2. ¨Ubung (KW 17/18)

Physik 2 ET, SoSe 2013
— Aufgaben mit Lösung —
2. Übung (KW 17/18)
2. Übung (KW 17/18)
Aufgabe 1
(T 3.1 Sauerstoffflasche“)
”
Eine Sauerstoffflasche, die das Volumen V2 hat, enthält ab Werk eine Füllung O2 , die
bei Atmosphärendruck p1 das Volumen V1 einnähme. Die bis auf Atmosphärendruck
entleerte Flasche wird bei der Temperatur ϑ1 neu gefüllt.
(a) Wie groß ist die Massenzunahme ∆m der Flasche beim Füllen?
(b) Welche mechanische Arbeit W 0 müsste dem Gas zugeführt werden, wenn es
isotherm vom Atmosphärendruck auf den Fülldruck komprimiert werden soll?
(c) Wo verbleibt die Energie?
V1 = 6.00 m3 , V2 = 40 l, ϑ1 = 18 ◦C, Ar = 16 (relative Atommasse von O2 ),
p1 = 101 kPa
Aufgabe 2
(T 3.4 Luftpumpe“)
”
Eine Luftpumpe hat das Maximalvolumen V1 , das sich beim Ansaugen von Luft
vom Druck p1 und der Temperatur ϑ1 füllt. Beim anschließenden Komprimieren
öffnet sich das Ventil, wenn in der Pumpe der Druck den Wert p2 erreicht hat (keine
Wärmeabgabe an die Umgebung).
(a) Welches Volumen V2 hat in diesem Augenblick die eingeschlossene Luft?
(b) Wie groß ist dann die Temperatur ϑ2 ?
(c) Welche Arbeit W 0 wird an dem Gas bis zum Öffnen des Ventils verrichtet?
(d) Wie groß ist die Masse m des Gases, das bei N Pumpstößen in den Schlauch
befördert wird?
(e) Was geschieht mit der von außen zugeführten Energie?
V1 = 250 cm3 , p1 = 101 kPa, p2 = 405 kPa, ϑ1 = 20 ◦C, Mr = 29, κ = 1.40,
N = 50
Aufgabe 3
(T 3.10 Zylinder“)
”
Einem Gas (Masse mG ) wird in einem aufrecht stehenden Zylinder mit reibungsfrei
beweglichem Kolben (Masse mK , Querschnittsfläche A) die Wärme Q zugeführt.
Dadurch wird der Kolben um die Höhe h gehoben. Um welchen Betrag ∆T steigt
die Temperatur des Gases?
mG = 2.5 g, mK = 0.40 kg, A = 40 cm2 , Q = 126 J, h = 8.8 cm,
cV = 740 J kg−1 K−1 , Außendruck: pA = 101 kPa
Jens Patommel <[email protected]>
Seite 1 von 9
Physik 2 ET, SoSe 2013
Aufgabe 4
— Aufgaben mit Lösung —
2. Übung (KW 17/18)
(T 3.7 Kreisprozess“)
”
Mit einem idealen Gas wird ein Kreisprozess ausgeführt, der sich aus folgenden Zustandsänderungen zusammensetzt, die in der angegebenen Reihenfolge durchlaufen
werden.
1. isobare Ausdehnung,
2. isotherme Zustandsänderung,
3. isochore Zustandsänderung.
Stellen Sie den Prozess im p(V )-Diagramm und im p(T )-Diagramm dar! Welches
Vorzeichen hat die vom Gas verrichtete Arbeit?
