Festkörperelektronik 2008 Lösungen zum Übungsblatt 1 - KIT

Festkörperelektronik 2008
Lösungen zum Übungsblatt 1
Lichttechnisches Institut
Universität Karlsruhe (TH)
Prof. Dr. rer. nat. Uli Lemmer
Dipl.-Phys. Alexander Colsmann
Kaiserstrasse 12
76131 Karlsruhe
Festkörperelektronik
1. Übungsblatt
17. April 2008
Musterlösung
1. Photoeffekt
(a) In welchem Wellenlängenbereich liegt der sichtbare Teil des Spektrums elektromagnetischer Strahlung? (?)
Abb. 1: Spektrum elektromagnetischer Strahlung
Der sichtbare Bereich des Spektrums reicht etwa von der Wellenlänge 400 nm
(7,5·1014 Hz, violettes Licht) bis 800 nm (3,75·1014 Hz, rotes Licht). Die Empfindlichkeit des Auges ist allerdings von Mensch zu Mensch unterschiedlich,
weswegen diese Grenzen nur als Mittelwerte zu verstehen sind.
(b) Wie groß sind die Frequenzen und Energiequanten (in Elektronenvolt bzw.
Joule) einer Rundfunkwelle (λ=1000 m), einer UKW-Welle (λ=3 m) und weicher Röntgenstrahlung (λ = 10−8 m)? (?)
Die Wellenlänge λ und die Frequenz ν sind verknüpft über λν = c, wobei c die
Lichtgeschwindigkeit ist. Die Energie eines Quants der Strahlung, also eines
Photons, ergibt sich zu W = hν. Wir erhalten also:
• Rundfunkwelle (λ=1000 m) → ν = 300 kHz,
W = 2 · 10−28 J = 1, 24 · 10−9 eV
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• UKW-Welle (λ=3 m) → ν = 100 MHz,
W = 6, 63 · 10−26 J = 4, 14 · 10−7 eV
• Rundfunkwelle (λ=10−8 m) → ν = 3 · 10+16 Hz,
W = 2 · 10−17 J = 124, 3 eV
(c) Eine Photozelle enthält eine Kaliumkathode (Wa = 2, 25 eV). Berechnen Sie
die Grenzfrequenz für das Auftreten des Photoeffekts. Welche Geschwindigkeit
haben die schnellsten Elektronen bei Beleuchtung mit UV-Licht (100 nm).
Wird die Geschwindigkeit bei Strahlung mit halber Wellenlänge doppelt so
groß? (??)
Die Grenzfrequenz νG des Photoeffekts ist diejenige Frequenz, bei der die Energie der einfallenden Strahlungsquanten gerade ausreicht, um einem Elektron
die Austrittsarbeit aus dem jeweiligen Material zu übertragen, also WP hoton =
!
hνG = WA . Daraus folgt für Kalium νG = WA /h = 5, 43 · 1014 Hz → λG =
552, 5 nm. Da das UV-Licht über eine kürzere Wellenlänge, also eine höhere Frequenz als die Grenzfreqenz verfügt, tragen die einzelnen Quanten mehr
Energie als zum Herausschlagen der Elektronen aus dem Kalium nötig. Diese
kann zum Beispiel in kinetische Energie des Elektrons umgesetzt werden.Wenn
wir davon ausgehen, dass das Photon seine gesamte Energie auf das Elektron
überträgt und dieses sich vor dem Stoß in Ruhe befindet, folgt aus dem Energieerhaltungssatz:
1
!
2
WP hoton = hν = WA + Wkin,Elektron = WA + me vmax
2
Damit erhalten wir für die maximale Geschwindigkeit vmax :
(1)
r
2
(hν − WA ) = 1, 89 · 106 m/s
(2)
m
Wie man sieht handelt einen nichtlinearen Zusammenhang zwischen vmax und
ν, damit wächst die Geschwindigkeit nicht linear mit der Frequenz der einfallenden Photonen.
vmax =
(d) Wie groß muss die anglegte Spannung U sein, damit die aus einer MagnesiumKathode (WA =3,7 eV) durch Licht mit der Wellenlänge 302 nm herausgeschalgenen Elektronen gerade nicht die Anode erreichen? (??)
