L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik

L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik
Jan H. Bruinier
Fachbereich Mathematik
Technische Universität Darmstadt
[email protected]
30. Januar 2008
Jan H. Bruinier
L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik
Leonhard Euler (1707–1783)
Jan H. Bruinier
L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik
Bernhard Riemann (1826-1866)
Jan H. Bruinier
L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik
Die rationalen Zahlen
Prinzahlen
Die Riemannsche Zetafunktion
Der Primzahlsatz
Zahlkörper
Quadratische Zahlkörper
Primidealzerlegung
Die Dedekindsche Zeta-Funktion
Die Klassenzahl
Elliptische Kurven
Die L-Funktion von E
Die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer
Die Gross–Zagier-Formel
Jan H. Bruinier
L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik
Die ganzen Zahlen
I
Natürliche Zahlen: N = {1, 2, 3, . . . }.
I
Ganze Zahlen: Z = {0, ±1, ±2, ±3, . . . }.
I
Rationale Zahlen: Q.
Jan H. Bruinier
L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik
Die ganzen Zahlen
I
Natürliche Zahlen: N = {1, 2, 3, . . . }.
I
Ganze Zahlen: Z = {0, ±1, ±2, ±3, . . . }.
I
Rationale Zahlen: Q.
Ziel
Verstehe die additive und multiplikative Struktur in Z und Q.
Jan H. Bruinier
L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik
Primzahlen
Definition
Eine natürliche Zahl n > 1 heißt irreduzibel (Primzahl),
falls n genau 2 positive Teiler besitzt.
Jan H. Bruinier
L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik
Primzahlen
Definition
Eine natürliche Zahl n > 1 heißt irreduzibel (Primzahl),
falls n genau 2 positive Teiler besitzt.
Beispiel
Die ersten Primzahlen sind:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, . . . .
Jan H. Bruinier
L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik
Warum sind Primzahlen interessant?
I
Primzahlen sind die “Atome” der natürlichen Zahlen.
I
Satz (Euklid):
Jede natürliche Zahl n > 1 kann in eindeutiger Weise
als Produkt von Primzahlen geschrieben werden.
Jan H. Bruinier
L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik
Warum sind Primzahlen interessant?
I
Primzahlen sind die “Atome” der natürlichen Zahlen.
I
I
Satz (Euklid):
Jede natürliche Zahl n > 1 kann in eindeutiger Weise
als Produkt von Primzahlen geschrieben werden.
Lösung von Polynom-Gleichungen mit ganzen Koeffizienten.
I
Reduktion modulo p, lokal-global-Prinzipien.
Jan H. Bruinier
L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik
Warum sind Primzahlen interessant?
I
Primzahlen sind die “Atome” der natürlichen Zahlen.
I
I
Lösung von Polynom-Gleichungen mit ganzen Koeffizienten.
I
I
Satz (Euklid):
Jede natürliche Zahl n > 1 kann in eindeutiger Weise
als Produkt von Primzahlen geschrieben werden.
Reduktion modulo p, lokal-global-Prinzipien.
Anwendungen in der Kryptographie.
I
I
Multiplikation zweier Primzahlen ist “einfach”.
Faktorisierung von ganzen Zahlen ist “hart”.
Jan H. Bruinier
L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik
Der Satz von Euklid
Satz (Euklid, ca. 300 v. Chr.)
Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Jan H. Bruinier
L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik
Der Satz von Euklid
Satz (Euklid, ca. 300 v. Chr.)
Es gibt unendlich viele Primzahlen.
I
Neben Euklids Beweis gibt es unzählige weitere.
I
Heute: Eulers Beweis.
Jan H. Bruinier
L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik
Die Riemannsche Zetafunktion
I
Betrachte die Riemannsche Zetafunktion (L-Funktion von Q)
∞
X
1
ζ(s) =
ns
(s ∈ C, Re(s) > 1).
n=1
Jan H. Bruinier
L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik
Die Riemannsche Zetafunktion
I
Betrachte die Riemannsche Zetafunktion (L-Funktion von Q)
∞
X
1
ζ(s) =
ns
(s ∈ C, Re(s) > 1).
n=1
I
Eindeutige Primfaktorzerlegung führt zu Eulerprodukt:
ζ(s) =
Y
p prim
1
1 − p −s
Jan H. Bruinier
(Re(s) > 1).
