Regelheftseite - Trigonometrie

Mathematik – Planimetrie – Trigonometrie – Sellmer
Trigonometrie
Die Trigonometrie ist ein sehr wichtiges Teilgebiet der Geometrie. Der Sinn der Trigonometrie besteht darin,
aus 3 bekannten Größen eines Dreiecks die anderen Größen zu bestimmen. In einem rechtwinkligen
Dreieck reichen sogar 2 bekannte Größen (denn die Dritte ist ja der rechte Winkel). Zum Berechnen benutzt
man die so genannten trigonometrischen Funktionen (Winkelfunktionen, Kreisfunktionen) sin (Sinus),
cos (Kosinus) und tan (Tangens). Mit Hilfe dieser trigonometrischen Funktionen kann man selbst
kompliziertere Gebilde in Vielecken berechnen. Kurz gesagt:
In einem rechtwinkligen Dreieck genügen mir 2 Größen und ich kann den Rest ausrechnen.
In einem allgemeinen Dreieck genügen mir 3 Größen und ich kann den Rest berechnen.
(Wie du weißt, dürfen das aber nicht nur Winkel sein)
Die Katheten bekommen nun noch „Zusatzbezeichnungen“. Je nachdem, von welchem Winkel aus man die
Seiten betrachtet, heißen sie Ankathete und Gegenkathete.
TR: Um den Winkel zu erhalten muss die
Winkelfunktion umgekehrt werden. Z.B.
Dreieck 1:
sin α =
tan α =
Gegenkathete
Ankathete
sin α =
Gegenkathete
Hypotenuse
Gegenkathe te
4
= = 0,8
Hypotenuse
5
Wenn du die 0,8 im TR stehen hast, musst du
(je nach Typ des TR) die Tasten „Shift“ und
dann „sin“ drücken und es erscheint der
Winkel. Achtung: der TR muss im „DEG“Modus sein.
cos α =
α = 53,13°
Winkelfunktionen
Kommen wir jetzt zum Kern: Die Dreiecksseiten in einem rechtwinkligen Dreieck stehen immer in
bestimmten Verhältnissen zueinander, je nachdem wie groß die Winkel sind. Ähnliche Dreiecke haben
natürlich immer identische Winkel, egal wie groß das Dreieck ist.
Ankathete
Hypotenuse
Vervollständige die Tabelle mit den ähnlichen Dreiecken, um die Richtigkeit dieser Aussage zu bestätigen.
Dreieck 1
Dreieck 2
Dreieck 3
a
4
8
12
b
3
6
9
c
5
10
15
tan α
1,33
1,33
1,33
sin α
0,8
0,8
0,8
cos α
0,6
0,6
0,6
cot α
0,75
0,75
0,75
Winkel
53,13°
53,13°
53,13°