Theoretische Physik 1 Mechanik - TUM-Physik

Technische Universität München
Fakultät für Physik
Ferienkurs
Theoretische Physik 1
Mechanik
Skript zu Vorlesung 2:
konservative Kräfte, Vielteilchensysteme und ausgedehnte
Körper
gehalten von:
Markus Krottenmüller & Markus Perner
28.08.2012
Inhaltsverzeichnis
1 konservative Kräfte
1.1 Arbeit und Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 konservative Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
1
2
2 Vielteilchensysteme
2.1 Energie-, Impuls- und Drehimpulserhaltung . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Der Virialsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
3
3 ausgedehnte Körper
3.1 Massendichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Potential und Kraftfeld ausgedehnter Körper . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
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1 konservative Kräfte
1.1 Arbeit und Leistung
Die Arbeit A ist definiert als das Wegintegral über ein Kraftfeld F~ (~r)
ZP2
A=
F~ · d~r =
Zt2
F~ (~r(t)) · ~r˙ (t) dt.
(1)
t1
P1
Leistung N ist die pro Zeit geleistete Arbeit, also die zeitliche Ableitung der Leistung
N = dA
= F~ · ~r˙ .
dt
1.2 konservative Kräfte
~ (~r) dargestellt werden können,
Kräfte die als der Gradient eines Potentials F~ (~r) = −∇U
heißen konservativ. Für sie gilt der Energieerhaltungssatz.
Für konservative Kräfte gilt, dass ihre Rotation verschwindet

~ × F~ =
∇
∂Fz
∂y
 ∂F
 ∂zx
∂Fy
∂x

y
− ∂F
∂z
z
− ∂F
=0
∂x 
∂Fx
− ∂y
(2)
Außerdem ist für eine konservative Kraft das Wegintegral zwischen zwei Punkten unabhängig vom gewählten Integrationsweg und damit insbesondere
I
F~ · d~r = 0.
(3)
Es ergibt sich folgende Äquivalenzkette:
~ ⇔∇
~ × F~ = 0 ⇔
F~ konservativ ⇔ F~ = −∇U
I
F~ · d~r = 0
(4)
Die Äquivalenz von Gleichung 2 und 3 kann mit Hilfe des Satz von Stokes bewiesen
werden.
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1.3 Beispiele
• Zentralkräfte sind konservativ.
• Die Lorentzkraft ist nicht konservativ, da ihr Arbeitsintegral immer verschwindet.
• Reibungskräfte sind nicht konservativ, da sie von der Geschwindigkeit abhängen.
2 Vielteilchensysteme
Wir betrachten nun Systeme von N Massepunkten der Massen mi , Ortsvektoren ~ri , Geschwindigkeiten ~vi , Impulse p~i und Kräfte F~i (i = 1, 2, . . . , N )). Dabei setzten sich die
Kräfte aus inneren Kräften zwischen zwei Teilchen und einem externen Kraftfeld zusammen F~i = Σj6=i F~ij + F~iex . Zur Beschreibung dieses Systems ergeben sich N gekoppelte
Bewegungsgleichungen. Summation über alle i = 1, . . . , N ergibt
d2
Σi F~iex + Σi,j(i6=j) F~ij = Σi .F~iex = 2 mi~ri
dt
(5)
2.1 Energie-, Impuls- und Drehimpulserhaltung
Wie bei den Zweiteilchensystemen kann man für Vielteilchensysteme eine Schwerpunktri (M = ΣN
skoordinate R = M1 ΣN
i mi ) einführen, für welche die Bewegungsgleichung
i=1 mi~
~
dR
˙
F~ ex = P~ = M 2
dt
2
(6)
gilt. Relativkoordinaten werden im Folgenden mit einem Strich gekennzeichnet und es
0
~ und entsprechend für die anderen Größen. Im Schwerpunktssystem
gilt ~ri = ~ri + R
~ = 0, R
~˙ = 0) gilt Σi mi~ri0 = Σi mi~vi0 = 0.
(R
~2
0
P
Die Gesamtenergie setzt sich aus E = TS + Trel + U = 2M
+ 21 ΣN
v 2 + 12 Σi,j Uij
i=1 mi~
zusammen.
~ = ΣN~li = ΣN ~ri × p~i = R
~ × P~ + Σi vr0 × p~0
Der Drehimpuls des Systems ist durch L
i
i
i
i
gegeben.
Falls keine externen Kräfte anwesend sind (abgeschlossenes System), so gilt in einem System aus Massenpunkten Energie-, Impuls- und Drehimpulserhaltung. Der Gesamtimpuls
ist nach Gleichung 6 erhalten, die Energieerhaltung wird in den Übungen bewiesen und
für den Gesamtdrehimpuls gilt:
~
d
dL
= Σi (~ri × mi~vi ) = Σi~ri × F~i = Σi,j ~ri × F~ij
dt
dt
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1
1
= Σi,j [~ri × F~ij + ~rj × F~ji ] = Σi,j (~ri − ~rj ) × F~ij = 0
(8)
2
2
Das letzte Gleichheitszeichen gilt, da die relevanten inneren Kräfte F~ij parallel zu den
Verbindungsvektoren ~ri − ~rj der Massenpunkte mi und mj sind (Ausnahmen: magnetische Kräfte und Reibungskräfte).
2.2 Der Virialsatz
In einem System von vielen Massenpunkten findet ständig eine Umwandlung von kinetische in potentielle Energie und umgekehrt statt. Eine genaue Aussage zu liefern ist oft
schwierig. Man kann aber Aussagen über die Mittelwerte dieser beiden Größen machen.
Der zeitliche Mittelwert einer Größe F (t) ist
1
< f >= lim
τ →∞ τ
Zτ
f (t) dt
(9)
0
Durch Multiplizieren der Bewegungsgleichungen mit ~ri und Summieren erhält man
d
d
Σi mi (~r¨i · ~ri ) = Σi F~i · ~ri = Σi mi (~r˙i · ~ri ) − Σi mi~r˙i2 = Σi mi (~r˙i · ~ri ) − 2T.
dt
dt
(10)
Durch Mittelwertbildung verschwindet der erste Term auf der rechten Seite, da für räumlich beschränkte Systeme die Summe Σi mi (~r˙i · ~ri ) für alle t endlich ist. Es bleibt der
Virialsatz, der besagt, dass der Mittelwert der kinetischen Energie proportional zum
sogenannten Clausius’schen Virial ist
1
< T >= − < Σi F~i · ~ri >
2
(11)
Für abgeschlossene Zentralkräfte (Uij = Uij (|~ri − ~rj | = Uij (rij )) gilt:
1
~ + ~rj · ∇]U
~ ij (rij ) >= − 1 < Σi,j (~ri − ~rj ) · ∇U
~ ij (rij ) >
< Σi F~i · ~ri >= − < Σi,j [~ri · ∇
2
2
(12)
1
=−
2
~ri − ~rj dUij
1
dUij
Σi,j (~ri − ~rj ) ·
=−
Σi,j rij
|~ri − ~rj | drij
2
drij
n
Potentiale der Form Uij = cij rij
, n ∈ Z liefern den besonderen Spezialfall
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< T >=
n
<U >.
2
(14)
Beispiele:
• gekoppelte harmonische Oszillatoren: n = 2 → <T>=<U>
• Gravitations- bzw. Coulomb-Potential: n = −1 → 2<T>=-<U>
3 ausgedehnte Körper
Bis jetzt haben wir nur Systeme von einzelnen Massepunkten beschrieben. Um die Dynamik eines ausgedehnten Körpers zu beschreiben betrachtet man den Körper aus vielen
infinitesimalen Massenelementen zusammengesetzt.
3.1 Massendichte
Dazu definiert man die Massendichte ρ(~r) mit
Z
m=
ρ(~r) d3 r
(15)
Falls die Massendichte in anderen als kartesischen Koordinaten angegeben ist, ist bei der
Ausführung des Integrals der Transformationssatz