L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik
Die Riemannsche Zetafunktion
I
Betrachte die Riemannsche Zetafunktion (L-Funktion von Q)
∞
X
1
ζ(s) =
ns
(s ∈ C, Re(s) > 1).
n=1
I
Eindeutige Primfaktorzerlegung führt zu Eulerprodukt:
ζ(s) =
Y
p prim
I
1
1 − p −s
(Re(s) > 1).
Singularität bei s = 1:
ζ(1) =
∞
X
1
n=1
Jan H. Bruinier
n
= ∞.
L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik
Eulers Beweis
I
Angenommen es gibt nur endlich viele Primzahlen.
Jan H. Bruinier
L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik
Eulers Beweis
I
Angenommen es gibt nur endlich viele Primzahlen.
I
Dann ist
lim ζ(s) =
s→1
Y
p prim
Jan H. Bruinier
1
1 − p −1
endlich.
L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik
Eulers Beweis
I
Angenommen es gibt nur endlich viele Primzahlen.
I
Dann ist
lim ζ(s) =
s→1
I
Y
p prim
Widerspruch zu
ζ(1) =
1
1 − p −1
∞
X
1
n=1
Jan H. Bruinier
n
endlich.
= ∞.
L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik
Die Primzahlanzahlfunktion π(x)
Frage
Wie sind die Primzahlen in den natürlichen Zahlen verteilt?
Jan H. Bruinier
L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik
Die Primzahlanzahlfunktion π(x)
Frage
Wie sind die Primzahlen in den natürlichen Zahlen verteilt?
I
Betrachte dazu die Primzahlanzahlfunktion
π(x) = #{p ∈ N prim;
Jan H. Bruinier
p ≤ x}.
L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik
Der Graph von π(x)
4
3
2
1
0
2
4
6
8
10
x
pi(x)
Jan H. Bruinier
L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik
Der Graph von π(x)
160
140
120
100
80
60
40
20
0
200
400
600
800
1000
x
pi(x)
Jan H. Bruinier
L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik
Der Graph von π(x)
8000
6000
4000
2000
0
20000
40000
60000
80000
100000
x
pi(x)
Jan H. Bruinier
L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik
Der Primzahlsatz
Frage
Läßt sich π(x) durch eine “einfache” Funktion approximieren?
Jan H. Bruinier
L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik
Der Primzahlsatz
Frage
Läßt sich π(x) durch eine “einfache” Funktion approximieren?
Vermutung (Gauss 1792, Legendre 1798)
π(x) ∼
x
,
log(x)
Jan H. Bruinier
x → ∞.
L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik
Der Primzahlsatz
Frage
Läßt sich π(x) durch eine “einfache” Funktion approximieren?
Vermutung (Gauss 1792, Legendre 1798)
π(x) ∼
I
x
,
log(x)
x → ∞.
1896 bewiesen durch Hadamard und de la Vallée-Poussin.
Jan H. Bruinier
L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik
Der Primzahlsatz
Frage
Läßt sich π(x) durch eine “einfache” Funktion approximieren?
Vermutung (Gauss 1792, Legendre 1798)
π(x) ∼
x
,
log(x)
x → ∞.
I
1896 bewiesen durch Hadamard und de la Vallée-Poussin.
I
Entscheidender Schritt:
ζ(1 + it) 6= 0
Jan H. Bruinier
für alle t ∈ R.
L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik
Die Riemannsche Zetafunktion ζ(s) =
P∞
1
n=1 ns
4
3
2
1
0
–20
–1
0
–10
1
0
2
Im(s)
10
Re(s)
3
20
Jan H. Bruinier
4
L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik
Zahlkörper
I
Betrachte Unterkörper K von C.
I
Es ist Q ⊂ K . Folglich ist K ein Q-Vektorraum.
I
K heißt Zahlkörper, falls dimQ (K ) < ∞.
Jan H. Bruinier
L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik
Zahlkörper
I
Betrachte Unterkörper K von C.
I
Es ist Q ⊂ K . Folglich ist K ein Q-Vektorraum.
I
K heißt Zahlkörper, falls dimQ (K ) < ∞.
Beispiel (Quadratische Zahlkörper)
Sei d ∈ Z quadratfrei, d 6= 0, 1. Betrachte
√
√
K = Q( d) = {a + b d; a, b ∈ Q}.
Jan H. Bruinier
L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik
Quadratische Zahlkörper
I
I
√
Diskriminante von K = Q( d):
(
d, d ≡ 1 (mod 4),
DK =
4d, d ≡ 2, 3 (mod 4).
