d0000226 - Metrologie

Metrologie
Wissenschaft und Technik des Messens
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Maulburg, Deutschland
Endress+Hauser
Mitarbeit
d0000XXX; rev00
Modul
Messung von Widerständen zwischen 1 Ω bis 100 kΩ
Malte Klöfkorn
Inhalt
Einleitung
1
Messmethoden
1.1
Strom-Spannungs-Methode
1.2
Ohmmeter-Methode
1.3
Brückenmethoden
1.3.1
Wheatstone-Brücke
1.3.2
Schleifdraht-Brücke
1.3.3
Thomson-Brücke
1.4
Substitutionsmethode
1.4.1
Substitution mit zweipoligen Widerständen
1.4.2
Doppelsubstitution mit zweipoligen Widerständen
1.4.3
Substitution mit einem Spannungsmessgerät
1.5
Widerstandsmessung mit Stromeinprägung
2
Einteilung der Messmethoden
1
1
1
2
3
3
4
5
5
5
6
6
6
6
Schlüsselwörter
Widerstand, Widerstandsmessung, Ohmmeter, Substitutionsmethode, Messbrücke, Wheatstone-Brücke,
Thomson-Brücke, Flusskomparator
Kurzbeschreibung
In einer Auswahl werden Methoden zur Messung von Widerständen zwischen 1 Ω bis 100 kΩ beschrieben
und ihre Eigenschaften diskutiert. Historische Methoden sind in den Ergänzungen beschrieben.
Einleitung
Die genaue und zuverlässige Messung von Widerständen im mittleren Widerstandsbereich (1 Ω bis 100 kΩ)
spielt in den verschiedensten Bereichen von Wissenschaft und Technik eine Rolle.
Stellvertretend für die Vielzahl von Anwendungen seien hier nur einige genannt: Zum Beispiel ist für die
Temperaturmessung mit Platinwiderstandsthermometern (Zusatz → Modul "Widerstandsthermometer") die
Widerstandsmessung Grundvoraussetzung.
Die Messung von Gleich- und Wechselströmen wird in den meisten Fällen auf die Verwendung genau bekannter Widerstände zurückgeführt (Zusatz → Modul "Widerstand am elektrischen Leiter"). Spannungs- und
Stromteiler benötigen exakte Widerstände. Nicht zuletzt lässt die Vielzahl von Anwendungen der Widerstandsmesstechnik in der Prozessmesstechnik, in Druck- oder Kraftsensoren oder in Instrumentierungsverstärkern die Vielzahl von Anwendungen erahnen.
1
Messmethoden
1.1 Strom-Spannungs-Methode
Die einfachste Methode, einen Widerstand zu bestimmen ist das Messen von Strom und Spannung. Mit der
Anwendung des Ohm-Gesetzes wird der elektrische Widerstand R einfach berechnet: R = u / i [Ω].
Wegen der für alle physikalischen Größen zu erwartenden zeitlichen Abhängigkeiten beziehungsweise Driften ist es sinnvoll, Strom i und Spannung u zeitgleich zu messen. Es gibt zwei verschiedene Messschaltungen. Bei beiden tritt ein systematischer Fehler auf. Der Messtechniker muss abschätzen, mit welcher Methode für die gestellte Messaufgabe die besten Ergebnisse zu erreichen sind.
Stromfalsche Messmethode
Der Nachteil dieser Methode ist, dass sich der Strom i nach der Strommessung verzweigt und dass damit die
Summe beider Ströme gemessen wird.
2
I
RiI
IU
E
RX
U
RiU
Der Strom iu durch den Innenwiderstand Ri des Spannungsmessers verfälscht das Messergebnis. Es ist einzusehen, dass dieser um ein Vielfaches größer als der zu messende Widerstand Rx sein muss, um diesen
systematischen Fehler klein zu halten. Mit Hilfe des Innenwiderstandes Ri des Spannungsmessers lässt sich
aber der Strom iu bestimmen. Der korrigierte Wert des Widerstandes Rx berechnet sich damit zu:
Rx =
u
u
=
i − iu i − u
Ri
[Ω]
Für die stromfalsche Messung sollte sein:
iu =
u
i [A]
Ri
Das Verhältnis zwischen dem zu bestimmenden Widerstand Rx und dem Eingangswiderstand Ri (Innenwiderstand) des Spannungsmessers sollte nicht größer als 1 zu 105 sein, was bei hochwertigen Digitalvoltmetern mit Eingangswiderständen von 10 MΩ bis 10 GΩ kein Problem ist. Die stromfalsche Schaltung eignet
sich daher besonders für die Bestimmung kleiner Widerstandswerte.