 der Analysis zu berücksichtigen. Für
x(α, β, γ)
eine Koordinatentransformation ~r = y(α, β, γ) entspricht das Integral
z(α, β, γ)
Z
m=
3
Z
| det J|ρ(~r(α, β, γ)) dα dβ dγ,
ρ(~r) d r =
V
(16)
V (α,β,γ)
dabei ist det J die sogenannte Jacobi-Determinante

det J =
dx
dα
 dy
det  dα
dz
dα
dx
dβ
dy
dβ
dz
dβ

dx
dγ
dy 
dγ  .
dz
dγ
(17)
Für Kugelkoordinaten beträgt die Jacobi Determinante det JKugel = r2 sin θ und für
Zylinderkoordinanten det JZylinder = r.
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3.2 Potential und Kraftfeld ausgedehnter Körper
Um das Potential eines ausgedehnten Körpers zu berechnen, denkt man sich den Körper wieder aus infinitesimalen Massenelementen aufgebaut, die alle einen differentiellen
Beitrag zum Potential leisten. Damit ergibt sich für die potentielle Energie eines Probekörpers der Masse m0 am Ort ~r im Kraftfeld des ausgedehnten Körpers im Ursprung
Z
U (~r) = −Gm0
ρ(~x) 3
d x.
|~x − ~r|
(18)
~ (~r)
Das Kraftfeld ergibt sich aus F~ (~r) = −∇U
F~ (~r) = Gm0
Z
ρ(~x)
~x − ~r 3
d x.
|~x − ~r|3
(19)
Falls es sich um zwei ausgedehnte Körper handelt, muss man beide Körper entsprechend
behandeln. Für ihre potentielle Energie ergibt sich
Z Z
U12 = −G
ρ1 (~x)ρ2 (~y ) 3 3
d x d y.
|~x − ~y |
5/5
(20)