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Wenn zwischen zwei Punkten eine Spannung U angelegt wird, müssen Elektronen als Träger einer Elementarladung die Energie Wpot = eU aufbringen, um in
Feldrichtung von einem Punkt zum anderen zu gelangen. In unserem Fall kann
diese Energie durch die kinetische Energie des Elektrons aufgebracht werden,
also
1
!
Wpot = eU = Wkin = me v 2
2
Wieder liefern die einfallenden Photonen die Energie, die maximale kinetische
Energie ist also
Wkin = WP hoton − WA = 0, 41 eV
!
Da nun U = Wkin /e sein muss, folgt für die Spannung U = 0, 41 V .
(e) Zur richtigen Belichtung eines Films mit Silberkörnern benötigt man bei 550
nm etwa 10−6 J/m2 . Wie viele Photonen sind für 1 mm2 lichtempfindliche
Fläche nötig? (?)
Ein Lichtquant bei 550 nm trägt
WP hoton = hc/λ = 3, 61 · 10−19 J
Energie. Auf die Fläche A von 1 mm2 benötigt man für die Belichtungsdosis
S = 10−6 J/m2 also
n = S · A/WP hoton ≈ 2, 77 · 106
Photonen.
2. Doppelspalt-Experiment
(a) Skizzieren Sie ein Doppelspalt-Experiment für Wasserwellen und Gewehrkugeln. Was ist der gravierendste Unterschied zwischen beiden Fällen? (?)
Im Falle von Gewehrkugeln denken wir im Teilchenbild. Wir nehmen der Einfachheit halber an, dass die Kugeln immer als Ganzes einschlagen und sich nie
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Abb. 2: Doppelspalt-Experiment mit Gewehrkugeln [Quelle: David M. Harrison, Dept. of
Physics, Univ. of Toronto]
zwei Kugeln in die Quere kommen. Die Kugeln passieren die Spalte und können dabei bei Kontakt mit den Rändern abgelenkt werden. Hierbei sind starke
Ablenkungen unwahrscheinlich, so dass die größte Häufigkeit der Einschläge
am Einschlagspunkt der unabgelenkten Kugeln zu finden ist und nach außen
stetig abnimmt (2(a) und (b)). Wenn beide Spalte offen sind, addieren sich
die beiden Einschlagshäufigkeiten der Einzelspalte (2(c)). Wir erwarten nicht,
dass ein offener zweiter Spalt einen Einfluss darauf hat, wie die Kugel an dem
ersten Spalt abgelenkt wird.
Abb. 3: Doppelspalt-Experiment mit Wasser [Quelle: David M. Harrison, Dept. of Physics,
Univ. of Toronto]
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Wenn wir den Doppelspalt nun in ein mit Wasser gefülltes Gefäß stellen und eine „Wellenmaschine“ anwerfen, ergibt sich folgendes Bild: Öffnet man nur einen
Spalt, so entsteht an diesem eine Kreiswelle. Die breitet sich kreisförmig im Gefäß aus, ihre Amplitude wird am Rand des Gefäßes detektiert. Die Amplitude
einer solchen Welle nimmt mit dem Abstand von ihrem Entstehungspunkt ab.
Somit finden wir erneut ein Maximum der Amplitude der Welle direkt hinter dem offenen Spalt (3(a)). Beim gleichzeitigen Öffnen beider Spalte (3(c))
entstehen nun an beiden Spalten Kreiswellen. Hier erwarten wir, im Gegensatz zu den Gewehrkugeln, dass sich diese beeinflussen. In der Tat zeigen sich
am Schirm Interferenzeffekte. Fallen zwei Wellenberge aufeinander, so addieren sich ihre Amplituden, fällt Wellenberg auf Wellental, so können sich beide
Teilwellen gegenseitig auslöschen und das Wasser bleibt glatt.
(b) Nun wird das Doppelspalt-Experiment mit Elektronen ausgeführt. Welche
überraschenden Ergebnisse erhält man? (?)
Erstaunlicherweise ergibt sich bei entsprechender Dimensionierung des für
Elektronen eine Verteilung der Auftreff-Wahrscheinlichkeiten auf der Detektionswand, die qualitativ der im Wasserbassin entspricht. Man sieht also Interferenzeffekte. Daraus folgt, dass man Elektronen Welleneigenschaften zuschreiben muss, was mit der Physik des 19. Jahrhunderts nicht vereinbar war.