Jens Patommel <[email protected]>
Seite 2 von 9
Physik 2 ET, SoSe 2013
— Aufgaben mit Lösung —
2. Übung (KW 17/18)
Lösung zu Aufgabe 1
(a) Wenn man die Zustandsgleichung eines idealen Gases nach der Stoffmenge
auflöst, dann kann man daraus die Masse des Gases berechnen, indem man die
Stoffmenge mit der molaren Masse multipliziert:
pV = νRT
⇐⇒
=⇒
pV
pV
=⇒ m = νMm =
Mm
RT
RT
pV
m=
Mr · g mol−1
RT
ν=
(1.1)
Wir wenden diese Gleichung an, um die Masse des Restsauerstoffs in der leeren
Flasche und die Masse des Sauerstoffs der vollen Flasche zu ermitteln. Flasche leer“
”
bedeutet in diesem Zusammenhang, dass der Flaschendruck auf Umgebungsdruck
p1 abgesunken ist; die leere Flasche enthält dann noch eine Restmenge Sauerstoff
der Stoffmenge νl und der Masse ml . Die Masse dieses Restsauerstoffs ergibt sich
aus (1.1), indem man dort das Volumen V2 der leeren Flasche, den Umgebungsdruck
p1 und die Umgebungstemperatur T1 einsetzt:
ml = νl Mm =
p1 V 2
Mr · g mol−1 .
RT1
(1.2)
Die Masse mv des Sauerstoffs der vollen Flasche kriegen wir heraus, wenn wir in
(1.1) das Volumen V1 des bei Umgebungsdruck expandierten Sauerstoffs, den Umgebungsdruck p1 und die Umgebungstemperatur T1 einsetzen:
mv = νv Mm =
p1 V1
Mr · g mol−1 .
RT1
(1.3)
(Genauso gut erhielte man dieselbe Masse ml , indem man in (1.1) das Flaschenvolumen V1 und den Druck p2 der vollen Flasche einsetzte, allerdings ist p2 nicht
gegeben.)
Die Massenzunahme ∆m beim Füllen der Flasche ist die Differenz von mv und ml :
∆m = mv − ml
(1.2),(1.3)
=
(V1 − V2 )
p1
Mr · g mol−1 .
RT1
Unter Beachtung, dass molekularer Sauerstoff aus zwei Sauerstoffatomen mit relativer Atommasse Ar besteht, erhalten wir folgende Massenzunahme:
∆m = (V1 − V2 )
p1
· 2Ar · g mol−1 = 7.96 kg .
RT1
(b) Beim isothermen Kompressionsvorgang bleibt die Temperatur konstant, aus
dem Idealgasgesetz folgt daher für den Druck während des Zusammenpressens des
Sauerstoffs die Beziehung
pV = p1 V1
⇐⇒
Jens Patommel <[email protected]>
p(V ) =
p1 V 1
.
V
(1.4)
Seite 3 von 9
Physik 2 ET, SoSe 2013
— Aufgaben mit Lösung —
2. Übung (KW 17/18)
Die dabei an dem Sauerstoff verrichtete Arbeit W 0 errechnet sich über das folgende
Integral:
V1
ZV1
ZV1
ZV2
p1 V1
(1.4)
0
= p1 V1 ln|V |
W = −W = − dV p(V ) = dV p(V ) = dV
V
V2
V1
V2
V2
V2
= p1 V1 [ln V2 − ln V1 ] = p1 V1 ln
= 3.0 MJ .
V1
(c) Im Allgemeinen wird ein Teil der an dem Gas verrichteten Arbeit in Wärme
und der restliche Teil in Innere Energie umgewandelt, ∆U = Q + W 0 . Da wir es
aber mit einem isothermen Prozess zu tun haben, bei dem die Temperatur konstant
bleibt, muss auch die Innere Energie konstant bleiben (man beachte die kalorische
Zustandsgleichung U = mcV T , also auch ∆U = mcV ∆T ). Mit ∆U = 0 folgt nun
aber W 0 = −Q, d. h. die an dem Gas verrichtete Arbeit wird vollständig in Wärme
umgewandelt und an die Umgebung abgeführt.
