E5: Kern- und Teilchenphysik Übungsblatt 6 1. Formfaktor

E5: Kern- und Teilchenphysik
Übungsblatt 6
1. Formfaktor und mittlerer quadratischer Radius von Nukleonen mit kugelsymmetrischer Ladungsverteilung
1
· ρ(r). Zeigen Sie,
Betrachten Sie einen Kern mit kugelsymmetrischer Ladungsverteilung f (r) = Z·e
(a) dass der Formfaktor gegeben ist durch
F (q) =
Berechnen Sie hierzu F (~q) =
R
4π~
Zeq
Z
ρ(r) sin
qr r dr
~
f (~r)ei~q~r/~ dV ohne Benutzung einer Taylorreihe.
d cos ϑ
d cos ϑ
= − sin ϑ ⇔ dϑ = −
dϑ
sin ϑ
Z
1
⇒ F (q) = −
ρ(r) eiqr cos ϑ/~ r2 dϕ d cos ϑ dr
Ze
Z
~ h iqr cos ϑ/~ iπ
2π
dr
e
ρ(r) r2
=−
Ze
iqr
0


Z
2π~


=−
ρ(r) re−iqr/~ − eiqr/~  dr
|
{z
}
iqZe
−2i sin( qr
~ )
Z
4π~
qr
=
ρ(r) sin
r dr
Zeq
~
(b) dass die Ableitung dF (q) dq 2 für q = 0 gegeben ist durch
2
r
dF (q) =− 2 .
2
dq q=0
6~
Tipp: Entwickeln Sie das Ergebnis aus Aufgabe 1a) um q = 0.
sin x ≈ x −
x3
3!
Z
4π~
qr q 3 r3
ρ(r) r
−
dr
Zeq
~
6~3
Z
Z
qr2
q3 r4
4π~
ρ(r)
dr − ρ(r)
dr
=
Zeq
~
6~3
Z
dF (q)
4π~ 1
ρ(r) r4 dr
=−
dq 2
Ze 6~3
Z
1
1
= − 2 4π r2
ρ(r) r2 dr
6~
Ze
| {z }
⇒ F (q) =
=f (r)
Z
1
=− 2
r2 f (r) dV
6~
2
r
=− 2
6~
2
(c) In der Präsenzaufgabe hatten Sie gezeigt, dass der mittlere quadratische Radius
r eines Kerns
mit gaußförmiger Ladungsverteilung durch 3/a2 gegeben ist. Berechnen Sie r2 erneut mit Hilfe von
aufgabe 1b), d.h. ausgehend von der Steigung des Formfaktors
q2
F (q) = exp − 2 2
2a ~
bei q = 0.
dF (q)
1
= − 2 2 · F (q)
dq 2
2a ~
2
dF (q)
r = −6~2 ·
dq 2
−1
q2 = −6~2 · 2 2 exp − 2 2 2a ~
2a ~ q=0
3
= 2
a
1
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2. Formfaktor: Elektronenstreuung an Goldkernen
Elektronen der Energie E = 500 MeV werden an Gold-Kernen gestreut.
(a) Berechnen Sie den Formfaktor des Gold-Kerns ausgehen von Aufgabe 1a). Nehmen Sie hierzu an,
dass der Kern einer homogen geladenen Kugel mit Radius R entspricht.
ρ(r) =
F (q) =
Ze
4
3
3 πR
4π~
Zeq
R
Z
Ze
r sin
qr dr
~
!
qr qr R ~ Z R
3~
~
=
r +
cos
dr
− cos
qR3
q
~
q 0
~
0
!
qr R h qr iR
3 ~3
~
= 3 3
r + sin
− cos
R q
q
~
~ 0
0
3
qR
qR
qR
3 ~
−
cos
= 3 3 sin
R q
~
~
~
0
4
3
3 πR
(b) Berechnen Sie den maximalen Wer für α = |q|R
~ !
Hinweis:
Verwenden
Sie
für
den
Kernradius
die
in der Vorlesung angegebene Näherungsformel R ≈
√
1,2 fm 3 A.
|q| = |~p − ~p0 | ⇔ qmax = 2p
√
2p · 1,2 fm 3 A
αmax =
~
√
1000 MeV/c · 1,2 fm 3 197
=
= 35,53
197 MeV/c
(c) Wieviele Minima würde man in der Winkelverteilung sehen, wenn man nukleare Wechselwirkungen
vernachlässigt?
2
Hinweis: Der Wirkungsquerschnitt ist proportional zu |F (q)| , d.h. die Nullstellen von F (q) bestimmen die Lage der Minima in der Winkelverteilung.
2 !
⇔ sin
qR
~
|F (q)| = 0
qR
qR !
−
cos
=0
~
~
|{z}
:=α
sin α = α cos α
sin α
⇔α=
= tan α
cos α
1
n+
π ≤ αmax = 35,53
2
⇒ n = 10
2
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3. Kinematik der Elektron-Nukleon-Streuung
Ein Elektron der Energie E = 25 GeV wird an einem ruhenden Proton um einen Winkel θ = 10◦ gestreut.
Die Elektronenmasse soll vernachlässigt werden.
• Elastische Streuung:
(a) Skizzieren Sie das Diagramm des Streuprozesses mit einlaufenden, auslaufenden und ausgetauschen Teilchen. Definieren Sie die zugehörigen Viererimpulse (mit Impulsvektoren) in der Skizze.
Abbildung 1: Elastische Streuung im Ruhesystem des Protons
0
(b) Zeigen
h Sie, dass bei deri elastischen Streuung die Energie des gestreuten Elektrons durch E =
gegeben ist (Protonmasse mp = 938 MeV/c2 ).
E/ 1 + mE
2 (1 − cos θ)
pc
Berechnen Sie E 0 und mit Herleitung den Viererimpulsübertrag Q2 .
Wie groß ist die Bjorkensche Skalenvariable x?
p + P = p0 + P 0
2
2
⇔ (p + P ) = (p0 + P 0 )
⇔ p2 + 2pP + P 2 = p02 + 2p0 P 0 + P 02
⇒ pP = p0 P 0
⇔ EM = p0 (P + p − p0 ) = E 0 M +
E
me ≈0
⇔ E0 =
1+
E
M c2 (1
− cos θ)
EE 0
(1 − cos θ) − m2e c2
c2
= 17,8 GeV
2
Q2 = −q 2 = −(p − p0 ) = −2m2e c2 + 2
≈2
x=
EE 0
GeV
(1 − cos θ) = 13,5
2
c
c
Q2
≈1
2M (E − E 0 )
3
EE 0
(1 − cos θ)
c2
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• Inelastische Streuung:
(a) Skizzieren Sie das Diagramm des Streuprozesses und kennzeichnen Sie das erzeugte hadronische
System in der Skizze. Definieren Sie den Veiererimpuls des hadronischen Systems.
Abbildung 2: Inelastische Streuung im Ruhesystem des Protons
(b) Die Energie des gestreuten Elektrons sei E 0 = 10 GeV.
Berechnen Sie Q2 und mit Herleitung die invariante Masse des hadronischen Systems.
Berechnen Sie die Bjorkensche Skalenvariable x.
2EE 0
GeV
(1 − cos θ) = 7,6 2
2
c
c
s 2
∗
p
E
2
W c := p02 =
− (~p∗ )
c
Q2 =
2
W 2 c2 = p02 = (p + q) = m2p c2 − Q2 + 2mp (E − E 0 )
GeV
⇒ W = 4,63
c
Q2
x=
= 0,270
2M (E − E 0 )
4