9. Klasse L¨osungen 09 Kompakt-¨Uberblick K

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9. Klasse Lösungen
Kompakt-Überblick
09
K
√
1. (a) −5,5 = 8x; x = − 5,5
= − 11
8
16
2
(b) 2x √
+ 3x − 2 = 0; x1/2 =
−3±
9−4·2·(−2)
;
2·2
8.
1
;
2
x1 = x2 = −2
(c) x(x − 9) = 0; x1 = 0; x2 = 9
mit HN
(d) D = IR\{0; −9}; Mult. x(x−9)
:
x + 9 + 8x = x(x + 9);
2
x√
= 9; L = {−3; 3}
(e) 2 x = x − 3; 4x = x2 − 6x + 9;
x2 − 10x + 9 = 0; x1 = 9 (Probe
pp
); L = {9}
o.k.); x2 = 1 (ppp ?
2. Sei x das Alter des Klavierlehrers.
Mein Alter: x − 22.
x·(x−22) = 555; x2 −22x−555 = 0;
x1/2 = 11 ± 26. Also ist er 37.
2
2
3. Substitution x√ = u: u − 5u + 7 = 0;
u1/2 = 2,5± 6,25 − 7; keine Lösung
für u, also auch keine Lösung für x.
4. Enge Parabel mit den Nullstellen 1
und 3, also Scheitel bei (2| − 2).
Spiegelung: y = −2(x − 3)(x − 1).
5. Scheitel S mit quadr. Ergänzung:
y = −[x2 +4x−5] = −[(x+2)2 −9] =
−(x + 2)2 + 9, also S(−2|9).
y
−x2 − 4x + 5 = −2x + 6;
0 = x2 + 2x + 1;
x1/2 = −1 (1 Lsg.)
Anschaulich: Die
Gerade y = −2x+6
A
1
A
berührt die Parabel
Ax
A
in
einem Punkt.
0 1
6. (a) (x − 2005)(x − 1)
A 6
A
A
A
A
(b) x2 − 2006x + 2005 > 0;
L =] − ∞; 1[∪]2005; ∞[
1
-
2005
7. x2 − kx + 20,25 = 0
(a) Diskr. D = k 2 − 4 · 20 14 = k 2 − 81.
D > 0, d. h. k 2 > 81, d. h. k ∈
] − ∞; −9[∪]9; ∞[: 2 Lösungen.
D = 0, d. h. k ∈ {−9; 9}: 1 Lsg.
D < 0, d. h. −9 < k < 9: 0 Lsg.
(b) x = 9: 81−9k +20,25 = 0; k = 45
4
√
144− 44
2
=
√
12−2 11
=
2
2
2
6−
√
11
A M2 D
9. ∆GCD:
√
√ 2 24 + GC =
24 J 6 41
(6 41) ; GC = 30
J
Also AD = 40.
B
M1 G C
Ferner EF = (120 − 80) : 2 = 20.
Die Punkte EF M2 D bilden eine kleine Pyramide. Im Dreieck M2 DE (mit
rechtem Winkel bei M2 ) gilt dabei:
2
2
2
ED = M2 D + M2 E = 656.
∆EDF (rechter Winkel bei E):
2
2
2
2
DF = ED + EF
√ = 656 + 20 =
1056, also DF = 1056 ≈ 32,5
Volumen: Quader (unten) mit aufgesetztem Prisma (Grundfläche BCE)
minus zwei kleine Pyramiden (mit
Grundfläche ADE und Höhe EF ).
10. Im großen Dach E
Z
E 20 F
könnte die Neigung 40Z
16
Z
Z
abgelesen werden
M1 50 C M2
am
∆EM1 C,
im kleinen am
∆EF M2 .
Wegen des gleichen Seitenverhältnis= 16
und des gemeinsases 40
50
20
men rechten Winkels sind die Dreiecke ähnlich, also die Winkel gleich.
Man liest folgende E
Verhältnisse im gan- 40 ZZD
24 Z
zen Dreieck und im
G Z
Z
kleinen Dreieck rechts M1 50
C
ab:
50
= GC
; GC = 30
40
24
q
2
2
Damit folgt CD√ = DG √+ GC =
√
242 + 302 = 1476 = 6 41
Zur Darstellung der Daten 800 und
1120 wären Quadrate mit Längen 2
und 2,8 nicht geeignet, da hier zwar
jeweils ein Faktor m = 1,4 vorliegt,
die Fläche aber mit dem Faktor m2 =
1, 94 wächst.