Optische Resonatoren

Optische Resonatoren
Experimentelle Übungen II
Institut für Angewandte Physik
16. April 2012
Ein optischer Resonator besteht im einfachsten Fall aus zwei sich gegenüber
liegenden Spiegeln, wobei der Zwischenraum mit einem Medium ausgefüllt sein kann. Ein Resonator weist eine oder mehrere Eigenschwingungen
(Moden) auf. Koppelt man Licht in einen Resonator ein, so wächst im Falle der Resonanz die Schwingungsamplitude einer Eigenschwingung sehr
stark an. Hierbei interferieren resonante Wellen konstruktiv miteinander
und nicht resonante Wellen werden durch destruktive Interferenz gedämpft.
Da durch die Spiegel ein endlicher Bruchteil des Lichtes ausgekoppelt wird
und auch andere Verluste wie z. B. Absorption und Beugung auftreten, liegt
in der Realität ein gedämpfter Resonator vor. Optische Resonatoren werden z. B. in Lasern eingesetzt, um Licht bestimmter Moden zu verstärken.
Innerhalb eines optischen Resonators können aber auch die optischen Eigenschaften von optisch nichtlinearen Medien untersucht werden und ein
leerer Resonator kann als Interferometer genutzt werden, wobei das wichtigste Beispiel hier das Fabry-Perot-Interferometer ist.
In diesem Versuch werden ein planarer und ein konfokaler optischer Resonator untersucht. Der freie Spektralbereich eines Fabry-Perot-Interferometers lässt sich aus der Spiegelreflektivität berechnen und mit der gemessenen Finesse vergleichen.
1
Kenntnisse
• Laser: Aufbau und Funktionsweise
• Fabry-Perot-Interferometer: Phasenunterschied, freier Spektralbereich,
Halbwertsbreite, Finesse, Airy-Funktion
• Gauß-Strahlen: Strahlradius, transversale und longitudinale Moden
Literatur
[1] Demtröder: Laserspektroskopie, Springer, 2007
http://www.springerlink.com/content/rqw5t0/?p=
0d6090cfc01743dfb99fd19ef347a87d&pi=0
Kapitel 4.2.2 Vielstrahlinterferenz
Kapitel 4.2.3 Ebenes Fabry-Perot-Interferometer
Kapitel 5.2 Optische Resonatoren
[2] Eichler: Laser, Springer, 2006
http://www.springerlink.com/content/g30672/?p=
64af82d96e534be8bb5021dbb5e9da4d&pi=0
Kapitel 12.2 Gauß-Strahlen
Kapitel 13 Optische Resonatoren
[3] Meschede: Optik, Licht und Laser, Springer, 2008
http://www.springerlink.com/content/q74j78/?p=
5504c22f67664ab9a1129c7aae593105&pi=0
Kapitel 2.3 Gauß-Strahlen
Kapitel 5.5 Fabry-Perot-Interferometer
Kapitel 5.6 Optische Resonatoren
[4] Kogelnik, Li: Laser Beams and Resonators, Proc. IEEE, 54, 1312-1329 (1966)
Kapitel 1-3
1 Grundlagen
1.1 Prinzip eines Resonators
Allgemein betrachtet ist ein Resonator ein schwingungsfähiges System, das
eine oder mehrere Eigenschwingungen aufweist. Regt man das System zu
Schwingungen an, so wächst im Falle der Resonanz, d. h. der Anregung
eben einer solchen Eigenschwingung, die Schwingungsamplitude im Resonator sehr stark an. Im idealen Fall eines Resonators ohne Dämpfung würde
dieser hierbei immer mehr Schwingungsenergie aufnehmen und die Amplitude würde ins Unendliche anwachsen („Resonanzkatastrophe“). Außerdem wäre die Resonanzfrequenz unendlich scharf, die Resonanzkurve,
d. h. das Verhältnis zwischen der Schwingungsamplitude im Resonator und
2
der anregenden Amplitude als Funktion der anregenden Frequenz, wäre
eine Delta-Funktion. Im realen Fall eines Resonators mit Dämpfung geht
auch Schwingungsenergie aus dem Resonator verloren (Verluste), was dazu
führt, dass nur eine endliche Schwingungsenergie im Resonator gespeichert
wird. Die Resonanzkurve hat eine endliche Halbwertsbreite (Resonanzbreite)
und eine endliche Höhe (Resonanzüberhöhung). Liegt eine solche Resonanz
mit sehr geringer Breite und damit verbundener starker Resonanzüberhöhung vor (oder mehrere Resonanzen in Abständen, die groß sind gegen die
Breite), so weist der Resonator eine sehr große Frequenzselektivität auf, die
es erlaubt, aus einem Gemisch anregender Frequenzen eine Frequenz (oder
einige wenige) herauszufiltern.
