Seminar Quantitatives Risikomanagement

Seminar Quantitatives
Risikomanagement
Multivariate Modelle II
Toni Bastgen
Mathematisches Institut
der
Universität zu Köln
Sommersemester 2008
Betreuung: Prof. Schmidli, J. Eisenberg
Inhaltsverzeichnis
3
4
Sphärische und Elliptische Verteilungen . . . . . . . . . . . .
2
3.1
Sphärische Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
3.2
Elliptische Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
3.3
Eigenschaften elliptischer Verteilungen . . . . . . . . .
6
3.4
Verteilungs- und Korrelationsschätzer . . . . . . . . .
7
3.5
Testen Elliptischer Symmetrie . . . . . . . . . . . . . .
8
Dimensionsreduzierungstechniken . . . . . . . . . . . . . . . .
10
4.1
Faktor-Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
4.2
Regressionsanalyse von Faktormodellen . . . . . . . .
11
1
2
3.3
3.3.1
Sphärische und Elliptische Verteilungen
Sphärische Verteilungen
Definition 3.18
Ein Zufallsvektor X = (X1 , . . . , Xd )T hat eine sphärische Verteilung wenn
für jede orthogonale Abbildung U ∈ Rd×d
d
UX = X .
Somit sind sphärische Verteilungen drehinvariant.
Auch die folgenden Eigenschaften sind als Def. üblich.
Theorem 3.19
Es sind äquivalent:
(1) X ist sphärisch
(2) Es gibt eine Funktion ψ mit einer skalaren Variablen, so dass für alle
t ∈ Rd gilt:
TX
φX (t) = E(eit
(3) ∀ a ∈ Rd :
) = ψ(tT × t) = ψ(t21 + . . . + t2d )
d
aT X = kakX1 .
Proof. (1) ⇒ (2): Ist X sphärisch, so gilt für jede orthogonale Matrix U
T UX
φX (t) = φU X (t) = E(eit
) = φX (U T t).
Also hängt φX (t) nur von der Länge von t ab ⇒ (2).
(2) ⇒ (3): Es gilt φX1 (t) = E(eitX1 ) = φX (te1 ) = ψ(t2 ).
Nun folgt für jedes a ∈ Rd
φaT X (t) = φX (ta) = ψ(t2 aT a) = ψ(t2 kak2 ) = φX1 (tkak) = φkakX1 (t).
(3) ⇒ (1): Für bel. orthogonale Matrix U gilt
φU X (t) = E(ei(U
T t)T X
) = E(eikU
T tkX
1
TX
) = E(eiktkX1 ) = E(eit
) = φX (t).
3
ψ heißt charakteristischer Generator und beschreibt einen sphärisch verteilten Zufallsvektor eindeutig.
Notation: X ∼ Sd (ψ)
Beispiel 3.20 (Multivariate Normalverteilung)
Ein Zufallsvektor X mit der Standardnormalverteilung Nd (0, Ia ) ist sphärisch.
1
) = exp(− tT t).
2
1
Es folgt X ∼ Sd (ψ) mit ψ(t) = exp(− 2 t)
TX
φX (t) = E(eit
Beispiel 3.21 (Mischverteilung)
Zufallsvektor X mit X ∼ Md (0, Id , Ĥ) (standardisierte, unkorrelierte Normal-
Varianz-Mischverteilung) ist sphärisch.
Tµ
φX (t) = eit
1
1
Ĥ( tT Σt) = Ĥ( tT t)
2
2
Also ist ψ(t) = Ĥ( 12 t), es gilt
1
X ∼ Md (0, Id , Ĥ(×)) ⇔ X ∼ Sd (Ĥ( ×)).
2
Theorem 3.22
X hat genau dann eine sphärische Verteilung, wenn es die stochastische Repräsentation
d
X = RS
hat. Dabei ist S gleichverteilt auf der Einheitssphäre S d−1 = {s ∈ Rd :
sT s = 1}, R ≥ 0 ist eine radiale Zufallsvariable, unabhängig von S.
