10.Übung () - Universität zu Köln

Universität zu Köln
Institut für Theoretische Physik
Michael Lässig
Johannes Berg
Theoretische Physik 3 - Quantenmechanik
10. Übung – Dienstag, 11. Januar 2005
Abgabetermin – Montag, 10. Januar 2005 12 Uhr
Literaturarbeit
Lesen Sie bitte das Kapitel zum Drehimpuls im Skript.
1. Periodische Potentiale
Wir betrachten in dieser Aufgabe die stationären Zustände eines Teilchens in einem
periodischen Potential, wie es z. B. in einem Kristallgitter mit Gitterplätzen bei x = na
(n ∈ Z) auftritt. Solche Potentiale sind natürlich in der Festkörperphysik von großer
Bedeutung. Sie bieten auch ein einfaches Beispiel für die Auswirkung von Symmetrien
in der Quantenmechanik. In diesem Fall handelt es sich um die diskrete Symmetrie des
Potentials unter Verschiebung um na.
Der Hamiltonoperator ist gegeben durch H = P 2 /(2m) + V (X) und die Funktion
V (x) ist periodisch mit Gitterkonstante a, also V (x+a) = V (x) ∀x. In einer Dimension
ist der Verschiebungsoperator Ω(a) definiert durch Ω(a)|xi = |x + ai. Vergewissern Sie
sich, daß Ω† (a)HΩ(a) = H, das heißt Ω(a) kommutiert mit H.
Wir betrachten nun eine Basis aus lokalisierten Zuständen |ni, die jeweils ein Teilchen in
der Nähe des Gitterplatzes n beschreiben. Wenn die Gitterplätze nicht durch unendlich
hohe Potentialbarrieren getrennt sind, kann |ni jedoch kein stationärer Zustand sein.
Außerdem sind die Zustände |ni keine Eigenzustände von Ω(a), da Ω(a)|ni = |n + 1i.
Ein nichtentarteter stationärer Zustand von H muss jedoch ein Eigenzustand von Ω(a)
sein (siehe (a)). In Teilaufgabe (b) konstruieren wir damit Eigenzustände von Ω(a).
a) |ψi sei der einzige Eigenzustand eines Operators H mit Eigenwert Eψ (d.h. Eψ ist
ein nicht entarteter Eigenwert). Zeigen Sie, daß wenn H mit einem gegebenen Operator
Ω kommutiert, |ψi auch ein Eigenzustand von Ω ist.
Hinweis: Betrachten Sie den Zustand Ω|ψi. Ist er ein Eigenzustand von H ?
10 Punkte
b) Zeigen Sie, daß
|θi =
∞
X
n=−∞
mit θ ∈ R ein Eigenzustand von Ω(a) ist.
5 Punkte
1
einθ |ni
(1)
c) Wir nehmen nun an, daß der Hamiltonoperator in |ni-Darstellung “fast diagonal”
ist, (vergleiche Übung 8.2),