(c) Der Abstand des Detektionsschirms vom Doppelspalt sei L, der Abstand beider
Spalte d. Leiten Sie die Bedingung für das Auftreten konstruktiver (destruktiver) Interferenz an einem Punkt x auf dem Schirm (siehe Abb. 4) in Abhängigkeit der Wellenlänge der einfallenden Elektronen her. Gehen Sie davon aus,
dass der Abstand vom Spalt zum Schirm L im Vergleich zum Spaltabstand d
und x sehr groß ist. (? ? ?)
Für konstruktive Interferenz müssen sich die Laufwege der Wellen, die von den
beiden Spalten aus starten (l0 und l00 ), gerade um ein ganzahliges Vielfaches der
Elektronen-Wellenlänge unterscheiden (oder gleich sein). Damit muss l0 − l00 =
mλ sein, wobei m eine ganze Zahl ist. Die Strecken l0 und l00 können wir mit
dem Satz des Pythogoras mit den gegebnen Größen d, x und L ausdrücken und
kommen zu:
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Abb. 4: Skizze zum Doppelspalt-Experiment
l
0
l00
q
L2 + (x + d/2)2
q
=
L2 + (x − d/2)2
=
(3)
(4)
Der Gesamtausdruck lautet also:
q
q
2
2
mλ = l − l = L + (x + d/2) − L2 + (x − d/2)2
0
00
(5)
Wir werden die Wurzelausdrücke in 5 vereinfachen. Dazu ziehen wir zunächst
den Ausdruck L2 vor die Wurzel und erhalten für den ersten Teil:
0
l =L
q
1 + (x + d/2)2 /L2 = L
s
1 + x2 /L2 + xd/L2 + d2 /(4L2 )
| {z }
(6)
sehr klein
Nun kann man den Wurzelterm in eine Taylorreihe um x = 0 entwickeln, da
nach Aufgabenstellung (x2 + xd)/L2 << 1 brechen wir die Reihenentwicklung
nach dem ersten Glied ab. Die Taylorentwicklung einer Funktion f (x) um x =
x0 ergab sich zu:
f (x) =
∞
X
f (ν) (x0 )
ν=0
Wir erhalten somit:
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ν!
(x − x0 )ν
(7)
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!
p
2 /L2 + xd/L2 d
1
+
x
l0 (x) = L(1 + f 0 (x = 0)x) = L 1 +
x
dx
x=0
!
1
2x
d
1
+
= L 1+ p
x
2 1 + x2 /L2 + xd/L2
L 2 L2
x=0
dx
= L+
2L
Für den Teil l00 kommen wir auf gleiche Art und Weise zu l00 (x) = L −
folglich für den gesuchten Ausdruck zu:
dx
2L
und
mλL
dx
→x=
(8)
L
d
Auf das gleiche Ergebnis kann man auch kommen, wenn man begründet durch
die große Entfernung des Detektionsschirms vom Doppelspalt annimmt, dass
beide Teilstrahlen die Spalte parallel verlassen. Man legt den Schnittpunkt
damit ins Unendliche, was bei Licht durch das Einsetzen einer Sammellinse
auch leicht experimentell durchgeführt werden kann.
mλ = l0 − l00 =
(d) Wie groß ist der Abstand zweier benachbarter Intensitätsmaxima für den
Schirm aus der vorherigen Aufgabe? Die Quantenmechanik gilt nicht nur
für Elektronen, sondern auch für Gewehrkugeln. Argumentieren Sie mit Hilfe
dieses Ergebnisses, warum wir trotzdem mit Gewehrkugeln keine Interferenzen beobachten können (Für diesen Fall gilt L=10 m, d=10 cm, mKugel =5 g,
vKugel =1000 km/h). (??)
Wenn da erste Maximum die Ordnung m (z.B. 3) hat, hat das nächste die
Ordnung m + 1 (z.B. 4). Damit folgt x1 = mλL/d, x2 = (m + 1)λL/d und
für den Abstand ∆x = λL/d. Über die de-Broglie-Beziehung können wir der
Gewehrkugel eine Wellenlänge zuordnen:
λK =
h
h
=
= 4, 77 · 10−34 m
p
mKugel vKugel
(9)
Daraus folgt für den Abstand der Interferenzmaxima ∆x = 4, 77 · 10−32 m. Wir
sehen, dass der Abstand zwischen zwei Maxima verschwindend gering ist, wir
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integrieren immer über zahllose Interferenzen, daraus ergibt sich die klassische
Verteilung der Gewehrkugeln. (Achtung: Die Modellierung der Gewehrkugel
mit nur einer einzigen ebenen Welle dient nur zur groben Veranschaulichung
und darf nicht zu ernst genommen werden.)