Es bezeichne Sd+ (ψ) die Unterklasse der sphärischen Zufallsvektoren X mit
P (X = 0) = 0.
Korollar 3.23
d
Sei X = RS ∼ Sd+ (ψ), dann gilt
X d
= (R, S).
kXk,
kXk
4
Proof.
kXk,
RS X = kRSk,
= (R, S)
kXk
kRSk
Beispiel 3.24
X ∼ Nd (0, Id ). Wegen X T X ∼ χ2d ist auch R2 ∼ χ2d .
Nun wird E(S), Cov(S) berechnet:
0 = E(X) = E(R)E(S) ⇒ E(S) = 0
Id = Cov(X) = E(R)2 Cov(S) ⇒ Cov(S) =
Id
d
wegen E(R2 ) = d (weil R2 ∼ Xd2 ).
Hat nun X eine sphärische Normal-Varianz-Mischverteilung X ∼ Md (0, Id , Ĥ),
d
so können wir die Verteilung von R2 = X T X wie folgt kalkulieren: Wegen
d
d √
e2
X = W Y , mit Y ∼ Nd (0, Id ) und W unabhängig von Y , folgt R2 = W R
e2 ∼ χ2 und W und R
e unabhängig. Nun können wir die Verteilung von
mit R
d
e2 kalkulieren und erhalten somit R2 .
WR
3.3.2
Elliptische Verteilungen
Definition 3.26
X hat eine elliptische Verteilung wenn
d
X = µ + AY,
wobei Y ∼ Sk (ψ) und A ∈ Rd×k und µ ∈ Rd sind eine Matrix und ein Vektor
mit konstanten Einträgen.
Elliptische Verteilungen sind also affine Transformationen von sphärischen
Verteilungen.
TX
φX (t) = E(eit
T (µ+AY
) = E(eit
)
Tµ
) = eit
E(ei(A
T t)T Y
Tµ
) = eit
ψ(tT Σt),
5
wobei Σ = AAT .
Notation: X ∼ Ed (µ, Σ, ψ) mit µ als Ortsvektor, Σ als Verteilungsmatrix
und ψ als charakteristischem Generator.
Bemerkung 3.27
Die Kenntnis von X und µ lässt nicht eindeutig auf die elliptische Verteilung
Ed (µ, Σ, ψ) schließen, sondern Σ und ψ hängen von einer positiven Konstanten ab. Zum Beispiel kann die multivariate Normalverteilung als Ed (µ, Σ, ψ)
oder Ed (µ, cΣ, ψ(·/c)) beschrieben werden mit ψ(u) = exp(− 12 ) und c > 0
bel.
Aus Def. 3.26 und Theorem 3.22 folgt
Satz 3.28
X ∼ Ed (µ, Σ, ψ) genau dann, wenn es S, R, A gibt, so dass
d
X = µ + RAS
wobei
(i) S auf der Einheitssphäre S k×1 = {s ∈ Rk : sT s = 1}
gleichverteilt ist,
(ii) R ≥ 0, eine radiale Zufallsvariable, unabhängig von S,
(iii) A ∈ Rd×k mit AAT = Σ.
Ist Σ positiv definit, so gilt:
1
X ∼ Ed (µ, Σ, ψ) ⇔ Σ− 2 (X − µ) ∼ Sd (ψ).
Hat nun der sphärische Vektor Y die Dichtefunktion g, dann hat X = µ +
1
Σ 2 Y die Dichte
f (x) =
1
T −1
g
(x
−
µ)
Σ
(x
−
µ)
.
1
|Σ| 2
6
Außerdem ergibt sich für eine nicht singuläre elliptische Verteilung
! q
− 12
Σ
(X
−
µ)
d
T
−1
= R, S
(X − µ) Σ (X − µ) p
(X − µ)T Σ−1 (X − µ)
mit S gleichverteilt auf S d−1 und R als unabhängige skalare Zufallsvariable.