Spannungsfalsche Messmethode
Die zweite Möglichkeit ist, den Strom nach der Verzweigung zu messen. Man nennt diese Methode die
spannungsfalsche Messmethode.
RiI
E
U
I
RX
RiU
Diese Anwendung hat aber den Nachteil, dass die Spannung u bei der Berechnung des Widerstandes einen
systematischen Fehler verursacht, der durch den Spannungsabfall ui über dem Strommesser hervorgerufen
wird. Der korrigierte Wert des Widerstand Rx wird dann berechnet nach
Rx =
u − ( iRi )
i
=
u
− Ri
i
[Ω]
Der Innenwiderstand Ri des Strommessers sollte sein:
Ri u
i
[ Ω]
Diese Methode eignet sich daher besser für große Widerstandswerte von Rx.
1.2 Ohmmeter-Methode
Zeigerinstrumente
Direkt anzeigende Widerstandsmessgeräte (Ohmmeter) haben meist ein Kreuzspulmesswerk mit einem eingebauten temperaturunabhängigen Vergleichswiderstand RV.
3
E
RX
Die Gleichspannungsquelle treibt den Strom iV durch den Vergleichswiderstand und einen zweiten Strom ix
durch den zu messenden Widerstand. Der Zeigerausschlag des Kreuzspulmesswerkes ist proportional dem
Verhältnis der Ströme iV und ix und umgekehrt proportional dem Verhältnis der beiden Widerstände. Der Vorteil ist, dass die Höhe der Speisespannung oder deren Schwankungen nicht in das Messergebnis eingehen.
Bei Vielfachmessinstrumenten mit Drehspulmesswerk und mit einem zusätzlichen Messbereich für Widerstandswerte wird die Widerstandsmessung auf die Messung des Stromes zurückgeführt, der von der Spannung einer eingebauten Batterie durch den zu messenden Widerstand getrieben wird.
Die stark nichtlineare Skale ist in Ω graduiert. Spannungsänderungen der Batterie verfälschen direkt das
Messergebnis. Die Drift der Spannungsquelle zwischen den Messungen wird dadurch berücksichtigt, dass
vor Beginn der Messung bei kurzgeschlossenem Eingang mit Hilfe eines Stellwiderstandes der Zeiger auf
Vollausschlag gestellt wird.
1.3 Brückenmethoden
1.3.1 Wheatstone-Brücke
Die bekannteste und am meisten verbreitete Messbrücke ist die nach C. Wheatstone (1802 - 1875). Sie stellt
eine einfache Brückenform zur Bestimmung von Zweipolwiderständen dar. In abgewandelter Form ist diese
Brücke in vielen Anwendungen wie zum Beispiel bei Dehnungsmessstreifen oder Drucksensoren zu finden.
Die klassische Gleichstrom-Messbrücke besteht aus vier Widerständen, einem Galvanometer und einer
Spannungsquelle. Die Brückenspannung uB ist eine Funktion des Widerstandes RX.
Während ein Zweig der Brücke mit dem zu bestimmenden Widerstände Rx und dem Vergleichswiderstand
RN bestückt ist, finden sich im anderen Zweig die "Verzweigungswiderstände" R1 und R2. Spannungsquelle
und Galvanometer (Nullindikator) werden jeweils einer Diagonalen zugeordnet.
RX
RN
IN
G
R1
R2
E
IQ
Der Strom durch den Nullindikator lässt sich berechnen nach
iN =
R x R2 − RN R1
iQ
RG (R x + RN + R1 + R2 ) + (R x + R1 )(RN + R2 )
Für
R x R1
=
RN R2
wird der Strom iN = 0.
[A]
4
Abgeglichene Brücke
Diese Bedingung gilt auch, wenn Nullindikator und Quelle vertauscht werden. Das Brückenverfahren hat den
Vorteil, dass der Nullindikator keine wirkliche Skalierung besitzen muss. Es reicht die Indikation des Nullwertes. Hier liegt aber das klassische Anpassungsproblem. Welchen Innenwiderstand sollte der Nullindikator
haben? Für die Anwendung eines Drehspulgalvanometers als Nullindikator gilt, dass sein Innenwiderstand
gegenüber dem Brückenwiderstand RB klein sein soll.