Abb. 5: Skizze zum Doppelspalt-Experiment mit Gewehrkugeln
3. Schrödingergleichung, Wellenfunktion und Wahrscheinlichkeitsdichte
(a) Vergleichen Sie die Schrödingergleichung für V (x, t) = 0 mit der Wellengleichung des elektrischen Feldes. Welches sind die wichtigsten Gemeinsamkeiten,
wo unterscheiden sich die beiden? (??)
Die Wellengleichung fürs elektrische Feld ergibt sich zu:
c2
∂ 2 E(x, t)
∂ 2 E(x, t)
=
∂t2
∂2x
(10)
Die Schrödingergleichung eines freien Teilchens dagegen lautet:
j~
∂ψ(x, t)
~2 ∂ 2 ψ(x, t)
=−
∂t
2m ∂ 2 x
(11)
Zunächst ergibt sich als formaler Unterschied, dass die Wellengleichung auch
die Zeit in der zweiten Ableitung enthält. Dieser Umstand führt, obwohl beide
Gleichungen durch ebene Wellen (g(x, t) = A exp j (kx x − ωz)) gelöst werden,
zu unterscheidlichen Beziehungen zwischen der Wellenzahl kx und der Kreisfrequenz ω. Eine solche Beziehung nennt man Dispersionsrelation, sie reflektiert
den unterschiedlichen Charakter der Photonen, deren Zeitentwicklung als Teile
eines elektrischen Feldes die Wellengleichung enthält, und den Elektronen, deren zeitliche Änderung durch die Schrödingergleichung ausgedrückt wird. Des
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Weiteren benutzt man zwar für beide Gleichungen komplexe Lösungsansätze,
im Falle der Wellengleichung ist das aber nur ein Rechentrick. Um Aussagen
über das elektrische Feld als Messgröße zu machen, muss man wieder in die
Welt der reellen Funktionen gelangen. Die Lösungen der Schrödingergleichung
dagegen sind echte komplexe Funktionen. Das ist gestattet, weil die Wellenfunktion an sich keinen Messwert darstellt und somit nicht reell sein muss.
(b) Zeigen Sie, dass ebene Wellen Lösungen der Schrödingergleichung für zeitlich
konstante Potentiale sind. (?)
Eine ebene Welle wird beschrieben durch g(x, t) = A exp j (kx x − ωt). Wobei
A die Amplitude der Welle, kx die Wellenzahl und ω die Kreisfrequenz sind.
Die Schrödingergleichung ist definiert als:
∂ψ(x, t)
=
j~
∂t
~2 ∂ 2
−
+ V (x) ψ(x, t)
2m ∂ 2 x
(12)
Setzt man nun die ebene Welle ein und wertet die Ableitungen aus, so erhält
man:
~ωA exp j (kx x − ωt) =
~2 kx2
+ V (x) A exp j (kx x − ωt)
2m
(13)
~2 kx2
+ V (x)
2m
(14)
Was offenbar gilt, falls:
~ω =
Hier sei darauf hingewiesen, dass auf der linken Seite der Ausdruck, der nach deBroglie die Energie mit der Kreisfrequenz verknüpft, steht (W = ~ω). Rechts
finden wir die potentielle Energie plus einen Term, den wir über die zweite
de-Broglie-Beziehung p = ~k und dem klassischen Zusammenhang p = mv
umformen können zu:
~2 kx2
p2
1
=
= mv 2 = Wkin, klassisch
2m
2m
2
Dieser Term kann also mit der kinetischen Energie verknüpft werden.
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(15)
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(c) Zeigen Sie, dass eine Überlagerung mehrerer ebener Wellen, die Lösungen der
SGL sind, diese ebenfalls löst. (??)