Satz 3.29
Sei X ∼ Ed (µ, Σ, ψ), Σ sei positiv definit und Cov(X) endlich. Dann gilt für
jedes c ≥ 0 mit P (X − µ)T Σ−1 (X − µ) ≥ c > 0:
ρ X|(X − µ)T Σ−1 (X − µ) ≥ c = ρ(X)
1
d
d p
Proof. X|(X−µ)T Σ−1 (X−µ) ≥ c = µ+RΣ 2 S|R2 ≥ c mit R = (X − µ)T Σ−1 (X − µ)
und S unabhängig von R, verteilt auf S d−1 . So gilt
d
e 12 S,
X|(X − µ)T Σ−1 (X − µ) ≥ c = µ + RΣ
e = R|R2 ≥ c. Also bleibt die Verteilung elliptisch mit Verteilungsmamit R
trix Σ (nach Satz. 3.28)
3.3.3
Eigenschaften elliptischer Verteilungen
• Linearkombinationen
Sei X ∼ Ed (µ, Σ, ψ), B ∈ Rk×d und b ∈ Rd bel., so gilt:
BX + b ∼ Ek (Bµ + b, BΣB T , ψ)
• Quadratische Formen
Sei X ∼ Ed (µ, Σψ), Σ nicht singulär, so ist Q÷ = (X − µ)T Σ−1 (X −
d
µ) = R2 , wobei R die radiale Zufallsvariable der stoch. Repräsentation
ist. Ist nun X ∼ Nd (µ, Σ), so ist R2 ∼ χ2d .
• Faltungen
Seien X, Y unabhängig mit X ∼ Ed (µ, Σ, ψ), Y ∼ Ed (µ̃, Σ, ψ̃), dann
ist
X + Y ∼ Ed (µ + µ̃, Σ, ψ)
mit ψ̃(u) = ψ(u)ψ̃(u). Das funktioniert nur, solange die Verteilungsmatrizen bis auf einen konstanten Faktor gleich sind.
7
3.3.4
Verteilungs- und Korrelationsschätzer
µ, Σ und die Korrelationsmatrix P sollen geschätzt werden. Bisher wurden
X und S als Schätzer für Erwartungswert und Kovarianzmatrix betrachtet,
nun werden effektivere Schätzer gesucht.
• M-Schätzer
Maronnas M -Schätzer schätzen Ort (µ̂) und Verteilung (σ̂). Für jede
Beobachtung Xi wird Di2 = (Xi − µ̂)T Σ̂−1 (Xi − µ̂) kalkuliert. Um ver-
besserte Schätzungen zu erlangen, werden monoton fallende Gewichtsfunktionen Wj : R+ 7→ R, j = 1, 2 benutzt, um Beobachtungen mit
großen D-Werten zu entkräften.
M -Schätzer für Ort und Verteilung
(1) Startschätzer: µ̂[1] = X, Σ̂[1] = S
(Standard Schätzer); Iterationszähler: k = 1
T
−1
(2) Für i = 1, . . . , n setze Di2 = Xi − µ
b[k]
Σ[k]
Xi − µ̂[k]
(3) Setze
µ̂[k+1] =
Σni=1 ω1 (D1 )Xi
Σni=1 ω1 (Di )
mit ω1 als Gewichtsfunktion.
(4) Setze
Σ̂[k+1] =
T
1 n
Σi=1 ω2 Di2 Xi − µ̂[k] Xi − µ̂[k]
n
wie Gewichtsfunktionen.
(5) Setze k = k +1 und wiederhole die Schritte (2)−(4) bis die Schätzer konvergieren.
Für ω1 und ω2 waehlt man häufig ω1 (X) = (d + ν)/(X 2 + ν) =
ω2 (X 2 ) für positive Konstanten ν. Benutzt man diese ω1 , ω2 so
führt der Algorithmus zu einer multivariaten td (ν, µ, Σ) Verteilung
mit bekannten Freiheitsgraden.
8
• Korrelationsschätzer nach Kendall’s tau.
