Musterlösung - Physik-Department E18

Physik für Chemieingenieure und Restauratoren
WS2007/08
Physik Department E18
Technische Universität München
PD Dr. F. Joachim Hartmann
A. Frei, S. Grabmüller, C. Höppner
Blatt 10
09.01.2008
Musterlösung
Seite 1
Aufgabe 1: Plasmaanalyse
Nebenstehende Skizze zeigt eine Anordnung
zur Plasmaanalyse. Ein Zähler Z1 erzeugt
beim Durchgang eines ionisierenden Teilchens
(Masse m, Ladung Q, Geschwindigkeit v) ein
Signal S1 . In einem quadratischen Bereich der
Ausdehnung d besteht ein homogenes Magnet~ senkrecht zur Einschußfeld der Flußdichte B
richtung. Wenn das Ion um den Winkel α abgelenkt wird, passiert es die Blende Bl und
erzeugt im Zähler Z2 das Signal S2 . Die Zeit
∆t zwischen S1 und S2 kann auf einem Oszilloskopschirm abgelesen werden. Die Intensität
des Ionenstrahls sei so gering, daß zwei Signale, die von einem Teilchen stammen, einander
stets richtig zugeordnet werden können.
1. Bestimmen Sie allgemein den Radius r bei der Bewegung geladenener Teilchen im homogenen
Magnetfeld in Abhängigkeit von oben genannten Größen.
Lösung:
Kräfte bei Kreisbewegung im homogenen Magnetfeld:
mv 2
= QvB
r
mv
⇒ r=
QB
2. Zeigen Sie, daß zwischen den oben genannten Größen folgender Zusammenhang besteht:
m=
QBd
v sin α
Lösung:
Trigonometrie (Winkel α bei M):
sin α =
d
r
⇒
r=
d
sin α
Oben Einsetzen und auflösen:
m=
QBd
v sin α
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Protonen (Masse m = 938.28 MeV/c2 = 1.67 · 10−27 kg), die nach dem Durchgang durch Z1 eine
kinetische Energie von Ekin = 165 keV haben, treten in das homogene Magnetfeld der Ausdehnung
d = 20 cm ein und werden um den Winkel α = 15◦ abgelenkt. Bei der gegebenen Einstellung
durchlaufen die Protonen zwischen Z1 und Z2 den Gesamtweg s = 11.25 m.
3. Berechnen Sie (nichtrelativistisch) die Flugzeit ∆t für den Weg von Z1 nach Z2 für diese
Protonen.
Lösung:
Geschwindigkeit aus kinetischer Energie:
r
r
1
2Ekin
2 · 165 · 103 eV
m
2
8 m
Ekin = mv
⇒ v=
= 3 · 10
= 5.63 · 106
2
m
s 938.28 · 106 eV
s
Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit:
r
r
s
m
11.25 m
938.28 · 106 eV
∆t = = s
=
= 2.0 µs
m
8
v
2Ekin
3 · 10 s
2 · 165 · 103 eV
~ Zeigt B
~ in die Zeichenebene
4. Bestimmen Sie den Betrag der magnetischen Flußdichte B.
hinein oder aus ihr heraus ?
Lösung:
~ zeigt senkrecht aus der Zeichenebene heraus. Formel
Drei-Finger-Regel der rechten Hand: B
von Teilaufgabe 2:
B=
1.67 · 10−27 kg ·5.63 · 106 ms · sin 15◦
mv sin α
=
= 76 mT
ed
1.6 · 10−19 As ·0.2 m
5. Zeigen Sie, daß allgemein für die Flugzeit ∆t eines Ions in Abhängigkeit von m, Q, B und
den geometrischen Größen d, s und α gilt:
∆t =
sm sin α
QBd
Lösung:
Kräftebetrachtung:
mv 2
= QvB
r
⇒
v=
QBr
m
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Trigonometrie:
r=
d
sin α
Flugzeit:
∆t =
s
sm
sm sin α
=
=
v
QBr
QBd
Bei der gegebenen Einstellung soll nun ein Plasma aus ionisiertem Wasserstoff analysiert werden,
das neben den oben untersuchten Protonen auch Deuteronen D+ (D ist das Wasserstoffisotop 21 H)
+
und die einfach positiven Ionen H+
2 und D2 enthalten kann. Auf dem Oszilloskopschirm können
dann unterschiedliche Impulsabstände auftreten.
6. Skizzieren Sie für jede Teilchensorte des Plasmas das erwartete Oszilloskopbild (siehe Abbildung) in einem einheitlichen Zeitmaßstab. Erläutern Sie kurz, warum man nicht von jedem
Bild eindeutig auf die Art des Ions schließen kann.
Lösung:
Für alle hier betrachteten Ionen ist Q = e. Also ist nach der Formel von Teilaufgabe 5
die Flugzeit ∆t ∼ m. Die Massen der Ionen sind: m(H+ ) = 1 u, m(D+ ) = m(H+
2 ) = 2 u,
+
+
+
+
m(D+
2 ) = 4 u. Also gilt für die Flugzeiten: ∆t(D2 ) = 2 · ∆t(D , H2 ) = 4 · ∆t(H ). Man
kann also nicht von jedem Oszilloskopbild eindeutig auf die Art des Ions schließen, da D+
und H+
2 das gleiche Oszillogramm erzeugen.
