Arithmetische und geometrische Folgen und Reihen

Arithmetische und geometrische Folgen und Reihen
Eine Zahlenfolge ist einfach eine (endliche oder unendliche) Aufzählung von Zahlenwerten:
a1 , a2 , a3 , . . . , an , . . .
Die zu einer Zahlenfolge gehörige Reihe entsteht durch Summation:
a1 + a2 + a3 + · · · + an + . . .
Natürlich ist es die Frage, ob die Summation einer unendlichen Zahlenfolge – eine unendliche
Reihe also – einen mathematischen Sinn ergibt.
Beispiel Folge bzw. Reihe der ersten n ungeraden Zahlen
Eine Formel für die k-te ungerade Zahl ist ak = 2k − 1 („immer eins weniger als die gerade
Zahl 2k“).
Die Summe („Reihe“) sn der ersten n ungeraden Zahlen ist
s n = a1 + a2 + a3 + · · · + an
= 1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1)
= n2
Zum Beispiel ist s3 = 1 + 3 + 5 = 9 = 32 und s5 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52 .
Zur anschaulichen Begründung kann man Punkte in einem Quadrat speziell anordnen:
13579
.. .. .. .. ..
... ... ... ... ...
Arithmetische Folge
konstante Differenz : d = an+1 − an
n-tes Folgenglied : an = a1 + (n − 1) · d
a1
+d
Geometrische Folge
konstanter Quotient : q = an+1/an
n-tes Folgenglied : an = a1 · q n−1
a1
a2
a3
+d
+d
a2
...
a3
...
.q .q .q
Gesucht ist nun jeweils eine Summenformel.
Beispiel Summe der ersten 100 ungeraden Zahlen
s100 =
1 +
3 + ...
s100 = 199 + 197 + . . .
2 · s100 = 200 + 200 + . . .
+ 197 + 199
+
3 +
1
+ 200 + 200
Da wir genau 100 Summanden haben, gilt 2 · s100 = 100 · 200 = 20 000. Also ist
s100 = 10 000 = 1002
Der Trick aus diesem Beispiel funktioniert bei jeder arithmetischen Reihe:
s n = a1
+( a1 +
d) +. . . +( a1 + (n − 2) · d)+( a1 + (n − 1) · d)
sn =( a1 + (n − 1) · d)+( a1 + (n − 2) · d)+. . . +( a1 +
d) + a1
2 · sn =(2a1 + (n − 1) · d)+(2a1 + (n − 1) · d)+. . . +(2a1 + (n − 1) · d)+(2a1 + (n − 1) · d)
Nun sind es n Summanden und wir haben 2 · sn = n · (2a1 + (n − 1) · d). Also ist
sn =
n · (2a1 + (n − 1) · d)
2
Arithmetische Reihe (Beginn a1 , konstante Differenz d)
sn = a1 + · · · + an
n · (2 a1 + (n − 1) · d)
=
2
n · (n − 1)
= n · a1 +
·d
2
a1 + an
=n·
(Anzahl × Durchschnittswert)
2
Beispiel Gegeben sind a1 = 151 und a31 = 1.
Gesucht sind die Summe s31 , die konstante Differenz d und die Summe s101 .
sn = n ·
a1 + an
151 + 1
also: s31 = 31 ·
= 31 · 76 = 2 356
2
2
1 − 151
an − a1
d.h. hier konkret: d =
= −5
n−1
30
n · (n − 1)
101 · 100
s n = n · a1 +
· d also: s101 = 101 · 151 +
· (−5) = −9 999
2
2
an = a1 + (n − 1) · d also: d =
Jetzt zu den geometrischen Reihen!
Beispiel Periodische Dezimalzahl r = 0, 63 = 0, 636363 . . . als Bruch schreiben.
100 r = 63,636363 . . .
r = 0,636363 . . .
Differenz: 99 r = 63
also:
r=
63
7
=
99
11
Die hier verwendete Methode „Verschieben und Subtrahieren“ funktioniert bei beliebigen
geometrischen Reihen:
sn
= a + a · q + a · q2 + . . .
sn · q =
a · q + a · q2 + . . .
Differenz: sn − sn · q = a
+ a · q n−1
+ a · q n−1 + a · q n
− a · qn
Beiderseits ausgeklammert heißt das: sn · (1 − q) = a · (1 − q n ) und folglich: sn = a ·
1 − qn
1−q
Geometrische Reihe (Beginn a1 , konstanter Quotient q)
s n = a1 + · · · + an
1 − qn
= a1 ·
1−q
qn − 1
= a1 ·
q−1
Beispiel s = 2 − 3 + 29 −
27
4
+
81
8
−
243
16
+
729
32
=?
Es handelt sich um eine geometrische Reihe mit a1 = 2, q =
1−
s7 = 2 ·
1−
−3 7
2 −3
2
=2·
−3
2
und n = 7.
1 + 2187
128
= 14, 46875
1 + 32
Noch
Pn etwas zur Σ-Schreibweise von Summen.
k=1 ak bedeutet, dass der Ausdruck ak für k = 1, 2, 3, . . . , n aufsummiert wird:
n
X
ak = a1 + · · · + an
k=1
Man muss achtgeben, über welchen Bereich der Summenindex (hier: k) läuft. Natürlich kann
man statt k auch andere Variablennamen für den Summenindex wählen.
Beispiel Noch einmal die Summe der ersten n ungeraden Zahlen.
1 + 3 + · · · + (2 n − 1) =
n
X
(2 k − 1) =
n
X
(2 i − 1) =
(2 m + 1) = n2
m=0
i=1
k=1
n−1
X
Hier ist der Laufindex i = k einfach nur umbenannt. Der Laufindex m jedoch ist m = k − 1
bzw. k = m + 1, sodass die letzte Summe von m = 0 bis m = n − 1 läuft. Der aufsummierte
Ausdruck muss entsprechend angepasst werden: 2 k − 1 = 2 · (m + 1) − 1 = 2 m + 1.
Beispiel Noch einmal s = 2 − 3 + 29 −
s7 =
7
X
k=1
2·
−3 k−1
2
=
7
X
k=1
27
4
+
81
8
−
243
16
+
7
2·
729
32
in Σ-Schreibweise.
6
(−3)k−1 X (−3)k−1 X (−3)i
=
=
k−2
2k−1
2
2i−1
i=0
k=1