Wir machen den Ansatz s(x, t) = ag1 (x, t)+bg2 (x, t), wobei a und b Konstanten und g1 und g2 die ebenen Wellen sind. Eingesetzt in die Schrödingerleichung
erhalten wir:
∂(ag1 (x, t) + bg2 (x, t))
=
j~
∂t
~2 ∂ 2
−
+ V (x) (ag1 (x, t)+bg2 (x, t)) (16)
2m ∂ 2 x
Mit der Linearität der partiellen Ableitungen folgt:
∂(g2 (x, t))
∂(g1 (x, t))
+ bj~
aj~
∂t
∂t
~2 ∂ 2
~2 ∂ 2
=a −
+ V (x) g1 (x, t) + b −
+ V (x) g2 (x, t)
2m ∂ 2 x
2m ∂ 2 x
(17)
(18)
Umsortieren der Terme führt zu:
∂(g1 (x, t))
~2 ∂ 2
a j~
− −
+ V (x) g1 (x, t)
∂t
2m ∂ 2 x
∂(g2 (x, t))
~2 ∂ 2
+b j~
− −
+ V (x) g2 (x, t) = 0
∂t
2m ∂ 2 x
(19)
(20)
Diese Bedingung ist immer erfüllt, weil die Terme in den Klammern jeweils
immer zu Null werden, da g1 und g2 jeweils die Schrödingergleichung lösen.
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4. Compton-Streuung
(a) Informieren Sie sich über das Experiment der Compton-Streuung. Fassen
Sie zusammen, was dabei passiert. Warum wird das Compton-StreuungsExperiment ebenfalls als ein Experiment angesehen, das mit den klassischen
Vorstellungen über elektromagnetische Strahlung und Materie nicht vereinbar
ist? (??)
Beim Experiment zur Compton-Streuung werden Röntgenstrahlen auf einen
Festkörper geschickt. Eine Messung der Strahlung um diesen Festkörper herum
ergibt nun, dass neben Strahlung der Wellenlänge λ0 der einfallenden Röntgenstrahlung auch Strahlung mit größerer Wellenlänge λS vorkommt. Das Auftreten dieser Strahlung hängt stark von dem Winkel ab, unter dem wir den
Festkörper beobachten. Wir gehen davon aus, dass an den Elektronen des Festkörper gestreute Röntgenstrahlung detektiert wird. Die bis zu Comptons Experimenten verwendeten klassischen Modelle der Streuung von elektromagnetischen Wellen an Photonen konnten die Beobachtungen nicht erklären. Nach
diesen Modellen erwartete man eine konstante Intensität des gestreuten Lichts
über den Winkel sowie keine Änderung der Wellenlänge (elastische Streuung).
Compton gelang im Teilchenbild des Lichts eine recht einfache Beschreibung
dieses Phänomens, indem er von einem Stoß eines Photons der Röntgenstrahlung mit dem Elektron ausging und die Energie- und Impulserhaltung forderte.
Hier zeigt elektromagnetische Strahlung somit ihre Teilcheneigenschaften.
(b) Stellen Sie die Formeln auf, die aus Energie- und Impulserhaltung für die
Compton-Streuung folgen. (??)
Vor dem Stoß wird das Elektron als ruhend angenommen, das Röntgen-Photon
nähere sich dem Elektron entlang der x-Achse (siehe Abb. 6). Nach dem Stoß
befindet sich das Elektron nicht mehr in Ruhe. Damit gilt für die Energieerhaltung:
hν0 = hνS + Wkin, Elektron
(21)
Da das Elektron sehr schnell werden kann, müssen die relativistischen Beziehungen für Energie und Impuls angesetzt werden (siehe Experimentalphysik).
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m0 c2
Wkin, Elektron = p
− m0 c2
2
1−β
(22)
Hier ist m0 die Ruhenergie des Elektrons und β = v/c. Auch der Impuls muss
erhalten bleiben, die Photonen haben jeweils den Impuls p~ = ~~k, also:
m0~v
~~k0 = ~~kS + p
1 − β2
(23)
Nach einigen Manipulationen folgt für die Änderung der Wellenlänge ∆λ der
Strahlung in Abhängigkeit des Streuwinkels φ:
∆λ =
2h
sin2 φ/2
m0 c
(24)
Abb. 6: Schema der Compton-Streuung
5. Franck-Hertz-Versuch
(a) Lesen Sie nach, was sich hinter dem Franck-Hertz-Versuch verbirgt. Beschreiben Sie den Versuchsaufbau und erklären Sie, was dieser Versuch über die
Quantisierung von Energie aussagt. (??)
Der Versuchsaufbau des Franck-Hertz-Versuchs ist in Abbildung 7 skizziert.