Ring der ganzen Zahlen in K :
(
√
Z + 1+2 d Z,
√
OK =
Z + dZ,
Jan H. Bruinier
d ≡ 1 (mod 4),
d ≡ 2, 3 (mod 4).
L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik
Quadratische Zahlkörper
I
I
√
Diskriminante von K = Q( d):
(
d, d ≡ 1 (mod 4),
DK =
4d, d ≡ 2, 3 (mod 4).
Ring der ganzen Zahlen in K :
(
√
Z + 1+2 d Z,
√
OK =
Z + dZ,
d ≡ 1 (mod 4),
d ≡ 2, 3 (mod 4).
Ziel
Verstehe die additive und multiplikative Struktur in OK und K .
Jan H. Bruinier
L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik
Irreduzible Elemente
I
I
x ∈ OK heißt irreduzibel, falls x keine Einheit ist und x keine
nichttriviale Faktorisierung x = y · z mit y , z ∈ OK besitzt.
Fakt: Jedes x ∈ OK läßt sich als Produkt von irreduziblen
Elementen schreiben:
x = q1 q2 · · · qr .
Jan H. Bruinier
L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik
Irreduzible Elemente
I
I
x ∈ OK heißt irreduzibel, falls x keine Einheit ist und x keine
nichttriviale Faktorisierung x = y · z mit y , z ∈ OK besitzt.
Fakt: Jedes x ∈ OK läßt sich als Produkt von irreduziblen
Elementen schreiben:
x = q1 q2 · · · qr .
Frage
Ist solch eine Faktorisierung eindeutig?
Jan H. Bruinier
L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik
Irreduzible Elemente
I
I
x ∈ OK heißt irreduzibel, falls x keine Einheit ist und x keine
nichttriviale Faktorisierung x = y · z mit y , z ∈ OK besitzt.
Fakt: Jedes x ∈ OK läßt sich als Produkt von irreduziblen
Elementen schreiben:
x = q1 q2 · · · qr .
Frage
Ist solch eine Faktorisierung eindeutig?
I
Das kommt darauf an.
Jan H. Bruinier
L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik
Irreduzible Elemente
I
I
x ∈ OK heißt irreduzibel, falls x keine Einheit ist und x keine
nichttriviale Faktorisierung x = y · z mit y , z ∈ OK besitzt.
Fakt: Jedes x ∈ OK läßt sich als Produkt von irreduziblen
Elementen schreiben:
x = q1 q2 · · · qr .
Frage
Ist solch eine Faktorisierung eindeutig?
I
I
I
Das kommt darauf an.
√
Für d = −1 ist OK = Z + Z −1. Antwort: Ja.
√
Für d = −5 ist OK = Z + Z −5. Antwort: Nein, denn
√
√
6 = 2 · 3 = (1 + −5) · (1 − −5).
Jan H. Bruinier
L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik
Irreduzible Elemente
I
I
x ∈ OK heißt irreduzibel, falls x keine Einheit ist und x keine
nichttriviale Faktorisierung x = y · z mit y , z ∈ OK besitzt.
Fakt: Jedes x ∈ OK läßt sich als Produkt von irreduziblen
Elementen schreiben:
x = q1 q2 · · · qr .
Frage
Ist solch eine Faktorisierung eindeutig?
I
I
I
I
Das kommt darauf an.
√
Für d = −1 ist OK = Z + Z −1. Antwort: Ja.
√
Für d = −5 ist OK = Z + Z −5. Antwort: Nein, denn
√
√
6 = 2 · 3 = (1 + −5) · (1 − −5).
Man hat eindeutige Faktorisierung ⇔ OK ist Hauptidealring.
Jan H. Bruinier
L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik
Ernst Eduard Kummer (1810–1893)
Jan H. Bruinier
L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik
Ideale
Idee
Ersetze Zahlen in OK durch Ideale (OK -Untermoduln von OK ).
Jan H. Bruinier
L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik
Ideale
Idee
Ersetze Zahlen in OK durch Ideale (OK -Untermoduln von OK ).
I
Für x ∈ OK hat man das Hauptideal (x) = {ax; a ∈ OK }.
I
Es gibt im allgemeinen Ideale, die nicht so entstehen.
Jan H. Bruinier
L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik
Ideale
Idee
Ersetze Zahlen in OK durch Ideale (OK -Untermoduln von OK ).