In einem optischen Resonator wird die Resonanzüberhöhung durch eine
phasenrichtige Rückkopplung des eingestrahlten Lichtes erzeugt. Das bedeutet, dass die elektrische Feldstärke des Lichtfeldes in einer ResonatorEigenschwingung (Mode1 ) mit dem durch Spiegel zurückgekoppelten, früher eingestrahlten Licht konstruktiv interferiert. Eine resonante Welle hat
nach einem Resonatorumlauf, die gleiche Phase wie vorher (bzw. ein Vielfaches von 2π) und kann daher konstruktiv interferieren. Nicht resonante
Wellen hingegen werden, da nach mehreren Umläufen alle möglichen Phasendifferenzen auftreten können, durch destruktive Interferenz gedämpft.
Da durch die Spiegel ein endlicher Bruchteil des Lichtes durchgelassen (ausgekoppelt) wird und auch andere Verluste wie Absorption und Beugung
auftreten, liegt ein gedämpfter Resonator vor.
1.2 Anwendungen
Bei Laserresonatoren befinden sich im Resonator angeregte Atome, die Licht
emittieren können. Ohne die Rückkopplung durch den Resonator würde
dieses Medium normalerweise in alle Raumrichtungen Licht durch spontane Emission abgeben. Durch die Frequenzselektivität (und die Richtungsselektivität) des Resonators wird aus dem spontan emittierten Licht eine Frequenz („single mode“) – oder einige Frequenzen („multi mode“) – mit bestimmter Ausbreitungsrichtung in das Medium zurückgekoppelt. Dadurch
kann die Feldstärke in dieser Mode so stark anwachsen, dass die stimulierte
Emission – die ja mit gleicher Phase, Ausbreitungsrichtung und Polarisation wie der des anregenden Lichtes erfolgt – die spontane Emission überwiegt. Hierdurch kommt es zur Verstärkung des Lichtes dieser Mode und
damit zur Laser-Aktivität (Light Amplification by Stimulated Emission of
Radiation).
Materialien, deren optische Eigenschaften untersucht werden sollen, werden hierzu oft in einen optischen Resonator gebracht. Einerseits kann man
hierbei die Frequenzselektivität ausnutzen, also das betreffende Medium
1
Die Mode wird festgelegt durch die Wellenlänge bzw. Frequenz, Ausbreitungsrichtung und Polarisation
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bei scharf definierten diskreten Frequenzen untersuchen. Andererseits bietet die Resonanzüberhöhung den Vorteil, das Medium bei Lichtintensitäten untersuchen zu können, die mehrere Größenordnungen über denen liegen, die man ohne Resonator erreichen könnte. Dies ist insbesondere im
Gebiet der nichtlinearen Optik wichtig, wo die Absorption und die Dispersion eines Mediums Funktionen der Feldstärke sind und daher viele Effekte
erst bei hohen Intensitäten sichtbar werden. Das betreffende Medium und
der Resonator bilden dann ein zusammenhängendes System, das man als
nichtlinearen optischen Resonator bezeichnen kann, wobei sich die Absorption durch Änderung der Verluste und die Dispersion durch Änderung der
optischen Länge des Resonators auswirkt.
Ein „leerer“ Resonator, d. h. mit Vakuum oder einem Medium mit konstanten optischen Eigenschaften, kann als Interferometer genutzt werden.
Das bedeutet, dass die Frequenzselektivität dazu genutzt werden kann, die
Frequenz bzw. Wellenlänge einer Strahlung zu messen – oder, genauer ausgedrückt, die Intensität eines durch die optische Länge des Resonators vorgegebenen Frequenzanteils der einfallenden Strahlung zu messen. Bekanntestes Beispiel ist hierfür das Fabry-Perot-Interferometer (FPI), dessen Aufbau
auch den allgemein wichtigsten Typ des optischen Resonators (Fabry-PerotResonator) für die zwei anderen genannten Anwendungsgebiete darstellt.