Elektronen werden aus einer Glühkathode emittiert, zwischen Kathode und einem durchlässigen Gitter beschleunigt und treten dann in ein schwaches bremsendes Potential zwischen Gitter und Anode ein. Der Strom zwischen Gitter
und Anode wird gemessen. Der ganze Aufbau befindet sich in einem Glaskolben, in dem sich Gas aus Quecksilberatomen mit einem niedrigen Druck befindet. Nun verändert man die Beschleunigungsspannung UB . Der Strom steigt
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zunächst wie erwartet an, bricht aber bei der Spannung von 4,9 V plötzlich
ein. Gleiches passiert bei Vielfachen dieser Spannung. Eine plausible Erklärung
dieses Phänomens liefert die Quantisierung der Energieniveaus im Quecksilber.
Sobald die Elektronen genug Energie erhalten haben, um die Hüllenelektronen
des Quecksilbers vom Grundzustand in den nächsthöheren Zustand zu befördern, das sind 4,9 eV, findet dieser inelastische Stoß statt. Die Elektronen erreichen nun nicht mehr die Anode und der Strom fällt. Haben die Elektronen das
Doppelte der notwendigen Energie, können sie mit zwei Atomen inelastisch stoßen. Es wird immer ein fester Energiebetrag abgegeben, was die Quantisierung
der Elektronenenergie im Quecksilberatom beweist.
Abb. 7: Skizze des Franck-Hertz-Versuchsaufbaus [Quelle: www.wikipedia.de].
(b) Warum heißt h Plancksches Wirkungsquantum? (??)
In der Physik bezeichnet man als Wirkung das Produkt einer Energie mit der
Zeit. Da h die Einheit einer Wirkung (Js) hat, und die Wirkung in Portionen
der Größe h gequantelt ist, kommt es zu der Bezeichnung.
6. Welle-/Teilchen-Dualismus
(a) Der (durchschnittliche) Mensch kann Licht der Wellenlänge 600 nm gerade
noch mit bloßem Auge wahrnehmen, wenn es in den Sehzellen der Netzhaut
eine Energie von mindestens W = 2 · 10−18 J umsetzt. Um wie viele Photonen
muss es sich dabei mindestens handeln? (?)
Die Anzahl der benötigten Photonen N errechnet sich zu:
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N=
W
WP hoton
=
W
≈6
hc/λ
(25)
Ein Vergleich mit Aufgabe 1 (e) zeigt, dass unser Auge ein extrem empfindlicher
Detektor sein kann. Es ist hingegen sehr schwierig, mit technischen Mitteln eine
Detektor-Empfindlichkeit von wenigen Photonen zu erreichen.
(b) Bestimmen Sie die de-Broglie Wellenlänge einer Bowlingkugel mit der Masse
mb =8 kg und der Geschwindigkeit 4 m/s. Erötern Sie an diesem Beispiel, warum
wir hier die Effekte der Wellennatur nicht beobachten. (?)
Es gilt:
λ=
h
p
Mit p = mv folgt unmittelbar:
λBK =
h
= 2 · 10−35 m
mv
Wir sehen erneut, dass die extrem kleine Wellenlänge die Detektion der Welleneigenschaften unmöglich macht.
(c) Bestimmen Sie die de-Broglie Wellenlänge λe eines Elektrons mit der für ein
Elektronenmikroskop typischen kinetischen Energie W=20 keV. (??)
Es gilt:
λ=
Mit Wkin =
p2
2m
h
p
(nichtrelativistisch, hier gerade noch erlaubt) folgt:
λe = √
h
= 8, 7 · 10−12 m
2mW
7. Bohr-Einstein-Disput
Von 1927 bis 1935 führten Albert Einstein und Niels Bohr eine, hauptsächlich postalisch ausgetragene, Debatte über die Grundlagen der gerade neu entstehenden
Quantenmechanik.
(a) Lesen Sie nach, welche Positionen Bohr und Einstein hierbei vertraten. (?)
Eine gute Darstellung findet sich unter http://en.wikipedia.org/wiki/BohrEinstein_debates.
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(b) Einstein brachte im Zuge dieses Diskurs einige Gedankenexperimente auf. Skizzieren Sie diese. Wie hat Bohr für die jeweiligen Fälle argumentiert, um Einsteins Angriffe abzuwehren? (? ? ?)