Lösung zu Aufgabe 2
Es soll das Komprimieren von Luft in einer Luftpumpe untersucht werden. Als Randbedingung wird angenommen, dass die Stoffmenge des Gases konstant bleibt (Ventil
bleibt geschlossen) und während des Vorganges keine Wärme an die Umgebung
abgeführt wird. Die zweite Annahme ist in der Praxis nur näherungsweise erfüllt,
denn eine Luftpumpe ist selten wärmeisoliert. Wenn jedoch der Kompressionsvorgang schnell genug erfolgt, so hat die Wärme keine Zeit, aus dem Gas durch die
Zylinderwand nach außen zu gelangen, d. h. bei hinreichend schnellem Pumpem ist
die Annahme einer adiabatischen Zustamdsänderung in guter Näherung gerechtfertigt.
(a) Wir gehen von der Adiabatengleichung aus und formen
nach
dem Volumen um:
1
κ
p1
V1
(2.1)
p1 V1κ = p2 V2κ ⇐⇒ V2 =
p2
1
101 kPa κ
=⇒ V2 =
· 250 cm3 = 92.7 cm3 .
405 kPa
(b) Wir wenden die Idealgasgleichung auf die Zustände 1 und 2 an,
p1 V1 = νRT1
p2 V2 = νRT2
(2.2)
(2.3)
und eliminieren durch Division die unbekannte Stoffmenge ν:
p2 V 2
T2
=
.
T1
p1 V 1
Nach der Temperatur T2 auflösen und das in (a) berechnete Volumen einsetzen führt
zum gesuchten Ergebnis:
1
−1 κ1
κ1 −1
p2 V2 (2.1) p2 p1 κ
p1
p1
p1
T2 =
T1 =
T1 =
T1 =
T1 = 435.6 K
p1 V1
p1 p2
p2
p2
p2
=⇒ ϑ2 = 162.5 ◦C .
Jens Patommel <[email protected]>
Seite 4 von 9
Physik 2 ET, SoSe 2013
— Aufgaben mit Lösung —
2. Übung (KW 17/18)
(c) Die an dem Gas verrichtete Arbeit ergibt sich aus folgendem Integral:
ZV1
ZV2
W = −W = − dV p(V ) = dV p(V ) .
0
(2.4)
V2
V1
Zum Lösen dieses Integrals benötigen wir die Funktion p(V ). Diese ergibt sich aus
der Adiabatengleichung, indem man diese auf den Anfangszustand (p1 , V1 , T1 ) und
einen beliebigen Zwischenzustand (p, V , T ) anwendet und nach p auflöst:
pV κ = p1 V1κ
⇐⇒ p = p1 V1κ V −κ .
(2.5)
Gleichung (2.5) wird in (2.4) eingesetz und das Integral gelöst:
V1
ZV1
p1 V1κ 1−κ
−κ
κ 1
1−κ
−κ+1 dV V = p1 V1 −κ+1 V
−
V
=
V
W =
2
1
1−κ
V2
V2
"
1−κ #
p1 V11 V1κ−1 1−κ
p
V
V2
1
1
=
V1 − V21−κ =
1−
1−κ
1−κ
V1


"
( 1 )1−κ
#
1−κ
κ
κ
p
p
p
V
(2.1) p1 V1
1
1
1
1
1 −
=
=
1−
1−κ
p2
1−κ
p2
0
p1 V1κ
= 30.7 J .
(d) Die Masse mN der Luft, welche nach N Pumpstößen in den Reifen befördert
wird, ergibt sich aus der Masse m1 für einen einzelnen Pumpstoß, indem man diese
mit N multipliziert:
mN = N m 1 .
(2.6)
Die Masse m1 für einen einzelnen Pumpzyklus berechnen wir aus der Stoffmenge ν,
die sich vor dem Öffnen des Ventils in der Pumpe befindet und der molaren Masse
Mm (Masse pro Stoffmenge):
m1 = νMm .
(2.7)
Die Stoffmenge ν erhält man durch Auflösen der Gleichung (2.2):
p1 V 1
(2.2) =⇒ ν =
.
RT1
(2.8)
Nun benötigen wir noch die molare Masse. Diese hängt mit der relativen Molekülmasse Mr über folgende Gleichung zusammen1 :
Mm = Mr g mol−1 .
