Aus Kapitel 5d und 6 Elastizität Elastizität Elastizität

Elastizität
Komparative Statik:
• Über den Effekt von einer Variablen auf andere.
• Konsumententheorie: Effekte von Preisen, Einkommen
nachgefragten Mengen.
• Oft ist es sinnvoller, diese Effekte in Prozenten zu messen.
Aus Kapitel 5d und 6
oder
Elastizität: Angenommen Y=f(X)
• Um wie viel % wird sich Variable Y verändern, wenn sich X um 1%
verändert?
• Definiere die Elastizität von Y bezüglich X als:
Übriggebliebenes…
eY , X 
Y X  ln Y

X Y  ln X
1
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Elastizität
Beispiel 1: Eigenpreiselastizität
•
•
•
eX , px 
Elastizität
X p x
p x X
Beispiel 2: Einkommenselastizität der Nachfrage
Misst die prozentuale Änderung in der Nachfrage, gegeben eine einprozentige Änderung im Preis.
Wenn eX,p<-1, dann nennt man die Nachfrage elastisch: Die Nachfrage
fällt um mehr als 1% wenn der Preis um 1% steigt.
Wenn eX,p>-1, dann nennt man die Nachfrage unelastisch: Die
Nachfrage fällt um weniger als 1% wenn der Preis um 1% steigt.
eX ,M 
•
•
X M
M X
Misst die prozentuale Änderung der Nachfrage auf eine einprozentige
Änderung im Einkommen.
Bei normalen Gütern ist die Einkommenselastizität positiv, bei inferioren
Gütern negativ.
Beispiel 3: Die Kreuzpreiselastizität der Nachfrage
•
Wenn die Nachfrage unelastisch ist, so führt eine Preiserhöung zu
einer Erhöhung der Gesamtausgaben, wenn elastisch zu einer
Verringerung.
( px X )
X
 X  px
 X (1 eX , px )  0  eX , px  1
px
px
3
•
eM , p y 
X p y
p y X
Misst die prozentuale Änderung der Nachfrage auf eine einprozentige
Änderung im Preis eines anderen Gutes.
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Elastizität
Eigenschaften von Elastizitäten
Beispiel: Einkommens- und
Preiselastizitäten für John‘s
Nachfrage nach Soda
•
Homogenität vom Grad 0:
• Nachfragefunktionen sind homogen vom Grad 0. Daher,
Nachfragefunktion: s ( ps , ph , M ) 
es , p s 
M
2 ps
X (tp x , tp y , tM )  X ( p x , p y , M )  t
•
s ps

ps s
•
Eigenpreiselastizität:
•
Einkommenselastizität: es, M 
•
Kreuzpreiselastizität: es , ph 
Die Ableitung nach t auf beiden Seiten ergibt:
X (tp x , tp x , tM )
X (tp x , tp x , tM )
X (tp x , tp x , tM )
M 0
py 
px 
M
p y
p x
•
s M

M s
Nun sei t=1 und teile die linke Seite durch X:
eX , px  eX , p y  eX ,M  0
•
s ph

ph s
Eine prozentual gleiche Veränderung von allen Preisen und dem
Einkommen hat keinen Einfluss auf die Nachfrage!
5
6
Eigenschaften von Elastizitäten
Eigenschaften von Elastizitäten
Die Slutzky Gleichung in Elastizitäten:
• Die Slutzky Gleichung:
Budgetbedingung und Gesamtausgaben:
•
•
Multiplikation mit px/x:
px x  p y y  M
x
x xc

x
M
p x p x
p x xc p x xpx x M
x p x xc p x

x x


p x x p x x
x M p x x
M M x
•
•
px
•
Oder:
e x , p x  e xc , p x 
Ableitung nach M auf beiden Seiten:
px x
ex , M
M
Der erste Term auf der rechten Seite ist die Preiselastizität der
kompensierten Nachfrage. Der zweite Term ist der
Einkommenseffekt, der vom Anteil der Ausgaben von Gut x
abhängt.
•
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Erweiterung:
x
y
 py
1
M
M
p x x  x M  p y y  y M 
 1



