Kapitel 3: Partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung Definition

Kapitel 3:
Partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung
Definition: Eine lineare PDE 2. Ordnung in
Variablen ist gegeben durch
!
Dabei sind die Terme "$# %#& und ! Funktionen von ' (*)+,#.-.--#/) 1032 .
Den ersten Term nennt man den Hauptteil der PDE. Weiter gelte oBdA
"4( ' 0
5*( ' 0 #
67#98:
;1#-.-.-#
Spezialfall:
Gilt < const., 67#98 ;1#.-.-.-.#
Matrixschreibweise darstellen:
(>=
0 <
2@?
=
, so läßt sich die PDE auch in folgender
mit der symmetrischen Matrix
(7ABC=
?
(
0 <
1
0 D .EGFHFGFI !
.
46
3.1
Normalformen linearer Gleichungen 2. Ordnung
Gegeben sei die Differentialgleichung (in Matrixschreibweise)
(>=
2@?
=
0 <
(7ABC=
0 <
mit der konstanten und symmetrischen Matrix
1
?
!
(
0 D .EGFHFGFI .
Lineare Algebra: Hauptachsentransformation
?
Jede reelle, symmetrische Matrix
J
wobei
K
ist diagonalisierbar. Weiter gilt
KML
?
K
als eine orthogonale Matrix gewählt werden kann.
Bemerkung: Eine reelle Matrix
K L
K
ist orthogonal, falls gilt:
K 2
47
Ansatz zur Herleitung von Normalformen:
Verwende die Koordinatentransformation
'
K
und setze
0 @(
Mit
( ' 0
(&K 2
' 0
folgt
Wegen )1
'
0
)1
)1
@(&K
K 2
gilt
)1
48
Die letzte Beziehung bedeutet aber gerade:
=
@( ' 0
@ (&K
K
=
2 ' 0
oder in formaler Schreibweise
=
K
=
Transponieren wir diese Beziehung, so folgt
=
2
(&K
=
0 2
=
2
2
Ergebnis:
Löst
die Gleichung
(>=
so erhalten wir für
(3=
=
2@?
0 <
2
die PDE
K 2@?
K
=
0 <
(7ABC=
(/AB%K
0 <
=
1
0 <
!
!
49
Definition:
Gegeben sei die partielle Differentialgleichung 2. Ordnung
(>=
=
2@?
0 <
(7ABC=
0 <
1
?
mit der konstanten und symmetrischen Matrix
!
(
0 D .EGFHFGFI .
Dann ist die zugehörige Diagonalform der PDE gegeben durch
(3=
J
2
=
0 <
((&K 2 A 0 2 =
0 !
mit der Diagonalmatrix
J
A
Dabei ist
(
0
A
(&K
(
0
K 2+?
K 2 K
und
0
K+#
(&K
! (
0
0
! (&K
0
50
Beispiel:
Wir betrachten den Fall von zwei unabhängigen Variablen:
) (*) #/)
Mit
K 2 A
0 ) ) ) ) (*) #/)
) 0 )
lautet die Diagonalform
) M(/) #/)
0 ! (/) #/)
!
0
Beachte:
Die Transformation auf Diagonalform ist keineswegs eindeutig, allerdings
sind die beiden Koeffizienten des Hauptterms gerade die Eigenwerte der
Ausgangsmatrix ? .
51
Definition: (Klassifikation partieller Differentialgleichungen 2. Ordnung)
Gegeben sei die partielle Differentialgleichung 2. Ordnung
(>=
=
2@?
0 <
(7ABC=
0 <
1
mit der konstanten und symmetrischen Matrix
?
!
(
0 D .EGFHFGFI .
1) Sind sämtliche Eigenwerte von ? von Null verschieden und besitzen
sie einheitliche Vorzeichen, so nennt man die Gleichung elliptisch.
2) Sind sämtliche Eigenwerte von ? von Null verschieden, wobei ein Ei; Eigenwerte
genwert ein anderes Vorzeichen als die übrigen
besitzt, so nennt man die Gleichung hyperbolisch.
3) Ist mindestens ein Eigenwert von
Gleichung parabolisch.
?
gleich Null, so nennt man die
52
Beispiel:
Wir betrachten wiederum den Fall von zwei unabhängigen Variablen:
) C(*) 4#/)
0 ) ) ) ) (*) 4#/)
) 0 )
) M(/)M4#/)
0 ! (/) ,#/)
0
Dann ist die Diagonalform gegeben durch:
!
ist.
2) hyperbolisch, falls
ist.
ist.
3) parabolisch, falls
Die partielle Differentialgleichung heißt
1) elliptisch, falls
53
Bemerkung:
Die Typeneinteilung läßt sich auf Fälle mit nichtkonstanter Koeffizientenmatrix ? erweitern: die Gleichung
E
hat die Koeffizientenmatrix
Die Diskriminante
)
?
;
;
)
lautet daher
;
)
; , elliptisch
Die Gleichung ist also parabolisch auf der Hyperbel )
; und hyperbolisch im zusamin den beiden konvexen Bereichen )
)
; .
menhängenden Bereich
54
Beispiel:
Die Tricomi–Gleichung
ist elliptisch für
.
für ( 0 (
0
(
0 ! (/)M#
, hyperbolisch für
(
0
0
und parabolisch
Zentrale Frage:
Wieso macht man eine solche Typeneinteilung?
Zentrale Antwort:
Jede Typenklasse hat charakteristisches Lösungsverhalten!
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Normalformen partieller Differentialgleichungen 2. Ordnung:
Definition:
1) Die Normalform einer elliptischen Differentialgleichung in
(/)M4#-.-.-.#/) 10 2
' ist
<
Variablen
!
(
2) Die Normalform einer hyperbolischen Differentialgleichung in
Variablen ( ' # 0 (*)+,#.--.-.#/) # 0&2 ist
B B
Hierbei bezeichnet
; 0
!
den Laplace–Operator bezüglich ' .
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3) Die Normalform einer parabolischen Differentialgleichung in
Variablen ( ' # 0 (*)+,#.--.-.#/) # 0 2 ist
wobei
; 0
L
B
(
!
wiederum den Laplace–Operator bezüglich ' bezeichnet.
Klassische Beispiele:
1) Elliptische Laplacegleichung
#
2) Hyperbolische Wellengleichung
B B
#
3) Parabolische Wärmeleitungsgleichung
B
#
57