(2.9)
Schließlich setzen wir die Gleichungen (2.6), (2.7), (2.8) und (2.9) ineinander ein:
(2.6)
(2.7)
(2.8)
mN = N m1 = N νMm = N
p1 V1
p1 V1
(2.9)
Mm = N
Mr g mol−1 ,
RT1
RT1
1
Dieser Zusammenhang ist kein Zufall, sondern die Konsequenz aus der Definition der Stoffmengeneinheit: Die Einheit mol wird gerade so definiert, dass die in ihr enthaltene Teilchenzahl
eine Masse ergibt, deren Maßzahl in Gramm der relativen Teilchenmasse entspricht.
Jens Patommel <[email protected]>
Seite 5 von 9
Physik 2 ET, SoSe 2013
— Aufgaben mit Lösung —
2. Übung (KW 17/18)
was auf das Ergebnis
101 kPa · 250 cm3
· 29 g mol−1
8.314 J mol−1 K−1 · 293.15 K
3
3
−2
m)
3 10 Pa · (10
= 15.0 × 10 ·
· g mol−1
J mol−1
Pa m3
= 15.0 × 103 × 103 × 10−6 ·
·g
J
N m−2 m3
= 15.0 ·
· g = 15.0 g
Nm
m50 = 50 ·
führt.
(e) In Teilaufgabe (c) wurde die von außen an dem Gas verrichtete Arbeit zu 30.7 J
berechnet. Da keine Wärme abgeführt wird (adiabatischer Prozess), wird die gesamte
Arbeit dazu verwendet, die Innere Energie des Gases zu erhöhen, was zu einem
Anstieg der Temperatur von 20 ◦C auf 163 ◦C führt:
∆U = Q − W = Q + W 0 = W 0 > 0
=⇒
∆T =
∆U
>0.
m1 cV
Lösung zu Aufgabe 3
mK
mK
Q
pA
pK
W
pA
pK
h
Querschnitt A
pG T1 mG
T
U
V = Ah
Querschnitt A
pG T2 mG
Um die gesuchte Temperaturdifferenz zu berechnen, betrachten wir als erstes die
Änderung der Inneren Energie ∆U . Einerseits gilt der erste Hauptsatz der Thermodynamik,
∆U = Q + W 0 = Q − W ,
andererseits kennen wir die kalorische Zustandsgleichung U = mcV T , aus der sofort
∆U = mG cV ∆T
Jens Patommel <[email protected]>
Seite 6 von 9
Physik 2 ET, SoSe 2013
— Aufgaben mit Lösung —
2. Übung (KW 17/18)
folgt. Gleichsetzen und nach ∆T auflösen ergibt
∆T =
Q−W
.
mG cV
(3.1)
Q ist die von außen zugeführte Wärmemenge und W die vom Gas verrichtete Volumenarbeit, die wir wie folgt berechnen:
ZV2
ZV2
ZV2
mK g mK g dV = pA +
W = dV pG (V ) = dV (pA + pK ) = pA +
∆V
A
A |{z}
V1
V1
V1
=⇒
W = (ApA + mK g) h .
Ah
(3.2)
Hierbei habe ich ausgenutzt, dass der innere Gasdruck pG im Gleichgewichtsfall
genauso groß ist wie der von außen wirkende Gesamtdruck pA + pK , wobei sich der
von außen anliegende Gesamtdruck aus dem äußeren Luftdruck pA und der auf die
Querschnittsfläche A wirkenden Gewichtskraft des Kolbens FK zusammensetzt. Nun
noch (3.2) in (3.1) einsetzen und man bekommt die gesuchte Temperaturerhöhung
heraus:
∆T =
=
=
=
=
Q − (ApA + mK g) h
mG cV
126 J − (40 cm2 · 101 kPa + 0.40 kg · 9.81 m s−2 ) · 8.8 cm
2.5 g · 740 J kg−1 K−1
126 J − (40 × 10−4 m2 · 101 × 103 Pa + 0.40 kg · 9.81 m s−2 ) · 8.8 × 10−2 m
2.5 × 10−3 kg · 740 J kg−1 K−1
126 J − (404 N + 3.92 N) · 8.8 × 10−2 m
1.85 J K−1
126 J − 35.9 N m
· K = 48.7 K .