n = n0
 E0
0
−E1 n = n0 ± 1 .
(2)
hn |H|ni =

0
sonst
Zeigen Sie, daß H|ni = E0 |ni − E1 |n + 1i − E1 |n − 1i und daß |θi ein Eigenket von H
mit Eigenwert E0 − 2E1 cos(θ) ist. Skizzieren Sie damit das Spektrum von von H als
Funktion von E1 .
Hinweis: Das kontinuierliche ‘Band’ von Eigenwerten von H um E0 ist die Grundlage z. B.
der elektrischen Leitfähigkeit in Festkörpern.
20 Punkte
d) Indem Sie die Wirkung des Operators Ω(a) auf hx| und auf |θi betrachen, zeigen
Sie, daß
hx − a|θi = hx|θie−iθ .
Zeigen Sie, daß diese Gleichung für die Wellenfunktion ψθ (x) = hx|θi in Ortsraumdarstellung durch
ψθ (x) = eikx uk (x)
gelöst wird. Dabei ist θ = ka und uk (x) eine periodische Funktion mit Periode a.
Hinweis: Dieses Ergebnis heißt Blochsches Theorem und gilt unabhängig von der Näherung
(2) für alle periodischen Potentiale. In den stationären Zuständen ist das Teilchen mit gleicher Wahrscheinlichkeit an jedem der Gitterplätze zu finden (es ist delokalisiert), und die
Wellenfunktion weist bis auf einen Phasenfaktor die Periodizität des Potentials auf.
15 Punkte
2. Kohärente Zustande des Harmonischen Oszillators
Ein sogenannter kohärenter Zustand |λi des harmonischen Oszillators in einer Dimension ist ein (normierter) Eigenzustand des Vernichtungsoperators a,
a|λi = λ|λi .
Dabei ist λ ∈ C.
a) Zeigen Sie, daß |λi = e−|λ|
schen Oszillators ist.
2 /2
(3)
†
eλa |0i, wobei |0i der Grundzustandsket des harmoni†
Hinweis: Zeigen Sie zunächst, daß eλa |0i die Eigenwertgleichung (3) erfüllt und berechnen
Sie dann die Norm dieses Zustands.
15 Punkte
b) Berechnen Sie die Erwartungswerte und die Schwankungsquadrate von Ort und
Impuls im Zustand |λi. Was fällt in Bezug auf die Unschärferelation auf?
Hinweis: Zeigen und nutzen Sie hλ|f
(a† )g(a)|λi = f (λ∗ )g(λ) und drücken Sie X und P durch
p
a und a† aus. Die Definition x0 = ~/(mω) vereinfacht die Notation.
20 Punkte
2
†
∗
c) Wir betrachten den Operator K(λ) = eλa −λ a . Zeigen Sie, daß K(λ)|0i = |λi,
also daß K(λ) aus dem Grundzustand einen kohärenten Zustand generiert. Zeigen
i
Sie √
außerdem, daß√K(λ) = e−iP x/~eiXp/~e 2~ px geschrieben werden kann, wobei λ =
x/( 2x0 ) + ix0 p/( 2~). Daraus können wir√schließen, daß |λi aus dem Grundzustand
|0i durch eine
√ Verschiebung im Raum um 2x0 Re(λ) und eine Verschiebung des Impulses um 2~/x0 Im(λ) hervorgeht. 20 Punkte
d) Wir betrachten nun die Zeitentwicklung kohärenter Zustände. Werten Sie |λi(t) =
e−iHt/~|λi(0) aus, um zu zeigen, daß |λi(t) in der Form e−itω/2 |λ0i mit λ0 = e−itω λ
geschrieben werden kann.
15 Punkte
e) Nutzen Sie die Ergebnisse von (a)-(d), um die Dynamik eines kohärenten Zustandes
in der xp-Ebene zu diskutieren. Wie entwickelt sich die Orts-Impuls-Unschärfe mit der
Zeit? Wie verhält sie sich für große Werte von |λ|2 (klassischer Grenzfall)? Zeigen Sie,
daß im klassischen Grenzfall die Energie
des Systems durch den klassischen Ausdruck
√
2 2
mω A /2 gegeben ist, wobei A = 2x0 |λ| die Amplitude der Oszillation ist.
Hinweis: Zeigen Sie, daß für |λ|2 → ∞ die Standardabweichung der Energie relativ zu ihrem
Erwartungswert verschwindet und drücken Sie hλ|H|λi durch λ aus.
20 Punkte
Vergnügen für die ganze Familie bietet das Java-Applet http://www.fi.uib.no/AMOS/MOV/HO/,
mit dem man die kohärenten Zustände – und mehr – simulieren kann. Es bietet eine sehr
anschauliche Darstellung der stationären Zustände und der Dynamik des harmonischen Oszillators. Wer keinen Internetzugang hat möge sich bei mir melden.
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