?2 ?A σ = −2 -2 kg ⋅⋅9, m 11kg 81 ⋅ 9,81m s ⋅⋅44 ? ?mm ) π ⋅ (11mm 22 12,?5MN MN ⋅⋅m m-2−2 ==12,5 m⋅ g Uni-Erlangen_SS2008 MKM_VE2.0 - VE 2 - Copyright © Klaus-DieterSommer2008 Mechanik deformierter Körper Dehnung Dehnung: Dehnung: ε = Δ l ⋅ l −1 ε= Hookesches Gesetz: gilt nur für kleine σ E ε ! ( lineare Taylorreihen-Entwicklung) σ - Normalspannung E - Elastizitätsmodul, Youngscher Modul Uni-Erlangen_SS2008 MKM_VE2.0 - VE 2 - Copyright © Klaus-DieterSommer2008 Mechanik deformierter Körper Querdehnung Δd 1 εq = = −ν ⋅ ε = − ε μ d ν 1 =− σ =− σ E μE εq εq ν μ - Querdehnung ε - Dehnung - Querdehnungszahl E - Elastizitätsmodul - Poissonzahl σ - Normalspannung Δl ⋅ d μ= = ν l ⋅ Δd 1 Uni-Erlangen_SS2008 MKM_VE2.0 - VE 2 - μ ≈ 2...3 Copyright © Klaus-DieterSommer2008 Dehnung und Querdehnung Volumenänderung Für einen Stab mit quadratischem Querschnitt gilt: ΔV = V − V = ( d + Δ d ) ( l + Δ l ) − d 2 l ` für kleine Dehnungen: 2 Vernachlässigung quadratischer Δ - Terme: ΔV = 2 d ⋅ l ⋅ Δ l + d 2 ⋅ Δ l ΔV Δl Δd = +2 = ε (1 − 2υ ) V l d Uni-Erlangen_SS2008 MKM_VE2.0 - VE 2 - nur für kleine Dehnungen ! Copyright © Klaus-DieterSommer2008 Übungsaufgabe Dehnung und Querdehnung Mit welcher Masse muss ein Gold-Quader mit der Kantenlänge l = 100 mm belastet werden, um eine Stauchung von ε = -1 · 10-3 zu erzielen? 1. notwendige Spannung σ ? Last σ = ?E ⋅?ε = -81×109 N/m 2 ⋅ 0,001 = -81N/mm2 m=? 2. notwendige Last ? Δl = -0,1mm =ε = - 1·10-3 l= 100 mm Au E = 81·103N/mm2 3. Welche Querdehnung ergibt sich? ε q = −?υ· ⋅ ε? = 0,35?⋅ 0,001 == 0,35?⋅10-3 l l` Uni-Erlangen_SS2008 MKM_VE2.0 F? A ⋅? σ l 2 ⋅σ ? m= = = g? g ?g ?? = 82,6??⋅ 103 kg = 82,6t - VE 2 - Copyright © Klaus-DieterSommer2008 Biegung (1) Schwerpunkt z Querschnitt Längsschnitt Biegung tritt auf, wenn ein punktweise eingespanntes bzw. gestütztes Bauteil außerhalb der Stützstellen belastet wird Uni-Erlangen_SS2008 MKM_VE2.0 - VE 2 - Copyright © Klaus-DieterSommer2008 Biegung (2) z Biegemoment: z r r M b = ∑ Fi ⋅ δ zi , r r r r M b,loc = F ( l − z ) , M b,max = F ⋅ l i Flächenträgheitsmoment: axial: polar: J y = ∫ y dA, 2 J x = ∫ x dA, ( Jp = J x + J y Uni-Erlangen_SS2008 MKM_VE2.0 ) J p = ∫ r 2 dA = ∫ x 2 + y 2 dA - VE 2 - JK = d 2 π 64 d4 b⋅ h3 JR = 12 h b Copyright © Klaus-DieterSommer2008 Durchbiegung (1) Durchbiegung Punktlast r FA r F = d Uni-Erlangen_SS2008 MKM_VE2.0 JKreis = 64 Linienlast r FA l3 F s = ⋅ 3 E⋅J r r M b,max = l⋅F π (1) = r F l3 F ⋅ s = 8 E ⋅J r l r M b,max = ⋅F 2 b d 4 h - VE 2 - J Rechteck b ⋅ h3 = 12 Copyright © Klaus-DieterSommer2008 Durchbiegung (2) Linienlast Punktlast ur FA ur FB s uur M b,max Uni-Erlangen_SS2008 MKM_VE2.0 ur = b⋅l ⋅ F ur −1 = a⋅l ⋅ F −1 2 2 ab F ⋅ 3l E ⋅ J a ⋅ b ur = ⋅F l = ur FA ur ur = FB = F /2 s l3 F ≈ ⋅ 77 E ⋅ J uur ur 1 M b,max = ⋅ l ⋅ F 8 - VE 2 - Copyright © Klaus-DieterSommer2008 Übungsbeispiel Durchbiegung Welche Durchbiegung erfährt ein Stahlträger bei einer Belastung mit einer Masse von 1 t im Fall (a), einseitige Punktbelastung am Ende, und (b), Linienlast und zweiseitige Einspannung? Flächenträgheitsmoment: 3 ? -6 4 ? b ⋅ h J = ≈ 8,3 ⋅ 10 m 2 Stahlträger: R m / 12 N G 00 F 2 = - Faktor: ,E l h E ⋅ J Sta 0,1 m F = 5,9 ⋅ 10-3 m -2 E⋅J 2m 0,1 m Belastung: 1 (a) einseitig, Punktlast am Ende: l 3 ?F s= ⋅ = 16 mm ? 