I
Für x ∈ OK hat man das Hauptideal (x) = {ax; a ∈ OK }.
I
Es gibt im allgemeinen Ideale, die nicht so entstehen.
I
p heißt Primideal, falls:
a·b ∈p
⇒
Jan H. Bruinier
a ∈ OK oder b ∈ OK .
L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik
Ideale
Idee
Ersetze Zahlen in OK durch Ideale (OK -Untermoduln von OK ).
I
Für x ∈ OK hat man das Hauptideal (x) = {ax; a ∈ OK }.
I
Es gibt im allgemeinen Ideale, die nicht so entstehen.
I
p heißt Primideal, falls:
a·b ∈p
⇒
a ∈ OK oder b ∈ OK .
Satz (Kummer)
Jedes Ideal a ⊂ OK hat eine eindeutige Zerlegung in Primideale
a = p1 p2 · · · pr .
Jan H. Bruinier
L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik
Die Dedekindsche Zetafunktion
I
Betrachte die Dedekindsche Zetafunktion (L-Funktion von K )
X
ζK (s) =
N(a)−s
(s ∈ C, Re(s) > 1).
a⊂OK
Jan H. Bruinier
L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik
Die Dedekindsche Zetafunktion
I
Betrachte die Dedekindsche Zetafunktion (L-Funktion von K )
X
ζK (s) =
N(a)−s
(s ∈ C, Re(s) > 1).
a⊂OK
I
Eindeutige Primidealzerlegung führt zu Eulerprodukt:
Y
ζK (s) =
p ⊂ OK prim
Jan H. Bruinier
1
.
1 − N(p)−s
L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik
Die Dedekindsche Zetafunktion
I
Betrachte die Dedekindsche Zetafunktion (L-Funktion von K )
X
ζK (s) =
N(a)−s
(s ∈ C, Re(s) > 1).
a⊂OK
I
Eindeutige Primidealzerlegung führt zu Eulerprodukt:
Y
ζK (s) =
p ⊂ OK prim
1
.
1 − N(p)−s
I
Hat meromorphe Fortsetzung auf ganz C.
I
Pol der Ordnung 1 bei s = 1 (⇒ es gibt ∞ viele Primideale).
Jan H. Bruinier
L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik
Die Klassenzahlformel
Frage
Was ist das Residuum von ζK (s) bei s = 1.
Jan H. Bruinier
L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik
Die Klassenzahlformel
Frage
Was ist das Residuum von ζK (s) bei s = 1.
Satz
√
Sei DK < 0 die Diskriminante von K = Q( d). Es gilt
2π
ress=1 (ζK (s)) = p
h .
∗ K
|DK |#OK
I
Hier ist hK = # Cl(K ) die Klassenzahl von OK .
I
Sie mißt, wie weit OK davon weg ist Hauptidealring zu sein.
I
OK ist Hauptidealring genau dann, wenn hK = 1.
Jan H. Bruinier
L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik
Wie groß ist hK in Abhängigkeit von DK ?
8
7
6
5
hK
4
3
2
1
0
0
20
40
KDK
60
Jan H. Bruinier
80
100
L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik
Wie groß ist hK in Abhängigkeit von DK ?
140
120
100
80
hK
60
40
20
0
0
2.000
4.000
KK
6.000
8.000
10.000
D
Jan H. Bruinier
L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik
Wie groß ist hK in Abhängigkeit von DK ?
140
120
100
80
hK
60
40
20
0
0
2.000
4.000
KK
6.000
8.000
10.000
D
Jan H. Bruinier
L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik
Das Gaußsche Klassenzahlproblem
Vermutung (Gauß, ca. 1800)
Sei n ∈ N. Es gibt nur
√ endlich viele imaginär quadratische
Zahlkörper K = Q( d) mit Klassenzahl n.
Jan H. Bruinier
L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik
Das Gaußsche Klassenzahlproblem
Vermutung (Gauß, ca. 1800)
Sei n ∈ N. Es gibt nur
√ endlich viele imaginär quadratische
Zahlkörper K = Q( d) mit Klassenzahl n.
I
1934 bewiesen durch Hans A. Heilbronn.
I
Dies ist ineffektiv!
Jan H. Bruinier
L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik
Das Gaußsche Klassenzahlproblem
Vermutung (Gauß, ca. 1800)
Sei n ∈ N. Es gibt nur
√ endlich viele imaginär quadratische
Zahlkörper K = Q( d) mit Klassenzahl n.