1.85 J
Anmerkung
Ich möchte an dieser Stelle noch einmal ausdrücklich auf den Unterschied zwischen
cV und cp eingehen, weil hierbei immer wieder Missverständnisse auftreten. Im Zusammenhang mit den thermodynamischen Potentialen Innere Energie U und Enthalpie H gilt
dU = mcV dT
dH = mcp dT ,
(3.3)
(3.4)
und zwar unabhängig davon, wie der Prozess geführt wird. Insbesondere gelten beide
Gleichungen sowohl für isobare als auch für isochore Zustandsänderungen. In der
vorliegenden Aufgabe erfolgt die Zustandsänderung isobar (pG = pA + pK = const),
nichtsdestotrotz wird in Gleichung (3.3) das cV eingesetzt! Das liegt einfach daran,
dass U eine Zustandsfunktion ist, welche von der Art der Prozessführung unabhängig
ist. Egal wie ich vom Zustand 1 zum Zustand 2 gelange, die Differenz dU ist immer
dieselbe und wird durch (3.3) beschrieben.
Jens Patommel <[email protected]>
Seite 7 von 9
Physik 2 ET, SoSe 2013
— Aufgaben mit Lösung —
2. Übung (KW 17/18)
Anders verhält es sich mit der transportierten Wärmemenge Q und der verrichteten
Arbeit W . Dies sind sogenannte Prozessgrößen, d. h. deren Werte hängen davon ab,
welchen Weg ich von 1 nach 2 einschlage. Wenn ich zum Beispiel eine isochore und
eine isobare Zustandsänderung habe, berechnet sich zum Beispiel die Wärmemenge
(
gemäß
mcV dT, V = const (isochor)
Q=
mcp dT, p = const (isobar) ,
d. h. je nachdem, wie der Prozess vonstatten geht, muss man entweder cV oder
cp einsetzen. In der vorliegenden Aufgabe ist der Prozess isobar und das Volumen
ändert sich. Dadurch trägt nicht nur der Wärmetransport Q zur Änderung der
Inneren Energie bei, sondern zusätzlich auch die Volumenarbeit W .
Lösung zu Aufgabe 4
p(T )
p(V )
Isochore
V = VA
p2
p2
A
3.
Isobare p = p1
1.
VA
C
Isotherme
T = T 2 > T1
2.
W< 0
p1
Isochore
V = VA
Isotherme
T = T 3 > T2
C
3.
Isotherme
T = T1
B
p1
A
1.
Isotherme
T = T1
VB
V
2.
TA
B
T1
Isobare
p = p1
T
Der Kreisprozess setzt sich aus drei Teilprozessen zusammen, die wir im einzelnen
diskutieren wollen.
1. Isobare Ausdehnung
Das Gas dehnt sich bei konstantem Druck p = p1 vom Volumen VA auf das Volumen
VB > VA aus. Da in beiden Diagrammen der Druck als Ordinate aufgetragen ist,
wird die isobare Zustandsänderung in beiden Diagrammen als horizontal verlaufende
Linie dargestellt. Im p(V )-Diagramm ist sofort ersichtlich, dass der isobare Teilprozess von links nach rechts verläuft, schließlich vergrößert sich das Volumen bei der
Ausdehnung. Um die Richtung im p(T )-Diagramm zu ermitteln, muss man herausfinden, wie sich die Temperatur in Abhängigkeit des Volumens bei einer isobaren
Ausdehnung verhält. Dabei hilft die Idealgasgleichung pV = νRT . Wenn Druck p
und Stoffmenge ν konstant bleiben, verhalten sich Volumen und Temperatur proportional zueinander, d. h. die Temperatur erhöht sich bei Expansion des Gases und
erniedrigt sich bei Kompression. Weil sich unser Gas im ersten Teilprozess ausdehnt,
muss sich dessen Temperatur erhöhen, die horizontale Isobare verläuft also auch im
p(T )-Diagramm von links nach rechts.