M  M x  M  M y 
Eine einprozentige Erhöhung des Einkommens führt zu einer
einprozentigen Steigerung der Ausgaben. Die Ausgabensteigerung
ergibt sich aus der durchschnittlichen Einkommenselastizität
gewichtet mit den Anteilen an den Gesamtausgaben.
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Die Konsumentenrente
Die Konsumentenrente
Mathematische
Herleitung
der
Konsumentenwohlfahrt:
• Definiere
die
Einkommensveränderung zum Erhalt des
Nutzens als:
• Bisher haben wir die
Konsumentenwohlfahrt
in Nutzen gemessen. Oft
jedoch ist eine monetäre
Maßeinheit
praktischer
(zur Kompensation etc.)
• Die Konsumentenrente
(Consumer Surplus CS)
ist so ein Maß. Sie ist
oftmals definiert als „die
Fläche unter der Nachfragekurve
über
dem
Marktpreis“.
E ( px ' , p y ,U )  E ( px , p y ,U ) 
x
E
p px dpx  p xc ( px , p y ,U )dpx
x
x
px '
•
•
p '
Maß für die Fläche unter der
kompensierten Nachfragefunktion.
Oft wird die Marschall‘sche
Nachfrage geschätzt. Wenn der
Einkommenseffekt klein ist, sind
kompensierte und unkompensierte
Nachfragen aber ungefähr gleich.
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Die Anfangsausstattung
Die Anfangsausstattung
• Bisher haben wir das Einkommen des Konsumenten als
exogen gegebenes M angenommen.
• Manchmal bekommt man Einkommen aber auch direkt
in Form von Gütern. Dieses kann man als
„Anfangsausstattung“ betrachten.
•
•
M  p x x  p y  y  p x x  p y y
•
• Beispiel: Ein Erdbeerpflücker bekommt vom Bauern 5
Euro die Stunde und so viele Erdbeeren wie er tragen
kann. Diese Erdbeeren (seine Anfangsausstattung) kann
er dann konsumieren oder wie Einkommen nutzen und
gegen andere Güter tauschen.
• Es ändert sich also die Budgetbedingung.
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Angenommen, der Konsument hat das exogene Einkommen M
und Anfangsausstattungen ωx und ωy der Güter x und y.
Die Budgetbedingung ist nun:
•
Die Nutzenmaximierung um die Nachfragen nach x und y zu
finden (und die Ausgabenminimierung) verlaufen wie bisher.
Die Nettonachfragen sind nun:
x   x und y   y
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Die Anfangsausstattung
Die Anfangsausstattung
Preisänderung in px :
Graphisch:
• Die Lösung (x*,y*) ist
unabhängig
von
der
Anfangsausstattung (ωx,ωy)
auf der Budgetgeraden.
Preisänderung in py :
• Die Nettonachfragen sind
die Strecken zwischen den
Anfangsausstattungen und
den optimalen Nachfragen
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Komplemente und Substitute
Kapitel 6
Komplemente und Substitute
Nachfragerelationen zwischen Gütern:
• Wir würden die Konzepte von Komplementarität und Substitutivität
wohl gerne als symmetrisch betrachten, d.h. wenn x ein Substitut
(Komplement) für y ist, dann sollte y auch ein Substitut
(Komplement) für x sein.
• Bruttosubstitute:
Güter
sind
dann
Bruttosubstitute
(Bruttokomplemente), wenn ein Preisanstieg für x zu einer
erhöhten (verringerten) Nachfrage für y führt und umgekehrt, i.e.
x
y
 0 und
0
p y
p x
•
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Berücksichtigt
auch
die
Einkommenseffekte
der
Preisveränderungen, aber diese müssen nicht symmetrisch sein.
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Asymmetrie: Eine Erhöhung in px kann zu einer Erhöhung der
Nachfrage für y führen, aber eine Erhöhung in py kann zu einer
Reduzierung der Nachfrage für x führen, wenn der
Einkommenseffekt hinreichend groß ist.
Beispiel: Inlands- und Auslandsflüge
• Angenommen, ich betrachte Reisen im In- und im Ausland als enge
Substitute. Außerdem mache ich viele Inlandsreisen, um Freunde zu
besuchen.
• Damit hat eine Erhöhung von Inlandsticketpreisen einen sehr viel
größeren
Einkommenseffekt
als
eine
Erhöhung
von
Auslandsticketpreisen.
• Wenn nun die Auslandsticketpreise steigen, dominiert der
Substitutionseffekt und ich werde mehr Inlandsflüge nachfragen.
• Wenn jedoch die Inlandsticketpreise steigen, reduziert der
Einkommenseffekt auch meine Nachfrage nach Auslandsflügen. 16
Komplemente und Substitute
Komplemente und Substitute
Nettosubstitute: Güter sind Nettosubstitute (Nettokomplemente) wenn
eine Erhöhung im Preis von x die kompensierte Nachfrage für y
erhöht (verringert).
yc
xc
 0 und
0
p x
p x
•
•
•
Mit zwei Gütern haben wir immer Nettosubstitute.
Mit mehr als zwei Gütern können manche Güter Nettokomplemente
sein.
Beispiel:
U ( x, y, z )  x  min y, z
Nettokomplementarität/substitutionalität ist symmetrisch, da
xc ( p x , p y , U ) 
und so
E ( p x , p y , U )
p x
xc

p y
und yc ( p x , p y , U ) 
 2 E ( px , p y ,U )
p y p x

E ( p x , p y , U )
•
y und z sind perfekte Komplemente, aber x ist ein Nettosubstitut für
sowohl y als auch z.
•
Wenn x: Flüge nach München, y: Flüge nach Berlin, z: Tickets für die
Herta, dann kann eine Erhöhung der Flugpreise nach Berlin zu weniger
Nachfrage nach Tickets für die Herta aber nach mehr Nachfrage nach
Flügen nach München führen, wenn Besuche in beiden Städten als
Substitute betrachtet werden können.
p y
yc
p x
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Konzepte
• Elastizitäten
• Eigenschaften von
Elastizitäten
• Konsumentenrente
• Güter als Komplemente
• Güter als Substitute
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