19 Brownsche Bewegungen als Gaußsche Prozesse

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bzw.
P(Ta,b < u, Ta+a ′ ,b < ∞) = P(Ta,b < u)P(Ta ′ ,b < ∞)
Der Grenzübergang u → ∞ ergibt schließlich
P(Ta+a ′ ,b < ∞) = P(Ta,b < ∞)P(Ta ′ ,b < ∞) .
Diese Multiplikativitätseigenschaft in a bei festem b, zusammen mit der Monotonie
von P(Ta,b < ∞) in a, ergibt
P(Ta,b < ∞) = e−κ(b)a
mit einer monotonen Funktion κ(b) ≥ 0. Um sie näher zu bestimmen, benutzen
wir die Skalierungseigenschaft von W. Es gilt mit s = tb2 und Ws′ := bWs/b2
Ta,b = inf{t ≥ 0 : bWt = ab + b2 t} = b−2 inf{s ≥ 0 : Ws′ = ab + 1 · s} ,
und folglich
P(Ta,b < ∞) = e−κ(1)ab .
Die Konstante κ(1) ist auf diesem Weg nicht schnell zu erhalten. Wir werden bald
mit ganz anderen Methoden sehen, dass κ(1) = 2 gilt.
19 Brownsche Bewegungen als Gaußsche Prozesse
Für eine standard Brownsche Bewegung gilt nach den Eigenschaften (i) und (ii)
Cov(Ws , Wt ) = Cov(Ws , Ws + ∆Ws,t ) = Var(Ws ) = s ,
0≤s<t.
Man sagt, die Kovarianzfunktion der Brownschen Bewegung ist gegeben durch
Cov(Ws , Wt ) = s ∧ t .
Diese Eigenschaft wird sich für eine sBB sogar als charakteristisch erweisen, falls
man zusätzlich fordert, dass W ein Gaußscher Prozess ist. – Zunächst betrachten
wir Gaußverteilte Zufallsvariablen.
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Kapitel III. Die Brownsche Bewegung
Definition. Eine Rn -wertige Zufallsvariable X = (X1 , . . . , Xn ) heißt Gaußverteilt
(oder multivariat normalverteilt), wenn jede Linearkombination c1 X1 + · · · + cn Xn
(mit reellen Zahlen c1 , . . . , cn ) normalverteilt ist.
Die wichtigen Kenngrößen sind der Mittelwertvektor
µX = µ = (µ1 , . . . , µn )
mit µi := E[Xi ]
und die Kovarianzmatrix
ΣX = Σ = (σij )1≤i,j≤n
mit σij := Cov(Xi , Xj ) .
Offenbar ist Σ symmetrisch, zudem nichtnegativ definit, d.h. für alle c1 , . . . , cn ∈ R
gilt
n X
n
X
ci σij cj ≥ 0 .
i=1 j=1
Denn
P
j ci σij cj = Var[ i ci Xi ].
P P
i
Lemma III.6. Zwei Gaußverteilte Zufallsvariablen mit gleichem Mittelwertvektor
µ und gleicher Kovarianzmatrix Σ haben dieselbe Verteilung.
Beweis. Wie sich mit Werkzeugen der Maß- und Integrationstheorie ergibt (Stichwort: charakteristische Funktionen), haben zwei Rn -wertige Zufallsvariablen X
und Y dieselbe Verteilung, falls für alle reellen c1 , . . . , cn die beiden reellwertigen Zufallsvariablen c1 X1 + · · · + cn Xn und c1 Y1 + · · · + cn Yn identisch verteilt
sind. Für Gaußverteilte Zufallsvariablen sind dies normalverteilte
P Zufallsvariablen,
deren
Mittelwert
und
Varianz
nach
Voraussetzung
gleich
i ci µi und Varianz
P P
i
j ci σij cj sind. Dies ergibt die Behauptung.
Gaußverteilte Zufallsvariable haben eine wichtige, exklusive Eigenschaft.
Lemma III.7. Seien 1 ≤ k < n natürliche Zahlen.Verschwinden für eine Gaußverteilte Zufallsvariable X = (X1 , . . . , Xn ) für alle i ≤ k < j die Kovarianzen
Cov(Xi , Xj ), so sind (X1 , . . . , Xk ) und (Xk+1 , . . . , Xn ) unabhängig.
Beweis. Es bezeichne X ′ eine unabhängige Kopie von X. Mit X ist offenbar auch
′
(X1 , . . . , Xk ) Gaußverteilt, und mit X ′ auch (Xk+1
, . . . , Xn′ ). Da Summen von unabhängigen, normalverteilten Zufallsvariablen wieder normalverteilt sind, ist auch
′
Y = (X1 , . . . , Xk , Xk+1
, . . . , Xn′ ) Gaußverteilt. Außerdem haben X und Y gleichen
Mittelwertvektor und gleiche Kovarianzmatrix, daher sind sie nach dem vorigen
Lemma identisch verteilt. Y erfüllt die behauptete Unabhängigkeit, deswegen gilt
sie auch für X.