1.3 Fabry-Perot-Interferometer
Ein ebenes Fabry-Perot-Interferometer besteht aus zwei planparallelen Platten mit jeweils einer Reflexionsschicht. Das Prinzip eines Fabry-Perot-Interferometers kann man sich an der Vielstrahlinterferenz an zwei planparallelen Grenzschichten veranschaulichen (siehe 4.2.2 [1]). Die gesamte einfallende Intensität I0 teilt sich auf. Ein Teil wird je nach Größe des Reflektionsvermögens R = Ireflected /Iincoming reflektiert. R hängt ab vom Einfallswinkel, von der Polarisation und vom Brechungsindex. Ein Teil wird gebrochen und anschließend reflektiert. Ein Teil des Lichtes wird transmittiert.
Zwischen den reflektierten Anteilen besteht die Phasendifferenz δ:
δ = 2π∆s/λ + ∆Φ
(1)
mit dem optischen Wegunterschied ∆s = nd, wobei n der Brechungsindex und d der Abstand der reflektierenden Schichten ist. ∆Φ berücksichtigt
entsprechende Phasensprünge bei der Reflexion. Wenn man die Absorption vernachlässigt ergeben sich nach unendlich vielen Reflexionen für die
reflektierte und transmittierte Intensität die Airy-Formeln:
F sin2 (δ/2)
1 + F sin2 (δ/2)
1
= I0
1 + F sin2 (δ/2)
Ireflected = I0
Itransmitted
4
(2)
(3)
Abbildung 1: Airy-Funktion
mit F = 4R/(1 − R)2 . Die gesamte Intensität wird also transmittiert, wenn
die Phasendifferenz δ ein ganzzahliges Vielfaches von 2π ist. Der freie Spektralbereich δν entspricht einer Phasenänderung von δ = 2π, d. h. δν beschreibt den Frequenz-Abstand von zwei benachbarten Transmissionspeaks
der Funktion Itransmitted (δ) und ist bei senkrechtem Einfall
δν =
c
.
2nd
(4)
Die Halbwertsbreite eines Transmissionsmaximums in Frequenzeinheiten
ist
2δν
∆ν =
.
(5)
πF
Das Verhältnis von freiem Spektralbereich δν zu Halbwertsbreite ∆ν nennt
man Finesse F ∗ :
√
π R
δν
∗
F =
=
.
(6)
∆ν
1−R
Bisher wurden als Resonatorverluste nur die Auskopplung des Lichtes
betrachtet, d. h. es gilt für die Spiegel R + T = 1. Normalerweise müssen
aber noch andere Verlustmechanismen wie z. B. Absorption und Beugung
berücksichtigt werden. Diese Verluste führen dazu, dass die Feldstärke bei
einem Resonatorumlauf stärker abnimmt:
|Cn+1 | < R · |Cn | .
(7)
Dies lässt sich auch ausdrücken als
|Cn+1 | = Reff · |Cn |
5
(8)
√
mit einer effektiven Reflektivität Reff = R 1 − V , wenn bei einem Resonatorumlauf ein relativer Energieverlust V auftritt. Verluste in den Spiegeln,
also bei Ein- und Auskopplung, werden dadurch berücksichtigt, dass man
die tatsächliche Transmission (T ≤ 1 − R) in die Formel eingehen lässt.
Für die Form der Airy-Funktion wirken sich die Verluste aus wie Spiegel
geringerer Reflektivität, d. h. die Peaks werden verbreitert. Die maximale
ausgekoppelte Amplitude bzw. die Resonanzüberhöhung werden natürlich
aus Gründen der Energieerhaltung verringert. Verluste verringern die Finesse und die Resonanzüberhöhung, ohne Lage und Abstand der Resonanzen zu verändern (solange nicht zusätzliche Dispersion eintritt). Die AiryFunktion lautet dann
√
Itransmitted
1 − V T2
=
.
