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Vorlesung zur Arithmetik
• V1 18./19.04.
• V2 -./26.04.
•
V3
02./03.05.
•
V4
09./10.05.
•
V5
16./17.05.
•
V6
23./24.05.
•
•
•
•
V7
V8
V9
V10
30.05./31.05.
06./07.06.
20./21.06.
27./28.06.
•
•
•
V11 04./05.07.
V12 11./12.07.
V13 18. 07.
Arithmetik in der Grundschule
Die Entwicklung des Zahlbegriffs
beim Kind/Konzepte für den
Anfangsunterricht
Natürliche Zahlen im
Anfangsunterricht
Die Grundrechenoperationen Addition
und Subtraktion
Die Grundrechenoperationen
Multiplikation und Division
Natürliche Zahlen und ihre
Eigenschaften
Rechengesetze und Rechenstrategien
Rechenfakten automatisieren
Schriftliche Rechenverfahren
Rechenschwäche und
Rechenbegabung
Aufgabenformate und Übungsangebote
Zusammenfassung und Überblick
Klausur
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V 5 Die Grundrechenarten Multiplizieren
und Dividieren
Quellen: Padberg 2005; Selter (1995):
Eigenproduktionen im Arithmetikunterricht;
Wittmann/Müller (1990). Handbuch prod.
Rechenübungen, Bd. 1
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Gliederung
• 1 Die Operationen Multiplikation und Division
• 2 Grundvorstellungen zu Multiplikation und
Division
Multiplizieren und Dividieren sind
Rechenoperationen zweiter Stufe.
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Zurückführen der Multiplikation auf die Addition
• Für die Erklärung der Multiplikation in Ν
bedarf es keiner neuen Modelle, da man sie
prinzipiell auf eine Addition gleicher
Summanden in N zurückführen kann.
• Man schreibt für 8+8+8+8+8 kurz 5 · 8,
allgemein a · b = b + b + … +b.
a Summanden
4
Zurückführen der Division auf die Subtraktion
• Analog zur Multiplikation als fortgesetzte
Addition gleicher Summanden kann man die
Division als fortgesetzte Subtraktion gleicher
Subtrahenden interpretieren.
• 12:4 = ? Wie oft kann ich den Divisor 4
subtrahieren? (Aufteilen)
• 12-4-4-4
12:4=3
vgl. Rechenzeichen
5
Begriffe, die zur Multiplikation gehören
3
·
12
Faktor
mal
Faktor
=
ist gleich
36
Produkt
Produkt
Multiplikator Multiplikand
3·12
3·12 = 12+12+12
6
Die Division in N …
• Die Division in N ist die Umkehrung der
Multiplikation. Je eine Umkehrung der
Multiplikation 8 · 5 = 40, erhält man, wenn einer
der beiden Faktoren und das Produkt gegeben sind
und der andere Faktor gesucht ist.
• Sind also a und b natürliche Zahlen, wobei b ein
Teiler von a sei, so heißt die (eindeutig bestimmte)
Lösung der Gleichung b · x = a oder x · b = a
„Quotient aus a und b“; man schreibt x = a : b.
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Begriffe, die zur Division gehören
Dividend durch Divisor ist gleich Quotient
15
:
3
=
5
Quotient
quotiens (lat.): wie oft
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Darstellen der Multiplikation als
Vereinigungsmenge
• Wenn wir den Begriff „Produkt“ als Summe
gleicher Summanden definieren, können wir die
Mengenoperation, die wir der Addition zugrunde
gelegt haben, auf die Multiplikation übertragen.
• 4 · 5 gewinnen wir als Vereinigungsmenge von 4
Mengen mit je 5 Elementen, wobei die Mengen
so zu wählen sind, dass sie paarweise zueinander
disjunkt sind, d. h. keine gemeinsamen Elemente
haben.
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Die Abbildung
repräsentiert das
Produkt 4 · 5 als
Kardinalzahl der
Vereinigungsmenge.