Das erste von Einstein in den Ring geworfene Experiment ist eine Erweiterung des Doppelspalt-Experiments. Um in einem Doppelspaltexperiment herauszufinden, welchen der beiden Wege ein Elektron genommen hat, ohne die
Interferenz zu zerstören, schlug er vor, vor dem Doppelspalt S2 einen beweglich
gelagerten Einzelspalt S1 zu platzieren (Abb. 8). Wenn nun ein Elektron am
Punkt P des Schirms detektiert würde, wäre über eine Messung der Richtung
des Impulses des bewegten Einzelspaltes klar, welchen Spalt in S2 das Elektron passiert hätte (Beim Stoß des Elektrons am Spalt gilt Impulserhaltung).
Gleichzeitig sollten weiter die Interferenzen zu sehen sein, da die zusätzliche
Einzelspalt die Beugung am Doppelspalt nicht beeinflusst. Bohr widerlegte
Einstein, indem er mit der Orts-/Impulsunschärfe des Spalts S1 argumentierte. Der Impuls des Spalts S1 muss sehr genau gemessen werden, damit die gewünschte Aussage über die Flugrichtung des Elektrons getroffen werden kann.
Über die Orts-Impuls-Unschärfe folgt dann, dass der Ort des Spalts eine recht
große Unschärfe hat. Verändert sich jedoch der Ort, so Ändert sich auch das
Interferenzmuster auf dem Detektionsschirm. Die Unsicherheit in der Lage des
Spalts überträgt sich in eine Unsicherheit in der Position der Interfernzextrema, was gleichbedeutend mit einem Verschmieren und somit Verschwinden der
Interferenzen ist (siehe Abb. 9.)
Abb. 8: Einsteins Gedankenexperiment
Die
weiteren
Gedankenexperimente
Seite L18
finden
sich
unter:
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Abb. 9: Einsteins Gedankenexperiment
http://en.wikipedia.org/wiki/Bohr-Einstein_debates
(c) Was verbirgt sich hinter dem Begriff „Kopenhagener Deutung der Quantenemchanik“? (? ? ?)
Eine gute Darstellung findet sich unter http://en.wikipedia.org/wiki/BohrEinstein_debates.
8. Unschärferelation
(a) Was bedeutet der Begriff „Unschärferelation“ konkret? Welche anderen Größen
als Ort und Impuls sind ebenfalls über Unschärfe-Relationen verknüpft? (?)
Die Unschärferelation macht die Aussage, dass eine gleichzeitige, beliebig genaue Messung von Ort und Impuls unmöglich ist. In der Quantenmechanik wird
dieses Prinzip für alle physikalischen Systeme als gültig angenommen. In unserem Bild der Materiewellen ist das Auftreten eines solchen Zusammenhangs
eigentlich nicht verwunderlich. Stellt man sich einen kurzen Wellenzug vor, so
besteht dieser nicht mehr aus einer einzigen ebenen Welle, die einen wohldefinierten Wellenzahl und damit einen wohldefinierten Impuls hat. Wir benötigen
ebene Wellen mit verschiedenen Wellenzahlen ∆k, die im Bereich des endlichen
Pulses ∆x konstruktiv und sonst destruktiv interferieren. Es ergibt sich, dass
das Produkt gerade ungefähr 1 ist, also ∆x∆k ≈ 1, mit der Beziehung p = ~k
folgt so ∆x∆p ≈ ~. Eine ähnlich Beziehung finden wir für Frequenz und Zeit.
Auch hier hilft eine Erklärung über klassische Wellenphänomene. Will man die
Frequenz eines Tones sehr genau bestimmen, so muss man über einen langen
Zeitraum messen. Will man dagegen die Messzeit sehr genau bestimmen, kann
man keine große Genauigkeit in der Frequenz erreichen.
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(b) Die Position eines Wassertropfens von 1mm Durchmesser soll mit einer Genauigkeit von 10−3 mm bestimmt werden. Was folgt daraus für die quantenmechanische Unschärfe der Geschwindigkeit? (??)