(9)
I0
(1 − Reff )2 + 4Reff sin2 (δ/2)
Da die Phasendifferenz δ sowohl der Lichtfrequenz ν als auch der optischen
Resonatorlänge nd proportional ist,
δ = 2π
2nd
2nd
= 2π
ν
λ
c
(10)
hat die Airy-Funktion die gleiche Form sowohl als Funktion der Frequenz
bei festgehaltener optischer Resonatorlänge (was praktisch der Selektion
verschiedener Frequenzen durch einen festen Resonator entspricht), als auch
im umgekehrten Fall (der einer Abstimmung des Resonators auf eine feste
Wellenlänge entspricht).
Abbildung 2: Dielektrischer Spiegel
An die Spiegel für optische Resonatoren werden besondere Anforderungen gestellt. Es werden teilweise sehr große Reflektivitäten verlangt (> 99.99 %),
wobei aber die Verluste im Spiegel, d. h. sowohl im Substrat als auch in der
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eigentlichen Spiegelschicht noch immer klein gegen die Transmission sein
sollen. Für diese Anforderungen sind Metallspiegel i. A. nicht geeignet. Man
verwendet hauptsächlich Spiegel aus dielektrischen Vielfachschichten.
1.4 Resonatortheorie (strahlenoptisch)
Die bisher gegebene Einführung in die interferometrische Betrachtung eines
Fabry-Perot-Resonators unter dem Gesichtspunkt der Vielstrahlinterferenz
ging, ohne dass dies explizit vermerkt wurde, davon aus, dass die vorhandenen Lichtfelder ebene Wellen seien, und diese, wie auch die Spiegel außerdem von unendlicher Ausdehnung. Diese Annahme ist in der Praxis natürlich nicht realisiert, und es soll hier insbesondere der Fall untersucht werden, dass es sich bei dem einfallenden Licht um Laserstrahlen handelt, d. h.
um Lichtwellenfelder mit sehr geringer transversaler Ausdehnung. Welche
Auswirkung dies auf die experimentelle Realisation von optischen Resonatoren hat, soll theoretisch in verschiedenen Näherungen untersucht werden.
Zunächst wird eine strahlenoptische Beschreibung verwendet.
Abbildung 3: Stabilitätsdiagramm
In der paraxialen Näherung kann man die Ausbreitung eines Strahles
durch ein optisches System relativ einfach mit 2 × 2-Matrizen (ABCD-Matrizen) beschreiben, wobei für die Determinante AD − BC = 1 gilt [3, 4].
Strahl-Matrizen für typische optische Systeme findet man z. B. in Tabelle I
in [4]. Der Strahlverlauf zwischen zwei Spiegeln entspricht der Ausbreitung
eines Strahles durch eine periodische Anordnung von Linsen. Der Strahl-
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verlauf ist stabil, wenn die Strahlen periodisch fokussiert werden. Dies führt
zu folgender Stabilitätsbedingung:
d
d
0< 1−
1−
< 1.
(11)
R1
R2
Hier sind R1 und R2 die Krümmungsradien der Spiegel und d ist der Abstand zwischen den Spiegeln. Das Stabilitätsdiagramm für den planparallelen, den konzentrischen und den konfokalen Resonator ist in Abbildung 4
in [4] dargestellt. Wie sehen die Spiegelparameter g1 und g2 für die unterschiedlichen Resonatoren aus und für welche Punkte in dem Diagramm
sind die Resonatoren stabil?
1.5 Gaußsche Strahlen
Laserstrahlen sind keine ebenen Wellen sondern meistens Gaußsche-Strahlen
(siehe [4] Kap. 3.1 bis 3.3). Die Intensität konzentriert sich in der Achse der
Ausbreitungsrichtung und die Wellenfronten sind gekrümmt. Die Grundmode eines Lasers ist meistens die Gaußsche TEM00 -Mode, aber es können
auch höhere Moden vorkommen.
Der Strahlradius w eines Gaußschen Strahles in einem Abstand z von dem
minimalen Strahlradius w0 bei z = 0 ist:
s
2
z
w(z) = w0 1 +
(12)
zR
mit der Rayleigh-Länge zR
zR =
πw02
.