Aufgabe 2: Leiter im Magnetfeld
Ein Metallstab der Masse m gleite reibungsfrei auf einem Paar horizontaler, paralleler, leitfähiger
Schienen, die voneinander den Abstand ` besitzen. Die Schienen sind mit einer Stromquelle verbunden, die den Strom I abgibt. Zusätzlich herrsche ein homogenes Magnetfeld B, welches in die
Zeichenebene zeigt.
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I
B
l
Metallstab
0
y
1. In welche Richung wird sich der Stab bewegen ?
Lösung:
Drei-Finger-Regel der rechten Hand anwenden: Daumen zeigt in Stromrichtung, Zeigefinger
zeigt in Magnetfeldrichtung, Mittelfinder zeigt die Kraftrichtung an. Also bewegt sich der
Stab nach rechts.
2. Der Stab starte zum Zeitpunkt t = 0 am Ort y(t = 0) = 0. Berechnen Sie allgemein die
Beschleunigung a(t), die der Stab erfährt, sowie die Geschwindigkeit v(t) und den Ort y(t)
des Stabes zum Zeitpunkt t !
Lösung:
Die Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld ist:
F = I`B
Diese Kraft führt nach dem 2. Newtonschen Gesetz zu einer Beschleunigung:
F = m · a(t) = I`B
I`B
= const
m
Wir haben es also mit einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung zu tun. Demnach ergibt
sich die Geschwindigkeit:
⇒
a(t) =
v(t) = at =
I`B
·t
m
Der Ort ist:
y(t) =
1 2
I`B 2
at =
·t
2
2m
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3. Lösen Sie Teilaufgabe 2 mit folgenden Werten: m = 500 g, ` = 1 m, I = 2 A, B = 1 T, t = 5 s.
Lösung:
Zahlenwerte einsetzen:
a(t) =
I`B
2 A ·1 m ·1 T
m
=
=4 2
m
0.5 kg
s
v(t) =
I`Bt
2 A ·1 m ·1 T ·5 s
m
=
= 20
m
0.5 kg
s
y(t) =
I`Bt2
2 A ·1 m ·1 T ·52 s2
=
= 50 m
2m
2 · 0.5 kg
Aufgabe 3: Elektrische Schaltungen
1. Zwei (als bekannt angenommene) Widerstände R1 und R2 werden einmal seriell (Schaltung
A), einmal parallel (Schaltung B) geschaltet.
(a) Berechnen Sie die Gesamtwiderstände RA und RB der beiden Schaltungen !
Lösung:
Bei einer Serienschaltung von Widerständen werden die Einzelwiderstände einfach addiert, also
RA = R1 + R2 .
Für Parallelschaltung gilt:
1
1
1
=
+
,
RB
R1
R2
und somit
RB =
1
R1
1
+
1
R2
=
R1 · R2
.
R1 + R2
(b) Es gelte: RA /RB = 4. Berechnen Sie das Verhältnis x = R1 /R2 !
Lösung:
Wir drücken zuerst das Verhältnis durch R1 und R2 aus
(R1 + R2 )2
R1
R2
1
RA
=
=
+2+
= x + 2 + = 4.
RB
R1 · R2
R2
R1
x
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= 0 → x2 − 2x + 1 = 0
x
Dies ist ein vollständiges Quadrat:
→
x−2+
(x − 1)2 = 0
→
x=1=
R1
R2
→
R1 = R2
(c) Welche Gleichspannung U darf man in beiden Fällen jeweils maximal zwischen den
Punkten 1 und 2 anlegen, wenn durch jeden Widerstand höchstens I = 1 A fließen darf,
und falls gilt: R1 = R2 = 1 k Ω ?
Lösung:
Bei A fließt durch beide Widerstände der volle Strom, es gilt
UA = RA · I = 2 k Ω · 1 A = 2 kV .
Da R1 = R2 , wird in Schaltung B der Strom auf beide Äste gleichverteilt I1 = I2 =
0.5 · I12 , deshalb darf durch die gesamte Schaltung der Strom I12 = 2 · I = 2 A fließen.
Aus (a) läßt sich der Gesamtwiderstand berechnen zu RB = 500 Ω, daher gilt für die
angelegte Spannung
UB = RB · 2I = 500 Ω · 2 A = 1 kV
2. Gegeben sei eine Schaltung von sieben Kondensatoren der gleichen Kapazität C0 , wie in der
Abbildung gezeichnet.
Berechnen Sie (in Abhängigkeit von C0 ) die Gesamtkapazität Cges der Schaltung !
Lösung:
Zur Lösung dieser Aufgabe benötigt man lediglich die Formeln für Parallel- und Reihenschaltung von Kondensatoren.
P
• Parallelschaltung: Cges = i Ci
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• Reihenschaltung:
1
Cges
=
P
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1
i Ci
Zunächst bestimmt man die Ersatzkapazitäten in den einzelnen Parallelkreisen:
1
1
1
1
3
=
+
+
=
C1
C0
C0
C0
C0
1
1
1
2
=
+
=
⇒
C2
C0
C0
C0
⇒
C1 =
C2 =
1
C0
2
1
C0
3
C3 = C4 = C0
Also ergibt sich für die Ersatzkapazität des Parallelkreises:
µ
¶
1 1
11
C123 = C1 + C2 + C3 =
+ + 1 C0 =
C0
3 2
6
Die gesuchte Gesamtkapazität ergibt sich aus der Reihenschaltung zwischen der Ersatzkapazität des Parallelkreises C123 und der Kapazität C4 :
1
1
1
6
1
17
=
+
=
+
=
Cges
C123
C4
11C0
C0
11C0
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⇒
Cges =
11
C0
17