Diese Methode zur Schätzung der Korrelation basiert auf Kendall’s
Rang-Korrelations-Koeffizient: ρτ (X1 , X2 ) mit Zufallsvariablen X1 , X2
(formale Def. in 5.2)
Wenn (X1 , X2 ) ∼ E2 (µ, Σ, ψ), dann
ρτ (X1 , X2 ) =
2
arcsin(ρ)
π
(Prop.5.37)
Beispiel 3.31 (Effektive Korrelationsschätzung für stark abweichende Daten.)
Korrelation einer Risikofaktoränderung bestimmter Daten über 90 Tage.
Bei identischer Verteilung sollte diese Zeitspanne ausreichen, um die “wahre“Korrelation zu schätzen.
Bild 3.5: Ergebnisse eines Simulationsexperiments, dass 3000 bivariate Proben t-verteilter Daten mit 3 Freiheitsgraden und Korrelation ρ = 0, 5 (sich
stark auseinanderziehende elliptische Verteilung)
oben: Werte des Pearson-Korrelationskoeffizienten weichen zum Teil stark
ab.
unten: Kendall’s tau Methode bringt Schätzer hervor, die nah am Wert 0, 5
liegen.
3.3.5
Testen Elliptischer Symmetrie
Wie findet man heraus ob identisch verteilte Datenvektoren X1 , . . . , Xn Ed (µ, Σ, ψ)verteilt sind? Für alle Methoden werden Schätzer µ̂ und Σ̂ benötigt (siehe
33.4 um µ̂ und Σ̂ zu berechnen). Allgemein kann nicht von unabhängigen
identisch verteilten Zufallsvektoren ausgegangen werden. Aber wir nehmen
an, dass die Zufallsvektoren zumindest identisch verteilt sind. Selbst wenn
die Daten unabhängig wären, würde die Abhängigkeit schon dadurch entstehen, dass Schätzer für µ und Σ durch die ganze Datenmenge beeinflusst
werden.
• Stabiler Korrelationsschaetzer: eine Erforschungsmethode (basiert auf
Prop. 3.29)
9
Wir versuchen
h(x) = (x − µ̂)T Σ̂−1 (x − µ̂)
ρ(X|h(X) > c),
für verschiedene Werte c ≥ 0 zu schätzen. Für elliptisch verteilte Da-
ten erwarten wir nun, dass die Schätzer über einer Reihe verschiedener
c-Werte stabil bleiben. Für µ̂ und Σ̂ soll dabei wieder ein effizienterer
Schätzer als der Standard-Korrelationsschätzer gewählt werden.
• QQplots
Diese Methode beruht auf dem Zusammenhang zwischen nicht-singulären
elliptischen und sphärischen Verteilungen. Seien µ und Σ bekannt, so
testen wir X auf elliptische Symmetrie, indem wir die Daten
o
n 1
Σ− 2 (Xi − µ) : i = 1, . . . , n auf spährische Symmetrie testen. Wir
o
n
1
prüfen ob die Daten Yi = Σ̂− 2 (Xi − µ̂) : i = 1, . . . , n mit einer sphärischen Verteilung uebereinstimmen, während wir Schätzungsfehler vernachlässigen. Setzen wir nun Ri = kYi k und Si = Yi /kYi k, dann ist zu
prüfen, ob die Si -Daten auf der Einheitsphäre S d−1 gleichverteilt sind
und die Paare (Ri , Si ) unabhängig sind.
Lemma 3.32
Sei T (Y ) eine Statistik, s.d.
T (aY ) = T (Y )
∀ a > 0,
dann hat T (Y ) dieselbe Verteilung für alle spärischen Vektoren Y ∼ Sd+ (ψ).
Proof. Nach Theorem 3.22 gilt T (Y )d = T (RS); T (RS) = T (S) gilt nach
Voraussetzung. Weil die Verteilung T (Y ) nur von S und nicht von R abhängt,
muß sie für alle Y ∼ Sd+ (ψ) dieselbe sein.