RB =
(R x + R1 )(RN + R2 )
R x + RN + R1 + R2
Wählt man alle vier Widerstände gleich groß, dann ist RB = RN.
Die Empfindlichkeit der Wheatstone-Brücke
Je nach Schaltungsauslegung der Brücke erhält man unterschiedliche Empfindlichkeiten der Messanordnung. Ein wesentliches Problem ist die Kontaktierung sowie die Zuleitungswiderstände, die das Messergebnis verfälschen können. In älteren Messanordnungen mit Normalwiderständen werden teilweise Quecksilberkontakte in Verbindung mit besonders ausgebildeten Widerstandsanschlüssen verwendet.
1.3.2 Schleifdraht-Brücke
Eine abgewandelte Form der klassischen Wheatstone-Brücke ist die Schleifdraht-Brücke. Die Widerstände
R1 und R2 sind durch einen Schleifdraht ersetzt.
RX
RN
G
l1
l2
l1
l2
E
Es gilt
l
R x = 1 RN
l2
[ Ω]
Mit Hilfe einer im Verhältnis der Längen graduierten Skale wird Rx als ein Vielfaches von RN bestimmt.
5
1.3.3 Thomson-Brücke
Bei der Bestimmung kleiner Widerstände sind die Einflüsse der Leitungs- und Kontaktwiderstände zu berücksichtigen. Im Extremfall liegen sie in der Größenordnung der zu bestimmenden Größe. Die ThomsonBrücke minimiert diese Einflüsse durch die Anwendung der Vierpoltechnik.
E
RX
RN
R3
R4
G
R1
R2
Die Widerstände Rx und RN sind Vierpolwiderstände. Sie befinden sich mit der Stromquelle in einem Stromkreis. Die Abgleichelemente sind von diesem Stromkreis getrennt. Die Abgleichbedingung für die ThomsonBrücke ist uB = 0. Es gilt:
R x R1 R3
=
=
RN R2 R4
Rx und RN sind die zu vergleichenden Widerstände, R1 und R2 sind die Verzweigungswiderstände mit ihren
Zuleitungswiderständen RZ1 und RZ2. R3 und R4 sind die sogenannten "Überbrückungswiderstände", die
dem Verhältnis Rx / RN annähernd entsprechen.
Im Gegensatz zur Wheatstone-Brücke dürfen bei der Thomson-Brücke Quelle und Nullindikator nicht vertauscht werden.
Werden die Widerstandswerte der Brücke R1 bis R4 genügend groß gewählt, spielen die Zuleitungs- und
Kontaktwiderstände nur noch eine untergeordnete Rolle.
Bei der Thomson-Brücke gibt es mehrere Verfahren. Die am häufigsten verwendete Methode führt einen
sukzessiven Abgleich Rx / RN = R1 / R2 und dann R1 / R2 = R3 / R4 durch. Dazu wird erst ein Nebenschluss
vom Nullindikator zur Verbindung A-B gelegt und beim zweiten Abgleich die Verbindung A-B geöffnet.
1.4 Substitutionsmethode
Bei Messungen von Widerständen, bei denen hohe Genauigkeit beziehungsweise geringe Messunsicherheit
gefordert ist, wird in den meisten Fällen die Substitutionsmethode angewandt. Dabei werden der Normalwiderstand und der zu messende Widerstand miteinander vertauscht (substituiert). Bei einer Messung mit einer Brücke wird die Veränderung des Brückengleichgewichts bei der Vertauschung als Maß für die Differenz
zwischen Prüfling und Normal ausgewertet. Klassische Substitutionsbrücken zeigen den Unterschied zwischen dem Normal und dem Prüfling direkt in ppm oder Widerstandseinheiten an.
1.4.1 Substitution mit zweipoligen Widerständen
Für den Vergleich von Zweipolwiderständen wird eine Wheatstone-Brücke verwendet. R1 ist ein Hilfswiderstand in der Größe der Substitutionswiderstände RN und RX. R2 und R3 sind die Abgleichwiderstände, wobei
R2 ein Festwiderstand und R3 meist durch einen Dekaden-Widerstand dargestellt wird. Sobald die Brücke
mit eingebautem RN auf "Null" abgeglichen wurde, wird der zu messende Widerstand Rx eingebaut und die
Brücke erneut abgeglichen. Die Differenz beider Ablesungen ist die Grundlage für die Berechnung des Verhältnisses von RN und Rx.
