Physik II - Formelsammlung

Physik II - Formelsammlung
von Julian Merkert, Sommersemester 2005, Prof. Drexlin
Elektrostatik
Ladung, Feld und Fluss
2 e = 1, 6 · 10−19 C , elektrische Feldkonstante ε0 = 8, 85 · 10−12 NCm2 =
R
Ladung: Q =
%(~r)dV = n · e [C = Coulomb = As]
V
Elementarladung:
Elektrische
F~ =
Elektrisches Feld:
~ r) =
E(~
λ=
=
dQ
dl
C 1 Qˆ
r
4πε0 r 2 ~
N
= −∇V
V
m
=
C
dE =
1 dQ
4πε0 r 2
m
dQ
dA
%=
dQ
dV
ΦEl =
R
~ A
~
Ed
Raumladungsdichte:
Elektrischer Fluss:
~ (~
F
r)
q
σ=
Flächenladungsdichte:
1 qQ ˆ
r (Coulomb-Gesetz)
4πε0 r 2 ~
Elektrische Kraft:
Linienladungsdichte:
As
V m , Probeladung q.
A
C
m2
C
m3
(Skalarprodukt einer Fläche mit dem durchdringenden Feld)
Gauÿ'scher Satz: Der elektrische Fluss durch eine beliebige geschlossene Fläche ist proportional zur eingeschlossenen
Ladung und unabhängig von der Ladungsverteilung.
I
~ A
~ = Qin
Ed
ε0
A
ΦEl =
Arbeit, Energie, Potenzial,
Spannung
R
W =
Elektrische Arbeit:
r
∞
F~ d~r = EP ot (∞) − EP ot (~r) = −EP ot (r)
EP ot (~r) =
Potentielle Energie:
R∞
r
EP ot
q
~ r
q Ed~
∆EP ot = EP ot (~b) − EP ot (~a) = −
V =
Elektrische Spannung:
U = ∆V = V (~b) − V (~a) = −
R
R
~ dA
~= Q = 1
E
ε0
ε0 V % dV
A
1. Maxwell-Gleichung:
Divergenztheorem:
~ = 0 (Elektrisches
∇×E
R
R
~ A
~=
~ dV
Ed
∇E
A
V
Poisson-Gleichung:
∆V = − ε%0
2. Maxwell-Gleichung:
Kondensatoren
Elektrisches Feld:
Kapazität:
Energie:
Q
U
C=
EEl =
Energiedichte:
E=
2
1Q
2 C
Serienschaltung:
~
a
~ r
Ed~
V = V olt =
~ =
∇E
EEl
V
=
1
C1
(Laplace-Operator:
∆=
∂2
∂x2
+
∂2
∂y 2
F = F arad =
C
V
= 12 ε0 εrel E 2
+
1
C2
Dielektrizitätskonstante des Dielektrikums:
Polarisation (Dipolmoment):
~ r = − qQ 1
q Ed~
4πε0 r
~ =q·l
p~ = αE
J
C
Feld ist in Elektrostatik wirbelfrei)
C = C1 + C2
1
C
~
a
1
ε0 %
= 12 QU = 12 CU 2
wel =
Parallelschaltung:
R ~b
U
εrel d
= ε0 εrel A
d
R ~b
1 Q
4πε0 r
Elektrisches Potenzial:
=
Konservatives elektrisches Feld:
ε = ε0 · εrel
(α: Polarisierbarkeit)
1
+
∂2
∂z 2 )
H
~ r=0
Ed~
Elektrodynamik
Elektrische Ströme
dQ
dt
I=
Elektrischer Strom:
R
=
A
~
~jdA
~
~j = (ne)~vD = %~vD = σE E
(% = ne:
H
~ = − d Qin (t)
~jdA
Ladungserhaltung: I =
dt
A
Stromdichte:
σE =
e2 nτ
me
1
Ωm
R = % Al
=
E=
U
l
E
j
Elektrische Leistung:
P = U · I = I 2R =
W = I 2 · R · ∆t =
(k
= 8, 6 · 10−5 eV
K :
Boltzmann-Konstante)
U2
R
U2
R
· ∆t
1. Kirchho 'sches Gesetz: an Stromknoten gilt:
P
k Ik
=0
2. Kirchho 'sches Gesetz: in einem geschlossenen Stromkreis gilt:
Widerstände
Widerstand (Ohm'sches Gesetz):
R=
Parallelschaltung:
1
R
Driftgeschwindigkeit)
I
A
j=
n(T ) = n0 e−∆E/k·T
Serienschaltung:
~vD :
[Ωm]
Ladungsträgerdichte:
Elektrische Arbeit:
Ladungsträgerdichte,
(τ : mittlere Stoÿzeit)
1
σE
%=
Spezischer Widerstand:
Homogene Leiter:
d
∇~j = − dt
%(t)
Kontinuitätsgleichung:
Leitfähigkeit:
C
s
A = Ampere =
U
I
R=
Ω = Ohm =
= const
P
k
V
A
Uk = U0
P
k Rk
P 1
=
k Rk
Kondensatoren
−t
Auadestrom:
I(t) = I0 e RC
Entladestrom:
I(t) = I0 e R2 C
−t
Elektrochemische Prozesse
Avogradro-Konstante
1 Mol transportiert
NA = 6 · 1023 ,
Wertigkeit des Ions:
Q = NA · Z ion · e
Boltzmann-Konstante
k
Ladung
Cu++ -Konzentration (Metall)
Cu++ -Konzentration (Elektrolyt)
Boltzmann-Gleichung:
Z ion ,
eU
= e− kT
Magnetostatik
Bewegte geladene Teilchen im Magnetfeld
Lorentzkraft:
~
F~L = q · ~v × B
Magnetisches Feld (falls
Lorentzkraft allgemein:
~ v ):
B⊥~
~ (Feld verrichtet
F~L ⊥~v , F~L ⊥B
Ns
~ = F
B
T = T esla = Cm
q·v
~ +
F~L = q · ~v × B
| {z }
zentripetal
Zyklotron:
2
F~L = F~Z , qvB = m vr , ω =
Spezische Ladung:
e
m
=
~
q·E
| {z }
lin. Beschl.
·B
(Zyklotronfrequenz)
2U
r2 B 2
Ströme im Magnetfeld
Leiter im Magnetfeld:
q
m
keine Arbeit!)
F~ =
R
V
dF~ =
R
V
Gerader Draht im homogenen B-Feld:
~
(~j × B)dV
~
dF~ = I(d~l × B)
Magnetisches Dipolmoment einer Leiterschleife:
(d~
l: Vektor in Richtung der techn. Stromrichtung)
~·n
µ
~ =I ·A
2
Am2 =
J
T
(n: Anzahl der Windungen)
Drehmoment auf Leiterschleife:
Hall-Eekt:
F~L = −F~E
e · vD · B = e · EH
UH = EH · b
Hall-Spannung:
~ =µ
~
D
~ ×B
EH = vD · B
(b: Dicke)
Magnetfelder von bewegten Ladungen
Magnetfeld:
~ =
B
~ =
×E
1
v
c2 ~
µ0 ~
v ×~
rˆ
4π q r 2 (für Punktladung)
Bezug beider Feldkonstanten:
Magnetfelder von Strömen
~ =
dB
Biot-Savart'sches Gesetz:
Lange Spule:
1
c2
ε0 · µ0 =
µ0 d~l×~
rˆ
4π I r 2
~ =
B
µ0
4π I
R
l
d~l×~
rˆ
r2
Bx (Innen) = µ0 Nl I, Bx (Spulenende) = 12 µ0 Nl I
Magnetfeld eines langen homogenen Leiters:
B=
Kraft pro Längeneinheit auf zwei parallele Leiter:
HAmpère'sches Gesetz:
~ s = µ0 I
Bd~
H
µ0 I
2π r⊥
dF2
dl2
µ0
= − 2πR
I1 I2
(d~
s: di. Längenelement der Ampère'schen Leiterschleife,
I : umschlossener Strom,
: Umlauntegral, Integration über geschlossene Kurve (Pfad ist egal))
~
Lösungsweg bei Symmetrie (B
= const
auf einem Weg):
Das Magnetfeld und sein Potenzial
H
~ s=B
~
Bd~
~ A
~=0
Bd
R
H
~ A
~=
~
Bd
div BdV
V
Magnetische Feldlinien sind immer geschlossen:
Gauÿ'scher Integralsatz (Divergenztheorem):
H
d~s
H
~ : geschlossene Oberäche,
(dA
V:
von der Ober-
äche eingeschlossenes Volumen)
~ =0
div B
keine Quellen / Senken, d.h. keine Monopole
~ s=
Bd~
H
Stokes'scher Integralsatz:
Ampère'sches Gesetz (di. Form):
R
A
~ A
~
rotBd
~ =∇
~ ×B
~ = µ0~j
rotB
~: B
~ =∇
~ ×A
~
A
Vektorpotenzial
Coulomb-Eichung (zusätzl. Bedingung):
Poissongleichung der Magnetostatik:
~ = −µ0~j
∆A
Atomares Bild des Magnetismus
L,
eV s, ~ =
Drehimpuls
−15
10
~=0
div A
magnetisches Moment
~,
µ
~ = I·A
(Laplace!)