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Die Produktbildung 2 · 4 = 4 · 2 = 8 wird auf die Addition
gleicher Summanden zurückgeführt.
• Die Multiplikation kann über die Vereinigung gleichmächtiger
elementfremder Mengen hergeleitet werden.
• Auf diese Weise lassen sich jedoch die Produkte
1 · 1, a · 0 und 0 · a nicht überzeugend interpretieren.
• Es muss also noch eine zweite Möglichkeit für die
mengentheoretische Definition des Produktes geben.
Quelle: Friedemann. Arithmetik
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• Die zweite Möglichkeit
die Multiplikation
mengentheoretisch
herzuleiten, zeigt das
folgende Beispiel:
• Zwei Mädchen einer
Mannschaft wollen gegen eine
Mannschaft von drei Jungen
Federball spielen. Wie viele
Spiele müssen ausgetragen
werden, wenn jedes Mädchen
gegen jeden der 3 Jungen
spielen soll?
Es entstehen 6 Paare von jeweils
zwei Kindern, die sich als
Spielpartner gegenüber stehen.
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Produktmenge
• Die Produktmenge A x B („A kreuz B“) ist die Menge aller
geordneten Paare, deren erstes Element aus A und deren
zweites Element aus B ist. (Kreuzprodukt; kartesisches
Produkt)
• A = {2; 3; 4} B = {7; 8}
• A x B = {(2; 7); (2; 8); (3; 7); (3; 8); (4; 7); (4; 8)}
• B x A = ...
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Multiplikation und Kreuzmenge –
kombinatorischer Aspekt der Multiplikation
Die Menge aller geordneten Paare,
dargestellt durch die Menge aller
Kreuze, nennt man Kreuzmenge aus A
und B, in Zeichen AxB (A kreuz B).
Sachaufgaben laufen oft darauf
hinaus, aus den Elementen
einer ersten Menge A und den
Elementen einer zweiten
Menge B geordnete Paare zu
bilden, z. B:
• Die Menge A repräsentiere die
Menge aller Lastwagen in
einem Fuhrpark und B die
Menge aller Anhänger.
• Welche unterschiedlichen
geordneten Paare lassen sich
bilden (Mengenaspekt) und
wie viele solcher geordneten
Paare gibt es (Zahlaspekt)?
Quelle: Schwartze,
Elementarmathematik.
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• Multiplizieren auf der Grundlage des Bildens
geordneter Paare - Beispiele für Textaufgaben
• Drei Jungen wollen mit zwei Mädchen tanzen. Wie viele
verschiedene Paarbildungen sind möglich?
• Die Puppe hat eine rote und eine gestreifte Bluse und einen
langen und einen kurzen Rock. Du möchtest sie jeden Tag
anders kleiden. Wie viele Möglichkeiten ergeben sich?
• Tischtenniswettkampf: Drei Jungen aus der 4a treten gegen
drei Jungen aus der 4b an. Jeder soll gegen jeden spielen. Wie
viele Spiele gibt es?
Kombinatorischer Aspekt der Multiplikation:
Welche Möglichkeiten gibt es und wie viele sind
es?
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Den multiplikativen Hintergrund einer solchen
Aufgabe könnte man wie folgt verdeutlichen:
aus Fricke 1987
16
Man kann solche multiplikativen
Zusammenhänge auch mit einem
Baumdiagramm veranschaulichen.
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Mengenoperation zur Division
• Die Division lässt sich auch auf
mengentheoretischer Grundlage als
Umkehroperation der Multiplikation
veranschaulichen.
• Entspricht die Multiplikation einer Vereinigung
gleichmächtiger disjunkter Mengen, so
entspricht die Division einer Zerlegung in
gleichmächtige Mengen.
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• Je nach gewähltem Vorstellungshintergrund
kann die Zerlegung in gleichmächtige
Teilmengen unter zwei verschiedenen
Fragestellungen erfolgen, die den beiden
Umkehrmöglichkeiten einer Multiplikation
entsprechen.