1. Isotherme Zustandsänderung
Die Temperatur bleibt konstant. Aus der Idealgasgleichung folgt, dass sich in diesem
Jens Patommel <[email protected]>
Seite 8 von 9
Physik 2 ET, SoSe 2013
— Aufgaben mit Lösung —
2. Übung (KW 17/18)
Fall Druck und Volumen umgekehrt proportional zueinander verhalten, p ∝ V −1 ,
d. h. im p(V )-Diagramm entspricht die Isotherme einer Hyperbel. Folgen wir nun
der Hyperpel nach links oben oder nach rechts unten? Die Antwort ergibt sich aus
dem dritten Teilprozess, dort müssen wir per isochorer Zustandsänderung zum Ausgangspunkt zurückkehren, was nur dann funktioniert, wenn wir der Isothermen nach
links oben folgen (Isochoren verlaufen im p(V )-Diagramm senkrecht, siehe nächsten
Abschnitt). Im p(T )-Diagramm wird die Isotherme als senkrechte Gerade dargestellt, denn die Temperatur wird entlang der Abszissenachse aufgetragen. Ob man
der senkrechten Isothermen nach unten oder nach oben folgen muss, ergibt sich aus
der Forderung, dass man im dritten Teilprozess per isochorer Zustandsänderung zum
Ausgangspunkt zuückkehren muss. Im Falle eines idealen Gases sind Isochoren im
p(T )-Diagram stets Geraden durch den Nullpunkt (siehe nächsten Abschnitt). Um
auf solch einer Isochoren zum Ausgangspunkt zurückkehren zu können, bleibt nichts
anderes übrig, als der Isothermen im zweiten Teilprozess nach oben zu folen.
3. Isochore Zustandsänderung
Bei diesem letzten Teilprozess kehren wir bei konstant gehaltenem Volumen zum
Ausgangspunkt zurück. Im p(V )-Diagramm werden Isochoren als senkrechte Geraden dargestellt, während sie sich im p(T )-Diagramm als durch den Nullpunkt verlaufende Geraden manifestieren. Letzteres erkennen wir anhand des Idealgasgesetzes,
aus welchem bei konstanter Stoffmenge und konstantem Volumen die Proportionalität zwischen Druck und Temperatur folgt, p ∝ T .
Mechanische Arbeit
Die im p(V )-Diagramm vom Kreisprozess eingeschlossene Fläche entspricht der umgesetzten Arbeit. Je nachdem, in welchem Umlaufsinn die Fläche umlaufen wird,
verrichtet das Gas positive Arbeit (Uhrzeigersinn) oder negative Arbeit (Gegenuhrzeigersinn). Man beachte, dass die von der Umgebung an dem Gas verrichtete Arbeit
W 0 den gleichen Betrag hat wie die Arbeit W , die das Gas verrichtet, aber entgegengesetztes Vorzeichen besitzt, W 0 = −W . Im konkreten Fall wird der Kreisprozess
im p(V )-Diagramm gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen, das Gas verrichtet also
während eines Umlaufes insgesamt negative und die Umgebung verrichtet an dem
Gas positive Arbeit.
Quellen
Die Aufgaben sind entnommen aus: Peter Müller, Hilmar Heinemann, Heinz Krämer,
Hellmut Zimmer, Übungsbuch Physik, Hanser Fachbuch, ISBN: 978-3-446-41785-4
http://www.hanser-fachbuch.de/buch/Uebungsbuch+Physik/9783446417854
Die Übungs- und Lösungsblätter gibt es unter
http://newton.phy.tu-dresden.de/~patommel/Physik_2_ET
Die Homepage zur Vorlesung findet sich unter
http://www.iapp.de/iapp/lehre/materialien/?v=pe
Jens Patommel <[email protected]>
9