Analysis II (SS 2014) — Blatt 8

Prof. Dr. Timo Weidl
Dipl.-Math. André Hänel
FB Mathematik, Universität Stuttgart
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Woche: 2. Juni – 6. Juni 2014
Analysis II (SS 2014) — Blatt 8
Mathe ist wie Liebe: Eine einfache Idee, aber sie kann kompliziert werden.
(R. Drabek)
Votieraufgaben
8.1. Untersuchen Sie die folgenden Funktionenfolgen (fn )n auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz auf den angegebenen Mengen (für n → ∞):
r
1
(a) fn (x) :=
+ x2 für x ∈ R;
n
(b) fn (x) := xn (1 − x) für x ∈ [0, 1].
n
X
(c) fn (x) :=
xk (1 − xk ) für x ∈ [0, 1].
k=1
(d) fn (x) :=
n
X
sin2 (x/k) für x ∈ R und für x ∈ [−a, a], wobei a > 0 beliebig.
k=1
8.2. (a) Berechnen Sie die Ableitung der Funktionen
Z
y3
y
Z
(3xy 2 − y cos x) dx
g(y) =
und
h(y) =
0
y
sin(xy)
dx.
x
(b) Berechnen Sie den Grenzwert
Z
lim
n→∞ 1
∞
2
cos x · e−nx dx.
8.3. Es seien (an )n und (bn )n Folgen komplexer Zahlen, so dass die Reihen
absolut konvergieren. Wir definieren für x ∈ R
∞
C(x) :=
a0 X
+
ak cos(kx),
2
und
S(x) :=
k=1
∞
X
P∞
k=0 ak
und
P∞
k=1 bk
bk sin(kx).
k=1
(a) Begründen Sie, dass S und C stetig sind und geben Sie eine (nichttriviale) Bedingung an
die Folgen (ak )k und (bk )k an, so dass S und C differenzierbar sind.
(b) Zeigen Sie
1
an =
π
Z
2π
C(x) cos(nx) dx,
0
sowie
Z
1
bn =
π
Z
2π
S(x) sin(nx) dx
0
2π
S(x) · C(x) dx = 0.
0
c
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8.4. (a) Berechnen Sie den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihen
∞
X
(i)
n
n!z ;
∞
X
(−1)n n
√ z ;
n
n=0
(ii)
n=0
(iii)
∞
X
z n! .
n=0
(b) Berechnen Sie für |x| < 1 die Grenzwerte der folgenden Reihen durch Anwendung der
Vertauschungssätze für Integration und Differentiation
(i)
∞
X
n(n − 1)xn ,
∞
X
(ii)
n=2
n(−1)n x2n ;
(iii)
n=0
∞
X
1 n
x .
n
n=1
Aufgaben zur Abgabe in der Übung am 20.06.2013 (nach den Pfingstferien)
8.5. (a) Sei n ∈ N. Zeigen Sie, dass alle komplexen Lösungen z ∈ C der Gleichung
durch − cot
kπ
2n+1
z−i
z+i
2n+1
=1
, k = 1, . . . , 2n, gegeben sind.
(b) Zeigen Sie die Identität
2n
X
2n(2n − 1)
3
k=1
kπ
Hinweis: Aus Aufgabenteil (a) folgt, dass die Werte − cot 2n+1
, k = 1, . . . , 2n, Nullstellen eines Polynoms sind, welches Sie in Linearfaktoren zerlegen können. Koeffizientenvergleich!
2
cot
kπ
2n + 1
=
(c) Zeigen Sie für alle u ∈ (0, π2 ) die Abschätzung
cot2 u <
1
< cot2 u + 1.
u2
(d) Beweisen Sie nun mit Teil (b) und (c)
∞
X
π2
1
=
.
k2
6
k=1
Bemerkung: Sofern Sie einen Aufgabenteil nicht bearbeiten können, so nutzen Sie dessen Aussage für den Beweis der nächsten Teilaufgaben.
c
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