Probeklausur

Analysis für Informatiker und Statistiker
Probeklausur
Hinweis:
• Diese Probeklausur ist kein Hinweis auf die eventuelle Aufgaben- oder Stoffauswahl in
der Klausur.
Name:
Aufgabe 1. Zeigen Sie, ausgehend von den Axiomen der Multiplikation, dass die Multiplikation
natürlicher Zahlen kommutativ ist.
Name:
Aufgabe 2. Geben Sie jeweils ein Beispiel für eine Menge M inklusive einer Zuordnung von
Nachfolgern an, das nicht der natürlichen Zahlen entspricht aber
1. die Peano- Axiome 1, 2 und 4 erfüllt.
2. die Peano- Axiome 1, 2, 3 und 5 erfüllt.
3. die Peano- Axiome 1, 2 und 3 erfüllt und die Peano- Axiome 4 und 5 verletzt.
Peano- Axiome:
1. 1 ist eine natürliche Zahl
2. Für alle natürlichen Zahlen existiert ein eindeutiger Nachfolger in den natürlichen Zahlen
3. Die 1 ist kein Nachfolger einer natürlichen Zahl
4. Natürliche Zahlen mit gleichem Nachfolger sind gleich
5. Induktionsaxiom
Name:
Aufgabe 3. Beweisen Sie, dass jede konvergente Folge in den reellen Zahlen eine Cauchy- Folge
ist.
Name:
Aufgabe 4. Sei f : R → R gegeben durch
2
x sin x1 x 6= 0
.
f (x) =
0
x=0
a) Zeigen Sie, dass f (x) differenzierbar ist und gegeben Sie die Ableitung f 0 (x) für alle x ∈ R
an.
b) Ist f 0 (x) stetig bei x = 0? Begründen Sie.
Name:
Aufgabe 5. Der Kotangens ist definiert durch
cot : (0, π) → R, x 7→
cos x
.
sin x
Die Umkehrfunktion ist der Arkuskotangens
arccot : R → (0, π) .
a) Bestimmen Sie die Ableitung des Kotangens,
b) Bestimmen Sie die Ableitung des Arkussinus und Arkuskosinus,
c) Bestimmen Sie die Ableitung des Arkuskotangens.