magnetische Quantenzahl
ml ,
Planck'sche Konstante
h
2π
Relation zwischen
µ
~: µ
L
~ Bahn =
und
q ~
2m L
(
Lz = ml · ~ = ml ·
Drehimpuls in z-Richtung:
q
2m : gyromagnetisches Verhältnis)
h
2π
Bohr'sches Magneton (elementares magnetisches Moment):
Magnetisches Moment:
~
µBohr =
e·~
2me
~
e~ L
µ
~ = − 2m
= −~
µBohr L~
e ~
~s: µ
~ s = −2µBohr ~~s
A
(χ: magnetische
m
Magnetisches Moment durch Eigendrehimpuls
Magnetisierung:
Gesamtfeld:
~ =
M
1
V
P
i
~0
µ
~i = χ · H
~ =B
~ 0 + µ0 M
~ = µ0 (H
~0 + M
~)
B
Paramagnetismus (χ
Suszeptibilität)
~ 0 : Magnetische Erregung)
(H
> 0)
•
Jedes Atom hat permanentes magnetisches Dipolmoment
•
Curie'sches Gesetz:
~ =
M
1 µB0 ~
3 k·T MS
µ
~
~ S : Sättigungsmagnetisierung)
(M
3
h = 4, 14 ·
Diamagnetismus (χ
•
< 0)
Atome ohne permanentes magnetisches Moment, magnetische Momente werden induziert.
• E = − 2r ∂B
∂t
Zeitabhängige elektrische und magnetische Felder
Uind =
Faraday'sches Induktionsgesetz:
~ s = − d Φmagn = − d
Ed~
dt
dt
H
R
A
~ A
~
Bd
~ ×E
~ =−dB
~
∇
dt
Induktionsspannung an einem Leiter der Länge
~ : Uind = vBl
l⊥B
Lenz'sche Regel: Ein induzierter Strom ist so gerichtet, dass das von ihm erzeugte Magnetfeld der Änderung des
magnetischen Flusses entgegenwirkt, die den Strom erzeugt.
Uind = Umax · sin(ωt + δ)
i
m2
H = Henry = T A
= VAs
R
~ A
~ =L·I
Φmagn =
Bd
Wechselstrom-Generator:
Induktivität L
h
Magnetischer Fluss:
A
d
Uind = −L dt
I
Lange Zylinderspule:
N 2
l
L = µ0 µr
2 konzentrische Zylinderspulen:
Al
L12 = µ0 N1l1N2 A2
R-L-Stromkreis
Charakteristische Zeitkonstante:
τ=
Einschaltvorgang:
I(t) =
U0
R
Ausschaltvorgang:
I(t) =
U0 −(R/L)t
R e
L
R
1 − e−(R/L)t
=
U0 −t/τ
R e
Transformator
Unbelastet:
Belastet:
U2
U1
2
= −N
N1
I10 · U1 = I2 · U2
Wechselstrom
Mittlere Spannung:
< U >=
Eektive Spannung:
Uef f =
I2
I10
=
1
T
RT
√
0
N1
N2
U (t)dt
< U2 >
Eektivwerte für sinusförmige Verläufe:
Leistung:
(rms (=root means square)-Wert)
Uef f =
U0
√
2
Ief f =
I0
√
2
P = Uef f · Ief f
Ohm'scher Widerstand:
•
Strom und Spannung in Phase
•
Widerstand:
R=
U
I
Lastkapazität:
π
2 voraus,
•
Strom eilt Spannung um
•
Kapazitativer (Blind-)Widerstand:
I(t) = I0 sin(ωt + ϕ + π2 )
RC =
1
ωC
Lastinduktivität:
•
Spannung eilt Strom um
•
Induktiver Widerstand:
π
2 voraus
RL = ωL
4
Impedanz (Scheinwiderstand):
U0
I0
|z| =
=
q
r2 + (ωL −
1 2
ωC )
Frequenzlter
Tiefpass (RC-Kreis, Abgri über Kondensator):
•