Wir kehren nun zu stochastischen Prozessen zurück. Ein reellwertiger stochastischer Prozess X = (Xt )t≥0 heißt Gaußsch, falls für alle 0 ≤ t1 < · · · < tk die
Zufallsvariable (Xt1 , . . . , Xtk ) Gaußverteilt ist, und
γ(s, t) := Cov(Xs , Xt )
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heißt die Kovarianzfunktion von X. Nach dem Lemma bestimmt sie also zusammen
mit den Mittelwerten die endlichdimensionalen Verteilungen von X.
Satz III.8. Ein stochastischer Prozess W mit f.s. stetigen Pfaden ist genau dann
eine sBB, wenn er ein zentrierter Gaußscher Prozess mit Kovarianzfunktion
γ(s, t) = s ∧ t ist.
Beweis. Für 0 = t0 < t1 < · · · < tk ist X = (Wt1 , . . . , Wtk ) genau dann Gaußverteilt, wenn dies für Y = (∆Wt0 ,t1 , . . . , ∆Wtk−1 ,tk ) gilt. Diese Zufallsvektoren
gehen nämlich durch Linearkombination auseinander hervor. Aus diesem Grund
sind auch die Beziehungen ΣX = (ti ∧ tj ) und ΣY = ((ti − ti−1 )δij ) äquivalent (δij
bezeichnet das Kroneckersymbol). Die Behauptung ergibt sich deswegen aus dem
vorigen Lemma.
Der Satz hat wichtige Anwendungen.
Beispiele.
1. Für 0 ≤ t ≤ 1 gilt Cov(Wt − tW1 , W1 ) = t − t = 0. Daher wird eine sBB W
durch
Wt = Bt + tW1 , 0 ≤ t ≤ 1 , mit Bt := Wt − tW1
in zwei unabhängige Bestandteile zerlegt. Der Prozess B = (Bt )0≤t≤1 heißt
Brownsche Brücke. – Übrigens ist aufgrund der Unabhängigkeit B in Verteilung nichts anderes als die Brownsche Bewegung W, bedingt auf das Ereignis
{W1 = 0}.
1
2. Setze W̃t := tW1/t für t > 0 sowie W̃0 = 0. Mit W ist dann auch W̃ ein
Gaußscher Prozess. Weiter gilt Cov(W̃s , W̃t ) = st min(s−1 , t−1 ) = min(s, t).
Auch für s = 0 oder t = 0 stimmt die Formel, daher haben W und W̃ dieselbe
Kovarianzfunktion. Nach Satz ?? besitzt W̃ eine f.s. stetige Version. Da nun
W̃ die Eigenschaft, f.s. für alle t > 0 stetig zu sein, von W erbt, stimmt W̃
bereits f.s. mit seiner stetigen Version überein. Es ist also bereits W̃ eine
sBB.
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Kapitel III. Die Brownsche Bewegung
3. Durch Xt := e−t We2t , t ∈ R, ist ein Gaußscher Prozess gegeben, dessen Zeitparameter t die gesamte reelle Achse durchläuft. Für s < t ist
Cov(Xs , Xt ) = e−s e−t e2s = es−t , die Kovarianzfunktion ist also
γ(s, t) = e−|s−t| .
Dies bedeutet, dass die Verteilung von (Xt1 +h , . . . , Xtk +h ) von dem Translationsparameter h unabhängig ist. Man sagt, X ist ein stationärer Prozess. X
heißt Ornstein-Uhlenbeck Prozess.
20 Martingale bei Brownschen Bewegungen
Eine Brownschen Bewegung W gibt Anlass für die Betrachtung und Konstruktion einer Anzahl von Martingalen. Dazu betrachten wir wieder die zugehörige
natürliche Filtration“ F = (Ft )t≥0 , gegeben durch
”
Ft := σ(Ws , s ≤ t) .
Eine Familie (Xt )t≥0 von integrierbaren Zufallsvariablen heißt ein F-Martingal,
falls für alle 0 ≤ s < t
E[Xt | Fs ] = Xs f.s.
gilt.
Beispiele. Nach Satz III.5 (angewandt auf die Stoppzeit T = s) ist ∆Ws,t unabhängig von Fs , andererseits ist Ws eine Fs -messbare Zufallsvariable. Damit
ergeben sich aus der Zerlegung Wt = Ws + ∆Ws,t verschiedene Martingale.
1. W selbst ist ein Martingal, denn für s < t gilt
E[Wt | Fs ] = Ws + E[∆Ws,t ] = Ws f.s.
2. Auch (Wt2 − t)t≥0 ist ein Martingal, denn für s ≤ t gilt
2
E[Wt2 | Fs ] = E[Ws2 + 2Ws ∆Ws,t + ∆Ws,t
| Fs ] = Ws2 + (t − s) f.s.
1
2
3. Für alle λ ∈ R ist (eλWt − 2 λ t )t≥0 ein Martingal, denn
1
2
E[eλWt | Fs ] = eλWs E[eλ∆Ws,t ] = eλWs e 2 λ
(t−s)
f.s.
In der letzten Zeile haben wir die Identität
2
E[eλWt ] = eλ
t/2
verwendet, die man durch einfache Rechnung erhält:
Z
Z
(x−λt)2
2
2
1
1
x2
e−λ t/2 E[eλWt ] = e−λ t/2 √
eλx− 2t dx = √
e− 2t dx = 1.
2πt
2πt
(0.4)