I
1934 bewiesen durch Hans A. Heilbronn.
I
Dies ist ineffektiv!
I
Problem: Finde für gegebenes n vollständige Liste.
Jan H. Bruinier
L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik
Das Gaußsche Klassenzahlproblem
Vermutung (Gauß, ca. 1800)
Sei n ∈ N. Es gibt nur
√ endlich viele imaginär quadratische
Zahlkörper K = Q( d) mit Klassenzahl n.
I
1934 bewiesen durch Hans A. Heilbronn.
I
Dies ist ineffektiv!
I
Problem: Finde für gegebenes n vollständige Liste.
Satz (Heegner, 1952)
K hat Klassenzahl 1 genau für
d = −1, −2, −3, −7, −11, −19, −43, −67, −163.
Jan H. Bruinier
L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik
Lösung des Klassenzahlproblems
Satz (Goldfeld 1976, Gross–Zagier 1984, Oesterlé 1985)
Es gilt
√ [2 p]
1 Y∗
1−
log(|DK |).
hK >
7000
p+1
p|DK
Jan H. Bruinier
L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik
Lösung des Klassenzahlproblems
Satz (Goldfeld 1976, Gross–Zagier 1984, Oesterlé 1985)
Es gilt
√ [2 p]
1 Y∗
1−
log(|DK |).
hK >
7000
p+1
p|DK
n
1
2
3
DK < 0 mit hK = n
−3, −4, −7, −8, −11, −19, −43, −67, −163
−15, −20, −24, −35, −40, −51, −52, −88, −91, −115,
−123, −148, −187, −232, −235, −267, −403, −427
−23, −31, −59, −83, −107, −139, −211, −283, −307,
−331, −379, −499, −547, −643, −883, −907
Jan H. Bruinier
L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik
Lösung des Klassenzahlproblems
Satz (Goldfeld 1976, Gross–Zagier 1984, Oesterlé 1985)
Es gilt
√ [2 p]
1 Y∗
1−
log(|DK |).
hK >
7000
p+1
p|DK
n
1
2
3
I
DK < 0 mit hK = n
−3, −4, −7, −8, −11, −19, −43, −67, −163
−15, −20, −24, −35, −40, −51, −52, −88, −91, −115,
−123, −148, −187, −232, −235, −267, −403, −427
−23, −31, −59, −83, −107, −139, −211, −283, −307,
−331, −379, −499, −547, −643, −883, −907
Goldfeld: Verbindung zu L-Funktionen von elliptischen Kurven.
Jan H. Bruinier
L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik
Elliptische Kurven
Sei E elliptische Kurve über Q, gegeben durch
E : y 2 = x 3 + ax + b
(a, b ∈ Z, ∆ := −4a3 − 27b 2 6= 0).
Ziel
Beschreibe die Lösungen dieser Gleichung.
Jan H. Bruinier
L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik
Elliptische Kurven
Sei E elliptische Kurve über Q, gegeben durch
E : y 2 = x 3 + ax + b
(a, b ∈ Z, ∆ := −4a3 − 27b 2 6= 0).
Ziel
Beschreibe die Lösungen dieser Gleichung.
E (R):
I
E (R) ist abelsche Gruppe.
I
P + Q + R = 0, falls die Punkte auf einer Geraden liegen.
Jan H. Bruinier
L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik
Rationale Punkte
Betrachte Lösungen mit (x, y ) ∈ Q2 .
Satz (Mordell-Weil)
E (Q) ist endlich erzeugte abelsche Gruppe.
Jan H. Bruinier
L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik
Rationale Punkte
Betrachte Lösungen mit (x, y ) ∈ Q2 .
Satz (Mordell-Weil)
E (Q) ist endlich erzeugte abelsche Gruppe.
Folgerung
E (Q) ∼
= Zr ⊕ T , wobei r ∈ N0 und T endliche abelsche Gruppe.
Frage
Was ist r ?
Jan H. Bruinier
L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik
Die L-Funktion von E
Für eine Primzahl p betrachte E (Fp ), also Lösungen der Kongruenz
y 2 ≡ x 3 + ax + b
I
(mod p).
Heuristik: #E (Fp ) ≈ p + 1.
Jan H. Bruinier
L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik
Die L-Funktion von E
Für eine Primzahl p betrachte E (Fp ), also Lösungen der Kongruenz
y 2 ≡ x 3 + ax + b
I
(mod p).