Die Messung von RN und Rx ist unmittelbar nacheinander durchzuführen, damit Fehler durch Temperaturänderungen nahezu ausgeschlossen werden können. Ideal ist die Verwendung von Widerständen für R1, R2
und R3 aus gleichem Material (z.B. Manganin). Bei Verwendung von Manganin bewirkt eine Temperaturänderung von 1 K eine Verhältnisänderung von wenigen ppm.
Maßgeblich ist wie bei allen Widerstandsbestimmungen die Vermeidung von Störeinflüssen durch Übergangswiderstände: Kontaktstörspannungen. Die Empfindlichkeit des Galvanometers spielt hier wie bei allen
Brücken eine wichtige Rolle.
6
RN
RX
IN
G
R1
R2
E
IQ
1.4.2 Doppelsubstitution mit zweipoligen Widerständen
Die zu vergleichenden Widerstände bilden einen Zweig der Brücke RN und R1 = Rx. R2 und R3 sind Abgleichwiderstände. Nach dem ersten Abgleich der Brücke werden die beiden Widerstände RN und Rx vertauscht und die Brücke ein zweites Mal abgeglichen. Der zwischen beiden Messungen festgestellte Unterschied ist doppelt so groß wie die wirkliche Differenz zwischen RN und RX. Die Methode wird im gesamten
Widerstandsbereich mit gleicher Messunsicherheit wie bei der einfachen Substitutionsmethode angewandt.
1.4.3 Substitution mit einem Spannungsmessgerät
Verwendet man eine hochstabile Gleichstromquelle, um eine Reihenschaltung von RN und Rx mit einem
Messstrom zu speisen, kann man mit Hilfe eines hochauflösenden, stabilen Spannungsmessgerätes eine
Substitutionsmessung an vierpoligen Widerständen durchführen. Dabei wird erst der Spannungsabfall uRN
über dem Normalwiderstand RN und dann ux über Rx gemessen. Um eine Drift des Stromes auszuschließen
wird uRN unmittelbar nach ux ein zweites Mal gemessen. Der Wert für uRN wird als Mittelwert beider Messungen berechnet. Um Kontaktstörspannungen zu minimieren, wird die Messung mit geänderter Stromrichtung
ein zweites Mal durchgeführt. Der Widerstandswert Rx ergibt sich aus dem Mittelwert beider Messungen:
u
R x = x ⋅ RN
uN
1.5
[Ω]
Widerstandsmessung mit Stromeinprägung
Digitalmultimeter bieten die Möglichkeit, Widerstände direkt zu messen. Dabei werden zweipolige und vierpolige Messmöglichkeiten angeboten. Die meisten Verfahren arbeiten nach dem Verfahren der Stromeinprägung. Wie bei allen Widerstandsmessungen ist die Verlustleistung über dem Prüfgut zu beachten.
2
Einteilung der Messmethoden
Messmethode
Widerstandsbereiche
Brückenmethode
14
-4
2
Thomson-Brücke
-3
7
Gleichstrom-Komparator-Messbrücke
-3
7
Kompensator mit Normalwiderstand
3
14
-4
2
Thomson-Brücke mit Normalwiderstand
-3
7
Vergleichsmessgerät mit Normalwiderstand
-4
14
analog bzw. digital anzeigende Widerstandsmessmittel
10 Ω bis 10 Ω
10 Ω bis 10 Ω
10 Ω bis 10 Ω
Kompensationsmethode
Substitutionsmethode
10 Ω bis 10 Ω
10 Ω bis 10 Ω
10 Ω bis 10 Ω
10 Ω bis 10 Ω
Direkter Vergleich
Messmittel
3
10 Ω bis 10 Ω
Wheatstone-Brücke
Wheatstone-Brücke mit Normalwiderstand
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Klöfkorn, M.; Messung von Widerständen
Internet-Portal "Wissenschaft und Technik des Messens"; Dokument: www.mmm.ethz.ch/dok01/d0000226.pdf
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Änderung
00
13.09.2005
Erstausgabe
01
26.09.2008
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