Der Wassertropfen hat ein Volumen von
4
V = πr3 = 5, 24 · 10−10 m3
3
Die Masse des Tropfens ergibt sich aus
ρH2 O = 1000 kg m−3
m = ρV = 5, 24 · 10−7 kg
Aus der Unschärferelation ∆x∆p =
∆v =
~
2
folgt
~
= 1 · 10−22 m s−1
2m∆x
(c) Ein Elektron, das sich im attraktiven Coulombfeld −e2 /4π0 r eines Protons
bewegt, fällt nach der klass. Physik (unter Abstrahlung elektromagnet. Strahlung) ins Zentrum. Schätzen Sie den Impuls des Elektrons ab, das sich im
Abstand r um den Kern bewegt. Bestimmen Sie hieraus das Gesamtpotential Φ, in dem sich das Elektron befindet. Bestimmen Sie aus dem Minimum
des Potentials den Abstand des Elektrons zum Proton und die Energie des
Elektrons. (? ? ?)
Unter der Annahme, daß x > ∆x und p > ∆p, gilt
x·p≥
~
2
Damit ergibt sich der Impuls des Elektrons zu
p=
~
2r
Daraus folgt die kinetische Energie des Elektrons zu
Wkin =
p2
~2
=
2me
8me r2
Seite L20
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Das Gesamtpotential ist dann
WGes = Wkin + Wpot =
~2
e2
−
8me r2 4π0 r
Das Elektron befindet sich im Minimum des Potentials (→ Ableitung).
0
WGes
=−
⇒r=
~2
e2
+
4me r3 4π0 r2
4π0 ~2
= 1, 33 · 10−11 m
2
4e me
Der korrekte Bohr’sche Radius beträgt rB = 0, 5 Å.
⇒ WGes = −8, 7 · 10−18 J = −54 eV
Da das Elektron immer mindestens die Energie Wges trägt, kann es nicht wie
im klass. Bild in den Atomkern stürzen.
9. Streuung an Elektronen
(a) Sie wollen mittels eines Streuexperiments nachprüfen, ob sich Elektronen wirklich wie im Bohrschen Atommodell vorausgesagt auf Kreisbahnen um den Kern
bewegen. Um eine vernünftige Auflösung zu erhalten, müssen Sie Strahlung
verwenden, deren Wellenlänge höchstens 1/20 der aufzulösenden Strukturgröße beträgt. Strahlung welcher Frequenz benötigen Sie mindestens, wenn Sie ein
Wasserstoffatom im Grundzustand vermessen wollen? (?)
Der Bohrsche Radius für den Grundzustand ist a0 = 5, 29·10−11 m. So brauchen
wir Strahlung mit einer Wellenlänge von höchstens λ = 2, 645 · 10−12 m. Für
die Frequenz ergibt sich über c = λν:
ν = c/λ = 1, 13 · 1020 Hz
(26)
(b) Berechnen Sie die Energie eines Photons der Mess-Strahlung aus dem letzten
Aufgabenteil. Vergleichen Sie diese Energie mit der Ionisierungsenergie von
Wasserstoff und erläutern Sie, was das für das im letzten Aufgabenteil vorgestellte Experiment bedeutet. Welche grundsätzliche Besonderheit beim Messen
in der Quantenmechanik offenbart sich hier? (??)
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Festkörperelektronik 2008
Lösungen zum Übungsblatt 1
Die Energie der Photonen der Mess-Strahlung angegeben in eV berechnet sich
zu:
W = hν = 46, 87 keV
(27)
Wenn man bedenkt, dass die Ionisierungsenergie für Wasserstoff bei 13,6 eV
liegt, wird das Dilemma offensichtlich. Die Streuung des Photons am Elektron
während des Messprozesses führt unweigerlich zu einer deutlichen Veränderung
seines Zustands (in unserem Fall wahrscheinlich der Ionisation). Damit kann
keine weitere Ortsmessung an dem Wasserstoffatom im Grundzustand vorgenommen werden, da der Zustand durch die Messung verändert wird. Dies zeigt
deutlich, dass die klassische Annahme einer idealisiert wechselwirkungsfreien
Messung auf quantenmechanischen Energieskalen unzulässig ist.
(c) Wie muss man vorgehen, um trotzdem Ergebnisse mit der vorgestellten Messung zu erhalten? (??)
Will man trotzdem Aussagen über den Aufenthaltsorts eines Elektrons im Wasserstoffatom machen, so muss man für die oben beschriebene Messung für eine
große Anzahl von gleichartigen Atomen durchführen. Da glücklicherweise alle
Wasserstoffatome gleich sind, ist solch eine Ensemble-Messung bei sorgfältiger
Durchführung auch mit guter Genauigkeit möglich. Man erhält pro Atom somit
einen Messwert, danach muss man am nächsten Atom weitermessen.
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