Heuristik: #E (Fp ) ≈ p + 1.
Satz (Hasse 1936)
√
Für ap := p + 1 − #E (Fp ) gilt |ap | ≤ 2 p.
Jan H. Bruinier
L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik
Die L-Funktion von E
Für eine Primzahl p betrachte E (Fp ), also Lösungen der Kongruenz
y 2 ≡ x 3 + ax + b
I
(mod p).
Heuristik: #E (Fp ) ≈ p + 1.
Satz (Hasse 1936)
√
Für ap := p + 1 − #E (Fp ) gilt |ap | ≤ 2 p.
Definition
Für Re(s) > 3/2 ist die (unvollständige) L-Funktion von E :
Y
L(E , s) =
(1 − ap p −s + p 1−2s )−1 .
p-2∆
Jan H. Bruinier
L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik
Die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer
Der Satz von Wiles (1995) impliziert:
I
L(E , s) hat holomorphe Fortsetzung auf C.
I
Komplettierte L-Funktion L∗ (E , s) hat Funktionalgleichung
L∗ (E , 2 − s) = εL∗ (E , s),
ε ∈ {±1}.
Vermutung (um 1960)
Für den Rang r von E (Q) gilt
r = ords=1 L(E , s).
Jan H. Bruinier
L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik
Die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer
Der Satz von Wiles (1995) impliziert:
I
L(E , s) hat holomorphe Fortsetzung auf C.
I
Komplettierte L-Funktion L∗ (E , s) hat Funktionalgleichung
L∗ (E , 2 − s) = εL∗ (E , s),
ε ∈ {±1}.
Vermutung (um 1960)
Für den Rang r von E (Q) gilt
r = ords=1 L(E , s).
I
Gross–Zagier (1983) und Kolyvagin (1990): Dies gilt, falls
ords=1 L(E , s) ∈ {0, 1}.
Jan H. Bruinier
L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik
Die Gross–Zagier-Formel
Annahme
L∗ (E , 2 − s) = −L∗ (E , s).
Jan H. Bruinier
L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik
Die Gross–Zagier-Formel
Annahme
L∗ (E , 2 − s) = −L∗ (E , s).
I
Dies impliziert L(E , 1) = 0.
I
BSD sagt vorher: r ≥ 1.
I
Kann man einen Punkt unendlicher Ordung in E (Q) angeben?
Jan H. Bruinier
L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik
Die Gross–Zagier-Formel
Annahme
L∗ (E , 2 − s) = −L∗ (E , s).
I
Dies impliziert L(E , 1) = 0.
I
BSD sagt vorher: r ≥ 1.
I
Kann man einen Punkt unendlicher Ordung in E (Q) angeben?
Satz (Gross–Zagier)
Sei K /Q imaginär quadratischer Körper der Diskriminante D < 0.
Die Höhe des Heegner-Punktes PD ∈ E (Q) ist gegeben durch
p
ĥ(PD ) = ∗ |D|L(E , χD , 1)L0 (E , 1).
Jan H. Bruinier
L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik
Das Gaußsche Klassenzahl-Problem
Folgerung
Für geeignetes D < 0 gilt L0 (E , 1) 6= 0 ⇐⇒ ord(PD ) = ∞.
Jan H. Bruinier
L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik
Das Gaußsche Klassenzahl-Problem
Folgerung
Für geeignetes D < 0 gilt L0 (E , 1) 6= 0 ⇐⇒ ord(PD ) = ∞.
Folgerung
Die elliptische Kurve
E : −139y 2 = x 3 + 10x 2 − 20x + 8
hat ords=1 L(E , s) = 3.
I
Goldfeld: Impliziert effektive Lösung des Klassenzahlproblems.
Jan H. Bruinier
L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik
Zusammenfassung
I
Primzahlen verstehen heißt ζ(s) verstehen.
Jan H. Bruinier
L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik
Zusammenfassung
I
Primzahlen verstehen heißt ζ(s) verstehen.
I
Zahlkörper verstehen heißt ζK (s) verstehen.
Jan H. Bruinier
L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik
Zusammenfassung
I
Primzahlen verstehen heißt ζ(s) verstehen.
I
Zahlkörper verstehen heißt ζK (s) verstehen.
I
Elliptische Kurven verstehen heißt L(E , s) verstehen.
Jan H. Bruinier
L-Funktionen in Geometrie und Arithmetik