3 E⋅J t (b) zweiseitig, Linienlast: l 3 ?F s= ⋅ = 1 mm E ⋅ J ? 77 ur F = m⋅ g Uni-Erlangen_SS2008 MKM_VE2.0 - VE 2 - Copyright © Klaus-DieterSommer2008 Übungsbeispiel Biegebalken Kraftsensor Herstellerangaben: Messbereich: 0 … 10 N Messweg bei Maximallast: 0,15 mm 37 Biegebalken: kreisförmig, l = 37 mm Material: Stahl, E = 200 GN/m2 Aufgabe: Bestimmen Sie den Durchmesser ! l 3 ?F ? J= ⋅ ? ⋅·? 3 E s Uni-Erlangen_SS2008 MKM_VE2.0 d = 4 J K ⋅ 64 / π ≈ 3,27mm - VE 2 - Copyright © Klaus-DieterSommer2008 Wiederholungsfragen (1) Welches sind die Basiseinheiten des Internationalen Einheitensystems SI? ? kg, s, A, K, mol, cd Antwort: m, (2) Welche Einheiten dienen zur Angabe der Menge von Materie? Antwort: kg, ?mol (3) Wie lautet sinngemäß die Definition des g? Antwort: Das ? Kilogramm ist gleich der Masse des Internationalen Kilogrammprototyps. (4) Aus welchem material besteht das Internationale Kilogrammprototyp? ? Platin-Iridium Antwort: aus (5) Wie wird im Bereich höchster Genauigkeit die Masseeinheit weitergegeben? Massevergleich mittels Wägung Antwort: Durch ? Uni-Erlangen_SS2008 MKM_VE2.0 - VE 2 - Copyright © Klaus-DieterSommer2008 Wiederholungsfragen (6) Beschreiben Sie formelgemäß die folgenden, von der Masseeinheit abgeleiteten Größen: Dichte, Druck, Arbeit, Impuls, Leistung, Massestrom ! Antwort: Dichte : Druck : Arbeit : Impuls : Leistung : Massestrom : Uni-Erlangen_SS2008 MKM_VE2.0 m ρ= ? V FN p= ? A s2 r r r r F ⋅ Δs = − ∫ F ds ΔW = − ? r r p = v ⋅?m ΔW P= ? Δt Q& = v?⋅ AN ⋅ ρ - VE 2 - s1 Copyright © Klaus-DieterSommer2008 Wiederholungsfragen (7) Geben Sie sinngemäß die Definition des Mol an ! Antwort: Stoffmenge eines Systems, das aus ebensoviel Einzelteilchen besteht ? wie Atome in 12 g des Kohlenstoffnuklids 12C enthalten sind. (8) Wie lautet die Avogadrozahl? Welche Antwort ist richtig? (a) 6,0221367 ·1023 mol-1 (b) 6,0221367 ·10-23 mol-1 Antwort: (9) ? (a) ? Welche beiden relevanten Eigenschaften werden der Masse zugeordnet? Antwort: Uni-Erlangen_SS2008 MKM_VE2.0 Schwere und Trägheit ? - VE 2 - Copyright © Klaus-DieterSommer2008 Wiederholungsfragen (10) Welcher Effekt wird beim Massespektrometer für die Detektion der Anzahl (Stoffmenge) der Teilchen genutzt? der Teilchen im Magnetfeld je nach spezifischer Antwort: Ablenkung ? Ladung g/m (11) Was spricht gegen eine Massebestimmung nach dem Gravitationsgesetz? Anmerkung: Antwort: FG?= ( m1 + m2 ) m1 γ ⋅ cos ϕ 2 r (1) die geringen wirkenden Kräfte (2) die unvollkommene Kenntnis bez. der Lage der Schwerpunkte Uni-Erlangen_SS2008 MKM_VE2.0 - VE 2 - Copyright © Klaus-DieterSommer2008 Wiederholungsfragen (12) Wie lautet das Gewichtskraftgesetz? Antwort: G ?=m·g (13) Was wissen Sie über die örtliche Fallbeschleunigung gloc? Antwort: (14) ? ihr Wert beträgt etwa 9,806 m · s-2 (1) (2) sie ist von der geographischen Lage und der Höhenlage abhängig (3) die Abhängigkeiten nach (2) sind bei Präzisionswägungen zu berücksichtigen Nach welchen beiden Grundprinzipien bestimmt man praktisch die schwere Masse? ? durch Momenten- bzw. Kraftvergleich oder Antwort: (1) - kompensation Beispiel: Balkenwaage (2) durch kraftabhängige Verformung oder Auslenkung Beispiel: Verformungskörper mit Dehnungsmessstreifen zur Kraftmessung Uni-Erlangen_SS2008 MKM_VE2.0 - VE 2 - Copyright © Klaus-DieterSommer2008