Dieses Resultat wird genutzt für Statistiken T (Y ) mit T (Y ) = T (aY ) für
alle a > 0, deren Verteilung bekannt ist wenn Y ∼ Nd (0, Id ). Zwei Beispiele
sind
d
1
T1 (Y ) = s
d2 Y
(1/d − 1)
d
P
i=1
,
(Yi − Y )2
Y =
1X
Yi
d
i=1
10
T2 (Y ) =
K
P
i=1
d
P
i=1
Für Y ∼ Nd (0, Id ) und somit Y ∼
Beta 12 k, 21 (d − k) .
3.4
Yi2
Yi2
Sd+ (ψ)
ist T1 (Y ) ∼ td−1 und T2 (Y ) ∼
Dimensionsreduzierungstechniken
Diese sind in der multivariaten statistischen Analysis ein zentrales Thema
und werden für Ökonomische Modelle gebraucht.
3.4.1
Faktor-Modelle
Durch solche werden d-dimensionale Zufallsvektoren X durch eine kleinere
Reihe von “allgemeinen Faktoren“beschrieben.
Definition 3.33 (Linearfaktormodelle)
Der Zufallsvektor X folgt einem p-Faktormodell, wenn er zersetzt werden
kann als
X = a + BF + ǫ
wobei
(i) F = (F1 , . . . , Fp )T allgemeine Faktoren mit p < d, mit positiv definiter
Kovarianzmatrix;
(ii) ǫ = (ǫ1 , . . . , ǫd )T Zufallsvektor spezieller Fehlerterme, die unkorreliert
sind mit Erwartungswert 0;
(iii) B ∈ Rd×p ist eine Matrix konstanter Ladefaktoren und a ∈ Rd ein
Vektor mit Konstanten;
(iv) Cov(F, ǫ) = E (F − E(F ))ǫT = 0.
Punkte (ii), (iv) sind wichtig, es wird keine Unabhängigkeit, sondern nur
Unkorreliertheit verlangt. Ist X multivariat normalverteilt und genügt dem
Faktormodell, dann ist es möglich eine Version des Faktormodells zu finden,
11
bei der F und ǫ Gauss-verteilt sind. Wobei die Fehler voneinander unabhängig angenommen werden dürfen.
Faktormodelle implizieren eine besondere Struktur für die Kovarianzmatrix
Σ von X:
Σ = Cov(X) = BΩB T + γ,
wobei Ω die Kovarianzmatrix von F und γ die von ǫ darstellt, welche diagonal
ist.
Gilt das Faktormodell, so können die allgeimeinen Faktoren trnasformiert
werden, s.d. sie orthogonal sind mit Erwartungswert 0. Setzt man F ∗ =
Ω−1/2 (F − E(F )) und B ∗ = BΩ1/2 , so lautet das Faktormodell: X = µ +
B ∗ F ∗ + ǫ mit µ = E(X), Σ = B ∗ (B ∗ )T + γ.
3.4.2
Regressionsanalyse von Faktormodellen
Sei
Xt = a + BF + ǫt ,
t = 1, ..., n
ein Modell, bei dem a, B zur Zeit t geschätzt werden sollen. Es gibt zwei
Möglichkeiten der Regression
• Univariate Regression
Xt,j sei die Beobachtung des Instruments j zur Zeit t:
Xt,j = aj + bTj Ft + ǫt,j
t = 1, ..., n.
Nun wird eine lineare Regression durchgeführt.
• Multivariate Regression
Setze


X1T
 . 
. 
X=
 . ,
XnT
| {z }
n×d


1 F1T
 .
.. 
..
F =
. 

,
1 FnT
{z
}
|
n×(p+1)
B2 =
aT
!
,
BT
| {z }
(p+1)×d


ǫT1
 . 
. 
E=
 . .
ǫTn
| {z }
n×d
Es gilt: X = F B2 + E, wobei B2 die Matrix der zu schätzenden Para-
meter ist.