Modul 26 – Trigonometrie - WKO Online

Podcast-Text: WIFI Berufsreifeprüfung / Mathematik/
Modul 26 – Trigonometrie
Bei diesem Podcast wird es ganz visuell. Wir beschäftigen uns mit der Trigonometrie, mit
der Dreiecksberechnung.
Vorab, alle Flächen müssen in Dreiecke zerlegt werden, um Längen oder Winkeln
berechnen zu können. Dabei entstehen beliebige Dreiecke. Das sind Dreiecke ohne
rechten Winkel. Oder es entstehen eben Dreiecke mit rechtem Winkel. Diese
Unterscheidung ist von Bedeutung, da manche Formeln nur auf rechtwinkelige Dreiecke
anwendbar sind, weil z.B.: Der pythagoreischen Lehrsatz: Hypotenuse zum Quadrat ist
gleich die Summe der Katheten zum Quadrat. Wobei die Hypotenuse immer dem rechten
Winkel gegenüberliegt und somit die längste Seite des rechtwinkeligen Dreiecks ist. Die
anderen Seiten sind die Katheten. Zeichnet man sich einen Winkel ein, so liegt diesem
Winkel die Gegenkathete gegenüber und die andere Kathete ist anliegend und heißt
somit Ankathete. Würde ich einen anderen Winkel nehmen, so ist die andere Kathete die
Gegenkathete. Die Bezeichnungen Gegen- und Ankathete sind vom Winkel, von dem man
es betrachtet, abhängig.
Wenn man die Bezeichnungen, von einem Winkel ausgehend, festgelegt hat, entscheidet
man, welche Formel Sinus, Kosinus oder Tangens man verwenden möchte. In jeder
Formel kommen 3 Größen vor. Ein Winkel und 2 Seiten. Bei der Formelauswahl ist darauf
zu achten, dass immer 2 Größen bereits bekannt sind und die dritte Größe berechnet
wird. Jetzt wird umgeformt und mittels Taschenrechner das Ergebnis ermittelt. Ist der
Winkel gesucht, muss auf beiden Seiten die jeweilige Umkehrung von Sinus, Kosinus oder
Tangens angewendet werden. Somit steht auf einer Seite der Winkel und auf der
anderen Seite 2nd SIN, 2nd COS bzw. 2nd TAN. Dazu gibt es am Taschenrechner die 2nd
Taste. Eigentlich müsste man Arkussinus usw. sagen. Aber es hat sich eingebürgert, statt
dessen 2nd Sinus zu schreiben und zu sagen. Wie man eben am Taschenrechner vorgeht.
Bevor man überhaupt mit dem Berechnen beginnt, sollte man nachschauen, ob die
richtigen Einstellungen gewählt sind. Dies müssen Sie nur einmal machen, dann nie
wieder. Außer Sie wechseln wieder einmal die Batterien oder es ist sonst etwas mit dem
Taschenrechner passiert. Dazu drücken sie die MODE-Taste gehen mit den Cursortasten
zu DEGREE, drücken ENTER und steigen mit 2nd MODE aus dem Einstellungsfenster
wieder aus.
Schauen wir uns beliebige Dreiecke an.
Die Formeln, die Sie hier verwenden dürfen, dürfen Sie auch für das rechtwinkelige
Dreieck verwenden. Da ja das rechtwinkelige Dreieck ein spezielles beliebiges Dreieck
ist. So gilt für alle Dreiecke, dass alle 3 Winkel zusammen immer 180° ergeben. Ich
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spreche hier von den Winkeln in den 3 Ecken des Dreiecks. Weiters gibt es den Sinussatz
und den Kosinussatz. Für den Sinussatz ist es hilfreich, sich im Dreieck Kreuze
einzuzeichnen. Jeweils ein Winkel und die gegenüberliegende Seite werden miteinander
verbunden. Ein Kreuz hat vier Endpunkte. Drei von diesen Endpunkten müssen bekannt
sein und eine unbekannt, dann darf man den Sinussatz anwenden. Ich spreche hier von
einer Kreuzsymbolik. Beim Sinussatz gilt somit die Kreuzsymbolik. Beim Kosinussatz gilt
die Winkelsymbolik. Das heißt, in einer Ecke muss alles bekannt sein, sowohl der Winkel
und als auch die zwei Seiten, die diesen Winkel einschließen. Dann kann man sich die
Seite, die dem Winkel gegenüberliegt berechnen. Diese Winkelsymbolik gilt auch, wenn
die Fläche des Dreiecks gesucht ist. Sind in einer Ecke alle Größen bekannt, kann man
mittels dieser Größen und der Trigonometrischen Flächenformel die Fläche berechnen.
Ich gehe hier nicht näher auf die Schreibweisen der Formeln ein, da alle in Formelheften
aufgelistet sind. Ein paar Anregungen zur Verwendung der Formeln gebe ich Ihnen
dennoch.
Beim Sinussatz schreibe ich die gesuchte Größe immer links oben hin, so erspare ich mir
manche Umformungsschritte. Ist ein Winkel gesucht wird die Formel einfach umgedreht
und es steht oben, der Sinus des gesuchten Winkels.
Bei der Winkelberechnung, haben Sie bereits vorhin gehört, braucht man die dazu
passende Umkehrung, also hier 2nd Sinus.
Sind alle drei Seiten gegeben, wird ebenfalls der Kosinussatz verwendet. Dazu tut man
so, als ob eine Seite gesucht wäre und schreibt diese alleine auf die linke Seite. Somit
kann man sich den gegenüberliegenden Winkel berechnen. Zuvor ist aber noch
umzuformen. Generell, wie immer, gilt: Nenner frei machen, Plus-Minus-Umformung,
Dividieren und zu allerletzt höhere Rechnungsart, hier die Winkelumformungen, 2nd
Sinus, 2nd Cosinus, je nach dem welche Formel verwendet wird. Das ist so wichtig, dass
ich es gar nicht oft genug erwähnen kann.
Bei der Winkelangabe wird manchmal der Winkel über die Ecken definiert. Das heißt, es
wird ein Winkelsymbol, die drei Eckpunkte und anschließend die Größe des Winkels
angegeben. Am besten Sie zeichnen ein Dreieck und beschriften die Eckpunkte. Der
Winkel liegt somit beim mittleren Großbuchstaben.
Noch ein paar Tipps zum Schluss: Vergeben Sie für die berechneten Größen immer
Buchstaben. Für die Winkel griechische Buchstaben. Verwenden Sie Buchstaben niemals
mehrfach, außer Sie hängen einen Index an. α1, α2 usw. Speichern Sie alle
Zwischenergebnisse immer mit STO, ALPHA und des gewünschten Buchstabens ab.
Machen Sie immer eine Skizze. Vielleicht beginnen Sie mit einem Rechteck und
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verändern es solange, bis es passt. Es ist hilfreicher, von etwas Bekannten auszugehen,
als von etwas Unbekanntem. Versuchen Sie auf die Proportionen bei der Skizze zu
achten. Scheuen Sie sich nicht, solange verschiedene Skizzen zu machen, bis sie mit dem
Ergebnis zu frieden sind. Übung macht den Meister.
Viel Spaß beim Mathematisieren!
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