Phasenrelation:
tan Φ = −ωRC
R
1
Idt =
UA = Q
C = C
•
Integrierglied:
1
RC
R
(UE − UA )dt
Hochpass (RC-Kreis, Abgri über Ohm'schem Widerstand):
• UA =
•
√
RCω
1+R2 C 2 ω 2
· UE
dQ
dt R
UA = R · I =
Dierenzierglied:
=
d
dt UE
·R·C
Frequenzlter (RCL-Stromkreis seriell):
√1
LC
•
Resonanzfrequenz:
•
Frequenzbreite:
•
Gütefaktor:
•
Sperrlter: RCL-Stromkreis mit L und C parallel
ωr =
∆ω =
Q=
ωr
∆ω
R
L
=
ωr L
R
Energie im Magnetfeld
Energie:
Emagn = 12 LI 2
Energiedichte:
Emagn
V
wmagn =
=
B2
2µ0
Elektromagnetische Energiedichte:
welektromagnetisch = 12 ε0 (E 2 + c2 B 2 )
Maxwell'scher Verschiebungsstrom
~
~ ∂E
IV = ε0 A
∂t
Maxwell'scher Verschiebungsstrom:
~jV = ε0 ∂ E~
∂t
Verschiebungsdichte:
4. Maxwell-Gleichung:
~ ×B
~ = µ0~j + µ0 ε0 ∂ E~
∇
∂t
Kontinuitätsgleichung:
~ ~j =
∇
∂
∂t %
Gauÿ'scher Satz der Elektrostatik:
H
H
~ A
~=
Ed
~E
~ =
∇
Q
ε0
%
ε0
~ A
~=0
~B
~ =0
Bd
∇
H
R
d
~ s=−d
~ ~
Ed~
dt A BdAZ= − dt Φmagn
Gauÿ'scher Satz der Magnetostatik:
Ampère-Maxwellsches Gesetz:
~
1 ∂E
c2 ∂t
=0
Maxwell-Gleichungen
Faraday'sches Induktionsgesetz:
~ ×B
~ = µ0~j +
∇
H
~ s = µ0 I + µ0 ε0 d
Bd~
dt
~ A
~
Ed
| {z }
A
~ ×E
~ =−∂B
~
∇
∂t
~ ×B
~ = µ0~j + µ0 ε0 ∂ E
~
∇
∂t
Φel
Dielektrische Verschiebungsdichte:
Elektrodynamische Potentiale:
~ = ε0 E
~ diel. + p~
D
~ ×H
~ = ~j +
∇
1 ∂2
c2 ∂t2 Φel
~−
∆A
∆Φel −
= − ε%0
∂~
p
∂t
1 ∂2 ~
x2 ∂t2 A
= −µ0~j
Elektromagnetische Schwingungen und Wellen
Gedämpfte elektromagnetische Schwingung
Dierentialgleichung:
Eigenwertgleichung:
Schwingfall:
ωr =
q
2
d
1
d
L dt
2 + R dt + c I = 0
λ2 +
1
LC
−
R
Lλ
+
1
LC
=0
R2
4L2
5
Gekoppelte Schwingkreise:
Kopplungsgrad
k12 =
L12
L
∆ω = ω0 k12 = ω0 LL12
Elektromagnetische Schwingungen
Hertz'scher Dipol, minimale Frequenz:
Wellengleichung:
ω0 =
~ r, t) = ε0 µ0 ∂ 22 E(~
~ r, t) =
∆E(~
∂t
Periodische Welle:
(V akuum) =
1 ∂2 ~
r, t)
c2 ∂t2 E(~
π
l vph
Ebene harmonische Welle in x-Richtung:
Intensität (Energiestromdichte) I:
~=
S
1 ~
µ0 (E
~ =
B
1 ~
ω (k
~
× E)

vph =
~ r, t) =
∆B(~
~ =E
~ 0 sin(kx − ωt) = A
~ 0 ei(kx−ωt) + A
~ ∗ ei(kx−ωt)
E
0
Magnetfeld elektromagnetischer Wellen:
Poynting-Vektor:
π
lc
√
c
ε0 εrel µ0 µrel
1 ∂2 ~
r, t)
c2 ∂t2 B(~
(bzw.
k~r − ωt
für bel. Richtung)
(~
k : Ausbreitungs- / Wellenvektor)

0
~
E(x,
t) =  E0 sin(kx − ωt) 
0
I = wem · c = cε̇0 · E 2
(wem
~
× B)
6
=

0
~

0
B(x,
t) = 
1
E
sin(kx
−
ωt)
c 0

E
V Energiedichte elektromagnetisches Feld)