λ
(13)
Die Gauß-Welle erfährt ihre größte Änderung im Bereich der Rayleigh-Länge
zR . Diese Rayleigh-Zone wird auch durch den konfokalen Parameter b =
2zR charakterisiert. Die Gaußsche Grundmode wird durch das Parameterpaar (w0 , zR ) vollständig charakterisiert. Der Krümmungsradius R der Wellenfronten im Abstand z ist:
R(z) = z +
2
zR
.
z
(14)
Die Feldverteilung der Gaußschen Grundmode (TEM00 ) mit der Amplitude
E0 lautet:
w0 −(r/w)2 ikr2 /2R i(kz−Φ)
E(r, z) = E0
·e
·e
·e
(15)
w
mit der Gouy-Phase Φ = arctan(z/zR ). Die Intensität I des Gaußschen
Strahls ist proportional zu E · E ∗ .
8
Abbildung 4: Intensitätsverteilung eines Gaußschen Strahls.
Abbildung 5: Gauß
2 Geräte & Zubehör
1.
2.
3.
4.
5.
Profilschiene
HeNe-Laser mit Netzteil
Erste Teleskoplinse
Zweite Teleskoplinse
Erster Laserspiegel: Krümmungsradien 75 mm, 100 mm und unendlich. Reflektivität bei 632 nm = 96 %.
6. Zweiter Laserspiegel auf Piezoversteller: Krümmungsradien 75 mm,
100 mm und unendlich. Reflektivität bei 632 nm = 96 %.
7. Ansteuerung PTC 1000: HV-Quelle für Piezo, Funktionsgenerator und
Photodiodenverstärker
8. Linse zum Fokussieren auf Photodiode (optional)
9
Abbildung 6: Experimenteller Aufbau
9. Photodetektor
10. Oszilloskop (nicht dargestellt)
3 Aufgaben & Hinweise
3.1 Finesse
Für die einzelnen Resonatoraufbauten stehen Spiegelpaare mit verschiedenen Krümmungsradien und gleichem Reflektionsvermögen von 96 % zur
Verfügung. Berechnen Sie die im Idealfall erreichbare Finesse.
3.2 Planparalleler Resonator
Es soll ein planparalleles Fabry-Perot-Interferometer aufgebaut werden, so
dass das Oszilloskop-Bild der transmittierten Intensität als Funktion der Resonatorlänge eine Airy-Funktion ist. Die Längenänderung des Resonators
wird mittels eines piezoelektrischen Verstellelementes bewirkt; sie ist proportional zur angelegten Spannung.
Messung: Berechnen Sie den freien Spektralbereich aus der Resonatorlänge und schätzen sie die Finesse ab. Vergleichen Sie den Wert mit dem
Idealwert, der sich aus der Spiegelreflektivität ergibt. Untersuchen Sie die
Abhängigkeit der erreichbaren Finesse von der gewählten Resonatorlänge
10
(Längen z. B. 5 mm, 25 mm, 50 mm). Untersuchen Sie die Justierempfindlichkeit, d. h. die Änderung der Finesse beim Verkippen eines Spiegels.
3.3 Konfokaler Resonator
Bauen Sie einen konfokalen Resonator auf und führen Sie dieselben Messungen wie beim planparallelen Resonator durch.
3.4 Modenspektrum des Lasers
Der verwendte HeNe-Laser emittiert zwei longitudinale Moden, die linear
und senkrecht zueinander polarisert sind. Welchen Frequenzabstand weisen die Moden auf? Können Sie mithilfe eines Polarisators jeweils eine Mode messen?
3.5 Bestimmung der Ausdehnung des Piezos
Bestimmen Sie aus der Spannungsrampe des Piezo-Verstärkers und dem
Abstand zweier benachbarter Resonanzpeaks die Ausdehnungsrate (nm/Volt)
des Piezos.
4 Fragen zur Vorbereitung
•
•
•
•
•
•
•
•
Wie funktioniert ein Laser?
Wie funktioniert eine Fotodiode?
Wie ist ein dielektrischer Spiegel aufgebaut?
Wie ist ein Fabry-Perot-Interferometer aufgebaut?
Was ist der freie Spektralbereich?
Welche Bedeutung hat die Finesse?
Welche Eigenschaften besitzen Gaußsche Strahlen?
Welche Arten von Resonatoren gibt es und für welche Spiegelparameter sind diese Resonatoren stabil?
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