• Beispiel: 3 · 6 = 18
nach Verabredung ist 6 der Multiplikand und 3
der Multiplikator.
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1. 18 : 3 = ?
• Ein Repräsentant der
Zahl 18 ist in
gleichmächtige
Teilmengen zu
zerlegen. Die
Kardinalzahl einer
Teilmenge ist gesucht.
2. 18 : 6 = ?
• Die Menge mit 18
Elementen ist in
Teilmengen der
Kardinalzahl 6 zu
zerlegen. Die Anzahl
der Teilmengen ist
gesucht.
Die erste Form wird als Verteilen, die zweite als Aufteilen
bezeichnet.
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12:4
Wie kann ich auf
4 ... verteilen?
Wie oft ist die 4
enthalten?
Beim Teilen entstehen (gleichmächtige, paarweise
elementfremde) Teilmengen. Man kann den Blick auf
die Anzahl der Teilmengen richten oder auf die Anzahl
der Elemente der Teilmengen.
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Zwei verschiedene Fragestellungen führen zur
Division:
• Verteilen
(Teilen)
• 12 : 4 = 3
• 12 Birnen sind
gleichmäßig unter 4
Personen zu verteilen.
Jede erhält 3.
Karten verteilen...
• Aufteilen
(Enthaltensein)
• 12 : 4 = 3
• 12 Birnen sollen
aufgeteilt werden. In
jeden Beutel sollen 4
Birnen kommen. Man
braucht 3 Beutel.
abpacken...
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Anzahl der Teilmengen oder Anzahl der Elemente
einer Teilmenge?
• Verteilen
12 : 4 = 3
• Der Divisor 4 repräsentiert die Anzahl der Teilmengen.
• Aufteilen
12 : 4 = 3
• Der Divisor 4 repräsentiert die Anzahl der Elemente einer
Teilmenge.
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2 Grundvorstellungen zu den Operationen
Grundvorstellungen zur Multiplikation
• zeitlich-sukzessive Handlungen (dynamisch)
• räumlich simultane Anordnungen (statisch)
Der kombinatorische Aspekt der Multiplikation gehört zunächst nicht zu
den Grundvorstellungen, die Grundschulkinder von der Multiplikation
haben.
vgl. Padberg 2005, S. 117 ff.
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zeitlich-sukzessiv (dynamische Komponente der Multiplikation)
mehrmalige Wiederholung der gleichen Handlung
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räumlich-simultan (statische Komponente der Multiplikation)
räumliche Anordnung in Rechteckform
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Grundvorstellungen zur Division
Verteilen und Aufteilen wird auch in den
Schulbüchern (2. Kl.) unterschieden.
Beispiele aus Mathematik 2 vom
DUDEN - Verlag
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29
Grundvorstellungen zum Multiplizieren und
Dividieren, die in Interviews beobachtet wurden
• Dadurch, dass multiplikative Situationen mit der
Alltagssprache abgebildet werden (Operatoraspekt von
Zahlen), finden schon Schulanfänger/innen Zugang zu
entsprechenden Sachverhalten.
• Die Division gehört im Sinne des gerechten Verteilens
als Alltagserfahrung zu den Vorerfahrungen der Kinder.
• Das Multiplizieren wird häufig bis zur Automatisierung
von Grundaufgaben an die Addition angelagert (von
Schulanfang bis in die Kl. 3 hinein beobachtbar).
• Auch Lösungen für das Teilen im Rahmen von
Sachsituationen werden meistens über die Addition
hergeleitet.
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Aufgabe zur Übung
Woche vom 16.05. 2011
Formulieren Sie kleine Textaufgaben für die 1.
und 2. Klassenstufe, für Multiplikation und
Division nach folgenden Aspekten:
• Multiplikation
– dynamisch
– statisch
– Bilden geordneter Paare
• Division
–
–
–
–
dynamisch
statisch
Aufteilen
Verteilen
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